不对称信息下的市场微观结构数学

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英文标题：
《Mathematics of Market Microstructure under Asymmetric Information》
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作者：
Umut \\c{C}et{\\i}n
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  These are the lecture notes for the summer course given for 2018 Mathematical Finance Summer School at Shandong Unversity. It contains a brief introduction to the Kyle model and the related topics in filtering, enlargement of filtrations and Markov bridges.
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中文摘要：
这些是山东大学2018年数学金融暑期班的课堂讲稿。它简要介绍了Kyle模型以及过滤、过滤的扩大和马尔可夫桥中的相关主题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Mathematics_of_Market_Microstructure_under_Asymmetric_Information.pdf (285.7 KB)

2022-6-10 17:26:37 上传

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关键词：市场微观结构 不对称信息 微观结构 不对称 Quantitative

不对称信息下的市场微观结构数学1。动机每天都有大量金融资产易手，因此，这些资产的价格不断波动。推动资产价格上涨的是对资产未来收益的预期，而价格是在买卖双方达成交易协议时确定的。在任何给定的时间点，市场上通常有许多对交易感兴趣的代理人。一些代理人是投资组合相对较小的个人，而赫索特是代表大公司或个人集合的投资银行或对冲基金。显然，这些代理人对风险有着不同的态度，他们不能平等地获得交易技术、信息或其他相关资源。此外，在没有任何过剩供应的情况下，卖方提供的总份额将满足买方的累计需求，这是非常罕见的。需求和供给的不平衡是当今市场的规则，而不是例外，这会给市场带来流动性风险。现代市场的这些特征挑战了传统资产定价理论，传统资产定价理论假设完全竞争且无流动性风险。市场微观结构理论提供了一种假设完全竞争和自由进入的无摩擦交易行为模型。

引用奥哈拉的话，“[它]是对在明确的交易规则下交换资产的过程和结果的研究。”因此，市场微观结构分析了特定的交易机制或贸易商的异质性如何影响价格形成，提出了市场流动性的衡量标准，并研究了流动性和其他市场行为指标对不同交易机制和信息异质性的敏感性。市场微观结构（MS）模型的主要目标是了解交易对资产价格的暂时和永久影响，以及价格制定规则如何及时解决。在实际市场中，买卖价格是由专家或经销商宣布的，从今以后我们统称他们为做市商。关于市场微观结构的早期文献（[17]、[28]、[1]和[18]）从一个简单的观察开始，即由于需要立即执行，交易可能涉及一些隐含成本，这是由做市商提供的。同时，做市商在做出定价决策时会考虑他们的库存水平。这些研究得出的结论是，从长远来看，做市商调整价格以保持其库存在一定水平左右：当库存水平过高时，他们会降低价格，而在2018年9月12日时，他们会提高价格。山东大学2018年数学国际暑期班课堂讲稿。2 UMUT C,ETIN它们是大量短缺。由于做市商希望将其库存保持在固定水平附近，交易的影响是暂时的，因为预计价格也会恢复。MS研究后来将重点转移到具有不对称信息的模型上，这些模型可以解释价格的永久变化。信息不对称市场的规范模型是由Kyle提出的[21]。

凯尔研究单个风险资产的市场，这些资产的价格是在离散时间内均衡确定的。该模型的关键特征是，做市商无法区分知情和非知情交易，无法竞争满足净需求。在这个模型中，做市商通过过滤知情交易者所知道的东西，从净需求中学习，而知情交易者的需求会“腐蚀”知情交易者。做市商从订单流中学习，并通过这种学习机制更新定价策略。要了解凯尔模型，假设有一项资产的价值V将在时间1时重新公布。进一步假设存在一位知道增值税时间0价值的内幕人士。为了简化事务，内幕人士将被允许在时间0交易一次，并在时间1清算其头寸。在时间0，也有非战略性的噪音交易者，他们对资产的累积需求由ν给出~ N（0，σN）。与术语“噪声”一致，假设ν与V无关。如果内幕人士买入θ多股，市场制造商会观察净需求Y：=θ+并采取相反的方式通过设定价格来清空市场。他们知道V的分布，但没有关于V值的其他相关信息。做市商是风险中性的，以伯特朗的方式竞争，以完成总订单Y。也就是说，做市商为y=y选择的价格（y）是指他们的预期利润为0。由于他们也将在时间1以价格V平仓，这意味着（1.1）h（y）=E[V | y=y]。根据此定价规则y 7→ 内幕人士需要找到自己的最佳交易金额。假设进一步的t V~ N（u，σ）。

