随机年金的不完全均衡

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《An incomplete equilibrium with a stochastic annuity》
---
作者：
Kim Weston and Gordan Zitkovic
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We prove the global existence of an incomplete, continuous-time finite-agent Radner equilibrium in which exponential agents optimize their expected utility over both running consumption and terminal wealth. The market consists of a traded annuity, and, along with unspanned income, the market is incomplete. Set in a Brownian framework, the income is driven by a multidimensional diffusion, and, in particular, includes mean-reverting dynamics.   The equilibrium is characterized by a system of fully coupled quadratic backward stochastic differential equations, a solution to which is proved to exist under Markovian assumptions.
---
中文摘要：
我们证明了一个不完全连续时间有限主体Radner均衡的全局存在性，在此均衡中，指数主体在运行消费和终端财富上优化其预期效用。市场由交易年金组成，加上未经计划的收入，市场是不完整的。在布朗框架下，收入由多维扩散驱动，尤其包括均值回复动力学。平衡点的特征是一个完全耦合的二次倒向随机微分方程组，在马尔可夫假设下证明了其解的存在性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> An_incomplete_equilibrium_with_a_stochastic_annuity.pdf (235.2 KB)

2022-6-10 17:52:06 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Mathematical Differential Quantitative equilibrium mathematica

具有随机性的不完全均衡Kim WESTON和GORDANZITKOVI'CAbstract。我们证明了一个不完全、连续的时间有限代理Radner均衡的全局存在性，其中指数代理在运行消费和终端财富上优化其预期效用。市场由交易年金组成，加上未经计划的收入，市场是不完整的。在布朗框架下，收入由多维差异驱动，尤其包括均值回复动力学。平衡点的特征是一个完全耦合的二次倒向随机微分方程组，在马尔可夫假设下证明了该方程组的解是存在的。1、导言我们证明了在不完全、连续时间有限的代理市场环境中存在Radner均衡。经济主体在充分竞争的环境中充当价格接受者，并通过运行消费和终端财富最大化指数效用。在金融市场上交易“一个净供应”中的年金，并向其股东支付持续运行和最终股息。代理人在消费收入和股息流或投资年金之间进行选择。虽然我们的环境和收入动态相当普遍，但我们的金融市场乍看起来相对简单。唯一可用的资产是年金，a-gents在任何特定时刻的唯一选择是消费多少，记住，将财富从一个时间转移到下一个时间的唯一方法是通过年金。这种明显的简单性很容易引起误解，因为可用交易资产的稀缺性导致了市场的不完整性，这是一种臭名昭著的不平衡分析。事实上，代理人拥有的资产越少，日期：2021年6月21日。2010年数学科目分类。首相：91B51。次要：60H30。

JEL分类：D52、G12。关键词和短语。不完全市场，拉德纳均衡，年金，BSDE，BSDE系统。作者感谢Kasper Lars en的有益讨论。第一作者感谢国家科学基金会在DMS-1606253号拨款下的支持。第二作者感谢美国国家科学基金会根据DSM1815017号拨款（2018-2021）提供的支持。本材料中表达的任何观点、发现和结论或建议均为作者的观点、发现和结论或建议，不一定反映国家科学基金会（NSF）的观点。均衡中的随机年金2市场效率越低，就越难使用标准工具，如代表年龄nt方法。在我们的案例中，资产的缺乏已经到了极限。诚然，更现实的做法是考虑具有多种资产的市场，既有风险又无风险，其中不完整性来自于对每个资产集整合环境中所有风险的能力的限制。我们相信，对这些问题的探索是该领域未来最有趣和重要的研究领域之一。不幸的是，几乎所有这些问题中都存在着强大的数学难题，使它们超出了我们今天可用的技术范围。我们的模型的一个优点是，它能够纳入各种收入流动态，包括未经规划的均值回复收入流（已对其经验相关性进行了深入研究；参见，例如，[Wan04、Wan06、Coc14]）。据我们所知，我们的模型是第一个采用指数因子将未经规划的平均收入纳入均衡的模型，并证明了这种均衡的存在。

