一类随机对策与移动自由边界问题

考虑到这两个特殊情况，现在回想一下在游戏CCC中，dYjt=-NXi=1aijYjt-PMk=1aikYkt-dˇξItan和Yj0-= yj公司≥ 0。（6.1）HJB方程（HJB）的有限燃料博弈25- C） ，梯度约束比CPCPCPC和CdCdCd这两种特殊情况更为复杂。当Ai∩ Aj=,（HJB-C）最小值(- αvi+h+NXj=1vixjxj，Γivi+vixi，-Γivi- vixi）=0，表示（xxx，yyy）∈ W-我，-Γjvi- vixj=0，表示（xxx，y）∈ A+j，j 6=i，-Γjvi+vixj=0，对于（xxx，y）∈ A.-j、 j 6=i。特别是，如果AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1，然后（HJB- C） 变成（HJB- Cp）；如果AAA=伊宁，则为（HJB- Cd）。与第4节类似，定义行动区域Ai∈ RN×RM+和ithplayer的等待区域wia+i：=E+i∩ Qi，A-i： =E-我∩ Qi，Ai=A+i∪ A.-i、 和Wi：=RN×RM+\\Ai，（6.2），其中e+i：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)M： 进出口银行≥ f-1NMXj=1aijyj, E-一：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)M： 进出口银行≤ -f-1NMXj=1aijyj,（6.3）对于E+i，1：=（xxx，y）∈ E+i：MXj=1aijyj≥ xi+x, E+i，2：=（xxx，y）∈ E+i：MXj=1aijyj<xi+x, （6.4）E-i、 1：=（xxx，y）∈ E-i： MXj=1aijyj≥ -xi- x个, E-i、 2：=（xxx，y）∈ E-i： MXj=1aijyj<-xi- x个, （6.5）和{Qi}Ni=1是凸分区，因此Qi∩ Qj=（E+i∪ E-（一）∩ （E+j∪ E-j）∩ WNEfor i 6=j。然后我们定义∏（xxx，yyy）=（xxx）-i、 xi++Pk6=ixkN-1） ，yyy年+, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，1，（xxx）-i、 xi-PMq=1aiqyq，yyy+, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，2，（xxx）-i、 Pk6=ixkN-1+xi-),yyy年-, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E-i、 1、，（xxx）-i、 xi+PMq=1aiqyq），yyy-, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E-i、 （6.6）其中阈值函数fN（·）在（4.14）-（4.16）中定义，xi+是唯一的正根，因此z-fN（z）=xi- yiwhenxi≥ f-1N（彝语），xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=▄xi+yiwhen▄xi≤ -f-1N（彝语）。

此处yyy+∈ RM+，第j个分量为（yyy+）j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq- fN（xi+）,yyy年+∈ RM+，第j个分量为（yyy+）j=yj- aijyj，yyy-∈ RM+，第k个组件为（yyy-)j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq-fN（xi-), yyy年-∈ RM+，第j个组件为（yyy-)j=yj- 哎呀。请注意，∏（·）将（xxx，yyyy）转换为E+i，1的边界，即。，E+i，1：={（xxx，yyy）：PMj=1aijyj=f-1Nxi, 0<xi≤ x} 时间（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，1和to{（xxx，yyy）：aijyj=0，j=1，2，···，M}当（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，2，沿方向0，···，-1, · · · 0; -ai1yPMj=1aijyj，····，-aiMyMPMj=1aijyj！∈ RN×RM+，第i个分量为-1、表示所有者：=（xxx，yyy）∈ RN×RM+：| exi |<f-1NMXj=1aijyj, 1.≤ 我≤ N∪{（xxx，yyy）∈ RN×RM+：yyy=0}，（6.7），并假设分区{Qi}Ni=1满足以下假设：26 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XUH3-C。对于任何（xxx，yyyy）∈ ∪iAi，∏（xxx，yyy）∈ 拥有。条件H3-C表示如果（xxx，yyy）∈ Ai，那么动态将在玩家i控制后的区域wne中。根据第4节和第5节的分析，以及当处于W时，玩家i的控制策略仅依赖于（xxx，PMj=1aijyj）的“猜测”-i、 我们得到的是| exi |<f-1N（PMj=1aijyj），vi（xxx，yyy）=pN（exi）+ANMXj=1aijyjcoshexir2（N- 1） αN！，（6.8）是（HJB-C）的解决方案，其中pN（·）由（4.11）定义，AN（·）由（4.15）定义。下一步是构建与HJB解决方案（6.8）相对应的受控流程（XXX，YYY）。注意，wne是r2n中的一个无界域，有2N个边界。

