基于情景的风险评估

我们称之为f增量如果x 6 y意味着f（x）6 f（y）。命题3.5设ψ：[0，1]n→ [0，1]是满足ψ（0）=0，ψ（1）=1的函数。（i） 如果ψ在Q的范围内增加，那么ψo Q为标准。（ii）如果ψ是递增的、分量凹的和子模的，那么ψoQ是标准和子模块。更准确地说，如果ψ在Q的范围内增加并满足（3.4），那么ψo Q是标准和子模块。如果Q是相互单数且无原子的，那么Q的范围是[0，1]n，（i）和（ii）的倒数也是真的。证明部分（i）很琐碎。对于A、B∈ F和Q∈ Q、 我们总是这样问∪ B] +Q[答∩ B] =Q【A】+Q【B】。因此，从（3.4）中，我们得到ψo Q[答∪ B] +ψo Q[答∩ B] 6ψo Q[A]+ψo Q[B]给出ψ的子模性o Q、 从而显示第（ii）部分。如果QI是相互单数且无原子的，则映射Q:F→ [0，1]是满射的。让A，一∈ F是不相交集，使得Qi[Ai]=1，对于eachi=1，n、 对于第（i）部分的相反，假设x，y∈ [0，1]nwithx6 yand x=y，xn=yn。让B∈ F，x=（Q[B]，…，Qn[B]）。由于（A，F，Q）是一个无原子概率空间，因此存在一个具有（B）的集合C∩ （A） C a和Q[C]=y（Delbaen[11，定理1]）。We havey=（Q[C∪ B] ，Qn[C∪ B] ），从而产生索赔。对于第（ii）部分的相反情况，我们展示了n=1的主张，由于QI相互单数，一般情况很容易遵循。设x，y，w，z∈ R，w 6 x，y 6，w+z=x+y。取B，C∈ F | a，Q[B]=x，Q[C]=y。如果Q[B∩ C] >w，取B′ （B\\C）Q[B′）=Q[B∩ C]- w和C′ （C\\B）Q[C′）=Q[B∩ C]- w、 然后，\'C=（C\\C′）∪ B′ful fillsq[(R)C]=y和Q[B∩\'\'C]=w.如果Q[B∩ C] <w，取B′ （B）∪ C） cwithQ[B′）=w- Q【B】∩ C] 和C′ C∩ B，Q[C′）=w- Q【C】∩ B] 。然后，\'C=（C\\C′）∪ B′full fills Q[(R)C]=y和Q[B∩\'\'C]=w。

方程W+z=x+y=Q[B]+Q[C]=Q[B∩\'C]+Q[B∪因此z=Q[B∪\'\'C]。现在，ψ的子模性o Qimplies（3.4）。命题3.5意味着通过选择增函数ψ来设计各种基于Q的共单调加性风险度量是一个前进方向。我们注意到，如果Qis不是相互独立的r，为了ψo Q为标准（分别为子模），ψ通常不必递增14 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegel（分别为组件凹模和子模）。在例3.1中，ρ的畸变函数为ψ：（s，t）7→ 2秒- t、 没有增加；然而，如果2P>Q，ρ仍然是一个谱风险度量。下面的命题表明，在这个例子中，ρ不可能是Q-mo notone，除非Q的范围退化，在这个意义上，如果P=Q，它的内部是空的。命题3.6让ρ成为具有Q-畸变函数ψ的Q-畸变风险度量。风险测度ρ是Q-单调的当且仅当ψ在Q的范围内增加。证明如果ψ在Q的范围内增加，ρ的Q-单调性从（3.3）直接开始。相反，假设x=Q[A]6 y=Q[B]对于someA，B∈ F、 然后，1AQstBfor all Q∈ Q、 因此，通过ρ的Q单调性，我们得到ψ（x）=ψo Q[A]=ρ（1A）6ρ（1B）=ψo Q[B]=ψ（y）。我们继续讨论Q-失真风险度量的积分表示。在第2.2节中，对于单场景io Q，Q-Distortion ris k度量ρQgis定义为ρQg（X）=Z-∞（g）o Q[X>X]- 1） dx+Z∞g级o Q[X>X]dx，X∈ 十、（3.5）如果g是左连续的，则ρqgha是通过分部积分论证的Lebesgue积分公式（Dhaene等人【14，定理6】），即ρQg（X）=ZVaRQp（X）d'g（p），X∈ X，（3.6），其中'g（t）=1- g（1- t） FOR r t公司∈ [0, 1].

