基于贝叶斯方法的Nelson-Siegel屈服曲线建模

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英文标题：
《Modeling Nelson-Siegel Yield Curve using Bayesian Approach》
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作者：
Sourish Das
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Yield curve modeling is an essential problem in finance. In this work, we explore the use of Bayesian statistical methods in conjunction with Nelson-Siegel model. We present the hierarchical Bayesian model for the parameters of the Nelson-Siegel yield function. We implement the MAP estimates via BFGS algorithm in rstan. The Bayesian analysis relies on the Monte Carlo simulation method. We perform the Hamiltonian Monte Carlo (HMC), using the rstan package. As a by-product of the HMC, we can simulate the Monte Carlo price of a Bond, and it helps us to identify if the bond is over-valued or under-valued. We demonstrate the process with an experiment and US Treasury\'s yield curve data. One of the interesting observation of the experiment is that there is a strong negative correlation between the price and long-term effect of yield. However, the relationship between the short-term interest rate effect and the value of the bond is weakly positive. This is because posterior analysis shows that the short-term effect and the long-term effect are negatively correlated.
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中文摘要：
收益率曲线建模是金融学中的一个基本问题。在这项工作中，我们探讨了贝叶斯统计方法与Nelson-Siegel模型的结合使用。我们提出了Nelson-Siegel屈服函数参数的分层贝叶斯模型。我们在rstan中通过BFGS算法实现MAP估计。贝叶斯分析依赖于蒙特卡罗模拟方法。我们使用rstan软件包执行哈密顿蒙特卡罗（HMC）。作为HMC的副产品，我们可以模拟债券的蒙特卡罗价格，这有助于我们确定债券是高估还是低估。我们通过一个实验和美国财政部的收益率曲线数据证明了这一过程。实验中一个有趣的观察结果是，价格与收益率的长期效应之间存在着强烈的负相关。然而，短期利率效应与债券价值之间的关系为弱正。这是因为后验分析表明短期效应和长期效应呈负相关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Modeling_Nelson-Siegel_Yield_Curve_using_Bayesian_Approach.pdf (555.04 KB)

2022-6-10 18:04:06 上传

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关键词：Nelson Siegel Siege son gel

使用贝叶斯方法建立Nelson-Siegel产量曲线*,金奈数学研究所，TN，INDIAS3RI，英国南安普顿大学，2018年10月4日抽象收益率曲线建模是金融中的一个基本问题。在这项工作中，我们探讨了贝叶斯统计方法与Nelson-Siegel模型的结合使用。我们提出了Nelson-Siegel屈服函数参数的分层贝叶斯模型。在rstan中通过BFGS算法实现MAP估计。贝叶斯分析依赖于蒙特卡罗模拟方法。我们使用rstan软件包执行哈密顿蒙特卡罗（HMC）。作为HMC的副产品，我们可以模拟债券的蒙特卡罗价格，这有助于我们确定债券是高估还是低估。我们用一个实验和美国财政部的收益率曲线数据来证明这一过程。实验中一个有趣的观察结果是，价格与收益率的长期影响之间存在着强烈的负相关。然而，短期利率效应与债券价值之间的关系为弱正。这是因为环境分析表明，短期影响和长期影响是负相关的。关键词：哈密顿蒙特卡罗、层次贝叶斯模型、美国国债收益率1简介在金融应用中，准确的收益率曲线建模至关重要。投资者仔细关注债券市场，因为它是未来经济活动和通货膨胀水平的一个很好的预测指标，会影响商品、股票和房地产的价格。“收益率曲线”是指类似债务合同的不同到期期限（1个月、1年、5年等）的利率曲线。

