仿射随机波动率的长时间轨迹大偏差

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英文标题：
《Long-time trajectorial large deviations for affine stochastic volatility
  models and application to variance reduction for option pricing》
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作者：
Zorana Grbac, David Krief, Peter Tankov
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This work extends the variance reduction method for the pricing of possibly path-dependent derivatives, which was developed in (Genin and Tankov, 2016) for exponential L\\\'evy models, to affine stochastic volatility models (Keller-Ressel, 2011). We begin by proving a pathwise large deviations principle for affine stochastic volatility models. We then apply a time-dependent Esscher transform to the affine process and use Varadhan\'s lemma, in the fashion of (Guasoni and Robertson, 2008) and (Robertson, 2010), to approximate the problem of finding the Esscher measure that minimises the variance of the Monte-Carlo estimator. We test the method on the Heston model with and without jumps to demonstrate the numerical efficiency of the method.
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中文摘要：
这项工作将（Genin和Tankov，2016）中针对指数L掼evy模型开发的可能路径依赖衍生品定价的方差缩减方法扩展到仿射随机波动率模型（Keller-Ressel，2011）。我们首先证明了仿射随机波动率模型的路径大偏差原理。然后，我们将时间相关的Esscher变换应用于仿射过程，并以（Guasoni和Robertson，2008）和（Robertson，2010）的方式使用Varadhan引理来近似寻找最小化蒙特卡罗估计量方差的Esscher测度的问题。我们在有无跳跃的Heston模型上验证了该方法的数值效率。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Long-time_trajectorial_large_deviations_for_affine_stochastic_volatility_models_.pdf (437.72 KB)

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关键词：波动率 Mathematical Applications Quantitative Differential

随机波动率模型的长时间轨迹大偏差及其在期权定价方差缩减中的应用Gracingzorana GrbacDavid Krieffeter Tankov1摘要：这项工作扩展了可能路径依赖衍生品定价的方差缩减方法，该方法是在（Genin and Tankov，2016）中针对指数L'evy模型开发的，随机波动率模型（KellerRessel，2011）。我们首先证明了随机波动率模型的路径大偏差原理。然后，我们将时间相关的Esscher变换应用于a ffine过程，并使用Varadhan引理，以（Guasoni andRobertson，2008）和（Robertson，2010）的方式，来近似找到使蒙特卡罗估计量方差最小化的教授测度的问题。在有无跳跃的Heston模型上测试该方法，以证明该方法的数值效率。1、导言本文的目的是为资产价格的随机波动率（ASV）模型中的路径相关期权的价格开发有效的重要性抽样估计。为此，我们建立了这些模型的路径大偏差结果，这些结果是独立的。（Keller-Ressel，2011）研究的ASV模型是一个具有特殊性质的R×R+上的二维a ffne过程（X，V），其中X建模股票价格的对数，V建模其瞬时方差。这一类包括许多研究和广泛使用的模型，如赫斯顿随机波动率模型（赫斯顿，1993）、贝茨模型（贝茨，1996）、巴恩多夫-尼尔森随机波动率模型（巴恩多夫-尼尔森和谢泼德，2001）和具有独立一段时间变化的时变L’evymodels。

一个有效的随机波动率模型中的欧式期权可以通过傅立叶变换定价，但对于路径依赖性，通常无法获得明确的公式，蒙特卡罗通常是首选方法。同时，此类过程的蒙特卡罗模拟既困难又耗时：由于相应随机微分方程系数的不规则性质，离散化方案的收敛速度通常较低。因此，为了加速蒙特卡罗模拟，必须为这些模型开发有效的方差缩减算法。因此，在本文中，我们为ASVmodels开发了一种重要抽样算法。重要性抽样方法基于以下恒等式，对任何概率度量Q有效，其中P是绝对连续的。设P是随机轨迹S的确定函数，则ne[P（S）]=等式dPdQP（个）.巴黎迪德罗大学，巴黎，弗朗西内斯，帕莱索，弗朗西索这使得我们能够确定重要性抽样估计器BPQn：=NNXj=1dPdQ公司（j） P（S（j）Q），其中S（j）Qare i.i.d.S在测度Q下的样本轨迹。为了有效减少方差，需要找到一个概率测度Q，使得S在Q和方差varq下易于模拟P（S）dPdQ远远小于原始方差VarP[P（S）]。在本文中，继（Genin和Tankov，2016）在L’evy过程中的工作之后，我们使用路径相关Esschertransform，dPθdP=eR[0，T]Xt·θ（dt）EheR[0，T]Xt·θ（dt）i定义了概率Q，其中X是ASV模型的第一个分量（股价的对数），θ是[0，T]上的（确定性）有界有符号测度。