注意，在这种情况下，(R)g是右连续的，g（0）=1- g（1）=0；因此，g是[0，1]上的分布函数。该特性是（3.6）中积分表示的关键。在相似假设下，我们建立了多个情景下的非线性积分公式。对于函数ψ：[0，1]n→ [0，1]，我们定义了ψ（u）=1- ψ(1 - u） ，u∈ [0，1]n.命题3.7假设ψ：[0，1]n→ [0，1]是这样的，ψ是[0，1]n上的分布函数。设ρψ：X→ R由ρψ（X）=Z[0,1]nmax{VaRQu（X），…，VaRQnun（X）}dψ（u，…，un）给出。（3.7）那么ρψ（X）是具有Q-畸变函数ψ的Q-畸变风险度量。此外，如果ψ是分量凸的，则ρψ是Q-谱风险度量。证明长度=最大{F-1X，Q（U），F-1X，Qn（Un）}=max{VaRQU（X），…，VaRQnUn（X）}，基于情景的风险评估15，其中（U，…，Un）~P′ψ。几乎每x∈ R、 我们有P[Y 6 x]=P[F-1X，Q（U）6 x，F-1X，Qn（Un）6 x]=P[U6 FX，Q（x），…，Un6 FX，Qn（x）]=(R)ψ（Q[x 6 x]，…，Qn[x 6 x]）=1- ψ o Q[X>X]。因此ρψ（X）=EP[Y]=Z-∞（P[Y>x]- 1） dx+Z∞P[Y>x]dx=Z-∞ψ o Q[X>X]- 1.dx+Z∞ψ o Q[X>X]dx=ZXdψo Q、 注意，任何分布函数？ψ都是递增的和超模的。因此，ψ是递增的和子模的，并且通过定理3.4和命题3.5，我们得到了期望的结果。命题3.7提供了构建各种Q-扭曲风险度量的便捷方法。例如，人们可以选择“ψ”作为n-copula（Joe[26]）。命题3.7的一个直接结果是，如果ψ是分布函数，则任何具有Q-畸变函数ψ的Q-畸变风险度量都有一个表示（3.7）。对于单个场景Q，Q-谱风险度量ρQgin（3.5）的失真函数g是凹的，这意味着'g自动是一个分布函数，因此ρQgalways允许（3.6）中的表示。

这一性质通常不适用于Q-失真风险度量的情况。更准确地说，Q-谱风险度量的Q-失真函数不一定总是一个分布函数，因为[0，1]上的所有分布函数都是超模的，但并非相反。因此，并非所有Q谱风险度量都具有代表性（3.7）。这与单一场景的情况形成了鲜明的对比。3.3一致风险度量作为风险度量理论中的一个经典结果，Kusuoka表示[31]指出，在无原子概率空间中，任何基于场景的一致风险度量都允许表示为谱风险度量集合的上确界，我们自然会想，对于Q-ba-sedris-k度量，类似的结果是否成立。首先，很容易注意到，Q-谱风险度量集合上的supremumover始终是基于Q的相干风险度量。对于相反的方向，我们将证明基于Q的一致风险度量允许表示为混合集合的s上积16 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegelof Q-ES For Q∈ Q、 但这需要一些非常重要的条件。更准确地说，ES的Q混合是由ρ（X）=nXi=1wiZESQip（X）dhi（p），X定义的风险度量∈ X，（3.8）对于s ome w=（w，…，wn）∈ [0，1]n其中pni=1wi=1，分布函数h，hnon[0，1]。显然，ρ是一个Q-谱风险度量，因为每个Q-E都是一个Q-谱风险度量。其Q-畸变函数由ψ（x）=Pni=1wigi（xi），x给出∈ [0，1]n，其中对于每个i=1，n、 gi是sqip（·）dhi（p）的变形函数，因此ψ（x）=nXi=1wi1.- 嗨（1- xi）+xiZ1-xi1- pdhi（p）, x个∈ [0，1]n.我们用Φqt表示（3.8）中ES的所有Q-混合物的集合。