这条曲线说明了利率水平（或借贷成本）与到期时间（称为“期限”）之间的关系它决定了利率模式，您可以使用该模式对现金流进行适当的贴现。收益率曲线是债券市场状态的重要代表。短期和长期利率通常为*Infosys基金会和塔塔信托基金对CMI的资助部分支持了Sourish Das的研究。他目前是南安普敦大学S3RI的联邦卢瑟福研究员。不同的短期利率低于长期利率。长期利率更高，因为长期债务的风险更大。长期债券的价格随着利率的变化而变化。“期限结构”告诉我们，在给定时间，收益率如何取决于到期日。固定收益资产分析中最重要的因素是收益率曲线。对固定收益归属的任何分析都需要评估曲线的变化如何估计，以及它对投资组合绩效的影响。有必要对产量曲线进行某种形式的数学建模，因为它可以解释曲线的运动以进行外推。收益率曲线的斜率是短期利率的一个重要指标，投资者密切关注它。因此，这一直是重要研究的中心。计量经济学和金融学中常用的几种统计方法和工具被用来模拟收益率曲线（例如，参见[15]、[10]、[21]和[6]）。[15]引入了一个用于屈服曲线的参数简约模型，该模型能够表示通常与屈服曲线相关的形状；单调、谦逊、数学化。贝叶斯推理被应用于具有随机波动性的动态Nelson-Siegel模型，该模型对条件异方差进行建模[12]。

随机波动率NelsonSiegel（SVNS）模型的贝叶斯推断由【17】引入。这对潜在收益率因素的随机波动性进行了建模。Diebold-Li期限结构模型的贝叶斯扩展涉及对收益率曲线使用更灵活的参数形式【14】。它允许所有参数使用潜在因素的结构在时间上发生变化，并添加随机波动性结构来控制利率中观察到的条件异方差的存在。Nelson-Selgel函数类，产生与微分方程解相关的标准屈服曲线形状。如果微分方程产生即期汇率，则预测的远期汇率将是方程的解。因此，利率期限结构的预期理论激发了对Nelson-Siegel类的研究。例如，如果到期日即时远期利率τ表示为r（τ），由二阶微分方程的解给出，且根为实根和不等根，则r（τ）=β+β。经验值(-τ/λ) + β.[（τ/λ）.exp(-τ/λ)].用u（τ）表示的债券到期收益率是远期利率u（τ）=τZτr（τ）dτ的平均值，所得函数通常被称为Nelson-Siegel函数[15]，其形式为u（τ）=β+（β+β）1.- 经验值(-τ /λ)τ/λ- β扩展-τλo，（1.1），其中β为长期利率水平，oβ为短期影响，oβ为中期影响，oλ为衰减因子。λ的较小值会导致缓慢的衰减，并且可以更好地拟合较长成熟期的曲线。一些文献[15、10、21、6]报道，该模型解释了产量曲线90%以上的变化。参数随时间的变化反映了美联储货币政策的变化，从而也反映了经济活动的变化。

高腐蚀性表明拟合曲线预测美国长期国债价格的能力。有关参数的估计和统计推断极为重要，因为模型（1.1）的每个参数空间θ=（β，β，β，λ）都有自己的经济解释。在本章中，我们讨论了一种估计收益率曲线和进一步推断的贝叶斯方法。2为什么选择贝叶斯方法？贝叶斯方法在决策理论框架内提供了一种将先验信息与数据相结合的一致方法。我们可以包含有关参数或假设的过去信息，并为将来的分析形成先验分布。当新的观测结果可用时，以前的后验分布可以用作先验分布。这个推论逻辑上遵循贝叶斯定理。贝叶斯分析给出的推论是以数据为条件的，并且是精确的，不依赖于渐近近似。当样本量很小时，推理以同样的方式进行，就好像有一个很大的样本一样。贝叶斯分析可以直接估计参数的任何函数，无需使用“插件”方法。在贝叶斯推理中，概率表示信念的程度。在频率统计中，概率是指事件的相对频率。因此，频率论方法无法将概率分配给假设（这是一种信念），因为假设不是以频率为特征的事件。相反，如果假设一个假设是真的，频率统计只能计算获得事件数据的概率。因此，贝叶斯推理可以计算假设有效的概率，这通常是研究人员想要知道的。