对于i=1，2，···，N，定义2N个面，WNEFi={（xxx，yyy）∈ WNE |（xxx，yyy）∈ E+i}，Fi+N={（xxx，yyy）∈ WNE |（xxx，yyy）∈ E-i} 。每个面上的法线方向由nnni=ci给出N- 1, · · · , -1，···，N- 1.（f）-1N）MXj=1aijyjai1，···，（f）-1N）MXj=1aijyj目标,nnnN+i=cN+i-N- 1, · · · , 1, · · · , -N- 1.（f）-1N）MXj=1aijyjai1，···，（f）-1N）MXj=1aijyj目标,ithcomponent为±1，ciand cN+Ith归一化常数，使KNNIK=knnnN+ik=1。表示每个面上的反射方向asrrri=ci0，····，-1, · · · 0; -ai1yPMj=1aijyj，····，-aiMyMPMj=1aijyj！，rrrN+i=cN+i0，···，1，···0；-ai1yPMj=1aijyj，····，-aiMyMPMj=1aijyj！，ITH组件为±1。ciand cN+I对常数进行规格化，使krrrik=krrrN+ik=1。雀巢战略定义如下。案例1：（XXX0）-,YYYY0年-) = （xxx，yyy）∈ 拥有。可以检查（6.7）中定义的wne和{rrri}2Ni=1上述定义是否满足假设A1-A5。因此，使用数据解决斯科罗霍德问题的方法很弱WNE，{rrri}2Ni=1，bbb，σσ，xxx∈ WNE公司. A1-A5的可满足性见附录A。案例2：（XXX0）-,YYYY0年-) = （xxx，yyy）/∈ 拥有。存在i∈ {1，···，N}这样（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 人工智能。（1） If（xxx，yyy）∈ 人工智能+∩ E+i，1，然后玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi++Pk6=ixkN-1在时间0，其中xi+是唯一的正根，因此z- fN（z）=xi- （PMq=1aiqyq）。这将减少yyy0的资源-= yyy到yyy=yyy+，yyy+的第j个分量为（yyy+）j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq- fN（xi+）≥ 0、其他玩家的动态保持不变，即Xk=Xk0-= xk对于k 6=i和1≤ k≤ N根据假设h3-C，我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 xi++Pk6=ixkN-1） ，yyy年+= ∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈拥有。

（2） If（xxx，yyy）∈ A+i∩ E+i，2，然后玩家i将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-PMq=1AIQYQ，资源j从YJ0更改为-= yjto Yj=Yj- aijyjat时间0。其他玩家的动态保持不变，即Xk=Xk0-= XK工作6=i和1≤ k≤ N、 在假设H3-C下，我们有（XXX，YYY）=∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 拥有。（3） 同样，如果（xxx，yyy）∈ A.-我∩E-i、 1，那么玩家i将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-+Pk6=ixkN-1时间0，其中xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=~xi+（PMq=1aiqyq）。这将更改YYY0的资源-= YYYY到YYY=YYY-其中，yyy的第j个分量-is（yyy-)j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq-fN（xi-)≥ 其他玩家的动态在时间0时保持不变，即Xk=Xk0-= xk对于k 6=i和1≤ k≤ N、 假设H3-C，有限燃料博弈27我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 Pk6=ixkN-1+xi-),yyy年-= ∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 拥有。（4） If（xxx，yyy）∈ A+i∩ E+i，2，然后playeri将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi+PMq=1 IQYQ，资源j从Yj0减少-= yjtoYj=yj- aijyjat时间0。其他玩家的动态在时间0时保持不变，即Xk=Xk0-= xk对于k 6=I和1≤ k≤ N、 假设H3-C，我们得到（XXX，yyyy）=∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 拥有。具有约束CCC的N人游戏（2.8）的NE说明如下。定理6.1（N人博弈CCC的NE）。假设H1-H2和H3-C。

