随机年金的不完全均衡

，I}和一对（π，c）∈ Aiγ（πi），定义过程Xi、~vian和VibyXi=πA、~Vi=-经验值(-αiXi/A- Yi）和Vi=~Vi+Z·-经验值(-αict）dt。（π，c）的自融资性质意味着Vii的半鞅分解由dVi=uVdt+σVdB给出，其中uV=-经验值(-αic）+-通过1.- 日志(-通过）-αic-通径和σV=-ViZi。杨氏不等式意味着uV≤ 0，系数uVandσvarereregular足以得出结论，Vi是所有a容许（π，c）的超常函数。因此，E[ZTUi（cs）ds]+E[Ui（XiT+eiT）]==αiE[ZT-经验值(-αics）ds]+αiE[exp(-αi（XiT+eiT））]=αiE[ZT-经验值(-αics）ds]+E[exp(-αiXiT/AT- YiT）]=αiE[维生素]≤αiVi=-αiexp(-αiπi- 易）。接下来，为了描述优化器，我们构建了一个uV=0的消耗过程。更重要的是，我们让这个过程给出以下线性SDE的唯一解：Xi=πiA，d^Xi=^Xi+（ei-αi（a+Yi）-^XiA）dt+^XiσdB，（3.4）平衡8中的随机年金，并设置^ci=αi（a+Yi）+^XiA，^πi=^XiA。紧接着就是（^πi，^ci）∈ Aiγ（πi），过程^X是相关增益过程。通过选择^ci，通过^Xi，使得通过鞅的过程和对（^πi，^ci）对于代理i是最优的。转向市场竞争，我们认为过程F=a+PIi=1κiYi-αe，其动力学由df=（σ+PIi=1κiZi）给出- (R)ασe）dB+exp(-a） F dt，FT=0。（3.5）换句话说，对（Y，ζ）=（F，σ+PIi=1κiZi- \'\'ασe）是S∞×bmo对线性BSDEdY的解=ζdB+exp(-a） Y dt，YT=0。由于a是有界的，该BSDE的系数是全局Lipschitz，因此，通过唯一性定理（见[Zha17，定理4.3.1，第84页]），我们可以得出F=0的结论。这意味着a+PIi=1κiYi=？[0，T]上的αe，因此，PIi=1^ci=e+APIi=1^Xi。每个^Xi的动力学形式（3.4）对应于以下动力学形式，即^X=PIi=1^Xi：d^X=（u^X-A^X）dt+^Xσdt。

（3.6）假设pπi=1意味着^X=A，这反过来意味着过程A也是（3.6）的解。根据唯一性，我们必须有^X=A，并得出清算条件满足的结论。3.2. 平衡的存在。接下来，我们证明，在对问题成分的其他假设下，尤其是马尔可夫结构的假设下，定理3.1的特征可以用来确定非平衡市场的存在。定理3.3。根据假设2.1和2.3，系统（3.2）允许∞×bmo解决方案。定理3.1的BSDE特征立即暗示了本文的主要结果：推论3.4。在假设2.1和2.3下，存在一组γ*= (u*, σ*)可行的市场系数，使得γ*是一个均衡的市场。定理3.3的证明。在某些情况下，可以方便地将旋转标准化，因此我们还可以为a编写y，为σ编写zf，并将setgi（x）=（0，i=0，αiei（T，x），1≤ 我≤ 一、 均衡随机年金9（3.2）中的dt项定义了驱动因素f:[0，T]×Rd×RI+1×R（I+1）×d→ RI+1按通常方式：f（t，x，y，z）=αue（t，x）-PIl=1κlzl公司- 经验值(-y） ，fi（t，x，y，z）=zi公司+ 经验值(-y）1+y+yi- αiei（t，x）, 对于i=1，一、 系统（3.2）采用新符号编写，bec omesdYit=fi（t，ξt，Yt，Zt）dt+ZitdBtYiT=gi（ξt），I=0，一、 （3.7）步骤1（截断）。我们首先截断驱动程序f，以获得一系列行为良好的唇部chitz问题。更准确地说，如果N>0，我们定义N（x）=max（min（x，N），-N） 对于x∈ R和qN（z）=z | N（| z |），fo R z∈ R1×d，使得ιNand qNare-Lipschitz函数的Lips-chitz常数分别为1和N。