相比之下，频率统计计算p值，这是在假设零假设为真的情况下获得更极端数据的概率。这种概率P（数据|无效假设为真）通常不等于无效假设肯定为真的概率。频率统计只有一个定义明确的假设——无效假设和替代假设，因为“无效假设”是错误的。然而，贝叶斯方法可以有多个明确的假设。频率分析法将数据转换为最新统计数据和p值，然后将该值与任意确定的截断值进行比较，并采用决策方法来判断重要性，例如，根据p是否<α，其中0<α<1，拒绝零假设（或不拒绝）。进行频率分析的最佳方法是在开始收集数据之前确定样本大小n。在贝叶斯方法中，由于概率表示置信度，因此允许进行更细致和复杂的分析。我们可以计算多个假设的可能性和后验概率。我们可以在收集数据时输入数据；然后更新置信度，以减少我们对任意切割值的担忧。从多个假设中选择一个后验概率最大的假设是有意义的，不要担心显著性的任意单一值。我们还可以进行有用且直接的分析，如对干扰参数进行边缘化、计算似然比或贝叶斯因子等。在贝叶斯方法中，概率计算遵循概率理论的公理基础（例如概率的和和和和积规则）。

相比之下，推断频度法使用了一系列不同的测试程序，这些程序不一定是从连贯一致的基础上获得的。尽管如此，人们应该意识到贝叶斯方法可能存在的一些缺点。先验分布通常难以证明其合理性，并且可能是不准确的重要来源。假设可能太多，这可能导致每个假设的后验概率较低，使得分析对先验分布的选择敏感。很难得出分析解。后验推理的分析评价可以是有目的的；但我们可以通过使用最先进的蒙特卡罗方法绕过这一点。3建模的贝叶斯方法统计建模的贝叶斯方法遵循三个步骤。首先，我们定义了似然模型，在一些机器学习文献中也称为数据模型。第二步描述先验分布，第三步通过贝叶斯定理得到后验分布模型。一旦我们得到后验模型，所有的贝叶斯统计推断和预测都可以基于后验模型进行。3.1先验分布未知参数的先验概率分布是指在考虑任何证据之前，表示分析员对数量的信念的概率分布。我们可以使用下面描述的许多技术来开发先验分布。1、如果存在历史数据，我们可以根据过去的数据确定先验分布。2、我们可以从该领域经验丰富的专家的主观评估中得出先验分布。例如，如果专家认为长期利率永远不会超过4%，那么可以用它来确定β的先验分布。3.

当没有可用信息时，我们可以创建一个无信息的先验分布，以反映结果之间的平衡。4、先验分布也可以根据一些客观原则进行选择，如给定约束条件下的熵最大化。例如：Jeffeys Previor或Bernardo\'s Reference Previor。这些先验知识通常被称为objective5。如果存在共轭先验族，则考虑该族中的先验简化，可进一步计算。在（1.1）所述的Nelson-Siegel模型中，三个利率参数是：（i）β是长期利率水平，（ii）β代表短期利率，（iii）β代表中期利率。利率为负的情况非常罕见。事实上，许多人认为，如果利率变为负值，金融系统就会崩溃。因此，出于所有实际目的，我们可以假设利率为正，并且我们可以假设一个先验概率分布，其支持度仅在实线的正侧。例如，我们可以假设{β，β，β}上的逆伽玛概率分布。该模型的第四个参数是decayparameterλ，分配一个先验分布是很自然的，它的支持是正的。问题是，反伽马先验分布的实际参数值是多少？一种选择是Inverge Gamma（a=1，b=1）。这样选择的原因是≤1，则Inverge Gamma分布的矩不存在。如果对参数的均值和方差没有概念，那么可以使用这种先验选择。可以检查P[0≤ β ≤ 30] ≈ 0.97，即先验信念；利率低于30%的可能性为97%。这种概率陈述表达了一种关于利率可能值的模糊概念。