θ的最佳选择应使估计量在Pθ、VarPθ下的方差最小P（S）dPdPθ= EP公司P（S）dPdPθ- E【P（S）】。这种差异的计算通常与期权价格本身的计算一样困难。继（Dupuis和Wang，2004；Glasserman等人，1999；Guasoni和Robertson，2008；Robertson，2010）以及最近（Genin和Tankov，2016），我们建议计算方差缩减测度θ*通过最小化使用大偏差理论计算的方差的代理。为此，我们为随机波动率模型建立了路径大偏差原则（LDP）。一种用于Xt/t as t的一维LDP→ ∞ 其中，Xis是ASV模型的第一个组成部分，已在中得到验证（Jacquier等人，2013年）。在本文中，我们根据（Leonard，2000）的路径LDP原则，将这一结果推广到轨迹设置，但在较弱的拓扑中。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们描述了模型并回顾了ASV过程的某些有用属性。在第三节中，我们回顾了大偏差理论的一些一般结果。在第4节中，我们证明了ASV过程各区域的LDP。在第5节中，我们使用通过第4节中所示的LDP获得的渐近最优度量变化，开发了方差缩减方法。在第6节中，我们在有跳跃和无跳跃的赫斯顿模型中，对几个期权样本（其中一些是路径相关的）进行了数值测试。2、模型描述在本文中，我们对标的资产（St）t的价格进行建模≥选项asSt=SeXt的0，其中我们建模（Xt）t≥0作为一个有效的随机波动过程。Werecall，摘自（Keller-Ressel，2011）和（Du ffe et al.，2003），ASV模型的定义和一些特性。定义2.1。

ASV模型（Xt，Vt）t≥0是一个随机连续的时间齐次马尔可夫过程提取t型≥0是鞅andIEeuXt+wVtX=X，V=V= eφ（t，u，w）+ψ（t，u，w）v+u x，（2.1）表示所有（t，u，w）∈ R+×C.命题2.2。函数φ和ψ满足广义Riccati方程tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w）），φ（0，u，w）=0（2.2a）tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w）），ψ（0，u，w）=w，（2.2b），其中F和R具有L’evy Khintchine形式sf（u，w）=u w·a·华盛顿大学+ b类·华盛顿大学+ZD \\{0}exu+yw- 1.- wF（x，y）·华盛顿大学m（dx，dy），R（u，w）=u w·α·华盛顿大学+ β ·华盛顿大学+ZD \\{0}exu+yw- 1.- wR（x，y）·华盛顿大学u（dx，dy），其中D=R×R+，wF（x，y）=x1+x和wR（x，y）=x1+xy1+y和（a，α，b，β，m，u）满足以下条件oa，α是正半无限2×2矩阵，其中a=a=a=0b∈ D和β∈ R、 om和u是D和rd{0}（（x+y）上的L'evy度量∧ 1） m（dx，dy）<∞.在本文的其余部分中，我们假设存在u∈ R使得R（u，0）6=0，对于（Xt）t定律≥0取决于V。定义函数χ（u）=wR（u，w）| w=0=αu+β+ZD \\{0}y埃克苏-1+yu（dx，dy）。St=sexto是鞅的一个有效条件（Keller-Restel，2011，推论2.7），我们假设在续集中满足，即F（1，0）=R（1，0）=0和χ（0）+χ（1）<∞.在下面的定理中，我们汇编了（Keller Ressel，2011）的几个结果，这些结果将方程（2.2）的解的行为描述为t→ ∞.定理2.3。假设χ（0）<0和χ（1）<0存在间隔I [0，1]，这样对于每个u∈ 一、 式（2.2b）允许一个唯一的稳定平衡w（u）。o对于u∈ 一、 式（2.2b）最多允许另一个平衡w（u），这是不稳定的对于u∈ R\\I，式（2.2b）没有任何平衡。我们表示B（u）为式（2.2b）稳定解w（u）的吸引盆，J={u∈ I:F（u，w（u））<∞}, u 7的域→ F（u，w（u））。