我们研究的一般收入流导致了仓促的年金动态，这阻止了货币市场账户通过均衡的年金交易复制。我们的做法至关重要地依赖于交易年金的存在。我们还需要指数型效用函数和收入流动态的马尔可夫假设，以获得结构方便的个人代理问题，并可进行BSDE分析。即便如此，该分析涉及价值函数的非标准分析，因为我们需要正式将资产定价视为在标准模型中扮演货币市场账户角色的数量。我们并不是第一个将交易年金引入均衡模型的公司（例如，参见[VV99、Cal01、CLM12、CL14、Wes18]）。我们的贡献是认识到交易年金在个体代理人价值函数中的作用，即使一般收入流使年金动态难以计算。不完全市场均衡的反向随机微分方程（BSDE）/偏微分方程系统方法可追溯到[Zit12、Zha12、CL15、KXZ15、XZ18]，由于早期的工作依赖于对模型某些参数（时间范围、捐赠规模等）的小规模假设，因此本文的数学分析非常复杂，并且严重依赖于[XZ18]的一些最新结果，这些结果克服了小规模条件，并处理了BSDE二次系统解的存在性和稳定性。此外，这些结果在我们的环境中的适用性根本不是即时的，而是取决于我们模型中特定的a-prio ri估计数。符号和约定。对于J，d∈ N、 J×d矩阵集用J×d表示。欧氏空间RJ与RJ×1集相同，即默认情况下，平衡3RJare列中的向量表示随机年金。

矩阵Z的第i行∈ RJ×dwill b e表示为zi，|·|表示RJ×dor RJ上的欧几里德范数。我们在T>0的有限时间范围内工作，其中F={Ft}T∈[0，T]是d维布朗运动B产生的过滤的通常增强。对于R1×d值（行）过程，取关于B的随机积分，因为dB是其组成部分的一列，即Rσ（t）dbt代表pdj=1Rσj（t）dBj。类似地，对于值为RJ×d的过程Z，rztdb是一个RJ值的过程，其组件是Z行的随机积分，其分辨率为todBt。对于定义在Rd中某个域上的函数，导数Du总是假定为取行向量值，即Du（x）∈ Rd×1。如果u是RJ值的，JacobianDu通常会被解释为RJ×d的一个元素。ascalar值函数的Hessian，Du取Rd×d中的值，在本文中我们不需要Hessiansof向量值映射。为了省去这个符号，我们在许多涉及到tochastic过程的表达式中省略了时间索引，但保留（并滥用）了关于Lebesg ue度量的积分的符号dt。所有适应的、连续的和一致有界的过程集用s表示∞, 以及BMO有界平均osc推导的所有过程集（我们参考[Kaz94]了解BMO过程的所有必要背景）。所有B-可积过程e sσ的族，使得rσdB在BMO中，用BMO表示。所有F-渐进可测过程的集合用P表示。Pr表示所有c的集合∈ P带RT | c | rdt<∞, a、 对于标量、向量或矩阵值的过程，使用相同的符号-从上下文中总是可以清楚地看出区别。2、问题2.1。模型基本体。模型基本体可分为三组。

