油价动荡时期的出现

我们将通过子窗口中赫斯特指数和波动率的估计确定的时间序列称为推断波动率和赫斯特指数过程。请注意，为了生成推断的过程，子窗口的长度是固定的，我们每天都会移动窗口。子窗口长度的选择取决于有效的信噪比：我们需要选择（a）足够大的窗口，以便有足够的数据，能够以足够的精度估计局部幂律参数，以及（b）足够小的窗口，以便在没有太多偏差的情况下解决局部幂律参数。本文给出的结果对数学金融建模和分析具有重要影响。例如，理解和更好地量化此处观察到的类型推断参数所涉及的套利至关重要。例如，就典型的交易成本而言，少量的摩擦是否会重新转移套利的可能性，或者内在套利是否是此处所观察到的特殊制度的核心要素？此外，我们能否从经济学的角度理解我们在这里讨论的价格过程中看到的地方幂律行为？最后，我们指出，我们在此查看了每日油价，以期确定数据中的中长期结构特征。额外的高频或日间价格信息提供了补充信息，确实对这些市场中的贸易商很重要。致谢这项工作部分得到了古诺中心、古诺基金会、巴黎萨克莱大学（chaire D\'Alembert）的支持。古诺中心（Centre Cournot）[58]已出版了本文件的初步版本。参考文献[1]B.B.Mandelbrot，《未来价格预测、无偏市场和马尔丁格尔模型》，商业杂志39（1967）242–255。[2] B.B。

Mandelbrot，什么时候才能有效地定价？随机游走和鞅模型有效性的限制，Rev。经济学。统计53（1971）225–236。[3] B.B.Mandelbrot，《金融中的分形与标度》。《不连续性、集中性、风险》，纽约斯普林格，1997年。[4] R.Engle，《动态条件贝塔商品价格建模》，载《非线性时间序列计量经济学论文》，牛津，2014年，第269-287页。[5] P.Abry、P.Goncalves、P.Flandrin，《小波、s谱分析和1/F过程》，载于：小波与统计，第103卷，Springer-Verlag，1995年，第15-29页。[6] G.Kaiser，《小波的简明指南》，Birkhauser，1994年。[7] A.S.Monin，A.M.Yaglom，《统计流体力学：湍流力学》，第1卷，多佛，米诺拉，2007年。[8] G.Papanicolaou，K.Solna，《基于小波的局部Kolmogorov湍流估计》，载：长程相关理论与应用，Birkhauser，Bosto n，2001，第473-505页。[9] M.Laib，J.Golay，L.Telesca，M.Kanevski，《复杂地区每日平均风速时间序列的多重分形分析》，《混沌、孤子和分形》（2018）118–127。[10] N.Kalamaras、K.Philippopopoulos、D.Deligior gi、C.Tzanis、G.Karvounis，《每日气温时间序列的多重分形标度特性》，混沌、孤子和分形（2017）38–43。[11] 高志强，曹耀勇，董文华，胡志强，《复杂时间序列的多重分析：混沌与随机分形理论的整合》，韦利，霍博肯，2007。[12] G.Gajardo，W.Kristjanpoller，《拉丁美洲股市指数和原油市场之间的不对称多重分形cros-corr关系和时变特征》，Cha os，Solitons and Fractals（2017）121–128。[13] P.Go nc alves，P.Abry，《多窗口小波变换和局部缩放指数估计》，1997年IEEE声学、Spee ch和信号处理国际会议，第5卷，1997年，pp。

3433–3436.[14] E.Moulines，F.Roueff，M.Taqqu，《长记忆时间序列小波系数的谱密度及其在记忆参数对数回归估计中的应用》，时间序列分析杂志28（2006）155–187。[15] A.H.Tew fik，M.Kim，《分数布朗运动离散小波系数的相关结构》，IEEE信息论学报38（1992）904–909。[16] B.Audit，E.Bacry，J.F.Muzy，A.Arneodo，《基于小波的尺度行为估计》，IEE E，Trans。《信息论》48（2002）293 8–2954。[17] E.Bacry，A.Kozhemyak，J.F.Muzy，《资产回报的连续级联模型》，经济动力学与控制杂志32（2008）156-199。[18] E.Bacry，J.F.Muzy，《资产价格的多重分形模型》，载于《定量金融百科全书》，Wiley，2010年，第1-10页。[19] E.Bayraktar，H.V.Poor，K.R.Sircar，《利用小波分析估计标准普尔500指数的分形维数》，国际理论与应用金融杂志7（2004）61 5–643。[20] D.B.Percival，P.Guttorp，《长记忆过程，艾伦方差和小波》，载于：E.Foufoula Georgiou，P.Kumar（编辑），《小波分析及其应用》，Elsevier，1994年，第325-344页。【21】I.Simonsen，《利用小波测量北欧电力现货市场的反相关性》，Physica A 233（2002）597–6 06。[22]J.B.Ramsey，《经济学和金融中的小波：过去和未来》，非线性动力学和计量经济学研究6（2002）1–2 8。【23】M.Gallegati，W.Semmler，《小波在经济和金融中的应用》，Springer-Verlag，2014年。【24】L.Aguiar Conraria，M.J.Soares，《石油与宏观经济：使用小波分析旧问题》，实证经济学40（2011）645–655。【25】J.Elder，A.Serletis，《能源期货价格的长期记忆》，《金融经济学评论》17（2008）1 46–155。[26]S.Youse fi，I.Weinreich，D。

