一类随机对策与移动自由边界问题

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从数学上讲，回想一下Gi公司=（xxx，yyy）∈ RN+Mxi=f-1NMXj=1aijyj,GN+i=（xxx，yyy）∈ RN+Mxi=-f-1NMXj=1aijyj.32 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu对于给定点ppp=（xxx，yyyy），表示dk：=距离（（xxx，y），Gk）对于k=1，2，····，N，则存在一个点qqq=（www，zzz），使得▄wi=f-1NMXj=1aijzj, i、 e.，qqq∈ Gkqqq- ppp=dknnnk（qqq）或qqq- 购买力平价=-dknnnk（qqq）。其中nnnk（qqq）是曲面的法线方向Gkat点qqq:nnnk（qqq）=ckN- 1, · · · , -1，···，N- 1.（f）-1N）MXj=1aijzjai1，···，（f）-1N）MXj=1aijzj目标.表示▄ppp=（xxx- a11，yyy）和▄qqq=（www- a11，zzz）。那么很容易检查▄qqq∈ Gk，（7.1）nnnk（qqq）=nnnk（▄qqq），（7.2）▄qqq-ppp=qqq- ppp=dknnnk（qqq）=dknnnk（qqq）。（7.3）（7.1）自（wi）起生效- （a）-PNj=1，j6=i（wj-a） N个-1=xi-PNj=1，j6=iwjN-1、（7.2）自最后M个元素以来的持有量，代表资源水平，与qqq和qqq相同，（7.3）定义持有量和（7.2）。根据（7.3），我们得出结论，dist（（xxx- a11，y），Gk）=dk。类似的结果适用于k=N+1，···，2N。因此，wehavedist（（xxx，yyy），∩j∈我Gj公司∩ G） =距离（（xxx- a11，yyy），∩j∈我Gj公司∩ G） 。因此，对于每个（xxxn，yyyn），都存在一个∈ R使kxxxn- an1k≤ 1、表示 xxxn=xxxn- an1。因此（▄xxxn，yyyyn）是RN+Mand dist（▄xxxn，yyyyn）中的有界序列，∩j∈我(Gj公司∩ G） （）≥ . WLOG，我们可以假设（▄xxxn，yyyn）→ （xxx，yyy）为n→ ∞ 对于一些（xxx，yyy）∈ RN+M。如下（xxx，yyy）∈ ∩j∈我(Gj公司∩ G） ，自eachj起∈ 一、 地区（（xxx，yyy），Gj公司∩ G）≤ k（yenxxxn，yyyn）- （xxx，yyy）k+dist（xxxn，yyyy），Gj公司∩ G）≤ k（yenxxxn，yyyn）- （xxx，yyy）k+n→ 0，作为n→ ∞. 这与（▄xxxn，yyyyn）的事实相矛盾→ （xxx，yyy）和dist（xxxn，yyyy），∩j∈我(Gj公司∩ G） （）≥ .每个面上的A4 j=1，2，···，2N，rrrj是yyy的函数，它是有界的。此外，rrrj是光滑的，dyyyrrj是有界的。

因此，rrrj（·）是一致Lipschitz连续函数。注意，当相邻矩阵={akj}1时≤k、 j≤如果是单位矩阵或包含所有单位的矩阵，则rrriis常量为Gifor all i∈ l、 A5表示g：=f-1N。首先，我们证明g是[0，ytotal]上的非负递减函数，其中ytotal：=PMj=1yjis是总资源。我们在引理4.2中已经证明，对于z，fN（z）<0≥ 因此，存在0<k（ytotal）<k（ytotal）<∞ 因此-∞ < -K（Y总）<fN（z）<-z时k（ytotal）<0∈ [x，x]。其中x=g（ytotal）>0，x=g（0）。注意g（·）=f（f-1（·）），因此-k（ytotal）≤ g（w）≤ -K（ytotal）whenw∈ [0，ytotal]。现在让k（ytotal）：=~k（ytotal）和k（ytotal）：=~k（ytotal）。很明显，NNNJ和RRRJ中的所有后M分量都是非正的（1≤ j≤ 2N）。通过简单的计算，我们得到了qnn-1+K（ytotal）N≤ cj公司≤qNN型-1+k（ytotal）和Qnn+1≤ cj公司≤√适用于所有1≤ j≤ N.类似于rrr+jand rrr的定义-j、 表示nnn+jas nnn和nnn中的前N个组件-jas是nnnj中的后一个M组件。由于面i和N+i相互平行（i=1，2，···，N），因此最多有N个面相互相交。必须考虑（xxx，yyyy），使| I（（xxx，yyy））|=N。对于这些点，考虑ci=Nanddi=N（I=1，2，··，N）。因此，对于我*∈ {i，N+i}，i=1，2，···，N，*PNi=1nnni*N、 rrri*+≥Nhnnn公司-我*,rrr-我*i=Nci*ci公司*hnnn公司-我*,rrr-我*i=-ci公司*ci公司*g级MXj=1aijyj≥qN+1N-1+（N+1）K（ytotal）K（ytotal）。有限燃料博弈33类似地，对于i*∈ {i，N+i}，i=1，2，···，N，*PNi=1rri*N、 nnni公司*+≥Nhnnn公司-我*,rrr-我*i=Nhnnn-我*,rrr-我*i=-ci公司*ci公司*g级MXj=1aijyj≥qN+1N-1+（N+1）K（ytotal）K（ytotal）。附录B N=2时H3 Cp的检验。当N=2时，我们有E+=E-, E+=E-和WNE={（x，x，y）| | x-x |≤ f-1N（y）}∪ {y=0}。我们设置Q={（x，x，y）∈ R×R+| x- x个≥ 0}和Q={（x，x，y）∈R×R+| x- x> 0}。在这种情况下，A=E+和A=E+。

时间（xxx，y）∈ A、 有两种可能性：要么（xxx，y）∈ A.∩ E+1,1或（xxx，y）∈ A.∩ E+1,2。If（xxx，y）∈ A.∩ E+1,1，然后qqq=（x+x+，x，f（x+），x+唯一的正根，使得z- fN（z）=x- x个- y、 那么很容易检查qqq∈ 拥有。要看到这一点，（x+x+）- x=x+=f-1N（fN（x+）。If（xxx，y）∈ A.∩ E+1,2，然后qqq=（x- y、 x，0）。然后qqq∈ Wney=0。类似分析适用于（xxx，y）∈ Aby对称。加州大学伯克利分校工业工程师和运筹学系。电子邮件地址：xinguo@berkeley.eduDepartment哥伦比亚大学工业工程师和运筹学硕士。电子邮件地址：wt2319@columbia.eduDepartment南加州大学工业与系统工程系。电子邮件地址：renyuanx@usc.edu