带附加随机过程的乘法随机级联

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英文标题：
《Multiplicative random cascades with additional stochastic process in
  financial markets》
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作者：
Jun-ichi Maskawa, Koji Kuroda and Joshin Murai
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Multiplicative random cascade model naturally reproduces the intermittency or multifractality, which is frequently shown among hierarchical complex systems such as turbulence and financial markets. As described herein, we investigate the validity of a multiplicative hierarchical random cascade model through an empirical study using financial data. Although the intermittency and multifractality of the time series are verified, random multiplicative factors linking successive hierarchical layers show strongly negative correlation. We extend the multiplicative model to incorporate an additional stochastic term. Results show that the proposed model is consistent with all the empirical results presented here.
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中文摘要：
乘法随机级联模型自然地再现了间歇性或多重分形，这在诸如湍流和金融市场等层次复杂系统中经常出现。如本文所述，我们通过使用财务数据的实证研究来研究乘法层次随机级联模型的有效性。虽然时间序列的间歇性和多重分形性得到了验证，但连接连续层次的随机乘性因子表现出强烈的负相关。我们扩展了乘法模型，加入了额外的随机项。结果表明，所提出的模型与本文给出的所有实证结果是一致的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Multiplicative_random_cascades_with_additional_stochastic_process_in_financial_markets.pdf (1.05 MB)

2022-6-10 15:07:13 上传

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关键词：随机过程 Hierarchical Multifractal Quantitative Applications

金融市场中具有额外随机过程的乘法随机级联Jun ichi Maskawaa1，Koji Kurodaband Joshin Muraica经济系，Seijo大学综合基础科学研究生院，日本大学人文和社会科学研究生院，冈山大学抽象乘法随机级联模型自然地再现了间歇性或多重分形，这通常表现在层级复杂系统中，如湍流和金融市场。如本文所述，我们通过使用财务数据的实证研究，研究了乘法分层随机级联模型的有效性。虽然时间序列的间歇性和多重分形得到了验证，但连接连续层次的随机乘法因子显示出强烈的负相关。我们扩展了乘法模型，加入了额外的随机项。结果表明，prop-osedmod el与本文给出的所有经验结果一致。1简介金融市场由不同的参与者组成，他们以不同的时间分辨率观察市场，并以不同的时间范围对价格变化作出反应。例如，虽然日间交易员持续观察市场，每天交易多次，但基金经理可能会在数周或数月内重新考虑他们的投资组合。具有不同特征时间范围的参与者之间的竞争产生了使用不同时间re溶液测量的波动性的异质结构。过去的粗粒度波动率度量与未来的小规模波动率的相关性大于反向过程。

这一因果结构从长期到短期的波动性精治大学经济系Maskawa地址：6-1-20 Seijo，Setagaya ku，Tokyo 157-8511，Japan电话：+81-3-3482-5938，传真：+81-3-3482-3660电子邮件：maskawa@seijo.ac.jpwas穆勒等人首先指出了这一点。（穆勒等人，1997年）。这被认为是金融市场中的一个利兹事实（Arneodo et al.1998a；Cont 2001；LynchandZumbach 2003），通过类比流体动力学中的能量级联，自然产生了波动性级联从长期到短期的想法（Ghashghaie 1996）。在充分发展的湍流中，动能被外力注入，在最大的空间尺度上形成漩涡。根据湍流中分层级联的现象学图像，它们被流体动力学变形，破碎成小碎片。然后能量转移到更小的范围。这一过程在最小的尺度上重复了几次，能量最终被耗散（Richardson 1922；Kolmogorov 1941；Frisch 1 997）。相互干扰是许多复杂系统中的常见现象，也是金融市场和动荡潮流中的一个关键特征（科尔莫戈罗1962年；曼德尔布罗特1963年）。间歇性的特征是资产价格波动的不规则爆发、流体速度和其他系统量的强度以及这些量的概率分布中的大峰度和厚尾的产生。人们还经常在显示间歇性的相同系统中观察到多重分形（Frisch 1997；Schmitt等人，1999）。金融市场和动荡也不例外。

将引入第2节的乘法r andom级联模型通过级联规则ΔλlX（t）=WλδlX（t），（1）将λl标度处的波动与l标度处的波动联系起来，其中Wλ是一个仅取决于标度比λ的随机变量。这是一个自然导致系统间歇性和多重分形的预测模型（Mandelbrot 1974；Frisch 1997；Arneodo et al.1998b），如本文所述，我们通过将该模型应用于股票价格的时间序列来研究乘法层次随机级联模型的有效性。由于实际的层次结构是直接不可观察的，我们将二元层次树结构模型应用于市场。通过模型预测验证了时间序列的间歇性和多重分形性。然而，尽管连接连续层次结构层的随机乘法因子被假定为i.i.d.，但根据数据计算的相应值显示出强烈的负相关。这一结果显然表明，需要扩展该模型。在每个级联步骤（1）中，变量ΔλlX（t）通常仅由前一步骤中的一个前置变量ΔlX（t）确定。我们扩展了乘法模型，将一个额外的随机项与前一步变量的标准偏差相乘。这种模式l最初由Jim'enez作为湍流的混合乘法随机模型引入（Jim'enez 2000；Jim'enez2007）。我们的模型能够处理金融时间序列的众所周知的特征，如间歇性或多重分形，以及多重因素之间观察到的负相关性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了Arneodo、Bacryand Muzy（Arneodo et al。

