基于贝叶斯方法的Nelson-Siegel屈服曲线建模

在这种情况下，“后验”是指在考虑了与特定研究相关的相关数据之后。给定数据D的参数θ的后验概率表示为p（θ| D）。相反，似然函数是给定参数的证据概率，表示为l（D |θ）。这些概念通过Bayestheorem asp（θ| D）=l（D |θ）p（θ）RΘl（D |θ）p（θ）Dθ=l（D |θ）p（θ）p（D）来关联。（3.3）有两点需要注意。o（3.3）的分母不含θ。因此，后验模型通常表示为似然时间的比例，即p（θ| D）∝ l（D |θ）p（θ）。o（3.3）分母中的积分是高维积分问题。例如，在表（1）的模型2中，θ中有六个参数，即θ={β，β，β，λ，σ，σβ}。因此，积分将是一个六维积分问题因为拥有六维积分问题的解析解几乎是不可能的；我们采用蒙特卡罗模拟方法。3.4后验推理在贝叶斯方法中，参数θ的后验模型包含所有信息。然而，这些信息太多，无法处理。因此，我们寻找后概率分布的汇总统计数据。贝叶斯估计方法将后验分布中心趋势的测度作为参数的代表值。衡量标准是：o后中值：对于一维问题，重新估值的参数存在唯一的中值。后验中值也称为稳健估计量。IfRRp（θ| D）<∞, 然后是后中位|θisP（θ≤θ| D）=Zθ-∞p（θ| D）Dθ=。

（3.4）后中值是平方误差损失函数下的Bayes估计量[3]。o后验平均值：如果后验分布存在一个确定的平均值，那么我们可以将后验平均值视为参数的估计值，即^θ=e（θ| D）=ZΘθp（θ| D）Dθ。（3.5）平方误差损失函数下的后验均值是Bayes估计量[3]。o后验模式：后验分布模式，也称为最大后验概率（MAP）估计，’θ=arg maxΘp（θ| D）。（3.6）后验模式是Kullback-Leibler型损失函数下的Bayes估计量[9]。请注意，后验均值和后验中位数是一个积分问题，后验中位数是一个优化问题。3.5美国国债收益率数据的后验分析这里我们介绍了Nelson-Siegel模型（1.1）的贝叶斯后验分析，以及表（1）中所示的三种不同的先验分布模型。我们使用R统计软件中的rstan包处理所有计算问题。在本分析中，仅考虑了表2中所示的六天数据（2018年5月1日至2018年5月8日）。注意，这个玩具分析的目的是演示贝叶斯分析是如何工作的！图2显示了经拟合的Nelson-Siegel产量曲线以及表1所示的三种不同的先验分布。先前模型1的拟合收益率曲线不现实，表明先前分布不理想。先前模型2和3的拟合收益率曲线与数据吻合良好。Nelson-Siegel参数的MAP估计值如表3所示，使用表1中的三个先验分布。在模型1的情况下，先前模型1的长期效应β小于中期效应β，使得先前模型1不受欢迎。

模型2和模型3的Nelson-Siegel参数的相似MAP估计值表明了稳健的后验分析，尽管之前的参数存在差异。正如我们所看到的，模型1确实是不受欢迎的，因此我们将此模型从进一步的讨论中删除，我们只将讨论重点放在模型2和3中考虑的层次模型上。尽管如此，我们必须注意到，贝叶斯方法论并不是一个神奇的小玩意儿。选择不当的先验分布可能会导致不理想的模型。表4中先验分布模型2和3下Nelson-Siegel参数的后验平均值、标准偏差、中位数、2.5%和97%分位数的Monte Carlo估计。我们在图3中给出了美国国债收益率曲线数据，在图4中给出了Nelson-Siegel参数的MAP估计值。我们在图5中给出了Nelson-Siegel模型的β和β的每日地图值散点图。该图表明长期和短期影响之间存在负相关关系。然而，我们假设先验分布中所有参数之间是独立的。4动态Nelson-Siegel模型产量曲线的动态Nelson-Siegel（DNS）模型[15、10、6]可以表示为：asyt（τj）=β1t+β2t1.- 经验值{-τj/λ}τj/λ+ β3t1.- 经验值{-τj/λ}τj/λ- 经验值{-τj/λ}+ t（τj），t（τj）~ N（0，σ),βit=θ0i+θ1iβi，t-1+ηi，i=1，2，3，ηi~ N（0，ση），t=1，2，T、 j=1，2，m、 式中，yt（τ）是时间t的到期收益率τ（以月为单位）。三个因素β1t、β2t和β3分别表示为坡度的水平、坡度和曲率。参数λ控制坡度和曲率荷载的指数衰减率。屈服曲线的拟合优度对λ的具体选择不太敏感【15】。因此[6]选择λ为已知值。实际上，λ可以通过网格搜索法来确定。