在下一个定理中，我们证明，如果Qi相互奇异且无原子，则任何基于Q的相干风险度量ρ都可以写成ES的Q-混合的上确界，即ρ（X）=sup^ρ∈Φ^ρ（X），X∈ X，（3.9）对于某些集合Φ ΦQ.第4节将讨论（3.9）类风险度量的示例。定理3.8（i）如果ρ：X→ R是一些Q-谱风险测度的上确界，是一个基于Q的相干风险测度。（ii）如果合格中介机构是相互单一且无原子的，则X上的风险度量是基于Q的一致风险度量，当且仅当其是（3.9）中的Q-混合的上确界时。在证明定理3.8之前，我们建立了一些辅助结果，这些结果可能是独立的。首先，我们讨论了Fa tou地产（Delbaen【11，12】），我们将根据domina tingQ的情景确定该地产。这种主导情景可以选择为Q*= （1/n）Pni=1Qi。形式上，如果一致有界序列X，X，···，则风险度量ρ满足Q-Fatou性质∈ X，收敛性XkQ*→ 十、∈ 最大值ρ（X）6 lim infk→∞ρ（Xk）。我们还引入了一个范数k·kQon theQ*-X的等效类e s，定义为k·kQ=sup{X>0:Q*[| X |>X]>0}，这是通常的L∞中本质有界随机变量的范数(Ohm, F、 Q*). 请注意，在Q-Fatou属性和normk·kQ的定义中，主要度量值Q*可以等效地选择任何支配Q的概率度量。很容易检查所有基于Q的货币风险度量相对于k·kQ是连续的。

拟对流风险度量ρ满足ρ（λX+（1- λ） Y）所有λ的最大值为6{ρ（X），ρ（Y）}∈ [0，1]和X，Y∈ 十、引理3.9如果QI是相互奇异的，则基于Q的拟凸风险度量与k·KQ连续，可满足Q-Fatou性质。基于情景的风险评估17证明文件Q*= （1/n）Pni=1Qi，注意XkQ*→ 十、∈ X表示XKQI→ 对于每个i=1，…，X，n、 我们将以与Elbaen[12，定理30]相似的方式展示引理，该引理指出a{Q*}-基，k·k{Q*}-连续拟凸泛函满足{Q*}-Fatou地产（首先由Jouini et a l.【27】显示，附带一个次要的额外条件）。基于Q的风险度量不一定是{Q*}-基于，因此上述结果不直接适用。尽管如此，我们还是利用了[12，引理11]，它给出了eachi=1，n、 k级∈ N、 存在一个自然数NK和随机变量Szik，1，Zik，2，Zik，NK与Xkunder Qi分布相同，如thatlimk→∞在k·k{Qi}中，NkNkXj=1Zik，j=X。正如Delbaen【12，备注40】所解释的，可以独立于i选择数字NK。对于k∈ N和j=1，Nk，让Yk，j=Pni=1Zik，jaiwhere，一∈ F是不相交集，使得i=1时，Qi[Ai]=1，n、 很明显，对于（i，j，k），Yk，jh的每个选择，其分布与XkunderQi，andlimk相同→∞NkNkXj=1Yk，j=X，单位为k·kQ。因此，ρ（Yk，j）=ρ（Xk）。最后，由于ρ是k·kQ连续的、拟凸的和基于q的，我们得到ρ（X）=limk→∞ρNkNkXj=1Yk，j6 lim infk→∞maxj=1，。。。，Nkρ（Yk，j）=lim infk→∞ρ（Xk）。因此，ρ满足Q-Fatou性质。作为引理3.9的直接结果，如果Q是相互奇异的，则基于nyQ的相干风险度量，如Q-谱风险度量，满足Q-Fatou性质。接下来，我们给出一个引理，它是证明Theo rem3.8的基础。