1998b），这是本文研究的模型。接下来，我们将该模型应用于由伦敦证券交易所上市的富时10 0指数成分股的多变量股票价格时间序列构建的时间序列，以研究该模型的有效性。在第4节中，我们介绍了模型的扩展，并通过蒙特卡罗模拟验证了改进模型的有效性。最后，我们对研究结果进行了总结，并对今后的工作提出了一些看法。2乘法二进随机级联模型Arneodo、Bacry和Muzy提出了一种利用正交小波变换构造新的随机函数类别的方法，命名为W-ca scade（Arneo-do等人，1998年b）。本节简要介绍W-cascade。函数f（x）∈ L（R）可以用正交小波基{φj，k（x），ψj，k（x）}j展开≤j、 k级∈Zasf（x）=Pk∈Zcj，kφj，k（x）+∞Pj=jPk∈Zdj，kψj，k（x），（2），其中整数jc可以任意选择。利用尺度函数φ（x）和小波函数ψ（x）：φj，k（x）=2j/2φ（2jx）的平移和扩张，可以分别构造小波基φj，k（x）和ψj，k（x- k） ，ψj，k（x）=2j/2ψ（2jx- k） ，0≤ j，0≤ k<2j-1.（3）函数f（x）的小波系数{cj，k，dj，k}由下面的积分给出。cj，k=Z∞-∞f（x）φj，k（x）dx，dj，k=Z∞-∞f（x）ψj，k（x）dx（4）在下文中，我们专门讨论具有有限长度的离散时间序列。应用方程式（2）–（4）时，函数f（x）用作长度L的周期函数。最大的s=L对应于j=0，内标度sj=L/2j（j=1，…，log（L））。小波函数应具有Nψ(≥ 1） 消失动量sz∞-∞xnψ（x）dx=0，0≤ n<nψ。（5） Arneodo等人通过指定小波系数{cj，k，dj，k}j建立了一个随机函数f（x）≤j、 k级∈Z、 我们设置j=0。系数c0,0和d0,0被选为任意数。

将系数重新定标为di，k=2j/2di，kis有助于简化方程。系数di，kar递归定义为dj，2k=W（l）j-1，kdj-1，k，~dj，2k+1=W（r）j-1，kdj-1，k，1≤ j，0≤ k<2j-1，（6）当我们将模型应用于第3节中的时间序列时，值c0,0和d0,0由方程（4）确定。图1：W叶栅示意图。其中乘法因子{W（）j-1，k}k∈Z、 =l，稀有独立同分布（i.i.d.）实值随机变量。图1以化学方式显示了W-级联。首先，长度L分为两个区间。小波系数d1,0和d1,1由乘法因子W（l）0,0和W（r）0,0定义。接下来，将每个划分的间隔再次划分为两个间隔。这些区间上的小波系数d2，k（k=0，…，3）由乘法因子W（）1，k（=l，r，k=0，1）定义。二元树上的这一过程重复到最小尺度sj=2。对于W级联，很容易推导出小波系数概率密度函数（PDF）的自相似律。事实上，由sj尺度下的方程（4）推导出的小波系数dj，k=2j/2dj的PDF Pj（～d）通过自相似核Gjj′（x）Pj（～d）=ZGjj′（x）e连接到另一尺度sj′下的PDF Pj（～d-xPj′（e-x▄d）dx，（7）其中自相似核Gjj′（x）是乘积x=log（Wj′Wj′+1，…，Wj的对数的PDF-1） =Pj-1k=j′log（周）。当过程f（x）的路径是具有H¨older指数H的分形（均匀尺度不变）时，它的分形指数（d）=（sjsj′）-HPj′（（sjsj′）-Hd）。（8） 他们还分析推导了W级联的奇异谱和自相关函数。

它们的功能涵盖了金融时间序列中大部分众所周知的程式化事实。3 W-cascade的实证研究通过将该模型应用于股票价格的时间序列，我们研究了乘法层次随机级联模型的有效性。由于实际的层次结构无法直接观察到，我们将二元树结构模型应用于市场，即W-级联。我们分析了2007年11月至2009年1月期间在伦敦证券交易所上市的富时100指数成份股的对数平均价格，其中包括2008年9月15日的莱曼冲击和2008年10月8日的市场崩盘。首先，我们计算每个问题的去季节化收益的平均值δXi（t）=log（Pi（t））- 对数（Pi（t- δt））δf（kδt）=NFNFXi=1δXi（kδt）- uiσi，（9），其中ui和σi分别表示δx和nfi的平均值和标准偏差是装置问题的数量。她的e，我们设置δt=1，并检查1分钟的对数返回。我们排除了隔夜价格变化，并具体检查了日内收益的演变。为了从时间序列中消除市场活动的日内Ushape模式的影响，收益率除以每个问题i对应时间的标准偏差。然后我们累积δf（t）以获得过程f（kδt）（k=1，…，L）（图2）asf（kδt）=kXk′=1δf（k′δt）。（10） 我们将Daubechies 4紧支撑正交小波基（Daubechies 1992）用于以下情况，其中Nψ=2消失矩。在图3（a）中，我们给出了标度sj=2，4，…，的PDF o fdj，kf，64分钟。PDF的尾部随着相应比例的增大而变胖。然而，不同尺度的缩放小波系数dj，k/（sj）hf的PDF会折叠成一条曲线，如图所示。