有八个静态参数θ=（θ，θ，θ，θ，θ，θ，σ, ση）。在矩阵表示法中，DNS模型可以表示为βt=θ+Zβt-1+ηt，（4.1）yt=φβt+t、 （4.2）其中yt=yt（τ）yt（τ）。。。yt（τm）m×1，φ=1 f（τ）f（τ）1 f（τ）f（τ）。。。。。。。。。1 f（τm）f（τm）m×3，βt=β0tβ1tβ2t3×1, t型=...m级m×1，使得f（τj）=1.-经验值{-τj/λ}τj/λ和f（τj）=1.-经验值{-τj/λ}τj/λ- 经验值{-τj/λ}, j=1，2。。。，m、 θ=θθθ和Z=θ0 00 θ0 0 θ. 请注意t型~ Nm（0，σIm）和ηt~ N（0，σηI）。注意，（4.1）是系统方程，（4.2）是观测方程。如果可用，我们可以使用广义线性模型（GLM）来合并任何额外的预测变量，请参见[8，7]。4.1 DNS模型和卡尔曼滤波器之间的关系术语“卡尔曼滤波器”是指递归推理过程。一张漂亮的图里亚尔纸是由[13]创作的。这里的关键概念是，给定数据Yt=（Yt，Yt-1.y） 关于β的推断和yt+1的预测可以通过Bayes定理进行，该定理可以表示为asP（βt | yt）∝ P（yt |βt，yt-1） ×P（βt | Yt-1). （4.3）注意，方程式（4.3）左侧的表达式是时间t时β的后验分布，而方程式（4.3）左侧的第一个和第二个表达式分别是β的似然分布和先验分布。At t时- 1、我们对βt的了解-1包含在βt的概率声明中-1： （βt-1年至今-1) ~ N（^βt）-1，∑t-1） ，（4.4）其中^βt-1和∑t-1是（βt）的期望值和方差-1年至今-1). 在效应中，（4.4）是βt的后分布-1、我们现在分两步期待时间t。1、观察yt前，2。后或观察yt后，和3。关于y的推断*tat到期时间τ*.步骤1：在观察yt之前，我们对βt的最佳选择由系统方程（4.1）决定，并给出θ+Zβt-1+ηt。

自βt起-1如（4.4）所述，因此（βt | Yt-1) ~ N（θ+Z^βt-1，Rt=Z∑t-1ZT+σηI）（4.5）是时间t时β的先验分布。在获得（4.5）时，我们使用任何常数B，X的结果~ N（u，∑）==> a+BX~ N（a+Bu，B∑BT）。步骤2：观察yt，我们的目标是获得后βtusing（4.3）。然而，要做到这一点，我们需要似然L（βt | Yt），或等效的P（Yt |βt，Yt-1). 让etis为从上一个时间点t预测YT的错误- 1.Thuste=yt-^yt=yt- φθ- φZ^βt-1.（4.6）自，φ，Z，θ和^βt-1众所周知，观察ytis相当于观察et。因此（4.3）可以表示为：P（βt | yt，yt-1） =P（βt | et，Yt-1) ∝ P（et |βt，Yt-1） ×P（βt | Yt-1） ，式中P（et |βt，Yt-1） 是可能性。使用yt=φβt+t、 （4.6）可表示为et=φ（βt- θ- Z^βt-1) + t、 所以E（et |βt，Yt-1） =φ（βt- θ- Z^βt-1). 自从t型~Nm（0，σIm），它遵循的可能性为（et |βt，Yt-1) ~ Nm（φ（βt- θ- Z^βt-1) , σIm）。（4.7）现在为了找到后验值，我们使用高斯分布的标准结果（[2]，第28-30页）。如果X~ N（u，∑）和（X | X=X）~ N（u+∑∑）-1（x- u) , Σ- ΣΣ-1∑），（4.8）然后XX号~ Nuu,ΣΣΣΣ. （4.9）在我们的例子中，让我们考虑X<==> β和X<==> 自（βt | Yt）起-1) ~ N（θ+Z^βt-1，Rt），我们注意到u<==> θ+Z^βt-1和∑<==> Rt.如果在（4.8）中，我们将X、X、u和∑替换为βt、et、θ+Z^βt-1和Rt，并比较结果（4.7），然后u+∑R-1t（βt- θ- Z^βt-1) <==> φ（βt- θ- Z^βt-1） ，因此u<==> 0和∑<==> φRt；遵循相同的方法∑- ΣΣ-1Σ= Σ- φRtφT<==> σIm，所以∑<==> φRtφT+σ感应电动机。

