不对称信息下的市场微观结构数学

定理二。32 in[26]）我们得到了dh（t，Yt）=Ht（t，Yt-)dt+Hy（t，Yt-)dYt+Hy y（t，Yt-)d[Y，Y]ct+{H（t，Yt）-H（t，Yt-) -Hy（t，Yt-)Yt}=Hx（t，Yt-)w（t，Yt-)dYct+dF Vt，其中F V为有限变化。因此，（6.30）[θ，S]ct=ZtHy（S，Ys-)d[Yc，θ]s=ZtHy（s，Ys-) {d[B，θ]s+d[θ，θ]cs}。此外，通过分段积分（2.6）（参见[26]中定理II.22的推论2），我们得到（6.31）Wθ=f（Z）θ1--Z1级-H（t，Yt-))dθt- [θ，H（·，Y）]1-因为θ的跳跃是可加的。考虑函数（6.32）ψa（t，x）：=Zxξ（t，a）（H（t，u）- a） du+ZtHy（s，ξ（s，a）），其中ξ（t，a）是H（t，ξ（t，a））=a的唯一解。

与x的直接微分得到（6.33）ψax（t，x）=H（t，x）- a、 上述对x的区分给出（6.34）ψaxx（t，x）=Hx（t，x）。不对称信息下市场微观结构的数学19ψa（t，x）与t的直接差异给出ψat（t，x）=Zxξ（t，a）Ht（t，u）w（t，u）du-Hx（t，ξ（t，a））w（t，ξ（t，a））=-Hx（t，x）。将上述与（6.34）相结合，得出（6.35）ψat+w（t，x）ψaxx=0。应用伊藤公式，我们推导出ψa（t，Yt）=ψt（t，Yt-)dt+（H（t，Yt-) -a） dYct+ψxx（t，Yt-)d[Y，Y]ct+ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-)= （H（t，Yt-) - a） dYct+ψxx（t，Yt-) （d[Y，Y]ct- dt）+ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-)= （H（t，Yt-) - a） dYct+Hy（t，Yt-)（d[Y，Y]ct- dt）+ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-)其中，从（6.35）到最后一个等式，最后一个等式是（6.34）。以上表示ψa（1-, Y1级-) = ψa（0，0）+Z1-H（t，Yt-)（dBt+dθt）- a（B+θ1-)+Z1级-Hy（t，Yt-)（d[Y，Y]ct- dt）+X0<t<1{ψa（t，Yt）-ψa（t，Yt-) -（H（t，Yt-) - （a）θt}20 UMUT C,etin结合上述和（6.31）yieldsE0，zWθ= E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, X1-) -f（Z）B+Z1-H（t，Xt-)dBt+Z1-w（t，Xt-)Hx（t，Xt-)（2d[B，θ]t+d[θ，θ]ct）+X0<t<1ψf（Z）（t，Yt）- ψf（Z）（t，Yt-) -（H（t，Yt-) -f（Z））θt-ZHy（s，Ys-)w（s，Ys）-) {d[B，θ]s+d[θ，θ]cs}-X0<t<1（H（t，Yt）- H（t，Yt-))θt#=E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, Y1级-) -Z1级-Hy（t，Yt-)d[θ，θ]ct+X0<t<1ψf（Z）（t，Yt）- ψf（Z）（t，Yt）-) -（H（t，Yt）-f（Z））θt#≤ E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1-, Y1级-)因为H在增加，ψa（t，Yt）- ψa（t，Yt-) - （H（t，Yt）- （a）θt=ZYtYt-（H（t，u）- a） 杜邦- （H（t，Yt）-（a）θt≤ （H（t，Yt）-（a）年初至今- （H（t，Yt）- （a）θt=0。注：当且仅当θt=0，因为H的严格单调性。

