仿射随机波动率的长时间轨迹大偏差

然后应用定理3.1和（Xt、 。。。，十、tn）满足LDP，在Rn上，具有良好的速率函数∧*τ（x）=supθ∈Rnnθ>x- ∧τ（θ）o。此外，∧*τ（x）=supθ∈Rnnθ>x- ∧τ（θ）o=supΘ∈Jn公司nXj=1nXk=jθk（xj- xj公司-1) -nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）= supΘ∈Jn公司nXj=1Θj（xj- xj公司-1) -nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）,完成证明。4.2. 有限维LDP。4.2.1. LDP的扩展。现在，我们将LDP扩展到（X）的整个轨迹t） 0个≤t型≤吨F（[0，T]，R）：={x:[0，T]→ R、 x=0}，通过证明下面的一般引理，从[0，T]到R，在0处消失的所有函数的集合。引理4.4。假设对于任何τ={t，…，tn}，有限维过程（Xt、 。。。，十、tn）满足大偏差特性，具有良好的速率函数∧*τ.然后是家庭（Xt） 0个≤t型≤T在X=F（[0，T]，R）上具有大偏差特性，具有逐点收敛的拓扑结构，具有良好的速率函数∧*（x） =supj∈P∧*j（pj（x））。证据Let（P，≤) 是部分有序的右过滤集=∞[n=1{（t，…，tn）0≤ t型≤ ... ≤ 田纳西州≤ T}按包含顺序排列。我们考虑（P，≤) 射影系统（Yj，pij）i≤j∈Yj定义的Pde=R#jand pij：Yj→ Yi共享时间的自然投影。从X到Yτ的正则投影是pτ（X）=（xt，…，xtn）。Letu是由（X）生成的概率度量t） 0个≤t型≤汤克斯。然后，根据假设，对于任何τ∈ P、 uo p-1τ满足具有良好速率函数∧的LDP*τ. 结果由定理3.6给出。定理4.5。假设假设2成立，那么（Xt） 0个≤t型≤Tsatis fies a LDPon F（[0，T]，R），具有点收敛拓扑，如 → 0，具有goodrate函数∧*（x） =supτ∧*τ（x）。证据结果是引理4.4的直接应用。4.2.2. 计算速率函数。我们最终计算了第4.5条的速率函数。定理4.6。

定理4.5的速率函数为∧*（x） =坦桑尼亚先令*（·xtac）dt+TZHdνtdθtdθt，其中h*（y） =supθ∈J{θy- h（θ）}，h（y）=lim→0 h类*（y）/) ,·xacis是x的绝对连续部分的导数，ν是dxtw相对于dt的奇异分量，θ是任何非负的、有限的、正则的、R值的borel测度，其中ν是绝对连续的。证据通过用（θt，…，θtn）识别（Θ，…，Θn），我们发现每个x∈ F（[0，T]，R），supτ∧*τ（x）=supτsupΘ∈J#τ#τXj=1ΘJ（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（Θj）=supθ∈F（[0，T]，R）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）=supθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）。请注意，由于目标函数仅依赖于有限集上的θ，因此上确界可以在F（[0，T]，J）或C（[0，T]，J]）上取不同的值。由于我们假设J中存在u<0，那么如果x有有限的变化，我们立即发现∧*（x） =∞. 因此，假设x具有有限的变化。我们希望显示thatsupθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）=supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt。注意SUPθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）≥ supθ∈C（[0，T]，J）lim supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）=supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt。为了证明另一个不等式，我们使用以下构造。固定τ和letθ∈ C（[0，T]，J）。让我们也 > 0，以便 < 最小值（tj- tj公司-1） 和定义θ,τasθ,τt=（θtj-1+t-tj公司-1.（θtj- θtj-1） 如果t∈ [tj-1，tj-1+ ] ,θtjif t∈ [tj-1+ , tj]。然后#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）-TZθ,τtdxt+TZh（θ,τt）dt=#τXj=1（θtj- θtj-1） tj公司-1+Ztj公司-1.1.-t型- tj公司-1.dxt+tj-1+Ztj公司-1h（θ,τt）- h（θtj）dt≤#τXj=1θtj- θtj-1.tj公司-1+Ztj公司-1.1.-t型- tj公司-1.dxt公司+ 2. 最大值|h（θ）|：θ∈ [θtj-1，θtj]≤#τXj=1θtj- θtj-1.ux]0, ]+ 2. 最大值|h（θ）|：θ∈ [θtj-1，θtj]→→00，其中uxis是与x相关的度量。