我们对纳什型均衡感兴趣：（θ，h）将构成和均衡，如果（1）给定h，θ使内部人员的预期利益最大化；（2） 给定θ，h satsi fies（1.1）。现在我们来证明存在一个线性平衡，其中h（y）=a+by，θ=α+βV。首先观察，如果h（y）=a+λy，则给定V=V ismaxα，βE[（α+βV）（V- 一- λ（ν+α+βv））。收益/损失在参数上是二次的，一阶条件产生：（1.2）α+βv=v- a2λ。另一方面，（1.1）要求a+λY=E[V | Y]。不对称信息下市场微观结构的数学3现在，由于（V，ν）是一个高斯向量，给定Y的V的条件分布是一个lsogussian，它可以由Bayes规则确定。形式上，P（V∈ dv | Y=Y）=P（Y∈ dy | V=V）P（V∈ dv）P（Y∈ dy）~ P（Y∈ dy | V=V）P（V∈ dv）。此外，给定V=V，Y=ν+α+βV~ N（α+βv，σν）。因此，P（Y∈ dy | V=V）与xp成比例-（y）- α - βv）2σν.因此，P（V∈ dv | Y=Y）~ 经验值-（y）- α - βv）2σν-v2σ~ 经验值(-（五）- ^u）2∑），其中∑=σ+βσν，^u=β（y- α） ∑σZ。也就是说，V是高斯分布，平均值为u，方差为∑给定Y=Y。因此，a+λY=β（Y- α） ∑σZ=β（y- α） σβσ+σν，依次产生λ=βσβσ+σν和a=-α λ.回想一下，（1.2）表示2λβ=1。因此，βσ=βσ+σZ2β。因此，β=σνσ，λ=σ2σν。只有当a=α=0时，a和α的其余两个方程才满足要求。问题1。λ和β的平衡值的解释是什么？问题2。如果V的平均值大于0，不进行上述所有计算，你能猜出a和α的平衡值吗？信息价值：鉴于上述明确的均衡特征，我们可以计算内幕人士财富的均衡水平，其由（1）给出- λβ）βv=βvThus，事前，即无条件的信息值等于（1.3）βσ=σσν。问题3。

（1.3）的解释是什么？4 UMUT C,ETIN2。Kyle连续时间模型如果交易者对资产的未来价值有一些私人信息，她会喜欢利用这些信息并动态交易，而不是像上面那样只交易一次。Kyle模型的连续时间版本由K.Back正式化[2]。虽然在文献中通常假设信息投资者完全了解未来资产价值，但这并不是一个必要的假设，我们很快就会看到。让我们假设交易资产的时间1值由某个随机变量V给出，它将在t=1时成为所有市场参与者的公共知识。我们将研究过滤概率空间(Ohm, G、 （Gt）t∈[0,1]，Q）。三种类型的代理商在市场上交易。他们在信息集和目标上有所不同，如下所示：噪声/流动性交易者出于流动性原因进行交易，他们在时间上的总需求由标准（Gt）-布朗运动B给出，与Z无关。（我们将噪声交易的方差标准化，使其由具有单位方差的布朗运动给出）o市场使rs只观察总需求量=θ+B，其中θ是知情交易者的需求过程。随后对θ施加的可容许性条件将特别要求Y是半鞅。他们通过伯特兰竞争确定风险资产的价格，并清理市场。我们假设做市商在时间t将价格设定为totalorder过程的函数，即我们考虑定价函数SY[0，t]，t以下形式（2.4）的Y[0，t]，t= H（t，Yt），t型∈ [0，1）。此外，定价规则H必须在定义1的意义上是可接受的。特别是，H∈ C1，2，因此，S也是半鞅知情交易人（内幕人士）观察价格过程St=H（t，Yt）和她的私人信号Z。

根据她的信号，她对V做出了有根据的猜测。因此，存在一个可测函数f，使得f（Z）=E[V | Z]。我们假设Z是一个连续的随机变量，f是连续的。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以将Z作为标准正态随机变量，可能是某些布朗运动的时间1值。此外，f可以严格增加（为什么？）。这尤其意味着，对于知情交易者来说，信号Z越大，r isky资产的价值就越大。不对称信息下的市场微观结构数学5她被假设为风险中性，她的目标是最大化预期的最终财富。supθ∈A（H）E0，zWθ, 式中，Wθ=（V- S1级-))θ1-+Z1级-θs-dSs。然而，利用条件期望的塔性质，上述问题等价于upθ∈A（H）E0，zWθ, 式中（2.5）Wθ=（f（Z）- S1级-)θ1-+Z1级-θs-dSs。（2.6）上述A（H）是给定定价规则H的一组可接受交易策略，将在定义2中定义。此外，E0，zi是关于P0，z的期望，这是σ（Ys，z；s）的概率度量≤ 1） 由（Y，Z）生成，Y=0，Z=Z。因此，内幕人士将其最终财富的预期价值Wθ最大化，其中等式（2.5）右侧的第一项是由于市场价格和基本价值之间的潜在差异或内幕人士在信息发布时的私人估值对最终财富的贡献，第二项是阅读活动对最终财富的贡献。鉴于上述市场结构，我们现在可以精确地定义制造商和知情交易员的过滤。