在第一章中，我们描述了整个经济背后的不确定环境。在第二部分中，我们假设了交易资产的动态形式，在第三部分中，我们描述了个体代理人的特征。自始至终，单个实际消费品被视为数字。2.1.1. 状态进程。对于d∈ N、 我们从Rd值状态过程ξ开始，其动力学由dξt=∧（t，ξt）dt+∑（t，ξt）dBt，ξ=x给出∈ Rd（2.1），其中可测函数∧：[0，T]×Rd→ rAND∑：[0，T]×Rd→ Rd×d满足以下规律性假设：均衡随机年金4假设2.1（状态过程的规律性）。存在一个常数K>0，使得对于所有t，t′∈ [0，T]，x，x′∈ Rd和z∈ Rd×1我们有（1）|∧（t，x）|≤ K和∧（t，x）- ∧（t，x′）|≤ K | x-x′，（2）∑（t，x）|≤ K、 和∑（t，x）- ∑（t，x′）|≤ K（p | t′）- t |+| x- x′|）和（3）∑（t，x）z |≥K | z |。备注2.2。在假设2.1下，SDE（2.1）允许一个唯一的强解。然而，上述假设的全部意义仅在后面的章节中才会显现，并且与使用向后随机微分方程系统的某些存在性结果的能力有关。2.1.2. 交易资产。O我们的市场由一个网络供应中的单个实际资产a组成，我们假设其动态为以下形式：dAt=（在ut- 1） dt+AtσtdBt，At=1，（2.2），应在平衡中确定压力u和σ。它可以解释为在[0，T]期间以1的利率支付股息的年金，以及在时间T一次性支付的年金。设Γ，系数空间，表示所有对的集合γ=（u，σ），其中u是一个标量过程，σ是一个R1×d值bmo过程。为简单起见，我们通常用其系数对γ=（u，σ）来确定市场Aγ，并简单讨论市场γ。

（2.2）给出的所有市场集不是由Γ双目标参数化的，因为不是每个γ∈ 定义市场。结果表明，在=1的终端条件下，u和σ之间存在非平凡的关系；例如，如果u是确定性的，则σ要么必须是vanis h，要么它的一个分量必须是真正随机的。γ的集合∈ Γ用Γfan表示市场，其要素被认为是可行的。如果我们需要强调它具有可行的系数γ∈ Γf，我们为（2.2）给出的过程写一个γ。2.1.3. 代理人。有一个有限的数字I∈ N个经济主体，每个经济主体都具有以下四个特征：（1）风险规避系数αi>0。它充分刻画了主体的可满足性函数Ui，该函数对于mUi（c）=-αie-αICC∈ R、 （2）随机捐赠（随机收入）率。对于某些函数ei:[0，t]×Rd，每个代理在时间t以eit=ei（t，ξt）的比率和一次性eit=ei（t，ξt）的比率接收消费品捐赠→ R、 （3）初始持有πi∈ R是代理人持有的年金的初始股份数。在累积养老率定义为bye=PIi=1ei的情况下，我们施加以下规则性条件：均衡随机年金5假设2.3（养老率的规则性）。（1） 每个ei都是有界的和连续的，而其末端截面ei（T，·）对于某些α是α-H"older连续的∈ （0，1）。（2）累积禀赋过程et=e（T，ξT）是一个分解（T，ξT）=e（0，x）+Ztue（s，ξs）ds+Ztσe（s，ξs）dBs的半鞅，其中漂移函数ue：[0，T]×Rd→ R是有界连续的，σe（s，ξs）是一个bmo过程。对于函数ei:[0，T]×Rd，我们经常会滥用符号和写入ei→ 随机过程eit=ei（t，ξt）。该名称适用于应用于（t，ξt）的其他函数，如e或ue。备注2.4。

这里值得一提的是，给出几个状态过程ξ和函数ei的例子，它们满足迄今为止施加的所有正则性条件。一旦ξ的系数∧和∑被选取以满足假设2.1，那么通过简单地应用It^o的公式，假设2.3就可以很容易地检查有效光滑的EI。更有趣的是，还有改进的余地。假设2.1中的有界性似乎排除了一些最重要的状态过程，如经典均值回复（或nsteinUhlenbeck）过程。事实并非如此，因为我们可以自由选择状态过程ξ和应用于它的确定性函数ei，而只对结果合成进行选择。我们用一个简单的例子来说明这是什么意思。读者将很容易地向其中添加所需的提示，并适应其他类似的框架。我们假设d=1，并且我们对随机禀赋率ei（t，ηt）感兴趣，其中ei是一个有界且适当的smoo-th函数，ηtis anOrnstein-Uhlenbeck过程，动态ηt=θ（(R)η- ηt）dt+σηdBt，参数θ，ση>0和η，(R)η∈ R、 由于漂移函数x 7→ θ(η - x） Is无界，过程η不满足假设2.1的条件。然而，过程η承认一个n显式表达式，它是关于基本布朗运动的确定性过程的随机积分：ηt=(R)η+（η- (R)η）e-θt+σηe-θtZteθsdBs（2.3），如果我们定义状态过程ξbydξt=e-θtdBt，ξ=0，即，如果我们设置∧（t，x）=0，∑（t，x）=e-θt，时间范围[0，t]的有界性允许我们得出∧和∑满足假设2.1的结论。

