一类随机对策与移动自由边界问题

请注意，分母始终不小于被积函数的数值，因为被积函数符合约定=0。以N=4，M=6为例，矩阵AAA如图1所示。资源分配策略如图1b所示，可用资源量和类型1和类型2的Yo分别为。当玩家想要控制数量时, 说 ≤ y+y，她将随机使用类型1和类型2中的资源。所以一号玩家将yy+Y来自资源1和yy+Y来自资源二。最后，条件P(ξitξkt6=0）=所有t的0≥ 0和i 6=k排除了N个玩家中任意两个同时跳转的可能性，这有助于在控件涉及跳转时设计可行的控制策略。此条件不是限制，而是应解释为正则化。另见【6、20、30】。当有多个玩家想同时跳转时，可以简单地设计一个适当的顺序，例如通过索引玩家和他们的跳转顺序，以便他们按顺序移动。AAA级=1, 1, 0, 0, 0, 00, 0, 1, 0, 1, 00, 0, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 1, 0, 0（a） 关系。（b） 资源分配策略。图1：。相邻矩阵AAA的示例，当N=4且M=6时，参与者和资源之间的关系。博弈公式和博弈准则。让ξξ：=（ξ，···，ξN）作为玩家的控制。设xxx：=（x，···，xN）和yyy：=（y，··，yM）。然后，随机博弈是每个参与者i最小化ji（xxx，yyy；ξξξ）：=EZ∞e-αthi（XXXt）dt，（2.8）受（2.3）和（2.7）中的动力学约束，并受（2.6）中的约束。有两种特别有趣的游戏。一种是所有玩家集中资源的游戏，这样Nxi=1ˇξi∞≤ y<∞. （2.9）当N=1时，这是一个单人游戏，对应于【8，26】中充分研究的有限燃料控制问题。

我们将此游戏称为池游戏CpCpCp。很明显，就相邻矩阵AAA而言，这对应于M=1，AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1。另一种是一种游戏，玩家在前面分配资源，以便ξi∞≤ yi，（2.10），其中yi是我可以练习的球员控制的总量。这个游戏叫做CdCdCd，M=N，AAA=INININ。最后，我们将具有一般矩阵AAA的游戏称为游戏CCC。我们将在NE准则下分析N人博弈。回想一下N-playergames中NE的定义。6 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu定义2.1。容许控制的元组ξξξ*:= (ξ1*, · · · ξN*) 是N人对策（2.8）的NE，如果对于每个ξi∈ u使（ξξ）-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyy），Ji（xxx，yyy；ξξξ*) ≤ 冀xxx，yyy；ξξξ-我*, ξi,式中ξξ-我*= (ξ1*, · · · , ξi-1.*, ξi+1*, · · · , ξN*) 和（ξξ）-我*, ξi）=（ξ1*, · · · , ξi-1.*, ξi，ξi+1*, · · · , ξN*). 给出NEs的控制称为纳什均衡点（NEP）。关联值函数ji（xxx，yyy；ξξξ*) （i=1，2，···，N）被称为玩家i.3的游戏值。NE对策解：验证定理和Skorokhod问题在本节中，我们提出了获得NE解的一般策略。首先，我们试探性地推导出值函数的拟变分不等式（QVIs）（第3.1节），然后通过验证定理（第3.2节）将其用于推导NEP的有效条件。我们强调，第3.1节中的QVIS和第3.2节中的验证定理都适用于（2.3）中给出的一般微分过程。为了明确起见，我们进一步假设h1。bi=0，i=1，2，···，N，σ∑σ=IIIN。此外，我们假设hi（xxx）：=hxi-PNj=1xjN, 这样h2。

