一类随机对策与移动自由边界问题

求解HJB方程。定义xi：=xi-Pj6=ixjN- 1对于1≤ 我≤ N、 （4.2）是从xit到（xj）j6=i中心的相对位置。对于游戏CpCpCp，如果Ai∩ Aj=, HJB系统简化（HJB Cp）最小值-αvi+hN- 1Nexi公司+NXj=1vixjxj，-viy+vixi，-viy公司- vixi公司= 0，用于（xxx，y）∈ W-我，-viy公司- vixj=0，表示（xxx，y）∈ A+j，j 6=i，-viy+vixj=0，对于（xxx，y）∈ A.-j、 j 6=i。现在我们寻找阈值函数fN:R+→ R如此fn∈ C（R+，R），当x>0时，fN（x）<0，limx↓0fN（x）=∞,存在唯一的x>0，使得fN（x）=0。（4.3）很容易看出，对于满足条件（4.3）的fN（x），z- fN（z）=xi- 当▄xi时，y有一个唯一的正方向≥ f-1N（y），表示为xi+。我们考虑fN（x）到(-∞, 0）通过定义fN（x）=fN(-x） 对于x<0。然后，通过对称性，z+~fN（z）=~xi+y有一个唯一的负根，当▄xi≤ -f-1N（y），表示为xi-. 请参见图2以获取图示。特别是，我们有fN（xi+）≥ 0 wheny≥ x+～xiand～xi≥ 0、类似▄fN（xi-) ≥ y时0保持≥ -x个- 西安xi≤ 0.在引理4.2.12中验证了后面（4.14）和条件（4.3）中构造的这样一个F，XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu，然后指定ithplayer的动作区域A和等待区域WI为asA+i：=E+i∩ Qi，A-i： =E-我∩ Qi，Ai=A+i∪ A.-i、 和Wi：=（RN×R+）\\Ai，（4.4），其中e+i：=（xxx，y）∈ RN×R*+: 进出口银行≥ f-1N（y）, E-一：=（xxx，y）∈ RN×R*+: 进出口银行≤ -f-1N（y）, （4.5）对于E+i，1：=（xxx，y）∈ E+i：y≥ xi+x, E+i，2：=（xxx，y）∈ E+i：y<xi+x, （4.6）E-i、 1：=（xxx，y）∈ E-i： y型≥ -xi- x个, E-i、 2：=（xxx，y）∈ E+i：y<-xi- x个, （4.7）和{Qi}Ni=1 RN×R+的不相交和凸分区，使得Qi∩Qj=（E+i∪E-（一）∩（E+j∪E-j）∩WNEfor i 6=j，∪Ni=1Qi=RN×R+和αppp+（1- α） qqq∈ Qjfor allα∈ [0，1]如果购买力平价∈ Qjand qqq∈ qj对于某些j=1，2，···，N。

条件Qi∩ Qj=（E+i∪ E-（一）∩ （E+j∪ E-j）∩ WNEfor i 6=j意味着玩家i和玩家j不能同时跳转，但可以同时应用连续控制（在公共等待区域的边界上）。我们可以定义以下映射∏（xxx，y）=xxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1., fN（xi+）, if（xxx，y）∈ 气∩ E+i，1，（xxx）-i、 xi- y） ，0, if（xxx，y）∈ 气∩ E+i，2，xxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-), if（xxx，y）∈ 气∩ E-i、 1、，（xxx）-i、 xi+y），0, if（xxx，y）∈ 气∩ E-i、 2。（4.8）映射∏（·）在∪Iasince{Qi}Ni=1不相交。注意，∏（·）将（xxx，y）转换为E+i，1的边界，即。，E+i，1：={（xxx，y）∈ RN×R+：y=fNxi, 0<x≤ x} 时间（xxx，y）∈ 气∩ E+i，1，并将（xxx，y）转换为“零资源”平面{（xxx，y）∈ RN×R+：y=0}当（xxx，y）∈ 气∩ E+i，2，沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1非零第i个和第（N+1）个分量。LetWNE：={（xxx，y）∈ RN+1：| exi |<f-1N（y），y>0，1≤ 我≤ N}∪{（xxx，y）∈ RN×R+：y=0}（4.9）=∩Ni=1E-我∪ E+ic、 是公共非作用区域，并假设分区{Qi}Ni=1满足以下假设：H3-Cp.对于任何（xxx，y）∈ ∪iAi，∏（xxx，y）∈ 拥有。条件H3 C表示如果（xxx，y）∈ Ai，那么在playeri控制之后，动态将在Wneri区域。对于N=2的特殊情况，我们可以取Q={（x，x，y）∈ R×R+| x- x个≥ 0}和Q={（x，x，y）∈ R×R+| x- x> 0}。因此，假设H3 CPI很容易满足。验证推迟到附录B。我们寻求解决方案vi（xxx，y）∈ C（W-i） 如果| exi |<f-N（y），其形式为：vi（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexir2（N- 1） αN！，（4.10）其中Pn（x）：=EZ∞e-αthN- 1Nx+rN- 1NBt！dt，（4.11），其中bt是一维布朗运动。请注意，pN（exi）是-αvi+h（N-1Nexi）+PNj=1vixjxj=0，对应于等待区域，以及coshq2（N-1） αNexi是解决-αvi+PNj=1vixjxj=0。

