仿射随机波动率的长时间轨迹大偏差

（6.9）和（6.10），我们得到- Θ= (1 - Θ）eTnh（Θ）·Sn KΘ- Θ= (Θ- Θ）eTnh（Θ）.=。。。Θn- Θn-1=（Θn-1.- Θn-2） eTnh（Θn-1)-Θn=（Θn- Θn-1） eTnh（Θn）。最后，定义关联到ΘnT（Θn）=（1）的实函数- Θ）eTnh（Θ）·Sn K- Θ- Θ，其中Θn-1=Θn+Θne-Tnh（Θn）和迭代，Θj-2=Θj-1.- （Θj- Θj-1） e类-Tnh（Θj-1） ，j=n。。。，3.通过二分法将T等于0，然后给出渐近最优测度。再次，我们用参数λ=1.15，u=0.04，ζ=0.2，ρ=-0.4，初始值V=0.04和S=1，在P，等式（6.2）和Pθ，等式（6.6）下，n=200，tj=jnT，使用具有200个离散步骤的标准Euler格式。对于P-变现X（i），我们计算亚洲认沽价格asNNXj=1K-SnnXj=1eX（i）tj+（6.11）对于Pθ-实现X（i，θ），aseΦ（t，Θ，…，Θn）+ψ（t，Θ，…，Θn）VNNXj=1e-Pnj=1θjX（i，θ）tjK-SnnXj=1eX（i）tj+. （6.12）再次，每次我们计算Pθ-标准差以及调整后和未调整的方差比。在表4中，我们将到期日固定为T=1.5，并让行程K在0.6和1.3之间变化。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.6 3.466·10-54.13 ·10-616.9 14.6 19.90.7 0.000562 2.60 ·10-55.77 4.77 21.10.8 0.00414 9.64 ·10-54.36 3.77 20.10.9 0.0185 0.00024 3.48 3.09 20.61 0.0558 0.00043 3.49 3.07 20.11.1 0.120 0.00057 3.69 3.20 20 20.11.2 0.206 0.00062 4.27 3.80 19.71.3 0.301 0.00059 5.30 4.41 21.0表4。作为亚洲看跌期权行使函数的方差比率。λ = 1.15, u = 0.04, ζ = 0.2, ρ = -0.4，S=1，V=0.04，T=1.5，N=10000，200个离散化步骤。结论与欧式看跌期权相同。事实上，当期权离开货币时，方差比率就会爆炸。由于度量值变化的时间依赖性，调整后的方差比其未调整版本低约13%。

然而，调整后的方差比仍然非常有趣，其值在3以上，约为货币。6.2. 具有负指数跳跃的赫斯顿模型中的欧洲看跌期权。现在我们考虑具有负指数跳跃的Heston模型=δ -及物动词dt+pVtdWt+dJt，X=0dVt=λ（u- Vt）dt+ζpVtdWt，V=VdW、 Wt=ρdt，（6.13），其中W，Ware标准P-布朗运动和（Jt）t≥0是一个独立的复合泊松过程，具有恒定的跳跃率r和跳跃分布Neg Exp（α），即（Jt）t的L'evy测度≥0isν（dx）=rαeαx{x<0}dx。S=sex上的鞅条件施加δ=rα+1。（Xt，Vt）isIE的拉普拉斯变换euXt+wVt= eφ（t，u，w）+ψ（t，u，w）V+uX，其中φ，ψ满足Riccati方程tφ（t，u，w）=F（u，ψ（t，u，w））φ（0，u，w）=0tψ（t，u，w）=R（u，ψ（t，u，w））ψ（0，u，w）=w（6.14），对于F（u，w）=λuw+￠κ（u），其中￠κ（u）=ru（u-1） （α+1）（α+u），andR（u，w）=ζw+ζρuw- λw+（u- u） 。同样，标准计算表明，广义Riccati方程（6.14）的解为ψ（t，u，w）=ζλζ- ρu-γζtanhγt+ η1+ηtanhγtφ（t，u，w）=μλζλζ- ρut型- 2μλζ对数cosh公司γt+ ηsinhγt+ t？κ（u），（6.15），其中γ=γ（u）=ζrλζ- ρu+-u-η=η（u，w）=λ-ζρu-ζwγ（u）。此外，对于具有负跳跃的Heston模型，函数h由h（u）=μλζ给出λζ- ρu- uλζγ（u）+Дκ（u）。（6.16）现在让我们研究Esscher变换对具有跳跃的Hestonmodel动力学的影响。提案6.6。

