不对称信息下的市场微观结构数学

首先，对于Wθ应用分部积分公式的标准应用给出（3.10）Wθ=Z（f（Z）- Ss）αsds。此外，（3.11）E0，zZ（f（Z）- Ss）αsds= E0，zZ（f（Z）- Ss）αsds.根据（3.10）和（3.11），insider的优化问题变成（3.12）supθE0，z[Wθ]=supθE0，zZ（f（Z）- H（s，Ys））α-sds.现在让我们介绍一下t的值函数：φ（t，y，z）：=ess supαE0，zZt（f（z）- H（s，Ys））αsds | Yt=y，Z=Z, t型∈ [0, 1].通常应用动态规划原理，我们得到以下HJB方程：（3.13）0=supα（[φy+f（z））- H（t，y）]α）+φt+φy y.8 UMUT C,etin因此，为了值函数的完整性和最优ima lα的存在，我们需要φy+f（z）-H（t，y）=0（3.14）φt+φy y=0。（3.15）关于y的微分（3.14），从（3.14）可以得出φy=H（t，y）-f（z），我们得到（3.16）φy y=Hy（t，y），φy yy=Hy y。由于与t相关的微分（3.14）给出了φy t=Ht（t，y），（3.16）意味着在与y（3.17）Ht（t，y）+Hy y（t，y）=0相关的微分（3.15）后。因此，最后两个方程似乎是有必要的，以获得内部问题的最终解决方案。下一个结果表明，等式（3.17）还意味着内部人员必须使用连续策略来定义变化。定理1。设H是一个令人满意的定价规则，满足（3.17）。然后θ∈ A（H）是非最优策略ifi）θ是连续且变化有限的，ii）和H（1-, Y1级-) = f（Z），P0，Z-a.s。。此外，如果我们进一步假设H是有界的，则存在一个可容许的绝对连续策略θ，使得supθ∈A（H）E0，zWθ= E0，zWθ.这个定理的证明和凯尔模型中平衡点的构造将在我们收集一些机器之后开始。从声明中可以看出，内幕人士在进行最佳交易时必须使用删节策略。这需要对扩散过程的调节取得一定的结果。

在这样做的同时，我们还应注意其与扩大过滤理论的联系，因为内幕人士的过滤是做市商过滤的扩大。还要注意的是，做市商定价规则的合理性意味着他们需要根据Y的历史计算Z的条件分布。因此，我们需要回顾随机滤波的基础知识，至少在高斯过程的背景下。4、随机滤波器支持在过滤概率空间上给出一个感兴趣的自适应过程，X=（Xt）0≤t型≤T、 称为信号处理，用于确定性T。pr的问题是信号无法直接观察到，我们所能看到的只是一个适应的观察过程y=（Yt）0≤t型≤T、 过滤涉及到确定E[f（Xt）| FYt]，其中FYt是由Y生成并满足通常假设的最小过滤，f是一个可测量的函数。不对称信息下的市场微观结构数学9备注2。过程的定义存在问题（E[f（Xt）|FYt]）0≤t型≤T条件期望E[f（Xt）| FYt]仅定义为a.s.，并且在0和T之间有无数的T！然而，存在一个过程，让我们用fo表示它，称为f（X）的FYoptional投影，它满足每t（及更多）的fot=E[f（Xt）| FYt]。此外，对FOI进行了统一定义。对于我们来说，每当我们通过（E[Ht | FYt]）0定义流程时≤t型≤T、 我们应始终测量并使用H的FY可选投影。H的FY可选投影将用BH表示。有关更多详细信息，请参阅罗杰斯和威廉姆斯的第二卷。我们还支持过滤支持两个布朗运动，W和B，对于某些可预测过程ρ，D[W，B]t=ρtdt。4.1. 非线性滤波的创新方法。