如果没有资源，则vi（xxx，y）=pN（exi），因此AN（0）=0。下面的引理总结了pN的基本特性，可以通过简单的计算进行验证。因此省略了顶部。有限燃料游戏13引理4.1。在假设H1-H2下，（4.11）满足度中定义的pN（x）：pN（x）≥ 0和pN（x）≤ x为0≥ 0; pN（x）=pN(-x） andkα≤ pN（x）≤x的Kα∈ R、 （4.12）平滑原则指出，沿延拓setW和-i和动作集Ai，vi在超平面上具有一定的正则性。现在应用平滑原理，我们得到vixixi=viyy=-vixiyat边界y=fN（exi），exi>0。这取决于vixi+viy=0，我们期望vi∈ C（W-i） 。为了看到这一点，我们对形式（4.10）进行了两次区分，边界y=fN（exi）处的条件vixi+viy=0和vixixi+vixiy=0导致AN（fN（x））=-pN（x）coshxr2（N- 1） αN！+pN（x）sN2（N- 1） αsinhxr2（N- 1） αN！x=f-1N（y），AN（fN（x））=pN（x）sN2（N- 1） αsinhxr2（N- 1） αN！- pN（x）N2（N- 1） αcoshxr2（N- 1） αN！x=f-1N（y）。（4.13）因此，fN（x）=pN（x）-N2（N-1） αpN（x）pN（x）qN2（N-1） αtanhxq2（N-1） αN- pN（x），（4.14）andAN（y）=pN（x）sN2（N- 1） αsinhxr2（N- 1） αN！-pN（x）N2（N- 1） αcoshxr2（N- 1） αN！x=f-1N（y）。（4.15）引理4.2。根据假设H1-H2，（4.14）中定义的满足条件（4.3）。此外，曲线y=fN（x）在x处与{x>0}相交，AN（fN（x））=0，xis是r2（N）的唯一正函数- 1） αNtanhzr2（N- 1） αN=pN（z）pN（z）。（4.16）证明。首先，我们证明了fn在R+上是递减的。回想fNfrom（4.14）的表达式，我们声称当z≥ 0和limz↓0fN（z）=-∞. 要看到这一点，pN（z）-N2（N-1） αpN（z）≥ 0 forz≥ 引理4.1中的0。表示q（z）=pN（z）qN2（N-1） αtanhzq2（N-1） αN- pN（z）。很容易看出q（0）=0。此外，q（z）=pN（z）qN2（N-1） αtanhzq2（N-1） αN+ pN（z）coshzq2（N-1） αN- pN（z）<0表示z>0，q（z）=0表示z=0。

这是因为pN（z）≤ 0（z≥ 0）引理4.1，cosh（z）≥ 1（z≥ 当且仅当z=0时，cosh（z）=1。设s（x）=pN（x）-N2（N-1） αpN（x）。所以fN（x）=s（x）/q（x）。很明显，对于x>0，fN（x）<0（因为s（x）>0和q（x）<0）。现在我们把s（x）和q（x）的渐近性看作x→ 0+. 通过泰勒展开，q（x）=pN（0）sN2（N- 1） αxr2（N- 1） αN+o（x）- pN（0）x+o（x）=o（x）。由于pN（x）<0，对于x>0，我们有s（x）≥ pN（x）=pN（0）x+o（x）。因此，fN（x）=s（x）/q（x）→ -∞作为x→ 0+. 这意味着fN（x）→ ∞ 作为x→ 0+. 类似地，z+~fN（z）=exi+y自fN起有一个单负根(-x） =fN（x）。14辛国、汤文品和徐仁元证明了（4.16）的唯一正根。定义r（z）=pN（z）pN（z），其中pN（x）在（4.11）中定义。注意，r（0）=pN（0）pN（0）=ER∞e-αthqN公司-1 NBTdt公司ER∞e-αthqN公司-1 NBTdt公司. 假设H2，pN（0）=0，kα<pN（0）<kα，r（z）=pN（z）pN（z）-（pN（z））（pN（z））。除了引理4.1，我们还有r（0）=∞ 和r（z）≤ 0.此外，由于k≤ h类≤ K和h≥ 对于某些常数c，我们有limx→∞r（x）=0。此外，定义（x）=q2（N-1） αNtanhxq2（N-1） αN, 然后很容易检查f（0）=0，对于x，f（x）>0≥ 0，andlimx→∞f（x）=q2（N-1） 因此，f（x）=r（x）具有唯一的正解。4.2. 受控动力学。