此外，ψf（Z）（1-, Y1级-) ≥ 0具有等式当且仅当H（1-, Y1级-) = f（Z）。因此，E0，zWθ≤ E0，zψf（Z）（0，0）对于所有可容许的θs端等式，当且仅当满足以下两个条件时才达到。i） θ是连续的，变化有限。ii）H（1-, Y1级-) = f（Z），P0，Z-a.s。。因此，如果能找到一系列绝对连续的容许策略，（θn）n，证明将是完整的≥1如此限制→∞E0，zWθn= E0，zψf（Z）（0，0）. 然而，请注意，只要θ是半鞅，可容许性就会立即出现，因为H被假定为有界的。定义：=Bt+ZtH-1（1，f（z））- Ys1型- sds。回想一下，上面的SDE有一个半鞅解，它是一个将a.s.t收敛到H的布朗桥-1（1，f（z））。设定值θt=H-1（f（z））- Yt1年- t并观察到，由于θ是绝对连续的，我们有E0，z[Wθ]=E0，zψf（Z）（0，0）- ψf（Z）（1，Y））.不对称信息下市场微观结构的数学21另一方面，ψf（Z）（1，Y））=0，因为H（1，Y）=f（Z）。因此，θ是最优的。平衡我们在资产价值有界的情况下建立平衡。定理5。假设f是有界的。通过设置θ=和Dθt=Z确定θ- Yt1年- tdt。设H为ht+Hy y=0，H（1，y）=f（y）的唯一解。那么，（H，θ）是一个平衡。证据首先要注意的是，由于f是有界的，H由于其feynman-Kac表示而由相同的常数有界。因此，为了证明θ是可容许的，必须证明它是一个半鞅。实际上，给定Z=zYt=Bt+θ是一个收敛于Z的布朗桥。因此，Y是每个Z的P0，Z-半鞅。因此，θ是每个Z的P0，Z-半鞅。此外，H（1，Y）=f（Z），P0，Z-a.s。。因此，给定H，θ是最优的。因此，仍需证明H是一个合理的定价规则。

请注意，如果Y在其自身的滤波中是布朗运动，则H（t，Y）=E[f（Y）| FYt]，这是由于H的费曼-卡茨表示，这反过来意味着H是一个合理的优先级。接下来，让我们证明Y在其自身的过滤中是一个布朗运动。这需要确定给定Y的Z的条件分布。请注意，我们实际上在练习3的设置中，σ（s）=0，s（0）=1。练习3显示，给定的Z的条件分布为FYtis Gaussian，平均值bxt：=E[Z | FYt]和v（t），其中（1- t） v′（t）+v（t）=0，Bxt=Ztv（s）1- sdNs，其中N是创新过程。v（0）=1的常微分方程的唯一解由v（t）=1给出- t、 因此，bX=N，即bX是Fy布朗运动。现在让我们看看bx=Y。实际上，dbXt=dNt=dYt-bXt公司- Yt1年- tdt。换句话说，bX解给定Y的SDE。因为这是一个线性SDE，所以它有一个唯一的解，由Y本身给出。因此Y是FY布朗运动。22 UMUT C,ETIN中有一些备注。凯尔的lambda或交易的市场影响由λ（t，y）：=Hy（t，y）给出。因此，流动性越高，市场流动性越强。换言之，市场的流动性主要取决于内幕人士的估值对Z变化的敏感性（只要Z在开始时确定为标准正常值）。还要注意的是，内幕人士在时间1将市场价格带到f（Z）的所有桥牌策略中是不同的。其中一座桥是whendYt=dBt+kZ- Yt1年- 当H仍然如定理5所示时，某些k的tdt。虽然这对内部人士来说是最优的，但当与H结合时，它无法达到平衡，因为当Y如上所述时，H（t，Yt）不会是一个污点。8、动态私人信号到目前为止，我们已经考虑了这样一种情况，即知情交易人有一个静态信号，为未来资产价值提供无偏预测。

然而，最常见的情况是，知情的贸易商是拥有研究部门的投资银行。对于这样的交易，假设他们没有及时更新研究是不现实的。作为前一模型的简单扩展，假设知情交易者接收到高斯信号Z，使得zt=Z+σBZt，其中σ<1和Z~ N（0，1-σ). 因此，Zi是一个标准正态随机变量。我们将再次假设一个严格递增的f，使得f（Z）将是知情交易者在时间1时对在时间1时披露的资产价值V的无偏估计。内幕人士的目的与（2.5）相同。如果我们通过定理1，我们会意识到它的证明并不取决于探测器的信号是静态的还是动态的。因此，同样的证明可以用来证明，如果一个可容许的绝对连续交易策略将市场价格带到f（Z），它将是最优的。因此，如果H是理性定价规则，θ是桥梁策略，则（H，θ）将是均衡。为了实现这一点，内部人员需要选择θ，使Y在其自身过滤中是布朗运动，使Y=Z。因此，如果H如定理5所示，（H，θ）将是一个平衡。定理6。设s（t）：=（1- σ)(1 - t） 且考虑YT=Bt+ZtZr- Yrs（r）dr.然后，Zt的条件分布为FYtis高斯分布，平均y和方差s（t）。尤其是，Y本身就是一个布朗运动。证据该证明类似于定理5的证明和练习3中的定理。不对称信息下市场微观结构的数学23因此，如果选择θ，则dθt=Zt- Yts（t）-t和H如定理5所示，对（H，θ）是一个平衡。θ是半鞅的证明类似于静态桥的情况，并留作练习。备注4。观察做市商的定价规则在静态和动态私人信号情况下都是相同的。