此外，在均衡6（2.3）中，选择fi（t，x）=ei（t，’η+（η- (R)η）e-θt+σηx）屈服强度fi（t，ξt）=ei（t，ηt）。这样，我们可以将一个有趣但不完全符合的状态过程η的函数表示为一个正则状态过程ξ的（修改）函数。函数EI的有界性（和其他正则性属性）由fi继承，这要感谢函数t 7从上到下的有界性→ e-θt.2.2。可采性和平衡。定义2.5。给定一组可行的系数γ=（u，σ）∈ 如果（1）| c |+|π（aγu），则称标度过程对（π，c）是剂i的γ容许策略- 1)| ∈ PandπAγσ∈ bmo。（2） 增益过程X=Xπ，γ=πAγ是一个半鞅，满足选择融资条件dx=πdAγ+（ei- c+π）dt。agent i的所有γ-容许策略集用Aiγ表示，由π（0）=π的策略组成的子集用Aiγ（π）表示。定义2.6。我们说γ*∈ Γfis是均衡市场系数集（和γ*均衡市场）如果存在γ*-容许策略（^πi，^ci）∈ Aiγ*（πi），i=1，一、 从而得到以下两个条件：（1）单主体最优性：对于每个I和all（π，c）∈ Aiγ*（πi）我们有[RTUi（^cit）dt]+E[Ui（X^πi，^cit+eiT）]≥ （2）市场清算：PIi=1^πi=1，PIi=1^ci=E+1，在[0，T]上，PIi=1X^πi，ciT=1，a.s.3。结果3.1。BSDE特征。我们的第一个结果是根据倒向随机微分方程（BSDE）系统的平衡特征. 这些系统由1+I方程组成，第一个分量通常起着与其他I不同的作用。

因此，稍微偏离经典符号（Y，Z）是值得的，其中Y的分量与方程的分量一样多，而驱动因子Z是一个矩阵过程，其附加维数反映了驱动布朗运动的数量。相反，我们使用符号（a，Y），（σ，Z）式中，ais是标量，Y是RI×1值。类似地，σ和Z分别是R1×d-和RI×d-值过程。通常，我们说（（a，Y），（σ，Z））是an（S∞×bmo）如果a和Y的所有组件都在S中，则解决方案∞, （σ，Z）的所有成分都在bmo中。为了简化表示法，我们还引入了以下衍生量：(R)α：=PIi=1αi，κi：=(R)αi>0，以便PIi=1κi=1。（3.1）均衡随机年金7定理3.1（BSDE特征）。假设pii=1πi=1，假设2.3成立（a，Y），（σ，Z）是S∞×bmo解决方案toda=σdB+(R)αue-PIl=1κlZl公司- 经验值(-（a）dt，aT=0dYi=ZidB+Zi公司+ 经验值(-a） （1+a+Yi）- αiei）dt，YiT=αieiT，1≤ 我≤ 一、 （3.2）那么A=exp（A）是具有市场系数（u，σ）的均衡年金价格∈Γf，其中u由u=(R)αue+|σ给出|-PIi=1κiZi公司. （3.3）备注3.2。我们注意到，上述定理3.1的有效性并不取决于假设2.1。事实上，根本不需要马尔可夫假设。此外，也不需要假设2.3的全部效力。假设每个EI都在bmo中，并且累积捐赠过程e是形式为de=uedt+σedB的半鞅，其中uEAN和σEAR是一般bmo过程，而不一定是状态过程的有界函数。证据已固定∞, bmo）-解决方案（a，Y），（σ，Z）, 我们将A=exp（A）和定义u设置为（3.3），使A满足（2.2）。在市场系数γ=（u，σ）固定的情况下，我们选择一个代理i∈ {1, . . .