给定候选对策值（HJB Cp），我们通过证明具有无界域的Skorokhod问题的弱解（XXXt，Yt）的存在性，推导出相应的NEP，其中域的边界取决于扩散项XXXt和退化项YYYYT。回想一下（4.9）中定义的区域wne，并注意到wne在RN+1中是无界的，有2N个边界。对于i=1，2，···，N，定义WNEasFi={（xxx，y）的2N个面∈ WNE |（xxx，y）∈ E+i}，Fi+N={（xxx，y）∈ WNE |（xxx，y）∈ E-i} 。然后，每个面的法线方向由（i=1，2，···，N）nnni=ci给出-N- 1, · · · , -N- 1, 1, -N- 1, · · · , -N- 1，（f）-1N）（y）,nnni+N=ci+NN- 1，···，N- 1.-1，N- 1，···，N- 1，（f）-1N）（y）,ITH组件为±1。ci，cN+i规范化常数，使knnik=knnnN+ik=1。表示每个面上的反射方向asrrri=ci（0，····，-1, · · · , 0, -1） ，rrrN+i=cN+i（0，···，1，···，0，-1） ，ITH分量为±1。ci，cN+i规范化常数，使krrrik=krrrN+ik=1。雀巢战略定义如下。案例1：（XXX0）-, Y0-) = （xxx，y）∈ 拥有。可以检查（4.9）中定义的wne和{rrri}2Ni=1de上述满足假设A1-A5。（A1-A5的可满足性见附录A）。根据OREM 3.3，Skorokhod问题的数据解决方案较弱WNE，{rrri}2Ni=1，bbb，σσ，xxx∈ WNE公司.案例2：（XXX0）-, Y0-) = （xxx，y）/∈ WNE，也就是说，存在我∈ {1，···，N}这样（XXX0-, Y0-) ∈ 人工智能。（1） If（xxx，y）∈ A+i∩E+i，1，然后xi≥ f-1N（y）和y≥ ~xi+x。在这种情况下，玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi++Pk6=ixkN-1在时间0，其中xi+是唯一的正根，因此z-fN（z）=xi- y、 这将减少Y0的初始资源-= y到y=fN（xi+）≥ 0.fN（xi+）≥ 0保留至今≥ x+~xiwhen（xxx，y）∈ E+i，1。

其他玩家的动态保持不变，即Xj0-= Xj=xjforj 6=i和1≤ j≤ N假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=xxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi+, fN（xi+）=∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。（2） If（xxx，y）∈ A+i∩ E+i，2，然后xi≥ f-1N（y）和y<xi+x。在这种情况下，playeri将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi- y和初始资源Y0-= 在时间0时，y减小到y=0。其他玩家的动态保持不变，即Xj=Xj0-= xjj表示j 6=i和1≤ j≤ N、 假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=（xxx）-i、 xi- y） ，0= ∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。（3） 类似地，如果（xxx，y）∈ A.-我∩ E-i、 1，然后▄xi≤ -f-1N（y）和y≥ -xi- x、 玩家我将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-+Pk6=ixkN-1时间0，其中xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=~xi+y和Y0-= y现在是y=~fN（xi-) ≥ 其他玩家的动态有限燃料游戏15图2。初始控制演示（XXX0-, Y0-) = （xxx，y）/∈ 拥有。保持不变，即Xj=Xj0-= 对于j 6=i和1，xj≤ j≤ N、 假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=xxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)= ∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。（4） 如果（xxx，y）∈ A.-我∩ E-i、 2，然后▄xi≤ -f-1N（y）和y<-xi- x、 在这种情况下，玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi+y，这将改变Y0-= 在时间0时，y到y=0。其他玩家的动态仍在改变，即Xj0-= 对于j 6=i和1，Xj=Xj≤ j≤ N、 假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=xxx个-i、 xi+y, 0= ∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。4.3. N人游戏的NE。结合第4.1节和第4.2节中的结果，并基于第3节中开发的验证定理，我们得到了N-playergame（2.8）和约束（4.1）的以下NE定理。定理4.3（N人游戏CpCpCp的NE）。假设H1-H2和H3-Cp。