因此，我们无法以市场价格推断出鲁金的私人信息类型。当私人信息为动态信息时，知情交易者有一个收敛于Z值的信号。同样，我们可以将总订单过程Y视为做市商的信号，再次收敛于Z。信息交易者在t时的剩余不确定性为Z- Z当它是Z时- Yt=Y- YT面向做市商。Z的方差- Ztiss（t）和Y的方差- Yt=1- t、 因为s（t）<1- t、 对于知情的交易方来说，剩余的不确定性较低，因此sh e具有竞争优势。9、风险规避做市商当做市商如上所述为风险中性时，均衡价格在做市商过滤中演变为阿马丁格尔。在[10]中，做市商被允许规避风险。更准确地说，有N个做市商具有指数效用和相同的风险厌恶参数ρ。伯特兰竞争被解释为每个市场制造商在均衡状态下获得或失去任何预期效用，总订单被平均分配给他们。也就是说，每个做市商持有-许多股票及其效用作为一种主要形式发展。假设dθt=αtdt是内幕人士可接受的交易策略，因此Y在其自身的过滤满足度dyt=σdBYt+αtdt，其中bye是FM布朗运动，α是α的FM可选投影。做市商的最佳反应是选择一个能满足零效用收益条件的价格S。对于一些可预测的工艺Z和由市场制造商确定的可选工艺u，让价格S跟随dSt=ZtdBYt+utdt。由于Sand V之间存在潜在的差异，做市商的财富有可能在第1次上涨。

更准确地说，G=YN（S- V）。然而，零效用增益条件意味着1=E经验值-ρYN（S- 五）FM公司,相当于（9.36）E经验值ρYNVFM公司= 经验值ρYNS.24 UMUT C,etin另一方面，如果我们用伊藤公式计算t<1的U（G）动力学，我们得到du（Gt）=U（Gt）ρNYtnσtdBYt+ut+ρ2NYtσtdto。重申t<1的零效用增益条件表明我们必须有ut=-ρ2NYtZt。因此，零效用收益条件规定价格S遵循（9.37）dSt=ZtdBYt-ρ2NYtZtdt，做市商的问题是在给定总需求过程Y的终端条件（9.36）下，找到（Z，S）来解决（9.37）。（9.37）中的BSDE让人想起了二次BSDE，二次BSDE已经得到了深入的研究，并且与数学金融中出现的问题的联系已经很好地建立起来。（9.37）与数学金融文献中考虑的BSDE的本质偏差是Ztin（9.37）的系数为ρ2NYt，这通常是无边界的。这使得目前文献中关于二次BSDE的结果不可能直接应用于（9.37）。更重要的是，上述BSDE的边界值是高度非标准的，并且取决于解。然而，如果我们转向马尔可夫平衡，即考虑St=H（t，Yt），那么对于某些确定性函数，自然会期望在平衡时t=αt（t，Yt，St，Zt），因此（9.38）dYt=σdBYt+α（t，Yt，St，Zt）dt。因此，如果可以达到马尔可夫平衡，它将为（9.36）-（9.38）定义的偏差提供马尔可夫解，其中α是内部人员选择的最佳漂移。现在，我们转向内幕人士的优化问题，当St=H（t，Yt）表示允许的定价规则H。