定义ui∈ RN×R+→ R asui（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN如果| | xi |≤ f-1N（y），y=0，uixxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1，fN（xi+）如果▄xi>f-1N（y）和y≥ xi+x，uixxx个-i、 xi- y、 0个如果▄xi>f-1N（y）和y<xi+x，uixxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)如果▄xi<-f-1N（y）和y≥ -xi- x、 用户界面xxx个-i、 xi+y，0如果▄xi<-f-1N（y）和y<-xi- x、 （6.9）和定义六：RN×RM+→ R asvi（xxx，yyy）=用户界面xxx，PMj=1aijyjif（xxx，yyy）∈W-i、 六xxx个-j、 xj++Pk6=jxkN-yyy年1月+if（xxx，yyy）∈ A+j∩ E+j，1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj公司- （PMq=1ajqyq），yyy+if（xxx，yyy）∈ A+j∩ E+j，2对于j 6=i，vixxx个-j、 Pk6=jxkN-1+xj-,yyy年-if（xxx，yyy）∈ A.-j∩ E-j、 1对于j 6=i，vi（xxx）-j、 xj+（PMq=1ajqyq），yyy-if（xxx，yyy）∈ A.-j∩ E-j、 2对于j 6=i，（6.10），其中oa和w在（6.2）中给出，E±i，1和E±i，2在（6.4）-（6.5）中给出，fN（·）由（4.14）-（4.16）定义，并且fN（x）=fN(-x） 对于x<0EXIS由（4.2）定义，AN由（4.15）定义（6.9）中的xi+是z的唯一正根-fN（z）=exi-y如果▄xi≥ f-1N（y）和xi-是z+~fN（z）=exi+y（如果▄xi<-f-1N（y）。o（6.10）中的xj+是z的唯一正根- fN（z）=exj-PMk=1ajkykifxj≥ f-1N（PMq=1ajqyq），和XJ-是z+~fN（z）=exj+PMk=1ajkykifxj<-f-1N（PMq=1ajqyq）。o（6.10）中yyy+的第k个分量为（yyy+）k=yk-ajkykPMq=1ajqyqPMq=1ajqyq- fN（xj+）, 和yyy的k-thcomponent-is（yyy-)k=yk-ajkykPMq=1ajqyqPMq=1ajqyq-fN（xj-).o （6.10）中yyy+的第k个分量为（yyy+）k=yk- ajkyk和yyy的第k个组件-is（yyy-)k=yk- ajkyk。那么Vi是与NEPξξξ相关的值*= (ξ1*, · · · , ξN*). 也就是说，vi（xxx，yyy）=JiC（xxx，yyy；ξξξ*).