Hencesupθ∈C（[0，T]，J）supτ#τXj=1θtj（xtj- xtj公司-1) - （tj- tj公司-1） h（θtj）≤ supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dtand∧*（x） =supθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt。我们现在将使用（Rockafellar，1971年，第5条）以获得结果。由于x具有有限的变化，因此测量dxtis是规则的。使用符号（Rockafellar，1971），在我们的例子中，多功能D是常数多功能t 7→ D（t）=J。因此，D是完全下半连续的。此外，自[0，1] J、 D（t）的内部为非空。集合[0，T]是紧的，没有测度为0的非空开集，对于J和V内部的每个u∈ [0，T]开路，ZV | h（u）| dt≤ T | h（u）|<∞ .（Rockafellar，1971年，第5条。）那么意味着SUPθ∈C（[0，T]，J）TZθtdxt-TZh（θt）dt=TZh*（·xtac）dt+TZHdνtdθtdθt，其中h*（y） =lim→0supθ∈J{θy- h（θ）}，h（y）=lim→0 h类*（y）/) ,·xacis是x的绝对连续部分的导数，ν是dxtw相对于dt的奇异分量，θ是任何非负的、有限的、正则的、R值的Borel测度，其中ν是绝对连续的。备注4.7。特别地，定理4.6的证明表明，如果x不属于Vr，则轨迹集x：[0，t]→ R有界变化，则∧*（x） =∞.方差减少表示P（S）期权在（St）0上的支付≤t型≤T、 期权的价格通常计算为在某种风险中性度量下的预期IE（P（S））。

对于任何等效度量Q，期权的价格可以是writenie（P（S））=IEQP（S）dPdQ.P（S）的方差isVarP（P（S））=IEP（S）- IE（P（S）），wheresvarqP（S）dPdQ= IEQP（个）dPdQ公司!-IEQP（S）dPdQ= IEP（S）dPdQ- IE（P（S））。因此，我们可以选择Q来减少随机变量的方差，而随机变量的期望给出了期权的价格。（Genin和Tankov，2016）中引入的一类灵活的度量变化是通过路径相关的Esscher变换给出的，这类度量是Pθ，使得dPθdP=eRTXtdθtIEheRTXtdθti，其中θ属于M，即[0，T]上的有符号度量集。表示H（X）=对数P性别, 优化问题writesinfθ∈MIE公司经验值2H（X）-TZXtdθt+G（θ）, （5.1）其中(θ) :=  日志IEheRTX公司tdθti。优化问题（5.1）无法明确解决。因此，我们选择使用以下两个引理渐近地解决问题。表示“m度量值集θ”∈ M，支持一组有限的点。我们首先给出了描述G的行为的alemma（θ） 作为 → 0，表示θ∈因为这将适用于我们将在第6节中考虑的情况（见第5.5款）。引理5.1。如果假设2成立，那么对于任何度量θ∈\'M，这样就可以∈ [0，T]，θ（[T，T]）∈ J、 我们有Lim→0克（θ） =TZh（θ（[t，t]））dt。证据表示τ={t，…，tn}，θ的支撑。然后我们得到了Lim→0 日志IEheRTX公司tdθti=lim→0 日志IEePnj=1Xtjθ（tj-1，tj]=nXj=1（tj- tj公司-1） h类θ（tj-1，tj]=通过将定理4.2应用于θ，TZh（θ（[t，t]））dt=θ（t，t）, ..., θ（tn-1，tn]. 接下来，我们给出了一个描述方差最小化问题（5.1）行为的结果，其中X已被X替换像 → 引理5.2。Letθ∈“我就是这样-θ（[t，t]）∈ Jo每t∈ [0，T]。假设定理4.3的假设成立。