根据结果（4.8）和（4.9），β和et的联合分布-1可以描述为β-tet年初至今-1.~ Nθ+Z^βt-1.,RtRTtφTφRtφRtφT+σ伊姆河.所以我们得到了βtat时间点t的后验分布是（βt | Yt）=（βt | et，Yt-1) ~ N（βt，∑t），其中βt=E（βt | Yt）=θ+Zβt-1+RTtφT[φRtφT+σ即时消息]-1et，（4.10）和∑t=Rt- RtφT[φRtφT+σ即时消息]-1φRt。步骤3：现在，为了预测新成熟点τ的收益率*我们可以简单地插入^βtin观测方程（4.2），即^yt（τ*) = φ(τ*)^βt.（4.11）4.2高斯过程优先级DNS的高斯过程优先级由【19】表示。通过在观测方程（4.2）中引入随机分量，可以很容易地实现这一点。模式观测方程为Yt=φβt+Wt（τ）+t、 式中，yt，φ，βtand皮重定义见（4.2）和重量（τ）~ Nm（0，K），其中K=ρ（τ，τ）。按照GP模型的结构（[18]），在时间点t isft~ Nm（φβt，K），t型~ Nm（0，σIm）yt~ Nm（φβt，K+σIm）。（4.12）我们考虑与（4.1）相同的系统方程。由于系统方程相同，因此具有高斯过程先验的DNS的第1步和第2步与第4.1.4.3节中的边际可能性相同。计算具有给定参数集（先验分布、过渡和观测模型）的DNS产生观测信号的概率将是有用的。这种可能性被称为“边际可能性”，因为它整合了隐藏状态变量βt，因此可以仅使用观测数据yt来计算。边际可能性有助于使用贝叶斯计算技术估计不同的静态参数选择。作为递归过滤计算的一个副作用，很容易估计边际可能性。根据链式法则，可能性可以被分解为给定先前观测值的每个观测值的概率的乘积，p（Y |θ）=TYt=0p（yt | yt-1，yt-2.

，y，θ），并且由于卡尔曼滤波器描述了马尔可夫过程，因此先前观测的所有相关信息都包含在当前状态中（βt | Yt-1). 注意，θ是静态参数。因此，边际可能性由p（YT |θ）=TYt=0p（YT | YT）给出-1，θ）dyt=TYt=0Zp（yt |βt）p（βt | yt-1） dβt考虑时间t（4.5）时的可能性（4.12）和先验值=TYt=0ZNm（yt；φβt，| K）N（βt；^βt | t-1，Rt）dβt，其中K=K+σImand^βt | t-1=θ+Z^βt-1=TYt=0Nm（yt；φ^βt | t-1、~K+φRtφT），=TYt=0Nm（yt；φ^βT | T-1，St），其中St=~K+φRtφTi。e、 ，多元正态密度的乘积。这可以很容易地计算为一个简单的递归更新。然而，为了避免数值下溢，通常需要估计对数边际似然l=对数p（YT |θ）。我们可以通过递归updatel（t）=l（t）来实现-1)-nln | St |+m ln 2π+（yt- φ^βt | t-1） S-1t（yt- φ^βt | t-1） 至。注意，S的计算-1t涉及O（n）的复杂性，其中n是数据点的数量。有关快速GP回归，请参阅[20]。5计算问题一般来说，不可能获得MAP（3.6）、后验平均值（3.5）或后验中位数（3.4）的明确分析形式。这意味着我们必须求助于数值方法，例如Monte Carlo或优化子程序。我们使用BFGS方法实现了MAP估计的优化。该方法每次迭代的时间复杂度为O（p），其中pis是参数的数目。BFGS方法的收敛阶为超线性。我们使用rstan软件，通过分层模型的哈密顿蒙特卡罗（HMC）算法实现后验平均值，后验中值[4，11]。rstan还可以实现BFGS优化方法。5.1债券的蒙特卡罗定价蒙特卡罗方法的一个有趣的副产品是，它有助于我们估计债券的理论价格。我们知道债券价格是收益率曲线的非线性函数。