此外，受控过程（XXX*,YYY年*) ξξ以下*是案例1中描述的Skorokhod问题的解决方案，如果（xxx，yyy）∈ WNE，描述为案例2 if（xxx，yyyy）/∈ 拥有。定理6.1的证明与定理4.3相似，因此省略了。为了证明这种相似性，我们提供了值函数viin W的凸性的证明-我在这里。证据我们以player one为例，说明v（xxx，yyy）=▄v（▄x，PMj=1a1jyj）是凸的-1、其他玩家的价值函数类似。回忆▄xi=xi-PNk6=ixkN-1、同样，我们定义了▄yi=PMk=1aijyj。时间（xxx，yyy）∈W-1，我们有| x |≤ yor  y=0。因此，ev（~x，~y）为正半定义。根据链式法则，对于2≤ k 6=j≤ N28新果、汤文品、任元轩1≤ q 6=p≤ M、 vxx（xxx，yyy）=evxx（x，yy），vxxk（xxx，yyy）=-N-1evxx（yenx，yeny），vxyq（xxx，yyy）=a1qevxy（yenx，yyy），vypyq（xxx，yyy）=a1pqevyy（yenx，yy），vxkxj（xxx，yyy）=（N-1） evxx（▄x，▄y），vxkyq（xxx，yyy）=-N-1a1qevxy（￠x，￠y）表示H（xxx，yyy）：=v（xxx，yyy）∈ R（N+M）×（N+M）作为某点（xxx，yyy）的Hessian矩阵∈ W-1、然后，对于任何ddd=（b，···，bN，c，··，cM）∈ RN+M，dddTH（xxx，y）ddd=bevxx-N- 1NXk=2bbkevxx+（N- 1） NXk=2bk+（N- 1） X2个≤j6=k≤Nbjbkevxx+2MXq=1bcq1qevxy-N- 1NXk=2MXq=1bkcqa1qevxy+（MXq=1a1qcq）evyy=b-N- 1NXk=2bk！evxx+2b-N- 1NXk=2bk！MXq=1a1qcq！evxy+MXq=1a1qcq！evyy=eeeT▄H（▄x，y）eee≥ 0，其中eee=b-N-1PNk=2bk，PMq=1a1qcq和▄H（▄x，y）=~v（~x，y）。最后一个不等式成立，因为当x为凸时，v（≈x，y）是凸的≤ y，这是定理4.3（第（iv）步第1步）证明的结果。因此vis凸inW-1.7、比较游戏Cp、CDC和CIn本节将比较游戏CPCP、CDCDCDC和CCC。我们将首先比较它们的游戏价值，并讨论其经济影响。然后，我们将讨论他们在NEP方面的差异。

最后，我们在受控秩相关SDE的框架下讨论了它们的前景。为了使游戏具有可比性，让我们假设y=PNj=1yj。让我们也考虑一个特殊的共享游戏CSCSCSW，它可以与CDCDCDC和CpCpCp连接：CSCSC:M=N和aii=1，i=1，2，··，N。7.1. 合并、分割和共享。对于游戏CPCP，将每个玩家i的游戏值和等待区域分别表示为VICPANDWCP。CDCDCDCDD和CSCSC定义了类似的符号。命题7.1（游戏价值比较）。假设H1-H2。对于每个（xxx，yyy）∈ RN×RN+，表示y=PNi=1yi。If（xxx，y）∈ WCpi和（xxx，yyy）∈ WCdi∩ WCsi，然后，viCp（xxx，y）≤ viCs（xxx，y）≤ viCd（xxx，yyy），i=1，2，···，N.证明。通过直接计算进行比较。实际上，回想一下，在CpCpCp的情况下，当（xxx，y）∈ WCpi，viCp（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN, 对于i=1，2，···，N，其中（4.2）中定义了存在，而（4.15）中定义了不存在。同样，在CdCdCd的情况下，当（xxx，yyy）∈ WCdi，viCd（xxx，yyy）=pN（exi）+AN（yi）coshexiq2（N-1） αN, 对于每一个=1，2，···，N。如果是CSCSC，当（xxx，yyy）∈ WCsi，viCs（xxx，yyy）=pN（exi）+ANPNj=1aijyjcosh公司exiq2（N-1） αN,对于每个i=1，2，···，N。通过初等计算，AN（y）<0。因此，当y=PNj=1yj时，（xxx，y）∈ WCpi和（xxx，yyy）∈ WCdi∩ WCsi，viCp（xxx，y）≤ viCs（xxx，y）≤ viCd（xxx，yyy）。第一个不等式成立，因为y=PNi=1yi≥PNi=1aijyjand，当且仅当每个j=1，2，···，N的aij=1时，等式成立。第二个不等式成立，因为对于每个j 6=i，aii=1，且当且仅当aij=0时，等式成立。有限燃料游戏29（a）CpCpCp（b）CdCdCd（c）CCC图3。当N=3时，CpCpCp、CdCdCd、CCC的预计演变边界比较。这一结果具有明确的经济解释。