Reinarz，基于小波t的油价预测，混沌，孤子和分形25（2005）265–275。【27】侯耀发，刘福耀，高建波，陈春霞，宋春秋，用置换熵表征中国股市的复杂性变化，熵19（2017）514。【28】齐俊杰，吴海亚，短时间序列的Hurs t指数，物理。牧师。E 84（2011）066114。doi:10.1103/PhysRevE。84.066114.统一资源定位地址https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.84.066114【29】W.Zhang，L.Qiu，Q.Xiao，H.Yang，Q.Zhang，J.Wang，利用扩散熵的平衡估计评估生理信号的尺度不变性，Phys。牧师。E 86（2012）0 56107。doi:10.1103/PhysRevE。86.056107.统一资源定位地址https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.86.056107[30]X.Pan，L.Hou，M.Stephen，H.Yang，《在线用户的长期记忆？选择活动，物理课程A 378（201 4）2591–2596。【31】潘X，侯L，M.Stephen，杨H.Yang，朱C.Zhu，《短时间序列中的标度不变性评估》，公共科学图书馆综合版9（12）：e 11612 8（2014）0116128。【32】邱立军，杨铁军，尹永贤，顾春华，杨海华，嵌入短时间序列的多重分形：概率矩的无偏估计，Phys。牧师。E 94（2016）0 62201。doi:10.1103/PhysRevE。94.062201.统一资源定位地址https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.94.062201【33】杨勇，邱立军，杨铁军，侯立军，顾长军，杨浩，《嵌入极短时间序列的标度不变性：基于阶乘矩的差向性方法》，中国物理杂志5 5（2017）232 5–2335。【34】J.Alvarez Ramirez，M.Cisne ros，C.Ibarra Valdez，A.Soriano，《原油价格多重分形赫斯特分析》，Physica A 313（2002）651–670。[35]D.O.Cajueiroa，B.M.Tabak，《随时间推移的赫斯特指数：测试新兴市场的评估效率》，Physica A336（2004）521–537。【36】A.Serle tis，I。

Andreadis，《北美能源市场的随机分形结构》，能源经济学26（2004）389–399。【37】姜志强，谢文杰，周文秀，检验WTI原油期货市场的弱式有效性，Physica A 405（2014）235-244。【38】高志强，胡志强，董伟伟，曹勇，N.萨沙，V.P.罗伊·乔杜里，时间序列中的长期相关性评估：如何避免陷阱，物理。牧师。E 73（2006）0 16117。doi:10.1103/PhysRevE。73.016117.统一资源定位地址https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.73.016117【39】S.Lahmiri，《2008年国际金融危机前后原油市场混乱研究》，Physica A 466（2017）389–395。【40】S.Lahmiria，S.Bekiros，《波动时间序列中的扰动与复杂性》，《混沌孤子与Fr actals》105（2017）38–42。【41】J.-P.Fouque、G.Papanicolaou、K.Sircar、K.Solna，《股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动率》，Springer，2011年。[42]M.Lee，J.Song，P.J.H.，W.Chang，《美国的不对称多重分形》。S、 股票指数采用基于指数的A-MFDFA模型，混沌孤子和分形97（2017）28–38。【43】J.Alvarez Ramirez，E.Rodriguez，C.Ibar ra Valdez，《比特币市场中的长期相关性和不对称性》，Physica A 492（2018）948–955。【44】G.Gajardoa、W.Kristjanpollera、M.Minutolo，比特币是否与原油、G old和DJIA表现出与欧元、英国英镑和日元相同的不对称多重分形交叉相关性？，混沌、孤子和分形109（2018）195–205。【45】L.Song，《分形市场中具有交易成本的欧式期权定价时空分数阶导数模型》，混沌孤子与分形103（2017）123–130。【46】阿联酋管理局，石油数据，https://www.eia.gov/石油/数据。cfm。【47】B.B.Mandelbrot，J.Van Ness，《分数布朗运动，分数噪声与应用》，暹罗评论10（1968）422–4 37。【48】页。