让我们补充一下，观测过程的形式是（4.18）Yt=Zthsds+Wt，其中W是标准布朗运动，h是一个适应过程，使得（4.19）EZThsds< ∞.非线性滤波理论的主要结果如下：定理2。（Fujisaki、Kallianpur和Kunita）（1）工艺定义为（4.20）Nt=Yt-Ztbhsds，每t∈ [0，T]是FY布朗运动。（2） 如果M i是一个M=0的L-Bounded FY鞅，则存在一个FY可预测过程C，使得EZTCDS公司< ∞,这zt=ztcdns。FY布朗运动在过滤文献中被称为创新过程。证据让我们做一个FYstopping time。由于我们只在有限的时间间隔[0，T]内观察到Y，S≤ T，因此有界。让N*T=支持≤T | Nt |。否te that N*由随机变量控制*T+ZTn | hs |+| bhs | ods，10 UMUT C,etin，因（4.19）可平方积。因此，NSis也是可积的andE（NS）=EWS+ZS（hs-行李处理系统）ds=ZTEh（hs-bhs）1[秒≤S] ids=0，其中我们使用了E[WS]的可选停止定理，以获得第一个等式，即bhs=E[hs | FYs]和[S≤ S]∈ FYST得出最后一个等式。这表明N是FY鞅。因为[N，N]t=t，f或每t∈ [0，T]，这表明N是由L'evy描述的FY布朗运动。第二部分的证明见罗杰斯和威廉姆斯[27]第VI.8章。让信号过程X具有以下差异：（4.21）dXt=αtdt+ηtdBt，其中α是自适应的，η是可预测的。我们相信她ZTαsds< ∞,和支持∈[0，T]分机<∞.定理3。设X和Y如上所述。然后我们得到以下方程：bXt=bX+Ztbαsds+Ztn[Xshs-bXsbhs+dηsρsodNs。证据

首先不需要说明，如果C是一个适应的过程，那么EZT | Cs | ds<∞,如果Vt=RtCsds，则（4.22）bVt-ZtbCsds是FY鞅。不对称信息下市场微观结构的数学11为了证明这一点，必须证明任何FY停止时间S≤ T，EbVS=ERSbCsds。事实上，EbVS=EVS=EZSCsds=中兴通讯[s]≤S] Cs公司ds=ZTEh[秒≤S] BCSID=EZSBCDS。这又意味着mt：=bXt-bX公司-Ztbαsds是M=0的Fy鞅。此外，由于α和X上的假定积分条件，它是一个L有界鞅。因此，根据定理2，存在一个可预测过程φ，使得mt=ZtφsdNs。接下来，我们将显式地计算鞅M。为此，我们将以两种不同的方式计算XY的可选投影。使用partsXtYt=ZtXsdYs+ZtYsdXs+[X，Y]t=Zt{Xshs+Ysαs+ηsρs}ds+F-鞅进行积分。因此，使用（4.22）（4.23）[XtYt=cXtYt=Ztn[Xshs+Ysbαs+dηsρsods+FY-鞅。另一种方法是：bXtYt=ZtbXtdYs+ZtYsdbXs+[^X，Y]t=ZtbXtndNs+bhsdso+ZtYs{dMs+bαsds}+[M，N]t=ZtnbXsbhs+Ysbαs+φsods+FY-鞅（4.24）（4.23）和（4.24）共同实现BXSBHS+Ysbαs+φsods-Ztn[Xshs+Ysbαs+dηsρsods12 UMUT C,etin是一个FY鞅，因此必须为零，具有有限的变化。这意味着φs=[Xshs-bXsbhs+dηsρs，对于每个s。这证明了所需的过滤方程。4.2. 马尔可夫案例。请注意，我们没有对X o y作出任何马尔可夫假设。现在我们来看看这个特例，并获得确定X的条件分布的方程。假设X是与生成器L的微分：L=σ（X）ddx+b（X）ddx。为了简单起见，我们还假设B和W是独立的，hs=h（Xs）和ZThsds< ∞.然后，利用已经得到的公式，我们得到了下面的定理4。让f∈ Ck和定义πtf=E[f（Xt）| FYt]。