设Pθ为dPθdP=eθXTIE[eθXT]给出的度量。在Pθ下，具有跳跃（Xt，Vt）的P-Heston过程的动力学为Xt=δdt+θ+ζρψ（T- t、 θ，0）-Vtdt+pVtdWt+dJt，X=0dVt=λt（ut- Vt）dt+ζpVtd▄Wt，V=VdD▄W，▄WEt=ρdt，（6.17），其中▄W是二维相关Pθ-布朗运动，φ和ψ在（6.15）中给出，▄λt=λ- ζθρ - ζψ（T- t、 θ，0）和￠ut=λuИλtand（Jt）t≥0是一个复合泊松过程，在Pθ下具有跳跃率αα+θ和跳跃分布Neg Exp（α+θ）。证据表示（t，Xt，Vt）=dPθdPFt=eφ（T-t、 θ，0）eφ（t，θ，0）+ψ（t，θ，0）Veψ（t-t、 θ，0）Vt+θXt。D（t，Xt，Vt）的动力学可以用它的引理asdD（t，Xt，Vt）=D（t，Xt，Vt）（θdXt+ψ（t- t、 θ，0）dVt）+。。。dt=D（t，Xt，Vt）hpVtθdWt+ζψ（T-t、 θ，0）dWt+θ（δdt+dJt）和Girsanov定理表明WtWt= dWTWTWT-pVt公司θ+ζρψ（T- t、 θ，0）θρ+ζψ（t- t、 θ，0）dt是在测度Pθ下的二维布朗运动。将等式（6.2）中的W替换为W，即得到等式（6.17）。为了完成证明，还需要证明跳跃过程（Jt）t≥0在Pθ下具有所需的分布。让我们计算Jt的Pθ-拉普拉斯变换：IEPθeuJt公司=IEeuJtIE公司eθXT英尺IE[eθXT]=eφ（T-t、 θ，0）IE[eθXT]IEheuJt+ψ（t-t、 θ，0）Vt+θXti。根据跳跃的独立性，IEheuJt+ψ（T-t、 θ，0）Vt+θXti=eθδtIEhe（u+θ）jtieheψ（t-t、 θ，0）Vt+θ（Xt-δt-Jt）i，其中IEe（u+θ）Jt= e-rtu+θu+θ+α。此外，（Xt- δt- Jt，Vt）t≥0是无跳转的standardHeston进程。因此，比较（6.4）和（6.15），我们发现ψ（T-t、 θ，0）Vt+θ（Xt-δt-Jt）i=eφ（t，θ，ψ（t-t、 θ，0））-trθ（θ-1） （α+1）（α+θ）+ψ（t，θ，ψ（t-t、 θ，0））V.使用ψ（t，θ，ψ（t- t、 θ，0））=ψ（t，θ，0）和φ（t- t、 θ，0）+φ（t，θ，ψ（t- t、 θ，0））=φ（t，θ，0）（见等式。