3（b）当我们将参数Hnear设置为0.5时。如方程（8）所述，结果表明布朗运动很好地逼近了这一过程。接下来，我们使用Muzy、Bacry和andArneodo（Muzy et al.1993）提出的基于小波的多重分形形式来分析路径f（x）的多重分形性质。首先，我们定义了两个数学变量。函数f（x）在xis处的H¨older指数ntα（x）被定义为最大指数，因此存在满足| f（x）的n阶多项式Pn（x）和常数C- Pn（x- x） |≤ C | x- x |α，（11）对于x的邻域中的x，表示函数f（x）在x处的正则性。奇异谱D（α）是集合的Hausdorff维数，如图2所示：由1min的累积构造的过程路径（黑线）。白天的日志返回（灰色线）。总计：2=131072分钟。有关详细信息，请参阅文本。图3：小波系数的概率密度函数。（a） PDF of？dj，k.（b）PDF of sc-aled coefficients？dj，k/（sj）H。我们选择的值H=0.53表示以下解释的奇异s谱的峰值。另见图4（c）。H¨older指数等于α，D（α）=dimH{x |α（x）=α}。（12） 对于多重分形路径，H¨o lde r e指数α分布在一个范围内，而对于布朗运动路径，即分形路径，D（0.5）=1，对于α6=0.5，D（α）=0。Muzy、Bacry和Arneodo提出了基于函数连续小波变换的小波变换模极大值（WTMM）方法来计算奇异谱D（α）（Muzy et al.1993）。我们在附录中简要介绍了WTMM方法。我们通过方程（19）计算数据路径的小波系数第q阶矩的配分函数Z（q，s）。结果如图4（a）所示。配分函数Z（q，s）foreach或de r q在小于210的尺度范围内表现出幂律行为-11

指数τ（q）由方程（20）导出。如图4（b）所示，它是q的一个凸函数。这些结果显示了数据路径的多重分形。由方程（21）导出的奇异谱D（α）作为函数τ（q）的勒让德变换，是一个具有紧支撑[0.28，0.75]的共凸函数，其峰值位于α=0.53处，如图4（c）所示。在W-cascade模型中，随机乘性因子Wj，Klinging连续层次结构层j和j+1被假定为i.i.d。我们从数据的小波系数和这些质量的计算统计中计算乘性因子Wj，kbackwar d。图5显示了根据数据的小波系数计算出的乘法因子Wlj、K的PDF。乘法因子分布广泛，与第一层无关的Cauchy PDF很好地吻合。数据和模型之间的一个重要差异是连续乘法因子s与先死系数和乘法因子之间的强负相关。结果如图6和图2所示。7.4带附加随机过程的乘性级联在W-c级联模式l（6）中，在每个级联步骤中，小波系数dj+1,2k和dj+1,2k+1局部从唯一的前一个dj，k过渡。我们扩展了乘性模型，以将特定范围的前一个作为附加随机项。这种张力最初是由Jim'enezas提出的，他是tur-bulence的一个混合乘法随机模型（Jim'enez 2000；Jim'enez2007）。

他提出了一个包含流体速度增量全局标准差的模型，该模型描述了由周围流体的特性引发的级联。作为沿着这一方向的第一步，我们研究了带有与样本标准成比例的额外随机项的乘法级联模型。乘法因子Wrj，kis的统计数据与Wlj，k的统计数据相同。图中未显示。图4：数据的多重分形分析。（a） Log–q=-20, . . . , 20 (o) 以及它们的最小平方线（实线）。（b） 指数τ（q）作为q.（c）奇异谱D（α）的函数。图5：根据数据的小波系数计算的乘法因子的PDF。曲线是Cauchy的PDFp（x）=（πs（1+xs））的最小平方-1（s=0.6）。偏差hj=标准（~dj）式中，乘法和附加随机变量{W（l/r）j，k}j，kan{η（l/r）j，k}j，kare假设为具有零均值的i.i.d.，它们是独立的。获得方程（13）的条件和非条件变量，我们有两个方程sv ar（| dj+1。| dj.）=V ar（W（l/r）j.）~dj+V ar（η（l/r）j.）hj（14）和（hj+1hj）=V ar（W（l/r）j.）+V ar（η（l/r）j.）。（15） 使用上一节中提供的数据研究方程式（14）。图8显示了几个时间尺度的结果。我们执行线性回归分析Y=aX+b，其中解释变量Y是s uc cessor的条件方差除以非条件方差V ar（| dj+1。| dj。）/hj+1。解释变量X是前置变量dj的平方/hj+1。结果如表1所示。回归线添加到图8中。