在一个随机博弈中，玩家可以选择共享资源，而不是提前划分资源，共享的成本将低于划分。Poolgyields为每个玩家提供最低的成本。确定预计的公共等待区所有者（yyy）：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)M： | exi |<f-1NMXj=1aijyj对于1≤ 我≤ N∪{yyy=0}。对于任何固定资源级别yyy。那么WNE（yyy）是一个具有2N个边界面的多面体。图3a显示了一个池名CPCP。一个玩家执行控制后，边界的所有面都会移动。图3b对应于一个视频游戏CdCdCd。在玩家i进行控制后，她的脸上的Fi和Fi+n会移动。这里i=1，N=3。对于共享游戏CCC，如图3c所示，在一个玩家练习她的控制后，与她相关的玩家的脸将移动，而其他玩家的脸保持不变。这里i=2和播放器2和3是连接的。7.2. 游戏和受控排名相关SDE的NEs。在前面的章节中，可控动力学是通过反射布朗运动直接构建的。这类SDE也可以在秩相关SDE的框架中进行转换。事实上，N-player作用区域中NE的受控动力学可以写成受控的秩相关SDE：dXit=NXj=1Fi（XXXt，yyyyy）=F（j）（XXXt，yyyy）δjdt+σjdBjt+dξj，+t- dξj，-t型, dYjt=-NXi=1aijYjs-PMk=1aikYks-dˇξ是，带（ξi，+，ξi，-) 控制装置，Fi:RN×RM+→ R一个秩函数，取决于XXX和YYY，F（1）≤ · · · ≤ F（N）（Fi）1的顺序统计量≤我≤N、 和δi∈ R、 σi≥ 0.在游戏CpCpCp中，行动区域中的受控动态通过FiCp（xxx，yyy）=xi满足SDE-Pj6=ixjN-对于每个i=1，···N，δi=0和σi=0；对于每个i=1，···N，ξi，±=0- 1和ξN，±6=0。游戏中的CdCdCd、FiCd（xxx、yyy）=xi-Pj6=ixjN-1.- f-1N（彝语）.

对于一般游戏CCC，行动区域中的受控过程由等级相关动力学控制，FiC（xxx，yyy）=| xi-Pj6=ixjN-1.- f-1N（PMj=1aijyj）| fNa阈值函数定义在（4.14）-（4.16）中，δi，σi和ξi，±满足与之前相同的条件。注意，没有控制的特殊情况，即Fi（xxx，yyy）=xindξi，±=0，对应于秩依赖des。特别是，δ=1、δ=···δN=0的秩相关SDE称为Atlas模型。据我们所知，30 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu之前没有研究过具有额外控制或一般秩函数Fi的秩相关SDE。还有许多方面，包括唯一性和样本路径属性，有待进一步研究，我们将其留给感兴趣的读者。参考文献[1]D.Aldous。”《顺流而下》游戏故事。2002年。可在http://www.stat.berkeley.edu/奥尔德斯/研究/行动/河流。pdf。[2] L.Alvarez和L.Shepp。随机波动种群的最优收获。《数学白化病杂志》，37（2）：155–1771998年。[3] 阿诺德。随机微分方程。1974年，纽约。[4] R.Atar和A.Budhiraja。无界域上具有状态约束的奇异控制。《概率年鉴》，34（5）：1864-19092006。[5] A.Banner、R.Fernholz和I.Karatzas。Atlas股票市场模型。《应用概率年鉴》，15（4）：2296–23302005。[6] M.Basei、H.Cao和X.Guo。具有脉冲控制的非零和随机对策。arXiv预印本arXiv:1901.0808512019。[7] J.Bather和H.Cherno Off。控制太空船的顺序决策（有限燃料）。《应用概率杂志》，4（3）：584–6041967。[8] V.Beneˇs、L.Shepp和H.Witsenhausen。一些可解的随机控制问题。《随机：概率与随机过程国际杂志》，4（1）：39–831980。[9] A.Budhiraja和K.Ross。

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