定义ui∈ RN×R+→R byui（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN如果| | xi |≤ f-1N（y），y=0，uixxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1., fN（xi+）if（xxx，y）∈ E+i，1，ui（xxx）-i、 xi- y） ，0if（xxx，y）∈ E+i，2，uixxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)if（xxx，y）∈ E-i、 1，ui（xxx）-i、 xi+y），0if（xxx，y）∈ E-i、 2、（4.17）和定义六：RN×R+→ R asvi（xxx，y）=ui（xxx，y）if（xxx，y）∈ W-i、 六xxx个-j、 xj++Pk6=jxkN-1，fN（xj+）if（xxx，y）∈ A+j∩ E+j，1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj公司- y、 0个if（xxx，y）∈ A+j∩ E+j，2对于j 6=i，vixxx个-j、 Pk6=jxkN-1+xj-,fN（xj-)if（xxx，y）∈ A.-j∩ E-j、 1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj+y，0if（xxx，y）∈ A.-j∩ E-j、 2对于j 6=i，（4.18），其中oa和wi在（4.4）中给出，E±i、1和E±i，2在（4.6）-（4.7）中给出，fN（·）由（4.14）-（4.16）定义，且fN（x）=fN(-x） 对于x<0.16的XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XU，Exis定义为（4.2），AN（·）定义为（4.15）xi+是z的唯一正根- fN（z）=exi- y时xi≥ f-1N（y）和xi-是z+~fN（z）=exi+y的唯一负根，当▄xi<-f-1N（y）。那么Vi是与NEPξξξ相关的对策值*= (ξ1*, · · · , ξN*). 即vi（xxx，y）=JiCp（xxx，y；ξξξ*).此外，受控过程（XXX*, Y*) ξξ以下*见第4.2节。证据首先，ui（xxx，y）∈ 构造的C（RN×R+）：y=0附近的Cregularity源自（4.15），而f-1N（y）→ xas y公司→ 0和AN（fN（x））=0。要看到z- fN（z）=exi- y有一个唯一的正根，这有助于证明fn在R+上递减。这一事实如Lemma4.2所示。现在让我们检查定理3.1中的条件（i）-（vii）。（i） 根据第4.2节的分析，当（xxx，y）∈ 恩，NE策略是案例2中规定的Korokhod问题的解决方案，这是一个连续的过程。时间（xxx，y）/∈ 情况1中规定的初始推力满足“无同步跳跃”条件。

注意：当燃油用完时，dynamics XXXT将变得不受控制，并在不受控制的情况下自由移动。（ii）现在我们检查验证定理中的条件（ii），即（4.18）中定义的满足Qvi（3.9）的条件。它包括以下三个步骤。其思想是应用隐函数定理，计算遵循[8，p.58]中的引理。第1步是验证（4.18）中规定的满意度-αvi+hN- 1Nxi+NXj=1vixjxj≥ 0（4.19）（xxx，y）∈ W-对于（xxx，y）不等式是严格的∈ A和平等在W中保持。因为pN（~ xi）是-αvi+hN-1Nxi+PNj=1vixjxj=0和coshq2（N-1） αNxi是解决-αvi+PNj=1vixjxj=0，pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN满意度-αvi+hN-1Nxi+PNj=1vixjxj=0。因此（4.19）适用于（xxx，y）∈ 平等拥有。用www表示ppp=（www，z）∈ RNand z∈ R+。购买力平价时∈ A+i∩ E+i，1，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-i、 wi++Pk6=iwkN-1，fN（wi+）= π（ppp）将ppp转换为E+i的边界，即。，E+i：={（xxx，y）| y=f-1Nxi} 沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1，除第i个和第（N+1）个分量为-请注意，当ppp=（www，z）时∈ E+i，1，我们有z≥ wi+X和fN（wi+）≥ 0。（见图2）。根据隐函数定理，vixixi（ppp）=vixixi（qqq）+fN（wi+）vixiy（qqq）1-fN（wi+）=vixixi（qqq），自vixixi=-vixiyon y=fN（▄xi）。为了更清楚地看到这一点，请用www表示ppp:=（www，z）∈ R和y∈ R+这样的PPP∈ 艾岛∩ E+i，1。并表示qqq：=（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） 这样z- θ=fN（￠wi- θ). 通过对vi的定义，我们得到vi（ppp）=vi（qqq）。取z的导数- θ=fN（￠wi- θ） 关于wileads to-θwi=fN（▄wi- θ)1.-θwi公司, 因此θwi=-fN（▄wi-θ)1-fN（▄wi-θ).