更多信息，| N（x）|≤ N和| qN（z）|≤ N | z |。使用上述函数，对于每个N∈ N我们提出了（3.2）的截断版本：da=σdB+(R)αue-PIl=1κlqN（Zl）- 经验值(-ιN（a））dt，dYi=ZidB+qN（Zi）+经验(-ιN（a））（1+ιN（a）+ιN（Yi）- αiei）dt（BSDEN），终端条件YiT=ιN（giT），aT=0。我们定义了驱动因素（t、x、y、z）7→ f（N）（t，x，y，z）以标准方式从dt项。对于每个N∈ N、 f（N）在其所有变量中是连续的，在bothz和y中是一致的Lipschitz，并且f（N）（t，x，0，0）是有界的。假设2.1保证函数F（N）（t，x，y，z）=-f（N）（t，x，y，z∑）-1（t，x））。因此，我们可以应用附录中的命题4.1得出结论，对于（BSDEN）（Y（N）t=v（N）（t，ξt），Z（N）t=w（N）（t，ξt），存在一个解（Y（N），Z（N）），其中v（N）：[0，t]×Rd→ RI+1边界和w（N）：[0，T]×Rd→ R（I+1）×d因此Z（N）是bmo过程。我们注意到，经典结果[第90页，定理3.1，第58页]保证了（BSDEN）的存在，但仅在类S×H中，这对于我们的目的来说太大了。步骤2（一致估计）。提案n 4.1所保证的界都依赖于截断常数n，因此我们的下一个任务是探索系统的特殊结构，并根据普适量建立界。在这个证明中，宇宙常数是一个依赖于常数αi、时间范围T和S的量∞-Ei和ue上的边界，而不是N上的边界。我们用C表示sucha常数，并允许它从一行到另一行变化。均衡随机年金10Let（a（N），Yi，（N）），（σ（N），Z（N））是上述步骤1中截断系统的解决方案。

它来自于a（N）的动力学和qN（z）的事实≥ 0代表allz∈ R1×D为a（N）-R·'αuedt是一种超级马丁格尔，因此对于所有∈ [0，T]，a（N）T≥ E[a（N）T-ZTt？αuedt？Ft]≥ -（T- t） | |αue | | S∞, i、 e.，a（N）t≥ -C、 接下来，我们转向Y（N）并使用Y的分量仅通过a耦合的事实。这样，如果我们设法在右侧出现的函数上产生一致的界，我们就可以得到Yi（N）上的一致界。我们开始使用以下易于检查的不等式exp(-x） （1+| x |）≤ exp（2x-), 对于所有x∈ R、 以及（ιN（x））-≤ （十）-对于所有x，获得所有t的∈ [0，T]，经验值(-ιN（a（N）t））1 +ιN（a（N）t）≤ C、 很容易证明存在有界可测函数δ（N）：R1×d→Rd，使得qn（z）=zδ（N）（z）=Pdj=1zjδj，（N）（z），对于z=（z，…，zj）∈ R1×d。因此，对于每个i=1，一、 存在概率测量Pi（=Pi，N）~ 其中过程Bi=B+R·δ（N）（Zi，（N））dt是[0，T]上的布朗运动。由于Zi，（N）保证在bmo中，因此它在measurePi下仍在bmo中（见[Kaz94，定理3.3，第57页]）。因此，过程rzi，（N）dBiis是一个Pimartingale，我们可以取第i个方程关于Pito的期望值Yi，（N）t≤Ei[ιN（αiei（T））| Ft]+ZTtEihexp(-ιN（a（N）s））1 +ιN（a（N）s）|Ftids+ZTtEihexp(-ιN（a（N）s））ιN（Yi，（N）s）- αieis|FTID≤ C1+ZTtEi[易，（N）s|英尺]深≤ C1+ZTtyi（s）ds,式中，yi（t）=| | yi，（N）t | | L∞. 因此，yisatis fiesyi（t）≤ C（1+ZTtyi（s）ds），适用于所有t∈ [0，T]，对于某些普适常数C.Gronwall不等式意味着yi（0）=| | yi，（N）| | s∞是以另一个宇宙常数为界的，所以我们得出结论，存在一个宇宙常数∞-所有彝文都有约束力，（N）。我们的下一个目标是在进程Zi（N）上生成通用bmo界。接下来将使用上面获得的yi（N）驱动中的Z自由项的普遍有界性。