我们假设在先验分布中，参数是可交换的，并且参数之间没有依赖性。因此，我们考虑的前向分布是π（β，β，β，λ，σ）=π（β）π（β）π（β）π（β）π（λ）π（σ），其中β，β，λ，σ~ Inverge Gamma（a=1，b=1）。在金融史上，负收益率虽然罕见，但已经发生。因此，明智的做法是考虑另一种模式，它允许对产量产生负面影响。因此，我们考虑利率上的正态（μβ，σβ）先验分布和σβ上的Inverge Gamma（a=1，b=1），后者模拟了利率的标度效应。这种模型也被称为层次贝叶斯模型。第二个模型的详细信息如表（1）中的模型2所示。此外，我们考虑了模型2的一个微小变化，并将其命名为模型3。在模型3中，我们考虑了{λ，σ，σβ}上的Inverge Gamma（a=0.1，b=0.1）。3.2似然函数现在我们讨论统计学中最重要的概念之一，即“似然”。请注意，frequestist和Bayesian statistics都同意，必须有一个数据模型或likelihood函数才能进行任何统计推断。为了理解likelihood函数的概念，我们考虑一个简单的例子。例如，假设y是遵循泊松分布P（y=y）=e的保险索赔数-λλyy！，y=0，1，2；0 < λ < ∞,在数据集中，我们只有一个数据点，即Y=5。我们对λ一无所知。λ的不同值将导致P的不同值【Y=5】。注意，当λ=3时，P[Y=5 |λ=3]表示Y=5的概率。这里，我们比较λ，P[Y=5 |λ=3]=e的不同值的概率-35!≈ 0.101，P【Y=5 |λ=4】=e-45!≈ 0.156，P[Y=5 |λ=5]=e-55!≈ 0.175，P【Y=5 |λ=6】=e-65!≈ 0.161，P【Y=5 |λ=7】=e-75!≈ 0.128.我们可以得出结论，λ=5比λ=3的数据好75%。

这是因为若λ的值接近5，那个么看到数据“Y=5”的可能性要比λ=3、4、6或7时高得多。给定数据的模型表示为未知参数λ的函数，称为似然函数。似然函数可以表示为l（λ| Y=5）=p（5 |λ）。然而，在现实中，我们通常有多个观测值，如y={y，y，…，yn}。当然，我们必须研究y的联合概率模型。这种模型的似然函数为bel（θ| y，y，…，yn）=p（y=y，…，yn=yn |θ），其中θ是模型的参数，θ可以是标量或向量，具体取决于模型。Nelson-Siegel模型的似然函数Nelson-Siegel函数被认为是解释产量曲线率行为的模型。现在，预计观测到的速率将出现一些随机冲击或无法解释的错误。因此，预期的数据模型将beyi（τj）=ui（τj）+eij，（3.1），其中ui（τj）=β+（β+β）1.- 经验值(-τj/λ）τj/λ- β扩展-τjλo，j=1，2，m、 i=1，2，n、 还有eiji。i、 d~ N（0，σ）。请注意，在数据模型（3.1）中，它是随机或随机的错误或无法解释的部分。独立同分布（又名i.i.d）误差的假设为我们提供了一个假设，即每个观测值都独立地遵循（τj）独立~ Nui（τj），σ.Nelson-Siegel函数的likelihhod函数可以建模为L（D |θ）=nYi=1mYj=1pui（τj），σ, （3.2）其中θ=（β，β，β，λ，σ）是需要估计的参数向量，p（.）是高斯分布的概率密度函数（pdf），D={y，…，ynm，τ，…，τm}是数据或证据。3.3后验分布未知参数的后验概率分布，以从实验或调查中获得的数据为条件。