对于X∈ X，letLX（Q）={Y∈ X:Yd=所有Q的QX∈ Q} 。也就是说，LX（Q）是所有随机变量的集合，这些随机变量在Q中的每个度量下都是相同分布的∈ LX（Q），因此LX（Q）不是空的。引理3.10假设Qi相互奇异且无原子，概率测度P<< （1/n）Pni=1Qi。函数ρ：X→ R，ρ（X）=supY∈LX（Q）EP[Y]是ES的Q混合物。18王若渡，Johanna F.ZiegelProof Let A，一∈ F be不相交集，对于i=1，…，Qi[Ai]=1，n、 写入Q*=nPni=1千D Z=dP/dQ*. 对于每个i=1，n、 设Ui为[0，1]上的均匀随机变量，在Qi下，Z=F-1Z，Qi（Ui）Qialmother肯定。例如，F¨ollmer和Schied[22，引理a.32]可以保证这种随机变量Ui的存在。根据《消除不平等法》（R¨uschendorf[40，备注3.25]），Y∈ X，我们有EQi[ZY]6 EQi[ZF-1Y，Qi（Ui）]。因此，对于Y∈ LX（Q），EP[Y]=nnXi=1EQidPdQ公司*YnnXi=1EQihZF-1X，Qi（Ui）i。另一方面，很容易验证pni=1F-1X，Qi（Ui）1Ai∈ LX（Q），andEP“nXi=1F-1X，Qi（Ui）1Ai#=nnXi=1EQihZF-1X，Qi（Ui）i。因此，supY∈LX（Q）EP【Y】=nnXi=1EQihZF-1X，Qi（Ui）i.注意EQIHZF-1X，Qi（Ui）i=ZF-1Z，Qi（u）F-1X、Qi（u）du和函数g:[0，1]→ [0，1]，t 7→RtF公司-1Z，Qi（u）du在G中是凸的。因此，映射X 7→ EQi[采埃孚-1X，Qi（Ui）]是一种光谱风险度量，其形式如（3.6）所示。因此，ρ是Q-谱风险度量Q的线性组合∈ Q

注意，每个Q-谱风险度量是Q-ES的混合物（Kusuoka【31，定理4】），因此ρ是ES的Q-混合物。证明（定理证明3.8）关于第（i）部分，有必要观察到Q谱风险度量是一致的，基于Q的一致风险度量的上确界也是基于Q的一致风险度量。对于pa rt（ii），由于ρ是相干的，因此通过引理3.9，它具有Q-Fatou性质。根据经典的相干风险度量表示（Delbaen[11]），存在一个集R 关于Q绝对连续的概率测度的P*, 使得ρ（X）=supP∈代表【X】，X∈ 十、（3.10）现在fix x∈ 十、由于ρ是基于Q的，ρ（Y）=ρ（X）表示所有Y∈ LX（Q）。因此ρ（X）=supY∈LX（Q）供应∈代表【Y】=支持∈RsupY公司∈LX（Q）EP[Y]。引理3.10，对于e ach P∈ R、 地图X→ R、 x7→ 苏比∈LX（Q）EP[Y]是Q的Q-ES混合物∈ Q、 因此，ρ是Es的Q-混合物的上确界。基于情景的风险评估19（3.9）中的表述类似于巴塞尔FRTBformula中的风险度量；见第1节。事实上，值得注意的是，如果Q是相互奇异的，那么只使用Q-E的最大值和线性组合，就像在[5]中所做的那样，就可以得到所有可能的基于Q的一致风险度量。当然，在[5]中选择的一组度量值Q不一定是相互单一的，允许有更多可能的一致风险度量值。然而，在基于情景的风险度量的一般类别中，Q-E的最大线性组合是所有情景选择的唯一一致形式。定理3.8中关于有界随机变量集的刻画可以推广到一般的Lq空间。下面，让Q∈ P是控制Q的概率测度，Lq（Q），Q>1是Q下具有有限Q阶矩的随机变量的序列。命题3.11假设Q是相互奇异且无原子的，Q>1。