进一步假设H:F（[0，T]，R）→R从上方以常数C为界，在函数集x上连续于D∈ Vr，使得H（x）>-∞, 关于逐点收敛拓扑。Thenlim公司→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt+G(θ)!#= supx公司∈D2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）+TZh（θ（[t，t]））dt。证据首先注意，引理5.1，lim→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt+G(θ)!#= lim公司→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt!#+TZh（θ（[t，t]））dt。因此，我们只需要证明Lim→0 日志IE“exp2H（X) -RTX公司tdθt!#= supx公司∈D2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）.表示Д：F（[0，T]，R）→ R函数Д（x）=2H（x）-RTxtdθt。由于H被假定为连续的，且θ对τ有支撑，因此Д是连续的。让我们展示定理3.7的可积性条件。对于每个γlim sup→0 日志IE经验值γД（X)= lim sup公司→0 日志IE“exp2γH（X) - γRTXtdθt!#≤ 2γC+lim sup→0 日志IEheRTX公司td公司(-γθ）ti。自从-θ（[t，t]）∈ Jo每t∈ [0，T]，存在γ>1，使得-γθ（[t，t]）对于每t保持在J中。因此引理5.1适用于andlim sup→0 日志IE经验值γД（X)≤ 2γC+TZh(-γθ（[t，t]）dt<∞ .然后应用定理3.7并得出结果。定义5.3。Letθ∈ M我们说θ是渐近最优的，如果它最小化ssupx∈虚拟现实2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）+TZh（θ（[t，t]））dt。通常∧*不容易显式计算。为了解决这个问题，我们引用了以下定理（Genin和Tankov，2016）。定理5.4。设H是凹的，并假设集合{x∈ Vr:H（x）>-∞}为非空且包含常量元素。此外，假设H在该集合上关于逐点收敛的拓扑是连续的，H在开有界有效域上是下半连续的，并且存在λ>0，使得H在{z上是复解析的∈ C：| Im（z）|<λ}。

Theninfθ∈Msupx∈虚拟现实2H（x）-TZxtdθt- Λ*（十）+TZh（θ（[t，t]））dt=2 infθ∈M^H（θ）+TZh（θ（[t，t]））dt,式中^H（θ）=supx∈虚拟现实H（x）-TZxtdθt.此外，如果θ*最小化上述等式的左侧，也最小化右侧。最后，我们给出了H仅通过xt依赖于x的情况下的结果。。。。，xtn。提案5.5。设τ={t，…，tn}，设H:F（[0，t]，R）→ R∪ {-∞} bea log payoff仅取决于x至xτ。那么对于每个θ∈ M使得θ（τ）6=θ（[0，T]），^H（θ）=∞.证据假设θ∈ M是θ（τ）6=θ（[0，T]）。那么就有一个毛 [0，T]\\τ，θ（A）6=0。固定'x∈ D、 根据定义，H（(R)x）>-∞. 然后（^x+α1A）-TZ（(R)xt+α1A）dθt=H（^x）-TZ'xtdθt- αθ（A）。让α趋向于sgn（θ）∞, 因此，可以增加指数H（x）-RTxtdθt。因此，^H（θ）=∞. 数值例子在本节中，我们将方差缩减方法应用于几个例子。我们首先证明了一个基于一组点的基础平均值的期权结果。提案6.1。设τ={t，…，tn}，并考虑log payoff H（x）=log的选项K-SnnXj=1extj+.那么对于任何θ∈在θ={t，…，tn}，^H（θ）=log上有支撑的MK1级-Pnl=1θl-nXm=1θmlog-θmn K/S1-Pnl=1θl（6.1）我们滥用符号θj=θ（{tj}）。证据在这种情况下，H（x）-TZxtdθt=对数K-SnnXj=1extj+-nXj=1θjxtj。当期权到期或到期时，日志支付为-∞. 假设x表示H（x）>-∞ 与xtj不同。我们得到0=xj（logK-SnnXl=1exl！-nXl=1xlθl）=-SnexjK公司-SnPnl=1exl- θj。因此，最大化H（x）的x-Rtxsdθssatis fiesextjθj=-nKS+nXl=1额外=-nKS+extjθjnXl=1θl，对于每个j。Thereforextj=log-θjn K/S1-Pnl=1θl.插入xtjin H（x）的值-RTxtdθt，我们得到了结果。6.1. 赫斯顿模型中的欧洲和亚洲看跌期权。