h是对称的，h（0）≥ 0，his在R+和k上不增加≤ h类≤ 对于某些0<K<K，这些附加条件仅用于促进NEP的施工，以及解决第3.3节中提出的相应Skorokhod问题。假设h2下h的一个基本示例是二次函数h（x）=ax+b，其中a∈ [k，k]和b≥ 我们的假设也适用于更一般的函数类。取h为偶数函数，如h=f，其中f为偶数函数，在R+上不增加，在k和k之间有界。有许多这样的函数f。一个特殊的例子是f=A（常数），它将给出h（x）=ax+b（二次函数）。另一个可能的例子是f=b+c exp(-dx），c>0，d>0。在最初的有限燃料问题[8]中，作者处理了二次成本h（x）=x。后来Karatzas[26]注意到，结果可以扩展到满足假设H2.3.1的任何成本函数。拟变分不等式。我们首先根据游戏（2.8）的NE概念（见定义2.1），启发式推导出游戏价值的相关QVIs。关键思想是利用定义2.1中引入的条件最优条件。也就是说，player i用最优解ξi解单agent最优控制问题*当其他药剂应用ξξξ时-我*. 首先，我们定义RN×RM+的以下分区。表示Ai RN×RM+作为ithplayer的行动区域，Wi：=（RN×RM+）\\A作为她的等待区域。让A-i： =∪j6=iAjand W-i： =∩j6=iWj。然后，玩家的操作如下：玩家i控制当且仅当进程（XXXt，YYYYT）进入Ai时。这种划分通常通过拟变分不等式来定义，也是要导出的解的一部分。接下来，为（xxx，yyy）定义中间运算符ΓasΓjvi（xxx，yyy）=MXk=1ajkykPMs=1ajsysvik（xxx，yyyy），（3.1）∈ RN×RM+和i，j=1，2，···，N。

此处viyk：=不及物动词yk（i=1，2，···，N，k=1，2，··，M）。假设玩家j采取了可能次优的行动ξj，+>0，然后根据资源分配策略（2.7），对于参与者i，vi（xxx，yyy）≤ vixxx-j、 xj+ξj，+，yyy-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkyk！ξj，+！。（3.2）通过出租ξj+→ 0，我们有0≤ -Γjvi（xxx，yyy）+vixj（xxx，yyy）。（3.3）有限燃料博弈7接下来，我们提供了推导QVIs的启发式方法。允许ξi：=ξi（xxx，yyy）是具有联合状态位置（xxx，yyy）的球员i的控制权。时间（xxx，yyy）∈ W-i、 我们有ξj=0表示j 6=i。因此，玩家i的博弈成为一个经典的控制问题，有三种选择：ξi=0，ξi，+>0，和ξi，-> 0、第一种情况ξi=0意味着，通过简单的随机演算，-αvi+hi（xxx）+Lvi≥ 通过与（3.3）中类似的参数，第二种情况ξi，+>0对应于-Γivi+vixi≥ 0和第三种情况ξi，-> 0对应于-Γivi- vixi公司≥ 因为三个选择中的一个是最优的，所以它们的一个特性就是一个等式。也就是说，对于（xxx，yyy）∈ W-i、 最小值-αvi+hi（xxx）+Lvi，-Γivi+vixi，-Γivi- vixi公司= 0。（3.4）何时（xxx，yyy）∈ Aj，玩家j将控制，控制量为(ξj，+，ξj，-) 6= 0. 因此，vj（xxx，yyy）≤ vjxxx-j、 xj+ξj，+，yyy-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkyk！ξj，+！，（3.5）vj（xxx，yyy）≤ vjxxx-j、 xj公司- ξj，-,yyy年-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkyk！ξj，-!, （3.6）和（3.5）-（3.6）中的一个不等式为等式。这会导致以下情况-Γjvj+VJVXJ，-Γjvj- vjxjo=0。（3.7）对于参与者i 6=j，我们应该有vi（xxx，yyy）=vixxx个-j、 xj+ξj，+，yyy-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkykξj+什么时候ξj，+>0是玩家j的最佳选择，vi（xxx，yyy）=vixxx个-j、 xj公司- ξj，-,yyy年-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkykξj，-什么时候ξj，-> 0是球员j的最佳选择。由于“无同步跳跃”条件（2.6），这一点保持不变。