那么，πtf=πf+ZtπsLf ds+Zt{πshf- πshπsf}dNs。上述定理中的方程称为Kushner-Stratonovic方程或简单的滤波方程。练习1。假设W和B不是独立的B，但对于某个可测函数ρ（x，y），当x属于有界区间时，该函数ρ（x，y）是有界的。在此设置中获取过滤方程。练习2。将过滤方程扩展到多维设置。4.3. Kalman Bucy过滤器。Kalman-Bucy滤波器是一种著名的滤波方法，在现实问题中得到了广泛的应用。特别是，这对于Kyle模型中equilibirum的解决至关重要。我们假设信号过程满足Ornstein-Uhlenbeck SDE：Xt=X+Bt+ZtaXsds，其中Xis是一个标准随机变量，观察过程由YT=Wt+ZtaXsds给出。我们假设W和B是独立的，所以ρ≡ 由于双变量过程（X，Y）是高斯分布，因此给定Y的X的条件分布也是高斯分布。平均值由Bx给出，Bx=EX+ZtabXsds+cZtncXs- （bXs）ODN不对称信息下的市场微观结构数学13由定理3得出。设vt：=E[（Xt-bXt）| FYt]是给定FYt的条件方差。一、 e.vt=cXt- （bXt）。接下来，让我们找出CxT的过滤方程。再次使用It^o公式和定理3cXt=EX+Zt（1+2acXs）ds+cZtncXs-CXSBXSODN。回想一下Z~ N（u，σ），EZ=u（u+3σ）。因此，由于Xtis条件高斯，cXs-cXsbXs=bXscXs+3V-cXs= 2vsbXs。因此，dvt=d（cXt-bXt）=2cvtbXtdNt+（1+2acXt）dt- 2bXt（cvtdNt+abXtdt）- cvtdt=（1+2avt- cvt）dt，所以v解一个普通的微分方程。这个微分方程有一个解。如果β>0和-γ<0是二次1+2ax的两个根- cx，如果λ=c（β+γ），则vt=Δβeλt- γδeλt+1，其中δ=σ+γβ- σ、 σ=var（X）。请注意，v(∞) = β.练习3。

设X为xt=X+Ztσ（s）dWs给出的未观测信号，t型∈ [0，1]，其中Xis是均值为零且方差为s（0）的正态随机变量，σ是一个连续且确定的函数，使得zσ（s）ds<∞.还存在一个观测过程Y，由yt=Bt+ZtXs给出- Ysf（s）ds，其中f是确定性连续函数。假设B和W是独立的布朗运动。a） 求出给定观测过程Y的方程f或^X。b） 设v（t）：=E[（Xt-bXt）| FYt]，其中FYt是由Y生成的过滤，bXt=E[Xt | FYt]。证明v解微分方程f（t）v′（t）+v（t）=σ（t）f（t）。（提示：如果Z~ N（u，σ），然后EZ=u（u+3σ）。）14 UMUT C,etic）设s（t）：=s（0）+Rtσ（s）ds。假设f（t）=s（t）- t和s（t）- t型≥ 使用上述微分方程表明，给定FYt，Xt是一个均值为Xt、方差为s（t）的正态随机变量- t、 还表明BX是布朗运动。最后，Liptser和Shiryaev【22】是随机过滤基础的极好来源。它包括以上结果和更多！5、扩散桥通过扩散桥，我们通常理解对给定扩散过程的调节，以在未来某个时间获得固定的给定值。这种桥中最著名的是布朗桥。更准确地说，如果B是标准布朗运动，x∈ R、 我们可以构造一个过程xxx，这样xxi的分布就是B的分布，条件是B=x。注意，由于P（B=x）=0，布朗桥定律与B的定律不是绝对连续的。