考虑theHeston模型（Heston，1993）dXt=-Vtdt+pVtdWt，X=0dVt=λ（u- Vt）dt+ζpVtdWt，V>0dW、 Wt=ρdt，（6.2），其中W为标准P-布朗运动。（Xt，Vt）isIE的拉普拉斯变换euXt+wVt= eφ（t，u，w）+ψ（t，u，w）V+uX，其中φ，ψ满足Riccati方程tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w））φ（0，u，w）=0对于F（u，w）=λuw和R（u，w）=ζw+ζρuw，tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w））ψ（0，u，w）=w（6.3- λw+（u- u） 。标准计算表明，Riccati方程（6.3）的解为ψ（t，u，w）=ζλζ- ρu-γζtanhγt+ η1+ηtanhγtφ（t，u，w）=μλζλζ- ρut型- 2μλζ对数cosh公司γt+ ηsinhγt,（6.4）式中γ=γ（u）=ζrλζ- ρu+-u-η=η（u，w）=λ-ζρu-ζwγ（u）。此外，对于赫斯顿模型，函数h由h（u）=μλζ给出λζ- ρu- uλζγ（u）。（6.5）备注6.2。赫斯顿模型的对数拉普拉斯变换收敛于NIG过程的对数拉普拉斯变换h（Barndorff-Nielsen，1997），它是围绕实轴的条带上的复杂分析，因此可以应用定理5.4。以下命题描述了与时间相关的Esscher变换对Heston模型动力学的影响。提案6.3。设τ={t，…，tn}和Pθ由dPθdP=ePnj=1θjxtjiehpnj=1θjXtji给出的度量。在Pθ下，P-Heston过程（Xt，Vt）的动力学为Xt=Θτt+ζρψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）-Vtdt+pVtd▄Wt，X=0dVt=▄λt（▄ut- Vt）dt+ζpVtd▄Wt，V=VdD▄W，▄WEt=ρdt，（6.6），其中▄W是二维相关Pθ-布朗运动，Θj=Pnm=jθm，Φ和ψ迭代定义为ψ（s，Θj，…，Θn）=ψ（s，Θj，ψ（tj+1- tj，Θj+1。。。，ψ（s）=0Φ（s，Θj，…，Θn）=φ（s，Θj，ψ（tj+1- tj，Θj+1。。。，Θn））+Φ（tj+1- tj，Θj+1。。。，Θn）Φ（s）=0，其中，表示τt=inf{s∈ τ：s≥ t} ，￠λt=λ- ζΘτtρ- ζψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）和ut=λuИλt.证明。

表示（t，Xt，Vt）=dPθdPFt.ThenD（t，Xt，Vt）=ePτt-1j=1θjXtjIEhePnj=1θjXtjIEhePnj=τtθjXtjFti=ePτt-1j=1θjXtj+Φ（τt-t、 Θτt，。。。，Θn）eΦ（t，Θ，…，Θn）+ψ（t，Θ，…，Θn）V+ΘXeψ（τt-t、 Θτt，。。。，Θn）Vt+ΘτtXt。D（t，Xt，Vt）的动力学可以用它的引理asdD（t，Xt，Vt）=D（t，Xt，Vt）（ΘτtdXt+ψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）dVt）+。。。dt=D（t，Xt，Vt）pVtΘτtdWt+ζψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）载重吨.根据Girsanov定理，dWtWt= dWTWTWT-pVt公司Θτt+ζρψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）Θτtρ+ζψ（τt- t、 Θτt。。。，Θn）dt是在测度Pθ下的二维布朗运动。将等式（6.2）中的W替换为▄W，即可得出结果。备注6.4。道具6.3表明，含时Esscher变换将经典Heston过程转变为具有时间非均匀漂移的Heston过程。备注6.5。请注意，假设2仅在ρ=0时在赫斯顿模型中得到验证。实际上，J=[u-, u+]，其中u±=-λζρ±r-λζρ+λζ(1 - ρ)(1 - ρ） ，whilew（u-) =ζλζ- ρu-w（u+）=ζλζ- ρu+.然而，由于实际的方差减少问题本身无法解决，我们的目标是找到一个好的候选度量，我们可以进行数值测试。因此，我们没有充分的理论来证明这一点，这一事实并不成问题。6.1.1. 欧式看跌期权的数值结果。在这种情况下，通过道具。5.5当n=1且t=t时，θ在{t}上有支撑。使用滥用符号θ：=θ（{T}），我们得到了^H（θ）+TZh（θ（[T，T]））dt=logK1级- θ- θ对数-θK/S1- θ+ Tuλζλζ- ρ θ -γ(θ)ζ.（6.7）为了获得θ，我们因此对θ进行微分（6.7），并通过二分法将导数等于0。我们用参数λ=1.15，u=0.04，ζ=0.2，ρ=-0.4，初始值V=0.04和S=1，在bothP，等式（6.2）和Pθ，等式（6.6）下，n=1和t=t，使用标准欧拉模式和200个离散步骤。