直觉上，这意味着当球员j跳起时，球员i没有跳起的动机。因此(-Γjvi+vixj=0，在{（xxx，yyy）上∈ RN×RM+- ΓVvj+vjxj=0}，-Γjvi- vixj=0，在{（xxx，yyy）上∈ RN×RM+- Γjvj- vjxj=0}。（3.8）注意：ξi，±→ 0，方程（3.4）、（3.7）和（3.8）描述了Wiand nearboundary中的行为Wi。此外，我们可以证明（3.4）、（3.7）和（3.8）与Ai中的跳跃行为是一致的。要看到这一点，-PMj=1aijyjPMk=1aikykviyj±vixi=0具有线性解决方案vi（xxx，yyy）=a±xi+PMj=1aijyj+b对于一些a，b∈ R、 很容易检查ifPMk=1aikyk≥  > 0，aijyj-aijyjPMk=1aikykPMk=1aikyk- =aijyjPMk=1aikyk，这意味着等待区域外的分配策略（跳跃方向）是线性的。因此，非微小跳跃也满足Ai中的HJB方程（3.4）。一致性属性也适用于（3.8）。总之，我们有以下QVIs:min-αvi+hi（xxx）+Lvi，-Γivi+vixi，-Γivi- vixi公司= 0，打开∩j6=客栈-Γjvj+VJVXJ>0度∩n-Γjvj- vjxj>0oo，（3.9a）- Γjvi+vixj=0，开{-Γjvj+vjxj=0}，（3.9b）- Γjvi- vixj=0，打开{-Γjvj- vjxj=0}。（3.9c）上述条件与每个玩家的NE条件最优性一致，并描述了控制玩家与非控制玩家之间的相互作用；这些条件确保所有选手8辛果、汤文彬和徐仁远以最佳方式控制并按顺序推动基本动力，直到到达共同等待区。3.2. 验证定理。接下来，我们提出了一个验证定理，该定理给出了NEP的充分条件。给定函数vi（具有充分的规律性），我们根据vi（i=1，2，····，N）定义动作和等待区域（Aiand Wi），如下所示：Ai=A+i∪ A.-i、 （3.10）式中，A+i：={（xxx，yyy）∈ RN×RM+|- Γivi- vixi=0}和A-i： ={（xxx，yyy）∈ RN×RM+|- Γivi+vixi=0}。此外，Wi=（RN×RM+）\\a和W-i=∩j6=iWj。定理3.1（验证定理）。

假设H1-H2保持，进一步假设Aj∩ Ai= 对于alli 6=j，其中Ai、WI和W-i根据（3.10）定义。对于每个i=1，···，N，假设it层的策略ξi*∈ u满足以下条件（i）ξξξ*:= (ξ1*, · · · , ξN*) ∈ 序号（xxx，yyy）。（ii）vi（·）满足QVIs（3.9）。（iii）对于任何ξi∈ u使（ξξ）-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyy），P（（xxx-我*t、 Xit，YYYYT）∈ W-i） =1表示所有t≥ 0，其中（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）以下-我*, ξi）。（四）六（xxx，yyy）∈ C（W-i） viis凸（xxx，yyy）∈ W-i、 （v）EhRTe-2αtvixj（XXX-我*t、 Xit，YYYYT）dti<∞ 对于所有T>0，其中（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）以下-我*, ξi）∈序号（xxx，yyyy），以便（iii）保持不变。（vi）对于任何（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）下-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyyy），以便（iii）保持，vi（xxx，yyy）满足通用性条件→∞e-αTE不及物动词XXX个-我*t、 Xit，YYYYT= 0.（3.11）（vii）对于j 6=i，t≥ 0和（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）下-我*, ξi），ˋξj*t=Z[0，t]{（XXX-我*s-,Xis公司-,YYYY年-)∈Aj}dˇξj*s、 （3.12）此外，对于（XXX*t、 YYY年*t） ξξ以下*,ˇξi*t=Z[0，t]{（XXX-我*s-,YYY年*s-)∈Ai}dˇξi*s、 （3.13）然后ξξξ*是通过（3.9）的解具有值函数的NEP。即vi（xxx，yyy）≤ Ji（xxx，yyy；（ξξξ）-我*, ξi）），对于所有ξ∈ u使（ξξ）-我*, ξi）∈ SN和vi（xxx，yyy；ξξξ*) = Ji（xxx，yyy；（ξξξ）-我*, ξi*)).证据必须证明，对于所有（ξξξ-我*, ξi）∈ SN（xxx，yyy），对于每个i=1，···，N，Ji（xxx，yyy；ξξξ*) ≤ Ji（xxx，yyy；（ξξξ）-我*, ξi））。有限燃料游戏9召回（2.1）和（2.7）。来自条件（iii），受控（ξξξ-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyy），（xxx-我*t、 Xit，YYYYT）∈ W-ia。s

