带附加随机过程的乘法随机级联

方差V ar（W）和V ar（η）的平均值分别表示0.18（0.08）和0.3 2（0.07），其中标准偏差用括号表示。结果与标准偏差中随机变量W（l/r）j，kandη（l/r）j，Kw的i.i.d.假设一致，但两个极端样本12（r）和图6：连续乘法因子的散点图Wj除外-对于j=10，…，1和Wjtoj+1，两种质量之间的样本相关系数显示在每个面板中。图7：前一个▄dj的散点图。和乘法因子Wjtoj+1forj=10，两种质量之间的样品相关系数显示在每个面板上。表1：回归分析结果为Y=aX+b。方差V ar（W（l/r）j.）和V ar（η（l/r）j.）由方程（14）和（15）得出。标度i（左/右）a b Std的a Std的b Adj。RVar（W）Var（η）12（l）0.61 0.10 0.05 0.12-0.04 0.19 0.3012（r）0.42 0.63 0.06 0.19 0.57 0.35 0.2513（l）0.66 0.25 0.13 0.09 0.36 0.17 0.3313（r）0.61 0.20 0.03 0.02 0.91 0.20 0.3114（l）0.72 0.13 0.04 0.01 0.88 0.13 0.3414（r）0.57 0.21 0.10 0.03 0.77 0.21 0.2815（l）0.68 0.17 0.04 0.01 0.98 0.14 0.3115（r）0.54 0.23 0.06 0.01 0.98 0.21 0.2516（l）0.90 0.15 0.15 0.01 0.92 0.05 0.4716（r）0.73 0.20 0.080.01 0.99 0.14 0.3816（l）。湍流实验也得到了类似的结果（Jim'enez2007）。在图9中，我们展示了一个带有附加随机过程（13）的乘法级联的实现，其中随机变量W（l/r）j，kandη（l/r）j，k分别表示从折叠对数正态分布和正态分布中提取的。如图9（c）所示，缩放小波系数的PDF会收缩成一条表示自相似性（8）的曲线，H¨o lde r指数H=0.23，这表明布朗运动很好地逼近了这一过程。

奇异谱D（α）是一个凸函数，其紧支撑t[0.08，0.40]在α=0.23处取峰值，如图所示。路径的多重分形不会被实现中的附加项打破。最后，我们评估了比率dj+1的数据/di。，对应于W（l／r）j，kof乘性级联模型。该比率的PDF仍然具有广泛的分布，并通过与j层相关的自由度为2度的Student t分布得到很好的拟合。更重要的是，连续乘性因子与先前小波系数和乘性因子之间的严重负相关在实际数据中再现。5结论我们通过对2007年11月至2009年1月在伦敦证券交易所上市的富时100指数成分股平均日股价的时间序列进行实证研究，考察了乘性随机casca-de模型的有效性。时间序列的间歇性和多重分形已被验证为模型的预测。但是，此处未显示结果。图8：后继条件方差dj+1/hj+1是前一代dj的功能/hj+1。数据被划分为具有相同间隔0.2的箱子。主面板中排除了数据量小于100的箱子，而插图中包含了所有箱子。图9：带有附加随机过程的乘法级联路径。（a） 路径由公式（13）产生的小波系数重建。我们使用Daubechies四个完全支持的正交小波基。库存变量日志| W |~ N个(-0.33 log 2，0.02 log 2）和η（l/r）j，k~ N（0,0.3）。（b） 创建的小波系数dj，k的PDF。（c）缩放系数dj，k/（si）H的PDF。我们选择H？older指数H=0.23，取解释的奇异谱的峰值低。另请参见图。

图10：奇异谱D（α）(o) 图9（a）的实现。实线显示了随机变量log | W |乘法过程的理论奇异谱~ N个(-0.33对数2，0.02对数2）（Arneodo等人，1998年b）。从数据向后计算的描述不同层次结构的小波系数之间的比率显示出严重的负相关，而在通常的乘法级联模型中，这些系数是i.i.d.随机变量。我们扩展了乘法模型，将一个额外的随机项乘以变量的标准偏差。我们通过对模型的实证研究和蒙特卡罗模拟表明，所提出的模型与所有的实证结果是一致的。值得注意的是，乘法ca scade模型及其扩展违反了因果关系。Bacry、Delour和Muzy提出了一个随机过程长时间轴，称为多重分形随机游走，保持了多重级联模型的本质，如多重分形和相关性（Bacry et al.2001）。这可能在即将发表的论文中完成。致谢本研究部分得到了第16K0 1259号科学研究资助金（c）的支持。参考文献【1】Arneodo A，Bacry E，Muzy JF（1998b）关于小波并矢面的随机级联。数学物理杂志39:4142–4164。[2] Arneodo A、Muzy JF、Sornette D（1998a）“股票市场中的直接”因果级联。欧洲物理杂志B 2:277–282。[3] Bacry E，Delour J，Muzy JF（2001）多重分形随机游走。PhysicalReview E 64:026103。[4] Bacry E，Muzy JF，Arneodo A（1993）《小波分析分形信号的奇异谱：精确结果》。统计物理杂志70:635–674。[5] Co nt R（2001）《资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题》。

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剑桥大学出版社，多佛再版。附录：WTMM方法该附录描述了基于文献中提出的连续小波变换的WTMM方法（Bacry et al.1993；Muzy et al.1993）。使用分析小波ψ对函数f进行的连续小波变换定义为wψ[f]（x，s）=sZ∞-∞f（u）ψ（u- xs）du，（16），其中参数s和x分别表示函数ψ的位移和平移。假设分析小波ψ具有Nψ>0的消失矩。高斯函数ψ（Nψ）（x）=dNψ（e）的连续导数-x／2）dxNψ（17）具有Nψ＞0的消失矩。这里我们指定Nψ=2，并使用高斯函数的二阶导数作为分析小波。WTMMmethod从每个尺度s定义的小波变换的模极大值构建一个配分函数，作为| Wψ[f]（x，s）|的局部极大值，作为x的函数。这些极大值跨尺度相互连接，并形成被指定为极大线的分割线。集合L（s）是满足（x，s）的所有ma ximaline L的集合∈ l=> s≤ ss≤ s=> （x，s）∈ l、 （18）分配函数由最大ima线性asZ（q，s）=Xl定义∈L（s）（sup（x，s′）∈l | Wψ[x，s′）|）q.（19）假设配分函数z（q，s）的幂律行为~ sτ（q），（20）可以定义指数τ（q）。奇异谱D（α）可以使用τ（q）：D（α）=minq（qα）的勒让德变换来计算- τ（q））。(21)