我们知道oJ是一个区间，使得[0，1] J 一、 o对于u∈ 一、 w∈ B（u）和t>0，我们有ψt型, u、 w-→→0w（u）。（2.3）o对于u∈ J、 w∈ B（u）和t>0， φt型, u、 w-→→0t h（u），（2.4），其中h（u）=F（u，w（u））=lim→0 日志IEeuX1/.o 对于每个u∈ 一、 0个∈ B（u）。定义2.4。凸函数f:Rn→ R∪ {∞} 通过有效域DFI，ifi基本上是平滑的。Dofis非空；二。f在D中是可区分的ofiii.f是陡峭的，即对于任何序列（un）n∈N DoF收敛到Df，limn边界上的点→∞||f（un）| |=∞ .在本文的其余部分，我们将对该模型作出以下假设。假设1。函数h满足以下特性。（1） 存在u<0，因此h（u）<∞.（2） u 7→ h（u）基本上是光滑的。在（Jacquier et al.，2013）中，为验证假设1提供了一组有效条件：命题2.5（推论8 In（Jacquier et al.，2013））。设（X，V）为ASVmodel，使u 7→ R（u，0）和w 7→ F（0，w）不等于0，且χ（0）和χ（1）严格为负。如果以下任一条件成立（i）R的L'evy度量u具有所有阶的指数矩，F是陡峭的（0，0），（1，0）∈ DoF、 （ii）（X，V）是一个差分，那么对于每个u∈ 具有有效域J的R.Moreoverh本质上是光滑的且{0，1} Jo.现在我们讨论（2.2b）的唯一稳定解吸引盆的形式。引理2.6。（Keller Ressel，2011，引理2.2。）（a） F和R是R上的真闭凸函数。（b）F和R在其作用域内部是解析的。（c） 设U是R的一维a ffne子空间。那么F | U要么是严格凸，要么是a ffne函数。R | U.（d）If（U，w）也适用∈ DF，然后也是（u，η）∈ DF适用于所有η≤ w、 R.引理2.7也是如此。

让f：R→ R∪ {+∞} 是一个凸函数，具有两个零w<w，或一个零w。在后一种情况下，我们让▄w=∞. 假设存在y∈ （w，~w）使得f（y）<0。然后每x∈ Df，（f（x）>0，如果x<w或▄w<x，f（x）<0，如果x∈ （w，~w）。证据通过凸性，对于每x∈ D使x<w，y- 怀俄明州- xf（x）+w- xy型- xf（y）≥ f（w）=0，因此f（x）≥ -w-xy型-wf（y）>0。此外，对于每x∈ （w，y），f（x）≤y- xy型- wf（w）+x- 怀俄明州- wf（y）<0。设s=sup{x∈ Df:f（x）<0}。如果f在s中是连续的，则▄w=s，对于Df中的每个yx>▄w，f（x）≥ -w-xy型- ~wf（y）>0。如果f在s中是不连续的，那么由凸性f（x）=+∞ 对于x>s。提案2.8。让u∈ I并考虑w（u）（2.2b）的稳定平衡。那么w（u）的吸引盆是B（u）=(-∞, w（u））∩ DR（u，·），其中w（u）=∞ 当（2.2b）只允许一个平衡时。证据引理2.6，w 7→ R（u，w）是凸的。由于w（u）是一个稳定平衡，引理2.7的假设得到验证。因此，对于每一个w<w（u），R（u，w）>0，而对于每一个w∈ DR（u，·）使得w（u）<w<w（u）。这意味着tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w）），ψ（0，u，w）=w（2.5）对于每w∈ (-∞, w（u））∩ DR（u，·），然而，如果w>w，则（2.5）的解发散到∞. 3、大偏差理论在本节中，我们回顾了大偏差理论的一些有用的经典结果。我们请读者参阅（Dembo和Zeitouni，1998），以获得该理论的证明和广泛概述。定理3.1（G¨artner Ellis）。Let（X)∈]0,1]是RN中的随机向量族，具有相关度量u. 假设对于每个λ∈ Rn，∧（λ）：=lim→0 日志IEehλ，X我作为扩展实数。还假设0属于D∧的内部：={θ∈ Rn：∧（θ）<∞}.