该isP=fY（τ，θ）, （5.1）其中P是债券价格，Y（τ）是由Nelson-Siegelfunction（1.1）建模的收益率曲线。假设{θ*, θ*, . . . , θ*M} 是（1.1）中θ的蒙特卡罗模拟。然后我们可以插入θ*在定价方程（5.1）中，我们可以得到蒙特卡罗价格{P*i | i=1，2，M} ，其中M是模拟大小。现在我们可以估计后验数、中值和100×（1- α） 债券价格的%置信区间。如果PLI是下限，Pu是区间的上限，如果“交易价格”低于PLS，则表明债券被低估。同样，如果“交易价格”高于Pu，则表明债券被高估。实验：我们用一个简单的实验来演示这个概念。假设我们有一张15年后到期的债券，每年以4%的年利率支付两次票面价值1000美元的息票。如果我们有表2所示的产量数据；2018年5月9日债券的贝叶斯价格是多少？我们考虑了本任务表1中所示的先前模型3。Nelson-Siegel模型的参数值通过rstan软件包使用HMC算法的无U形转弯取样器从后验模型进行模拟。然后，我们计算债券的5000蒙特卡罗价格，并在图6中显示5000模拟价格的柱状图。我们在表5中列出了债券价格的后总结。预计价格为806.01美元，交易价格应保持在803.59美元和808.46美元之间。如果交易价格低于803.59美元，那么我们可以认为债券被低估了；如果交易价格超过808.46美元，我们可以认为债券定价过高。图7展示了债券的Monte Carlo价格与Nelson-Siegel函数参数之间令人兴奋的关系。

我们可以看到，价格与收益率的长期影响之间存在着强烈的负相关，即β，而短期利率影响与债券价值之间存在着弱的正相关。6结论在这项工作中，我们提出了分层贝叶斯方法来建模Nelson-Siegel-yieldcurve模型。我们证明，预先的特别选择可能会导致不期望的结果。然而，所提出的分层贝叶斯方法更为稳健，并能产生预期的效果。我们在rstan中使用BFGS算法对Nelson-Siegel参数进行MAP估计。我们还使用rstanpackage中可用的HMC算法实现了完整的贝叶斯分析。作为HMC的副产品，我们模拟了债券的蒙特卡罗价格，这有助于确定债券是高估还是低估。我们用实例和美国财政部的收益率曲线数据来说明这一过程。一个有趣的发现是，价格与收益率的长期影响之间存在着强烈的负相关，即β。然而，短期利率效应与债券价值之间的关系为弱正。之所以观察到这一现象，是因为后验分析表明，纳尔逊-西格尔模型的长期和短期影响之间存在反比关系。参考【1】美国国债收益率曲线利率。https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/Pages/TextView.aspx?data=yield.访问日期：2018年5月8日。[2] T·W·安德森。多元统计分析导论。威利，1984年。[3] 詹姆斯·伯杰。统计决策理论和贝叶斯分析。Springer Verlag，纽约，1985年。[4] M.Betancourt和M.Girolami。分层模型的哈密顿蒙特卡罗。技术报告，2013年。[5] 布拉德利·P·卡林和托马斯·A·路易斯。数据分析的贝叶斯方法。

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