Flandrin，《分数布朗运动的小波分析与合成》，IEEE信息理论学报38（1 992）910–917。【49】A.B e nassi，S.Jaffard，D.Roux，《高斯过程和pse udodi微分线性算子》，Re vista Mathematica Iberoamericana 13（1997）19–90。[50]R.F.Peltier，J.L'evy Vehel，《多分数布朗运动：定义和初步结果》，技术代表2645，INRIA（1995）。【51】B.M.Tabak，D.O.Cajueiro，原油市场是否随着时间的推移变得疲软？《价格和波动的时变长期依赖性测试》，能源经济学29（200 7）28–36。【52】A.Brouste，M.Fukasawa，《高频观测下分数高斯噪声的局部渐近正态性》，统计年鉴46（2018）20 45–2061。【53】N.Cres sie，《空间数据统计》，Wiley，1993年。【54】阿联酋政府，天然气数据，https://www.eia.gov/naturalgas/data.cfm.【55】J.A.Villar，F.L.Jo utz，《原油和天然气价格之间的关系》，技术代表，石油和天然气办公室（2006年10月）。【56】埃尔多斯，石油和天然气价格分开了吗？，能源政策49（2012）707–718。【57】C.Czichowsky、R.Peyre、W.Schachermayer、J.Yang，《影子价格、分数布朗运动和交易成本下的投资组合优化》，金融与随机22（2018）161–180。【58】J.Garnier，K.Solna，《石油价格数据的时频分析》，Prisme 33，古诺中心，网址：https://www.centrecournot.org/livretsfr.html（10月20日至17日）。【59】S.Cohen，J.Istas，《分数场与应用》，柏林斯普林格，2013年。多分数布朗运动这里我们给出了多分数布朗运动的精确定义。参考文献[49，50]中介绍了它，例如，更多细节可以在参考文献[59]中找到。LetH：R→ （0，1）和σ：R→ (0, ∞) 是两个可测量的函数。

如果一个重值过程BH，σ（t）=σtpC（Ht）RenZRe，则称为具有hurst指数H和波动率σ的多分数布朗运动-iξt- 1 |ξ| 1/2+HtdW（ξ）o，（3）其中复随机测度dW的形式为dW=dW+idWwith dW，dw2个独立实值布朗测度s，C（h）是归一化函数：C（h）=ZR4 sin（ξ/2）|ξ1+2hdξ=πhΓ（2h）sin（πh）。（4） 让h∈ （0、1）和s∈ (0, ∞). 如果Ht≡ h和σt≡ s、 然后B（h，s）（t）≡ BH，σ（t）是具有赫斯特指数h和波动率s的分数布朗运动，即具有协方差的azero-mea-Gaussian过程B（h，s）（t）B（h，s）（t′）=s|t | 2h+| t′2h- |t型- t′| 2h. （5） Letβ∈ (0, 1). 设H:R→ （0，1）和σ：R→ (0, ∞) 是两个β-H¨olderfunction，使得s upht<β。多分数布朗运动（3）是azero-mea连续高斯过程，满足局部渐近自相似性质[49]：在任何时间τ∈ R、 我们有Lim→0+1BH，σ（τ+t）- BH，σ（τ）Hτt型∈R= LB（Hτ，στ）（t）t型∈R, （6） 这意味着存在一个分数布朗运动，其赫斯特指数Hτ和波动率στ与多分数布朗运动BH，σ相切。这意味着它的逐点H¨older正则性由其Hurst指数决定。B估计过程的细节我们解释了如何根据价格数据估计标度谱和局部幂律参数的细节。B、 1输入参数输入参数是整数ji<Je，用于确定所考虑的标度范围、惯性范围和窗口大小M，窗口大小M是计算loca l频谱的（移动）时间窗口的大小。我们必须有1个≤ ji<je≤ 米/2. 此外，给出了用{P（tn），n=1，…，n}表示的时间tn的价格da，其中w tn=t+nt、 可以估计所有中心时间tn，n=1，…，的幂律参数，N