Thenvixi（购买力平价）=不及物动词wi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)=1.-θwi公司vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ) - viy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwi公司=1.-θwi公司vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） +vixi（www-i、 wi公司- θ、 y型- θ)θwi=vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ).有限燃料博弈17最后第二个等式成立，因为Wi上的vixi+viy=0∩ A+i.同样，vixixi（购买力平价）=七wi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)=1.-θxivixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ) - vixiy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwi公司=1.-θwi公司vixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） +vixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θxi=vixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ). （4.20）第二个方程成立，因为Wi上的vixixi+vixiy=0∩ 类似地，对于j 6=i，我们有vixjxj（ppp）=vixjxj（qqq）。为了证明这一点，取z的导数- θ=fN（￠wi- θ） 关于wjj，对于j 6=i和j≤ N、 我们有-θwj=fN（￠wi）- θ)-N-1.-θwi公司,因此θwj=N-1fN（▄wi-θ)1-fN（▄wj-θ). 因此，vixj（购买力平价）=不及物动词wj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)= -vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj公司- viy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj+vixj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） =vixj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ).最后一个等式成立，因为Wi上的vixi+viy=0∩ A+i.同样，我们有VIXJXJ（购买力平价）=vixj公司wj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)= -vixixj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj公司- vixjy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj+vixjxj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） =vixjxj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） =vixjxj（qqq）。第二个方程成立，因为Wi上的vixixj+vixjy=0∩ 因此，当ppp=（www，z）时∈ A+i∩ E+i，1，-αvi（ppp）+hN- 1Npi+NXj=1vixjxj（购买力平价）=- αvi（qqq）+hN- 1N~qi+NXj=1vixjxj（qqq）+ h类N- 1Npi- h类N- 1Nqi> -αvi（qqq）+hN- 1Nqi+NXj=1vixjxj（qqq），其中qi=qi-PNj=1，j6=iqjN-1和▄pi=pi-PNj=1，j6=ipjN-1=▄wi。最后一个不等式成立，因为▄pi>▄qi>0，h是凸的，且对称于0。现在是qqq∈ E+i，我们有-αvi（qqq）+hN-1Nqi+PNj=1vixjxj（qqq）=0。

因此-αvi+hN-1Nxi+PNj=1vixjxj≥ ppp为0：=（www，z）∈ Wi公司∩E+i，1。购买力平价时：=（www，z）∈ A+i∩ E+i，2，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-i、 wi公司- z、 0个= π（ppp）将ppp转换为{（xxx，y）∈ RN×R+| y=0}沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。在这种情况下，vi（ppp）=pN（ewi- z） +安（0）cosh（ewi- z） q2（N-1） αN根据定义。Hence18 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XU-αvi（ppp）+hN-1Npi+通过直接计算，PNj=1vixjxj（ppp）=0。购买力平价也有类似分析：=（www，z）∈ A.-i、 第二步是展示Vixi+viy≤ 0，和- vixi+viy≤ 0，用于（xxx，y）∈ W-i、 和（4.21）（vixi+viy=0，对于（xxx，y）∈ A+i-vixi+viy=0，对于（xxx，y）∈ A.-i、 （4.22）让我们首先检查一下（4.22）。购买力平价时：=（www，z）∈ A+i∩E+i，1，表示qqq：=wwwi，wi++Pk6=iwkN-1，fN（wi+）=π（ppp），将ppp转换为E+i的边界，即。，E+i：={（xxx，y）| y=fNxi} 沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。然后根据（4.18）的定义，vi（ppp）=vi（qqq）=ui（qqq），vixi（ppp）=1-fN（wi+）vixi（qqq）+fN（wi+）1-fN（wi+）viy（qqq），viy（ppp）=-1.-fN（wi）+vixi（qqq）-fN（wi+）1-fN（wi+）viy（qqq）。因此，vixi（ppp）+viy（ppp）=0。购买力平价时：=（www，z）∈ A+i∩ E+i，2，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-i、 wi公司- z、 0个= π（ppp）将ppp转换为{（xxx，y）∈ RN×R+| y=0}沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。在这种情况下，vi（ppp）=pN（ewi-z） +安（0）cosh（ewi- z） q2（N-1） αN根据定义。然后通过简单的计算，vixi（ppp）+viy（ppp）=0。同样地，-（xxx，y）的vixi+viy=0∈ A.-i、 对于（4.21），通过对称性可以检查0的第一个不等式≤ xi≤ f-1N（y）。