将It^o-Meyer公式【38，定理21】应用于e-αtvi（XXX-我*t、 Xit，yyyy）产量-αTvi（XXX-我*T、 XiT，yyyy）]- vi（xxx，yyy）=EZTe-αtLvi公司- αvidt+EZTe-αtNXj=1vixjdBjt+NXj=1，j6=iEZ[0，T）e-αt（vixjdξj*,+t型- vixjdξj*,-t）-NXj=1，j6=iEZ[0，T）e-αtΓjvi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξj*,+t+dξj*,-t型+ EZ[0，T）e-αt（vixidξi，+t- vixidξi，-t）- EZ[0，T）e-αtΓivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，+t+dξi，-t型+ EX0≤t<Te-αt不及物动词-NXj=1vixjXjt公司-MXk=1viykYkt公司,其中，IandJare在（3.1）中有定义。在这里vi：=vi（XXX-我*t、 Xit，YYYYT）- 六（XXX）-我*t型-, 退出-,YYYYT-), vixj：=vixj（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-), viyk：=viyk（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-), Xj公司*t： =Xj*t型- Xj公司*t型-, Xit：=Xit- 退出-, 和Ykt：=Ykt-Ykt公司-关于上述方程1的RHS≤ i、 j≤ N和1≤ k≤ M根据[3，定理3.2.1]，条件（v）意味着it^o积分-αtPNj=1vixjdBjtis是鞅。因此EhRTe-αtPNj=1vixjdBjti=0。（iv）中的凸性条件意味着EP0≤t<Te-αt(不及物动词-PNk6=ivixkXk公司*t型-vixi公司退出-PMj=1viyjYjt）≥接下来是EZ[0，T）e-αt（vixidξi，+t- vixidξi，-t）- EZ[0，T）e-αtΓivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，+t+dξi，-t型= EZ[0，T）e-αtvixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，+t+EZ[0，t）e-αt-vixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，-t型≥ 由于条件（ii）和（iv），最后一个不等式成立。更准确地说，vi（xxx）满足了W中的HJB方程（3.9a）-i、 与（iv）一起，我们有以下概率1，vixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) ≥ 0,-vixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) ≥ 对于每个j 6=i，几乎可以肯定，我们有dξj*t6=0仅当（XXXt，YYYYT）∈ W-我∩ Aj。

以及条件（ii）和（3.9b）-（3.9c），EZ[0，T）e-αt（vixj（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξj*,+t型- vixj（XXX-我*t型-, 退出-,yyyy）dξj*,-t）-EZ[0，T）e-αtΓjvi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT）dξj*,+t+dξj*,-t型= EZ[0，T）e-αtvixj公司- Γjvi（XXX）-我*t型-, 退出-,yyyy）dξj*,+t型+-vixj公司- Γjvi（XXX）-我*t型-, 退出-,yyyy）dξj*,-t=0。条件（ii）也意味着Lvi- αvi≥ -h、 综合以上所有因素，e-αTEvi（XXX-我*T、 XiT，YYYYT）+EZTe-αthXXX个-我*t、 退出dt公司≥ 六（xxx，yyy）。（3.14）让T→ ∞, 不等式（3.14）和条件（vi）导致理想的不等式。10 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu（3.14）中的等式适用于ξi=ξi*由（3.13）和P（XXX）*t、 YYY年*t）∈ ∩Ni=1Wi= 所有t均为1≥ 0和容许集合（2.6）中的“无同时跳跃”条件，其中（XXX*t、 YYY年*t） 是ξξ下的动力学*. 假设给出了满足验证定理（定理3.1）的博弈值vi（i=1，2，···，N），下一步是构建相应的NE策略。这是通过解决一个Skorokhodproblem，将在下一小节中讨论。3.3. 斯科罗霍德问题。在这里，我们提出了在附加假设H1-H2下构建NE策略的必要工具。由于Kang和Williams[25]，分析的关键是在一般域中弱构造反射布朗运动。为了更进一步，我们需要一些词汇表。设G=∩我∈IGibe是Rn+m中的一个非空域，其中I是一个非空的索引集，对于每个I∈ 一、 gi是Rn+m中的一个非空域。为简单起见，我们假设I={1，2，···，I}，其中···=I。对于每个I∈ 一、 设nnni:Rn+m→ Rn+mbe单位法向量字段Git指向Gi。表示rrri（·）：Rn+m→ Rn+mas反射方向开启Gi。固定bbb∈ Rnandσσ∈ Rn×Nas无反射扩散过程的常数漂移和协方差。