我们首先在下一小节中给出内部中心时间n的一般算法∈ 米/2, . . . , N-M级+米/2, 然后我们把它推广到边界中心乘以n∈ {1, . . . , 米/2-1 }∪{N-M+米/2+1.N}。B、 2内部中心时间让我们确定中心时间指数n∈ 米/2+1.N-M级+ 米/2 具体步骤如下：1。计算在tnby处输入的对数转换数据Q=（Qj）Mj=1：Qj=log（P（tn-米/2+j） ），j=1，M、 （7）2。计算尺度谱S=（Sj）jej=jia是小波系数的局部均方：Sj=PNji=1（dj（i））Nj，（8），其中Nj=M- 2j+1，（9）dj（i）=Pj-1k=0（Qk+i- Qk+i+j）√2j。(10)3. 确定（je-ji+1）-维向量Y，the（je-ji+1）×2维矩阵X和（je-ji+1）×（je-ji+1）-维对角矩阵RY=日志（Sji），···，日志（Sje）T、 （11）X=1对数（2ji）1对数（2（ji+1））。。。。。。1个日志（2je）, （12） Rjj=jj（j），j，j∈ {ji，…，je}。(13)4. 计算回归参数^b=（^c，^p）Tde，由^b=（XTR）确定-1X）-1XTR-1年。(14)5. 计算局部赫斯特指数和波动率估计值asbH（tn）=^p- 1，（15）bσ（tn）=^c/2qh（bH（tn））。（16） 在（15）中，我们可以用min（max（bH（tn），0.05），0.95）来设置估计阈值，以避免任何奇异行为。在（16）中，标度系数标度函数h由h（h）=（1）定义- 2.-2H）（2H+2）（2H+1）。（17） 在（10）中，dj（i）对应于所谓的“连续变换Haarwavelet deta il系数”。在（11-1 3）中，矩阵X是设计矩阵，R是最小二乘加权矩阵，Y是广义最小二乘问题的数据向量，可以识别局部幂律参数。我们注意到，计算的波动率是t时间刻度。时间尺度上的局部波动率τ=mt是bσ（tn）mbH（tn）。B、 3边界中心时间也可以计算中心时间指数n的光谱信息∈{1, . . . , 米/2-1}∪{N-M+米/2+ 1.

. , N} ，但这需要缩小用于估计局部幂律参数的时间窗口。对于n∈ {1, . . . , 米/2 - 1}，可以将alg算法应用于内部中心时间，最多可进行以下修改：第一，用M替换M，M=n-米/2+M、 第二步，将等式（7）中的数据向量Q替换为Q=（Qj）~Mj=1，定义为Qj=lo g（P（tj）），j=1，~M.（18）中心乘以n∈ {N- M+米/2+ 1.N} 可以进行类似处理。B、 4总结我们明确了惯性范围和时间窗ji，je，Mand的依赖性，上述程序的结果是：对于给定的价格时间序列{P（tn），n=1，…，n}，对于每个中心时间tn，n∈ {1，…，N}，我们得到了相关标度谱、局部赫斯特指数和局部波动率：S（j，tn；M），j∈ {ji，…，je}，（19）bH（tn；ji，je，M），bσ（tn；ji，je，M）。（20） B.5关于时间窗和惯性距离参数的备注根据要探测的信息规模选择时间w indow size M。在图3中，选择包含完整的时间序列，在这种情况下，可以获得“glo bal”尺度的光谱模型。在图4中，选择M=2来解决赫斯特指数和波动率的局部变化。同样，惯性范围【ji，je】是根据我们寻找幂律的尺度来选择的。在本文所示的示例中，我们使用ji=1和je=米/2. 这是给定窗口大小的最大惯性范围。如果数据仅在有限的惯性范围内呈现幂律，那么实际上ji，JE将被选择为ac c。我们还注意到，惯性范围和时间窗口大小可以通过自动化程序控制。例如，通过选择几个窗口大小来获得参数σ，H的局部变化尺度的先验估计，然后选择局部窗口大小以最大化信噪比。

同样，给定时间窗口大小M，惯性范围可以选择为最大惯性范围，其中拟合残差符合高斯幂律模型。B、 6当基础数据为纯分数布朗运动时的最优性、精度和稳健性备注（即，平均值为零的高斯过程和c方差Cov（Bσ，H（t），Bσ，H（s））=σ（| t | 2H+| s | 2H- |t型- 增量的形式为高斯向量，相关矩阵由参数σ和H确定。最大似然（ML）估计器已被证明是分数B-rownian运动高频率点观测的最佳估计器【52】。我们在下文中表明，当观测来自纯分数布朗运动时，尺度谱估计与ML具有本质上相同的精度。然而，在“不完美”数据和多尺度估计的情况下，鲁棒性在我们的上下文中是重要的，这就是为什么我们使用上述估计和线性回归中使用的径向协方差矩阵（13）。事实上，我们在下面展示的是，它对于被加性白噪声或真实数据损坏的系统数据更加健壮。我们注意到等式（14）中最小平方回归中的对角权重矩阵R很重要。为了获得一个稳健性估计量，我们使用了一个从两个不同的对角线缩放得到的估计。为了明确对角权重矩阵的依赖关系，我们用^H（tn，R）表示等式（15）中的估计量。n我们选择实际估计值为：^H（tn）=max{H（tn，R），^H（tn，R（3））}，（21），R由式（13）定义，R（3）由jj=jj（j），j，j定义∈ {ji，…，je}。（22）接下来，我们举例说明这种方法的稳健性。