映射ρ：Lq（Q）→ R是基于Q的一致风险度量，当且仅当它是ES的Q-混合的上确界，如（3.9）所示。证明了ES的Q混合特征的上确界是一个基于Q的相干风险测度。必须显示“仅当”语句。首先，用与定理3.8中相同的参数，很容易验证引理3.10对“X”是否成立吗→ R“将d替换为”Lq（Q）→ R∪{∞}”. 注意命题3中的ρ。11是有限值，LQA上的所有有限值凸风险度量都是连续的（R¨uschendorf[40，定理7.24]）。因此，ρ接受（3.10）中的表示，其中X替换为Lq（Q）。在定理3.8（ii）的证明中使用相同的论点，我们得出结论，ρ是ES的Q-混合的上确界。备注3.12在命题3.11中，我们已将ρ表示为Lq（Q）上的实值d。这一假设很有用，因为并非所有的E元素的Q-混合物都在Lq（Q）上，这是因为在不同的等价测度下不存在可积性。理论3.8是本文最具技术性的成果。证明中反复使用了Q的互运算性，这对于第（二）部分来说是不必要的。没有Q的相互奇异性，定理3的相反。8（ii）不正确。注意，表示（3.9）是Q单调的，我们在示例3.1中看到，有基于Q的相干ris k测度不是Q单调的，另请参见命题3。6、我们预计，对于基于Q的相干风险度量，如果不假设Q的互单调性，那么一个有趣的特征化结果至少需要ρ为Q单调的附加假设，甚至可能是对于比通常的s-tochastic序更弱的随机序。然而，即使有这样一个附加假设，没有假设相互奇点的表征问题仍然是一个悬而未决的问题，目前的技术工具似乎无法解决这个问题。

当前的证明要求理解Lemma3.10中定义的功能。通过互奇点情形下的Hardy-Littlewood不等式，该泛函易于理解。然而，如果没有这一假设，函数很难理解，可能不是表征结果的正确工具。20 Ruodu Wang、Johanna F.ZiegelRemark 3.13 Kou和Peng【28】考虑了基于Q的风险度量ρ，表示ρ（X）=F（ρ（X），ρn（X））对于某些聚集函数f:Rn→ R和风险度量ρ，ρneach基于一个场景；s eeEq。（22）该文件。他们对f和ρ施加了一些公理，ρn。我们的公理直接施加在风险度量ρ上，我们不假设特定的函数形式。4基于情景的VaR和ES及其他示例由于VaR和ES在外部监管资本计算和内部风险管理中的突出重要性，我们研究了几个基于情景的风险度量样本，这些样本可以看作是多情景框架中VaR和ES的自然概括。在这一节中，Y是包含X的随机变量的任意凸锥。示例4.1（最大ES和最大VaR）设p∈ (0, 1). 对于度量值Q的集合，最大ES（MES）定义为asMESQp（X）=supQ∈QESQp（X），X∈ Y、 （4.1）最大VaR（MVaR）定义为asMVaRQp（X）=supQ∈QVaRQp（X），X∈ Y、 最大ES和最大VaR合并了每个情景下评估的信息，并通过取最大值进行保守的资本计算。我们称之为最大型风险度量。它们出现在稳健优化的文献中；参见例如Zhu和Fukushima【46】，Zymler等人【47】。