对于P-变现X（i），我们计算欧洲认沽价格为NPNj=1K- 性别（i）T+对于Pθ-实现X（i，θ），aseφ（T，θ，0）+ψ（T，θ，0）VNNXj=1e-θX（i，θ）TK- 性别（i，θ）T+. （6.8）每次，我们计算Pθ-标准差、方差比和调整后的方差比，即方差比除以模拟时间的比率。后者衡量该方法的实际效率，因为在度量值变化下进行模拟通常需要稍长的时间。在表1中，我们将罢工定为K=1，并让到期日T在0.25到3之间变化，而在表2和表3中，我们将到期日定为T=1和T=3，而罢工K在0.25到1.75之间变化。我们计算每一次的价格、标准误差、方差比调整后和未调整后的模拟时间比。T价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 0.0395 3.72·10-42.46 2.14 20.20.5 0.0550 4.54 ·10-43.12 2.83 19.91 0.0780 5.59 ·10-43.92 3.66 19.52 0.111 7.20 ·10-44.21 3.89 19.73 0.134 8.48 ·10-44.19 3.79 19.8表1。作为欧元看跌期权到期日函数的方差比率。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.5 0.00014 7.65·10-626.6 24.5 18.40.75 0.00794 1.34 ·10-46.53 5.91 18.71 0.0773 5.60 ·10-43.96 3.65 18.51.25 0.261 8.62 ·10-44.20 3.78 18.91.5 0.502 7.92 ·10-45.84 5.36 18.61.75 0.749 6.84 ·10-48.45 7.29 19.7表2。作为到期日为T=1的欧洲看跌期权行使函数的方差比率。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 7.1·10-51.84 ·10-592.0 70.9 23.10.5 0.00418 6.05 ·10-516.1 16.0 20.00.75 0.0369 3.43 ·10-46.67 6.00 20.41 0.133 8.51 ·10-44.24 4.15 20.21.25 0.300 1.34 ·10-33.61 3.13 21.31.5 0.517 1.60 ·10-33.47 3.30 19.91.75 0.755 1.64 ·10-33.89 3.53 19.9表3。

作为到期日为T=3的欧洲看跌期权行使函数的方差比率。在所有情况下，我们都可以看到，当期权深度缺钱时，方差比变得非常有趣，而当期权处于或处于货币中时，方差比变得不那么重要，但仍然非常有趣。这与涉及度量变更的方差缩减技术的自然行为相对应，因为度量变更将增加选择最终将进入资金的轨迹的概率。请注意，当模拟度量值变化时，模拟时间仅略大，而优化过程所需的时间与模拟时间相比可以忽略不计。在图6.1中，我们将到期日设为T=1.5，并将估计值（6.8）的经验方差绘制为θ的函数。我们的方法提供θ=-0.457作为渐近最优度量变化。因此，我们可以看到渐近最优θ非常接近最优θ。图6.1：。蒙特卡罗估计量的方差作为θ的函数。6.1.2. 亚洲看跌期权的数值结果。我们现在考虑（离散化的）亚洲看跌期权的情况。这里，log payoffish（X）=logK-SnnXj=1eXtj+,其中tj=jnT。通过道具。θ的支撑是{t，…，tn}，我们可以表示θj=θ（{tj}）。使用道具。6.1和等式（6.5），我们需要最小化EISLOG的函数K1级-Pnl=1θl-nXm=1θmlog-θmn K/S1-Pnl=1θl+TnnXj=1hnXl=jθl或者，表示Θj=Pnl=jθl，logK1级- Θ-nXm=1（Θm- Θm+1）对数-（千米）- Θm+1）nK/S1- Θ+TnnXj=1h（Θj）。通过对Θj的微分，我们得到，对于j=2。。。，n、 0=Θj（^H（θ）+TnnXm=1h（Θm））=T H（Θj）n- 日志[-（Θj- Θj+1）]+日志[-（Θj-1.- Θj）]，（6.9），而对于j=1，我们有0=Θ（^H（θ）+TnnXm=1h（Θm））=对数（1- Θ) - 对数（n K/S）+Tnh（Θ）- 日志[-(Θ- Θ)] .（6.10）最后，取等式中的指数。