由于驱动因子f（N）的第i个分量取决于平衡点11中的Z（N）随机年金，仅通过Zi，（N），对于1≤ 我≤ 一、 我们可以应用标准的指数变换估计。我们接受了[EB13，命题2.1，第2925页]中的论点，并定义φ（x）：=exp（2 | x |）- 1.- 2 | x |代表x∈ R、 注意到φ和φ′都是非负的且都在增加，而φ∈ 带φ′的C（R）- 2|φ′| = 1. 因此，对于[0，T]中的任何停止时间τ，它的引理给出了0≤ φ（Yi，（N）τ）≤ E[φ（Yi，（N）T）| Fτ]+E“ZTτφ′（Yi，（N）s）C1+kYi，（N）kS∞|Fτ#+E“ZTτφ′（Yi，（N）s）Zi，（N）s- φ′（Yi，（N）s）Zi，（N）sds | Fτ#≤ φ（kYi，（N）kS∞)++ CZTφ′（kYi，（N）kS∞)（1+kYi，（N）kS∞)ds公司- E“ZTτZi，（N）sds | Fτ#。重新排列术语yieldsEZTτZi，（N）sds公司Fτi≤ φ（kYi，（N）kS∞)++ CZTφ′（kYi，（N）kS∞)（1+kYi，（N）kS∞)ds。右手侧承认一个普适界（与N和τ无关），因此左手侧也承认一个普适界。最后，我们回到a（N）满足的方程，并注意到termexp(-ιN（a（N）））之所以成立，是因为（a（N））-是我们可以通过Z（N）上的bmo界和ue的sup范数的组合，以与N无关的方式从上面对a（N）进行约束。通过采用期望值并使用所有其他项的普遍有界性/bmo性质，我们得出结论，σ（N）也承认普遍bmo界。有了Y（N）和a（N）的通用边界，我们可以删除（BSDEN）中引入的一些截断。

实际上，对于N大于S中最大的∞关于Y（N）和a（N）的界，我们有ιN（Yi，（N））=Yi，（N）和ιN（a（N））=a（N）。因此，对于N，存在一个常数Nsuch≥ N过程s（Y（N），a（N））与（Z（N），σ（N））一起求解中间系统da=σdB+(R)αue-PjκjqN（Zj）- 经验值(-ιN（a））dt，dYi=ZidB+qN（Zi）+经验(-ιN（a））（ιN（Yi）+ιN（a）- αiei+1）dt（BSDE′N），终端条件与（3.2）相同。均衡随机年金12步骤3（Bensoussan-Frehse条件和Lyapunov函数的存在性）。S中的纯有界性∞×bmo不足以保证截断系统的解（Y（N），a（N））的后续收敛到解（3.2）或（BSDE′N）的极限。然而，在【XZ18，定理2.8，第501页】中已经表明，一个额外的属性，即一致Lyapunov函数的存在将保证这种收敛。一旦条件得到检验，就可以从同一篇论文的另一个结果[XZ18，命题2.11，第503页]推断出这样一个函数的存在性。该命题表明，如果BSDE序列（如（BSDE′N））的驱动结构在N中一致满足称为Bensoussan-Frehse的s o条件，则BSDE序列的一致有界解序列（如[XZ18，定义2.10，p 502]中的定义）允许一个公共Lyapunov函数。它适用于这里，因为我们的系统在二次依赖于z时是上三角形式。更精确地说，系统的驱动力（BSDE′N）可以表示为（f（N））i（t，x，y，z）给出的两个函数f（N）和f（N）的和=(R)αue（t，x）-经验值(-ιN（y））i=0exp(-ιN（y））（ιN（yi）+ιN（y）- αiei（t，x）+1）, 1.≤ 我≤ I（f（N））I（t，x，y，z）=(-PIl=1κlqN（zl）i=0qN（zi）1≤ 我≤ 我这里使用了a=Yandσ=zi的约定。