基本上重复我们在前面几节中所做的，我们看到H必须满足反向热方程HT+Hy y=0，因此Ito的公式将得出s应该满足hydst=Hy（t，Yt）dYt。将其与（9.37）和（9.38）相结合意味着z^α（t，y，s，z）=-ρ2Nyz，即（9.39）^α（t，y，s，z）=-ρ2nyz只要我们注意到z=Hy（t，y）由S选择。此外，与之前一样，内部人员的唯一最优性标准是，策略确定桥梁条件H（1，y）=V。因此，如果存在马尔可夫平衡，（9.40）dYt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，Yt），不对称信息下的市场微观结构数学25和H解决了上述反向热方程，并满足H（1，Y）=V。文献[10]表明，在适当的条件下，平衡存在，并由以下方程组描述：Ht+Hy y=0（9.41）dYt=dβt-ρ2NYtHy（t，Yt）dt（9.42）Vd=H（1，Y），（9.43），Y=0，其中β是某个给定概率空间上的布朗运动，Y被理解为前向SDE的强解。请注意，DE的终端条件由Y的分布给出，其本身取决于H。因此，解决方案通常需要固定点参数。证明基于Schauder的不动点理论，该理论适用于一类合适的度量。这反过来又给出了上述反向SDE的解决方案。备注5。从上述体系可以看出，做市商的复仇，-Y，是平衡状态下的平均值Hy>0。这与市场营销的实证研究更为一致。10、注释和一些相关文献]将内幕人士的最佳策略描述为一个绝对连续的过程，将市场价格推高至其基本价值，这是一个连续的过程[2]。

定理1使用[30]和[15]中的技术，在本章更一般的环境中证明了这一特征。[4]首次连续考虑了知情投资者的动态私人信号。最近，Campi、C,etin和Danilova【8】发展了一种动态马尔可夫桥理论，以研究当内部人的信号是一个一般的扩散过程时的均衡。然而，一般均衡的存在——即使是在马尔可夫f r a模型中——仍然是一个悬而未决的问题。关于这一点，请参见[8]中的讨论。Campi和C,etin于年首次将违约风险纳入Kyle模型[7]。在【9】中，使用动态信号对该框架进行了通用化。Holden和Subrahmanyam首先在离散时间内研究了具有指数效用的风险厌恶内幕人士的情况。作者将平衡描述为方程组的解，他们能够用数值方法求解。巴鲁克（Baruch）[5]将该模型引入了连续时间，他将内幕人士的策略限制为绝对连续的策略，交易速度是均衡价格的一个重要函数。Holden和Subrahmanyam[1 9]允许多种内部人员在市场上拥有相同的信息。他们通过数值分析发现，投资者之间的竞争导致他们的私人信息被大量披露。事实上，在他们模型的持续时间限制下，内部人员会立即透露他们的信息。这一观察结果导致了对内幕人士的私人信号不完全相关的情况的研究。

Foster和Viswanathan首先在离散时间内完成了这项工作，随后Back、Cao和Willard将其扩展到连续时间。26 UMUT C,etin虽然噪声交易者需求过程的一般化在文献中引起了相对较少的关注，但仍有一些工作解决了这个问题。Colin Dufresne和Fos最近的研究考虑了噪声交易者随时间的波动性[1 3]。Biagini等人[6]研究了当噪声需求遵循分数布朗运动时的Kyle模型。Corcuera等人[14]在噪声需求过程是一个L'evy过程的背景下得出结论，当存在跳跃分量时，平衡不可能存在。实际上，C,etin和Xing【12】已经表明，当噪音买卖订单遵循泊松过程时，内部人员必须遵循混合策略，即在均衡中应用额外的随机性。实证研究表明，具有风险厌恶型做市商的模型更为现实。然而，文献中只有两篇论文对此问题进行了研究。Subrahmanyam[29]允许做市商在单周期Kyle模型中规避风险。C,etin和Danilova【10】已经证明，在具有风险厌恶的做市商的连续时间版本的theKyle模型中存在均衡。动态内部信息和规避风险的做市商之间是否存在均衡仍然是一个悬而未决的问题。参考文献[1]Amihud，Y.和Mendelson，H.（1980）：经销商市场。J、 《金融经济学》，第8期，第31-275页。[2] B ack，K.（1992）：连续时间内幕交易。《金融研究评论》，5（3），第387-409页。[3] B ack，K.、Cao，C.H.和Willard，G.A.（2000年）。知情交易者之间的不完全竞争。《金融杂志》，55（5），第21 17-2155页。[4] B ack，K.和H.Pedersen（1998）：长期信息和日内模式。