然而，我们将看到这条定律≤ t）~ 法律（Bs；s≤ t） ，则，t<1。构建此类br idg e的一种方法是定义（5.25）Xxt：=Bt+（x- B） t.上述公式构造了一个高斯过程，其中E[Xxt]=xt，在[0.1]上连续，s<tCov（Xxs，Xxt）=E[（Bt- tB）（Bs- sB）]=s（1- t） 。为了证明上述构造确实是所需的布朗桥，让我们验证B=x条件下的Btconditioned具有上述协方差结构，并且具有相同的平均值。实际上，（5.26）P（Bs∈ dy，英国电信∈ dz | B=x）=p（s，x）p（t- s、 z- y） p（1- t、 x个- z） p（1，x）dydz，其中p（·，·）是B的跃迁密度，即p（s，y- z） dy=P（Bt+s∈ dy | Bt=z）=√2πsexp-（y）- z） 2秒.练习4。使用（5.26）表明E[Bt | B=x]=tx，Cov（Bs，Bt）=s（1- t） 对于<t<1。然而，上述构造不适用于（Bt）的过滤比n，需要了解B。因此，这对于在Kyle模型中构造Bridge e是没有帮助的，因为尽管内部人员持续观察B，但她不知道时间t<1的值。布朗桥的第二个构造使用SDEs。考虑（5.27）Xxt=Bt+Ztx- Xxs1- sds。其唯一解由（5.28）Xxt=xt+（1）给出- t） Zt1- 不对称信息下市场微观结构的sdBsMATHEMATICS 15练习5。使用部件集成验证上述内容。从（5.28）中可以清楚地看出，E【Xxt】=xt。此外，Cov（Xxs，Xxt）=（1-s） （1）-t） E类Zs1- rdBrZt1- rdBr公司= (1-s） （1）-t） Zs（1- r） dr=s（1-t） 。仍然需要证明Xxis在[0，1]上是连续的。[0，1]上的连续性很清楚。剩下要显示的是Xxt→ x为t→ 1、练习6。显示P（极限→xxt=x）=1，其中xxi由obs e rvingthatZt1（5.28）定义- sdBsd=Wt1-t、 其中W是某种布朗运动。也可以使用limt→∞Wtt=0，对于任何布朗运动，概率为1。练习7。证明了（5.27）的解是一个半鞅。

（提示：计算E[| x-Xxt]。）我们对布朗桥进行了两种不同的构造。除了分布相同外，它们之间是否存在差异或联系。为了回答这个问题，让我们回顾一下，第一个结构并不是根据B的知识进行调整的。现在让我们看看如果我们扩大B的过滤，B会发生什么。Let（Ft）t→1b B和GT的自然过滤表示Ft∨σ（B）遵循Mansuy和Yor的方法[24]。要计算Gt下B的分解，请使用文本函数G和集合a∈ Fsand considerMt：=E[g（B）| Ft]=Zg（y）p（1-t、 y型- Bt）dy。如果我们将Ito公式应用于p，并注意到t pt=pxx，我们得到mt=Ms-ZtsZg（y）px（1- t、 y型- Br）dydr。因此，E[（Bt- Bs）g（B）1A]=E[（Bt- Bs）MA]=E[（Bt- Bs）MtA]=E[（[M，B]t- [M，B]s）1A]=-EAZtsZg（y）px（1- t、 y型- Br）dydr= -EAZtsZg（y）px（1- t、 y型- Br）p（1- t、 y型- Br）p（1- t、 y型- Br）dydr= -EAZtsg（B）px（1- t、 B类- Br）p（1- t、 B类- Br）dr= -EAg（B）Ztspx（1- t、 B类- Br）p（1- t、 B类- Br）dr.16 UMUT C,etin然而，上述表示βt：=Bt+Ztpx（1- t、 B类- Br）p（1- t、 B类- Br）dris是Gt鞅。根据L’evy对布朗运动的描述，β一定是aGt布朗运动。此外，px（t，y）p（t，y）=-年初至今。因此，Bt=βt+ZtB- Br1型- rdr，其中β是G-布朗运动。现在，如果我们将其插入（5.25），我们得到xxt=βt+Ztx个- B+B- Br1型- rdr=βt+Ztx- xr+rB- Br1型- rdr=βt+Ztx- （Br+r（x- B） ）1- rdr=βt+Ztx- Xxr1- rdr是（5.27）的弱解。5.1. 法律的绝对连续性和普遍分歧的桥梁。显然，当我们考虑从0到1的整个轨迹时，布朗桥的概率定律相对于布朗运动的概率定律不是绝对连续的。