因此，存在一个通用常数C，对于所有1≤ 我≤ I+1，我们有（f（N））i（t，x，y，z）≤ Cas以及（f（N））i（t，x，y，z）≤ C（1+Pij=1qN（zj）) ≤ C（1+Pij=1zj公司).因此，f（N）可以分为次二次（实际上有界）和上三角分量，从而得出（f（N））N的一致Lyapunov函数≥可建造NCA。步骤4（到达极限）。仍然需要使用[XZ18，定理2.8，第501页]来确定v（N）的子序列收敛于连续函数v:[0，T]×Rd→ RI+1使得Yt=v（t，ξt）和Zt=Dv（t，ξt）解出极限系统dA=σdB+(R)αue-PlκlZl公司- 经验值(-ιN（a））dt。dYi=ZidB+Zi公司+ 经验值(-ιN（a））（ιN（Yi）+ιN（a）- αiei+1）dt，（BSDE’）对于i=1，一、 其中，如上所述，a=Yandσ=Z。就[XZ18]中定理2.8的条件而言，最困难的一个条件，即aLyapunov函数的存在，已在步骤3中解决。在上面其他条件——终端条件的一致H"older有界性和先验有界性——很容易被我们现有的假设所暗示。最后，由于Y是以N为界的函数序列的平衡13点态极限的奇数年金，因此相同的过程（Y，Z）也可以求解原始的B SDE（3.2）（在N处不截断）。4、Lipschitz拟线性系统的有界解本节的主要结果，命题4.1，收集了一阶导数上具有Lipschitz非线性的热方程系统的一些结果。我们怀疑这些结果对于PDE专家来说可能是众所周知的，但我们无法在文献中的同一组假设下找到精确的参考，因此，我们决定包含一个相当完备的证据。在续集中，D表示所有空间变量的导数运算器，即除t外的所有变量。

对于d，J∈ N和β≥ 0，我们定义了以下三个banach空间：（1）L∞= L∞（Rd、RJ）或L∞= L∞（Rd；RJ×d），取决于上下文，（2）W1，∞= W1，∞（Rd；RJ），标准值为| | U | | W1，∞= ||U | | L∞+ ||DU | | L∞.（3） Lβ=Lβ（[0，T）；W1，∞) - 可测函数u:[0，T]的Banach空间→ W1，∞, 赋予指数加权范数| | u | | Lβ=中兴通讯-β（T-t） | | u（t，·）| | W1，∞dt。状态过程ξ的最小发电机由au（t，x）=Du（t，x）∧（t，x）+Tr给出Du（t，x）∑（t，x）∑t（t，x）对于（t，x）∈ [0，T]×Rd.提案4.1。假设g:Rd→ RJ和F:[0，T]×R1×d×RJ×RJ×d→rj是可测量的函数，因此o| g（x）|≤ M，o| F（t，x，0，0）|≤ M、 和o| F（t，x，y，z）- F（t，x，y，z）|≤ M（| y- y |+| z- z |），对于一些M和所有t，x，y，y，z，z，函数∧和∑满足假设2.1的条件（常数K）。然后，下面的陈述应该是：（1）PDE系统UT+Au+F（·，·，u，Du）=0，u（T，·）=g（4.1）允许在[0，T]上存在弱解u。此外，u（t，·）∈ W1，∞对于所有t∈ 存在一个常数C=C（J，d，M，T，K）∈ [0, ∞) 使得| | u（t，·）| | L∞≤ C代表所有t∈ [0，T]和zt | | Du（T，·）| | L∞dt公司≤ C（2）设u表示（4.1）的解，如上述（1）所示，设{ξt}t∈[0，T]是SDEdξT=∧（T，ξT）dt+∑（T，ξT）dBt的近似解。平衡14中的随机年金对（Yt，Zt），其中Yt=u（t，ξt），Zt=Du（t，ξt）∑（t，ξt）是∞×bmo系统解决方案DYIT=-金融机构t、 ξt，Yt，Zt∑-1（t，ξt）dt+ZitdBt，YiT=gi（ξT），i=1，I（4.2）证明。在整个证明过程中，C将表示一个常数，该常数可能取决于J、d、M、T或K，但不取决于β、T、s或x，并且可以从一行到另一行变化；我们将这种常数称为宇宙常数。关于F的假设意味着t一致int，对于所有U，V∈ W1，∞, 我们有| | F（t，·，U，DU）- F（t，·，V，DV）| L∞≤ C | | U- V | | W1，∞, 和（4.3）| F（t，·，U，DU）| L∞≤ C（1+| | U | | W1，∞).