表示∧*（x） =supθ∈Rnhθ，xi- ∧（θ），以下保持：（a）对于任何闭集F，lim sup→0 对数u（F）≤ - infx公司∈F∧*（x） 。（b） 对于任意开集G，lim inf→0 对数u（G）≥ - infx公司∈G∩F∧*（x） ，其中F是∧的暴露点集*, 其暴露超平面属于D∧的内部。（c） 如果∧是一个基本光滑的下半连续函数，则u具有良好速率函数∧的可满足LDP*.定义3.2。偏序集（P，≤) 如果everyi，j∈ P、 存在k∈ P这样我≤ k和j≤ k、 定义3.3。投影系统（Yj，pij）i≤j∈Pon一个偏序右滤波集（P，≤) 是hausdorff拓扑空间（Yj）j的一个族∈Pand连续贴图pij：Yj→ 我认为pik=pijo PJK每当我≤ j≤ k、 定义3.4。Let（Yj，pij）i≤j∈Pbe部分序右滤集上的投影系统（P，≤). （Yj，pij）i的射影极限≤j∈P、 表示X=lim←-Yj，是拓扑空间Y=Qj的子集∈PYj，由所有元素sx=（yj）j组成∈p对于哪个yi=pij（yj），每当i≤ j、 具有由Y引入的拓扑。闭子集Fj的射影极限 Yjare以相同的方式定义，并表示为F=lim←-福建。备注3.5。X的正则投影，即限制pj:X→ yjof从X到Yj的坐标图是连续的。定理3.6（Dawson-G¨artner）。Let（Yj，pij）i≤j∈Pbe部分序右滤集上的投影系统（P，≤) 和let（u) 是一个概率族onX=lim←-Yj，对于任何j∈ P、 Borel概率uo p-1 Jon Yjsatis认为LDP具有良好的速率函数∧*j、 然后u用良好的速率函数∧满足LDP*（x） =supj∈P∧*j（pj（x））。定理3.7（Varadhan引理，版本（Guasoni和Robertson，2008））。Let（X)∈]0,1]是X值随机变量族，其定律u满足速率函数∧的aLDP*.