然而，这并不意味着当T<1时，当T系数被限定为[0，T]形式的区间时，定律的奇异性。事实上，如果我们考虑（5.26）并将其与相应的布朗运动定律进行比较，我们可以推测该定律P0→x0→由连续函数空间上的布朗桥导出→x0→1dPFT=p（1- T、 x个- XT），T<1，其中，从0和X开始的布朗运动所诱导的定律是坐标过程。这种猜测可以通过Girsanov变换进行验证。为此，观察Mt：=p（1- t、 x个- Bt）是T<1的[0，T]上的有界鞅。因此，如果在FTbydQdP=MT上定义概率度量Q，则Girsanov定理意味着B在Q下遵循以下动力学：Bt=βt+Ztx- Bs1- 一些Q-布朗运动β在不对称信息17下市场微观结构的SDS数学模型。也就是说，Q下的B是（5.27）的弱解。由于强唯一性在[0，T]上成立，所以弱唯一性也成立。这尤其意味着上述绝对连续性。上述程序还提示我们如何继续建造一座融合的桥梁。为了使构造更精确，假设对于某些函数σ和b，X是xt=y+Ztσ（Xs）dBs+Ztb（Xs）ds的唯一解。假设SDE的系数足够精确，因此该解允许相对于Lebesgue测度的跃迁密度。设p（t，y，z）表示该密度。也就是说，p（t，y，z）dz=p（Xs+t∈ dz | Xs=y）。如果我们对SDE施加更多的条件，我们可以确保对于任何z，映射（t，y）7→p（t，y，z）足够光滑，可以应用伊藤公式。假设情况是这样的，mt：=p（1- t、 Xt，x）=M+Ztpy（1- s、 对于任何T<1的情况，Xs，x）σ（Xs）dbs是[0，T]上的马氏体。

因此，Girsanov定理产生了一个由dqtdp=MTMunder定义的QTon F，其中X followsXt=y+Ztσ（Xs）dβs+Ztb（Xs）+σ（Xs）py（1- s、 Xs，x）p（1- s、 Xs，x）ds，t<t。可以很容易地证明，qt收敛到某个度量Q，我们想用X定律来确定，条件是在时间1等于X。这需要一定的测量理论技术性，超出了这些注释的范围。然而，在相当温和的条件下，这是可以做到的（见[11]），因此，上述SDE的配方可以使Xconditioned在时间1时（连续）到达x。上述结构的一个著名例子是三维贝塞尔桥。也就是说，对于x≥ 0，Xt=x+ZtXsds。上述SDE的解在启动后从未达到0，并收敛到∞ 作为t→ ∞.但是我们可以使用上面的公式来调节X，使其在时间1收敛到0。这里有一点困难，因为p（1- t、 y，0）=0（见Revuz和Yor[？]第XI.1节）对于该密度的准确描述）。为了避免这种情况，定义=h（t，Xt），其中h（t，y）=limz→0p（1- t、 y，z）p（1，x，z）。18 UMUT C,etin在这种情况下，limx→0hy（t，y）h（t，y）=-y1级- t、 因此，从x到0的三维贝塞尔电桥的相应SDE由（5.29）Xt=x+Bt+Zt确定Xs型-Xs1- sds。备注3。在一般差异的情况下，也存在着与过滤理论扩大的类似联系。在一定的积分条件下，通过重复我们用于布朗运动的相同公式，我们可以证明dxt=σ（Xt）dβt+b（Xt）+σ（Xt）py（1- t、 Xt，X）p（1- t、 Xt，X）dt，其中β是G-布朗运动，而l e Gt=FXt∨ σ（X）。定理1的证明证明证明我们有了所需的机制，现在我们可以回到凯尔模型并找到其平衡点。我们的首要任务是证明定理1。使用Ito的一般半鞅公式（参见，例如。