（4.4）设p（t，x；s，x′）表示与算子ut+Au相关的基本解，即（t，x）7→ p（t，x，s，x′）解算spt+Ap=0 for t，x∈ 对于每个有界和连续ψ，[0，s）×rd经典地满足了有界条件limtsRRdψ（x）p（t，x，s，x′）dx=ψ（x′）。我们请读者参考[Fri64，定理m10，p.23]及其之前的讨论，了解在假设2.1的条件下，正基本解的存在性。此外，[Fri64]第24页上的方程式（6.12）和（6.13）表明存在普适常数C，λ>0，因此对于t<s和所有x，x′，我们有p（t，x，s，x′）≤ CИλ（t，x，s，x′）和|xkp（t，x，s，x′）≤ C√s-tИλ（t，x，s，x′），（4.5）对于所有k=1，d、 式中，Дλ（t，x；s，x′）=（2πλ（s-t） ）d/2exp-2λ（s-t） | x′- x个|,标度热核（其本身是一个基本解）是关联的tout+λu、 ）。这些特性尤其允许我们定义函数Φ【u】：【0，T】×Rd→RJbyΦ[u]（t，x）=ZRdZTtFs、 x′，u（s，x′），Du（s，x′）p（t，x；s，x′）ds dx′（4.6）对于每个u∈ Lβ。方程式（4.4）保证Φ[u]与Φ[u]（t，·）很好地定义∈ L∞.（4.5）中的高斯边界意味着可以通过积分符号下的导数来获得xkΦ[u]（t，x）=ZRdZTtFs、 x′，u（s，x′），Du（s，x′）xkp（t，x；s，x′）ds dx′，（4.7）因此t 7→ Φ[u]（t，·）是一个a.e定义的可测量图[0，t]→ W1，∞, foreach u公司∈ Lβ。为了限制Φ[u]的范数，我们从以下估计开始，平衡态随机年金15由（4.5），| |Φ[u]（t，·）| | W1，∞≤ CZTt（1+| | u（s，·）| | W1，∞)ZRd公司p（t，x；s，x′）+PJk=1|xkp（t，x；s，x′）|dx′ds≤ CZTt公司√s-t（1+| | u（s，·）| | W1，∞) ds。此外，（4.6）和（4.7）意味着和，因此，| |Φ[u]| | Lβ≤ CZTeβ（t-T）ZTt√s-t（1+| | u（s，·）| | W1，∞) ds dt=CZT（1+| | u（s，·）| W1，∞) DSZ公司√s-teβ（t-T）dt≤C√β（1+| | u | | Lβ）类似的计算也会产生| |Φ[u]- Φ[v]| | Lβ≤C√β| | u- v | | Lβ。

（4.8）接下来，对于g∈ L∞, 我们定义ψ[g]（t，x）=ZRdg（x′）p（t，x；t，x′）dx′，因此，如上所述，| |ψ[g]（t，·）| | W1，∞≤C√T-t | | g | | L∞和| |ψ[g]| | Lβ≤C√β| | g | | L∞,和ψ【g】∈ 每克的Lβ∈ L∞. 因此，函数Γ【u】=Φ【u】+ψ【g】将Lβ映射为Lβ，（4.8）意味着它是Lipschitz，常数为C/√β. 由于CEC不依赖于β，我们可以通过选择一个较大的β来将Γ转化为一个反比，并得出结论，Γ允许一个唯一的固定点u∈ Lβ。（4.6）和（4.7）中的积分表示允许我们得出结论，u和Du是[0，T）×Rd上的连续函数。此外，由于ξ的马尔可夫性质，我们有u（T，ξT）=E[g（ξT）+ZTtf（s，ξs）ds | Ft]，a.s。其中F（s，x）=F（s，x，u（s，x），Du（s，x））∈ RJ。（4.9）自| | f（t，·）| | L∞≤ C（1+| | u（t，·）| | W1，∞) 对于所有t，映射t 7→ ||u（t，·）| | W1，∞属于Lβ，且（去掉其范数）空间Lβ不依赖于β的选择。因此u（t，ξt）- E[克（ξT）|英尺]L∞≤ZTt | | f（s，·）| | L∞ds公司→ 0作为t→ T、 平衡态下的随机年金16由于g有界，我们有| | u（T，·）| | L∞≤ C对于所有t。此外，马氏体[g（ξt）| Ft]允许连续的迁移，因此由yt=（u（t，ξt），t<Tg（ξt），t=t定义的过程Y是a.s-连续的。这使得我们可以进一步得出结论，Yt+Rtf（s，ξs）是鞅mt=E[g（ξT）+ZTf（s，ξs）ds | Ft]的连续修改，使得Y是半鞅。为了证明（Y，Z）与indeedsolves（4.2）中的语句一样，我们需要证明鞅Mt- M的格式必须为RTDU（s，ξs）∑（s，ξs）dBs。这可以通过[XZ18，引理4.4，第516页]的证明中的近似来证明。最后一步是证明（Y，Z）是S∞×bmo解决方案。函数u是一致有界的，因此它需要建立Z的bmo性质。这可以通过将其公式应用于有界过程exp（cYi），i=1，…，从Y的有界性中引导出来。