如果φ：X→ R∪ {-∞} 是一个连续函数，满足以下条件：→0 日志IE经验值γД（X)< ∞对于某些γ>1，则→0 日志IE经验值^1（X)= supx公司∈X{Д（X）- Λ*（x） }。仿射随机波动率模型的轨迹大偏差在本节中，我们证明了当时间范围较大时（Xt）的轨迹LDP。定义，用于 ∈ （0、1）和0≤ t型≤ T，缩放Xt=Xt公司/. 我们首先证明X的LDP第二步，我们扩展到整个轨迹（Xt） 0个≤t型≤T、 4.1。有限维LDP。设τ={0<t<…<tn=t}，按约定t=0，定义∧,τ（θ）=log IEhePnk=1θkXtki，对于θ∈ 注册护士。我们首先制定主要的技术假设。假设2。验证以下条件之一。（1）F的区间支撑为J=[u-, u+]和w（u-) = w（u+）。（2） 对于每个u∈ R、 ~w（·）=∞, i、 e，广义Riccati方程只有一个（稳定）平衡。下面的引理给出了假设2的直觉。引理4.1。对于每个u，u∈ 一、 w（u）≥ w（u）。证据如果假设2（2）成立，那么结果是显而易见的。然后假设假设2（1）成立。自u 7以来→ w（u）是凸的，u 7→ ~w（u）是凹的，那么对于每个u，u∈ 一、 w（u）≥u型+- uu公司+- u-w（u-) +u- u-u型+- u-w（u+）=w（u-) ,whilew（u）≤u型+- uu公司+- u-w（u-) +u- u-u型+- u-w（u+）=w（u-) .因此，w（u）≥ w（u）表示每个u，u∈ 我作为应用定理3.1的第一步，我们证明了以下结果。定理4.2。Letθ∈ 注册护士。如果假设2成立，则∧τ（θ）：=lim→0 Λ,τ(θ/) =（Pnj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）ifΘj∈ Jj∞ 否则，其中Θj：=Pnk=jθk.Proof。既然假设2成立，那么通过引理4.1，w（Θj+1）∈ B（Θj）表示每个j。首先假设Θj∈ 对于每个J，使用马尔可夫性质和等式。

（2.1），我们得到∧τ（θ）=lim→0 日志IEhePnj=1θjXtj/我= lim公司→0 日志IEhePn公司-1j=1θjXtj/IEeΘnXtn/Xtn公司-1/, Vtn公司-1/我= lim公司→0 φ田纳西州- 田纳西州-1., Θn，0+  日志IEePn公司-2j=1θjXtj/+Θn-1Xtn-1/+ψ田纳西州-田纳西州-1., Θn，0Vtn公司-1/.自Θn起∈ J和0∈ B（Θn），等式。（2.3）和（2.4）应用∧τ（θ）=lim→0 日志IEePn公司-2j=1θjXtj/+Θn-1Xtn-1/+ψ田纳西州-田纳西州-1., Θn，0Vtn公司-1/+ （tn- 田纳西州-1） h（Θn）。利用Θj∈ J和w（ΘJ+1）∈ B（Θj）对于每个j，我们可以迭代该过程以获得∧τ（θ）=nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）+lim→0 ψt型- t型, Θ，w（Θ）V+nXk=1θkX=nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）。（4.1）假设存在k，使得Θk6∈ J、 在不丧失一般性的情况下，我们取最大的k。按照相同的程序，我们发现∧τ（θ）=lim→0 日志IEePk公司-2j=1θjXtj/+Θk-1Xtk-1/+ψtk公司-tk公司-1.,Θk，w（Θk+1）Vtk公司-1/+  φtk公司- tk公司-1., Θk，w（Θk+1）+nXj=k+1（tj- tj公司-1） h（Θj）。注意到φ（·，u，w）在u 6的有限时间内爆炸∈ J然后完成证明。现在，我们进入有限维大偏差结果。定理4.3。Let（Xt） t型≥0, ∈（0,1）和τ={t，…，tn}。假设假设2成立，则（Xt、 。。。，十、tn）通过良好的速率函数∧满足RN上的LDP*τ（x）=supΘ∈Jn公司nXj=1Θj（xj- xj公司-1) -nXj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）,式中，Θj=Pnk=jθk.Proof。根据假设1（1），存在u∈ J使得u<0，这意味着[u，1] 因此，0位于D∧τ=Jn的内部。定理4.2表示极限∧τ（θ）=lim→0 Λ,τ(θ/) =（Pnj=1（tj- tj公司-1） h（Θj）ifΘj∈ Jj∞ 否则，其中Θj：=Pnk=jθk，作为扩展实数存在。因为，根据假设1（2），h本质上是光滑的和下半连续的，所以∧τ也是光滑的和下半连续的。