设ν表示（G，B（G））上的概率测度，其中B（G）是G上的Borelσ-代数。Skorokhod问题是在G中发现一个反射的扩散过程，使得初始分布遵循ν，扩散参数为（bbb，σσσ），且反射方向为沿面Gi。对于每个垂直方向，rrri（i∈ 一） ，表示rrr+I：=（ri，1，···，ri，n）作为rrrian的前n个分量的向量，表示rrr-i： =（ri，n+1，···，ri，n+m）作为rrri的下m个分量的向量。请注意，R-i、 k=ri，k+nb，按照通常的索引规则（k=1，···，m）。针对随机博弈，以下定义是对[25，定义2.1]的直接修改。定义3.2。与数据（G，bbb，σσσσ，{rrri}Ii=1，ν）相关的约束半鞅反射布朗运动（SRBM）是一个{Ft}适应的n维过程XXX定义在一些过滤概率空间上(Ohm, F、 {Ft}，P）这样：（i）P-a.s.，XXXt=WWWt+Pi∈IR[0，t）rrr+i（XXXs，YYYs）dηIs适用于所有t≥ 0，（ii）在P下，wwwt是一个具有漂移向量bbb、协方差矩阵σσ和初始分布ν的n维Ft-Brownian运动，（iii）dYjt=Pi∈IR[0，t）rrr-i、 j（XXXt，YYYYT）dηItan和Yjt≥ 0表示j=1，2，···，m，（iv）表示每个i∈ 一、 ηiis一个一维过程，使得P-a.s.，（a）ηiis连续且不递减，ηI=0，（b）ηit=R（0，t）{（XXXs，YYYs）∈Gi公司∩G} dηIs适用于所有t≥ 0，（v）P-a.s.，（XXXt，YYYYT）具有连续路径和（XXXt，YYYYT）∈ G代表所有t≥ 0，这里xxx是受控的扩散过程，yyy是资源水平。域G限制XXXT和YYYYT的动态。对于每个（xxx，yyy）∈ Rn+m，设I（xxx，yyy）={I∈ 一：（xxx，yyy）∈ Gi}。让U（S） 表示闭集{（xxx，yyy）∈ Rn+m：距离（（xxx，yyy），S）≤ } 对于任何 > 0和S Rn+m.如果S=, 设置U（S） = 对于任何 > 我们列出了以下关于域G和反射方向{rrri，i的假设∈ 一} ：A1。

G是Rn+msuch thatG=∩我∈IGi，（3.15）其中每个i∈ 一、 gi是Rn+m中的非空域，Gi6=Rm+nand边界Giis C.A2。对于每个 ∈ （0，1）存在R() > 0，这样对于每个i∈ 一、 （xxx，yyy）∈ Gi公司∩ G和（xxx，yyy）∈G满足k（xxx，yyy）- （xxx，yyy）k<R(), 我们有nnni（xxx，yyy），（xxx，yyy）- （xxx，yyy）≥ -k（xxx，yyy）- （xxx，yyy）k.有限燃料游戏11A3。函数D：[0，∞) → [0, ∞] D（0）=0和D() = supI公司∈一、 I6=sup{dist（（xxx，yyy），∩我∈我(Gi公司∩ G） ）：（xxx，yyy）∈ ∩我∈国际单位(Gi公司∩ G） }，用于 > 0满意() → 0作为 → 0.A4。存在一个常数L>0，因此对于每个i∈ 一、 rrri（·）是一个从Rn+minto Rn+Mw的统一Lipschitz连续函数，其中Lipschitz常数为L，krrri（xxx，yyyy）k=1（xxx，yyy）∈ Rn+m.A5。有一个常数a∈ （0，1），向量值函数ccc（·）=（c（·），··，cI（·））和ddd（·）=（d（·），··，dI（·））来自G转化为RI+，以便每个（xxx，yyyy）∈ G、 （i）Pi∈I（xxx，yyy）ci（xxx，yyy）=1，貂∈I（xxx，yyy）DPi∈I（xxx，yyy）ci（xxx，yyy）nnni（xxx，yyy），rrrk（xxx，yyy）E≥ a、 （ii）Pi∈I（xxx，yyy）di（xxx，yyy）=1，貂∈I（xxx，yyy）DPi∈I（xxx，yyy）di（xxx，yyy）rrri（xxx，yyy），nnnk（xxx，yyy）E≥ a、 定理3.3。假设A1-A5，存在与数据相关的受限SRBM（G，bbb，σ∑∑，{rrri，i∈ 一} ，ν）。定理3.3的证明很容易改编自【25，定理5.1】，其中我们构造了一个受约束SRBM的近似序列（随机游动），并使用不变性原理建立弱收敛。4、博弈CPCPP的纳什均衡本节分析了博弈CPCPP的NE。第4.1节推导了HJB方程的解。第4.2节从HJB解决方案构建受控流程。第4.3节推导了游戏CPCP的NE。回想一下，在游戏CPCP中，AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1，唯一资源y=y-NXi=1ˇξItan和Y0-= y、 （4.1）4.1。