由于我们将要求他们满足通常的条件，我们首先确定完成过滤时将使用的概率度量。第一个定义F：=σ（Bt，Z；t≤ 1） 让P0，zb表示由（B，Z）生成的F上的概率测度，其中B=0，Z=Z。同时定义F上的概率测度P(Ohm, F） by（2.7）P（E）=ZRQ0，z（E）Q（z∈ dz），对于任何E∈ F、 2.1。关于过滤和空集s的一些技术性问题。P0、Zi是指未形成的领导者如何为B和Z产生的事件分配可能性，P是指未准确观察到的做市商的概率分布。因此，以FM表示的市场制造商过滤将是由Y生成的P-null过滤集的正确连续扩充。另一方面，由于知情交易者完全了解z的值，因此可以假设她的过滤被P0，z-null集所增强。然而，这将使建模变得繁琐，因为过滤将额外依赖于注释的价值，这意味着内幕人士的最佳交易策略考虑了反馈效应，即价格对其交易策略的反应。6 UMUT C,etinz纯粹出于技术原因。另一个自然选择是考虑所有这些增强的交集。即拟合=∩z∈RFI，zt，其中FI，zt是由Z和S生成的过滤的通常增强，并用P0的空集完成，z、 过滤的关键观察：内幕人士的过滤是用她自己的信号z扩大市场过滤。概率度量的关键观察：内幕人士的概率度量与做市商的概率度量是相似的。实际上，P0，z（F（z）=F（z））=1，而P（F（z）=F（z））=0.2.2。平衡的定义。

我们通常能够对该市场的理性预期均衡进行严格定义，即一对由可接受的定价规则和可接受的交易策略组成，这样：a）给定定价规则，交易策略是最优的，b）给定交易策略，定价规则在以下意义上是合理的：（2.8）H（t，Yt）=St=ef（Z）| FMt,其中E对应于P下的期望算子。为了正式定义非均衡，我们首先定义了一组可接受的定价规则和交易策略。定义1。可接受的定价规则是满足以下条件的任何函数：（1）H∈ C1,2（[0,1）×R）。（2）x 7→ H（t，x）对于每t严格递增∈ [0，1）；备注1。空间变量中H的严格单调性意味着H在时间1之前是不变的，因此，内幕人士的过滤是由y和Z生成的。这反过来意味着（FS，Zt）=（FB，Zt），即内幕人士拥有关于市场的全部信息。鉴于上述情况，可以将FIt=FB，Zt用于所有T∈ [0, 1].定义2。如果（1）θ是上的半鞅，则FB，Z-适应θ是给定定价规则H的可接受交易策略(Ohm, F、 （FB，Zt），Q0，z），具有ea ch z的可和跳跃∈ R、 （2）无双精度策略是一种低成本策略，即针对所有z∈ R（2.9）E0，zZH（t，Xt）dt< ∞.给定H的可容许传输策略集用A（H）表示。在内幕交易文献中，标准的做法（例如，参见[4]或[30]）是将允许的策略集限制为绝对连续的策略，这些策略的动机是后面的结果[2]。我们将在定理1中证明这一点，即内部人员如果不采用有限变化的连续策略，则不会获得任何额外收益。鉴于上述讨论，我们可以将内部人的可接受策略限制为绝对连续策略，由Ac（H）表示。

事实上，定理1表明，在mildcondition条件下，如果只允许内幕人士在非对称信息7绝对连续策略下使用市场微观结构数学，那么内幕人士的价值函数是不变的。此外，即使不满足这些条件，定理1也表明，将市场价格带到资产基本价值的绝对连续策略在A内是最优的。在我们在以下章节中考虑的模型中，这种策略将始终存在，均衡定价规则将满足定理1的条件。因此，对Acis的限制不会失去通用性。现在，我们可以正式定义市场均衡，如下所示。定义3。一对（H*θ*) 如果H*是一个可容许的pricingrule，θ*∈ Ac（H*), 满足以下条件：（1）市场效率条件：给定θ*, H*是一种合理的定价规则，即。满足（2.8）。（2） 内部最优性条件：给定H*, θ*解决内部优化问题：E[Wθ*] = supθ∈Ac（H*)E[Wθ]。3、关于内部人的最优策略在证明具有不连续路径或具有有限变化路径的策略是次优的之前，让我们非正式地推导出与内部人假设绝对连续交易策略的价值函数相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。设H为任意有理定价规则，并假设dθt=αtdt。