（2.1）在（Keller-Restel，2011）中，我们最终获得了pθeuJt公司= eθδt-rtu+θu+θ+α-trθ（θ-1） （α+1）（α+θ）=eθrα+1t-rtu+θu+θ+α-trθ（θ-1） （α+1）（α+θ）=e-rαα+θtuu+（α+θ），这确实是一个复合泊松过程的拉普拉斯变换，其中跳跃率为αα+θ和负Exp（α+θ）-分布跳跃。6.2.1. 欧式看跌期权的数值结果。与没有跳跃的theHeston模型的情况类似，表示θ=θ（{T}），我们有^H（θ）+TZh（θ（[T，T]））dt=logK1级- θ- θ对数-θK/S1- θ+ Tuλζλζ- ρθ -γ(θ)ζ+ Tκ（θ）（6.18），我们通过对θ进行微分（6.18）并通过二分法将导数等于0来获得渐近最优θ。我们用参数λ=1.1，u=0.7，ζ=0.3，ρ=-0.5，r=2，α=3，初始值sv=1.3和S=1，在P，等式（6.13）和Pθ，等式（6.17）下，使用200个离散步骤的标准Euler格式。对于P-变现X（i），我们计算欧洲认沽价格的标准蒙特卡罗估计，对于Pθ-变现X（i，θ），我们使用（6.8），其中φ和ψ在（6.15）中给出，并计算与前面示例中相同的统计数据。在表5中，我们将走向固定为值K=1，并让到期日T在0.25到3之间变化，而在表6和表7中，我们将到期日固定为T=1和T=3，而让走向K在0.25到1.75之间变化。T价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 0.0945 9.96·10-43.28 3.00 23.60.5 0.147 1.28 ·10-33.20 2.99 24.51 0.215 1.61 ·10-32.95 2.77 24.72 0.309 2.04 ·10-32.61 2.43 24.73 0.374 2.30 ·10-32.40 2.20 25.0表5。在带有跳跃的赫斯顿模型中，方差比作为欧洲看跌期权到期日的函数。K价格标准误差变化率调整。

比率时间，s0.25 0.00606 7.83·10-511.6 10.4 25.80.5 0.0377 4.03 ·10-45.42 5.28 24.70.75 0.105 9.44 ·10-43.76 3.19 27.31 0.215 1.61 ·10-32.93 2.89 26.11.25 0.369 2.26 ·10-32.65 2.46 25.41.5 0.550 2.80 ·10-32.43 2.24 24.91.75 0.766 3.05 ·10-32.57 2.44 24.6表6。在Heston跳跃模型中，作为到期日T=1的欧洲看跌期权行使函数的方差比。K价格标准误差变化率调整。比率时间，s0.25 0.0280 2.69·10-45.19 4.99 24.80.5 0.108 8.60 ·10-43.32 3.05 25.10.75 0.226 1.58 ·10-32.68 2.56 26.31 0.374 2.31 ·10-32.39 2.20 27.01.25 0.545 3.01 ·10-32.20 2.19 25.21.5 0.730 3.66 ·10-32.09 1.94 24.61.75 0.932 4.27 ·10-31.97 1.83 24.8表7。在Heston跳跃模型中，作为到期日T=3的欧洲看跌期权行使函数的方差比。当向赫斯顿模型添加负跳跃时，可以看到方差减小。然而，当选项缺钱时，让它在应用程序中使用起来变得有趣仍然非常重要。在图6.2中，我们将到期日固定为T=1.5，并再次绘制估计值（6.8）的经验方差作为带跳跃的Heston模型θ的函数。该方法提供θ=-0.312作为渐近最优度量变化，与连续情况一样，非常接近最优度量变化。图6.2：。对于具有跳跃的Heston模型，蒙特卡罗估计量的方差作为θ的函数。参考Barndor Off-Nielsen，O.E.（1997）。正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2（1）：41–68。Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2001）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），63（2）：167–241。贝茨，D.S.（1996）。跳跃与随机波动：德国马克期权中的汇率过程Implicit。

《金融研究回顾》，9（1）：69–107。Dembo，A.和Zeitouni，O.（1998年）。大偏差技术和应用。斯普林格，《数学应用》，第二版。Du ffie，D.、Filipovic，D.和Schachermayer，W.（2003）。财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984–1053。Dupuis，P.和Wang，H.（2004）。重要性抽样、大偏差和差异博弈。《随机：概率与随机过程国际杂志》，76（6）：481–508。Genin，A.和Tankov，P.（2016）。L'evy过程的最优重要性抽样。预印本，arXiv:1608.04621。Glasserman，P.、Heidelberger，P.和Shahabuddin，P.（1999）。定价路径依赖的渐近最优重要性抽样和分层。数学金融，9（2）：117–152。Guasoni，P.和Robertson，S.（2008年）。连续时间内具有显式公式的最优重要性抽样。《金融与随机》，12（1）：1-19。Heston，S.L.（1993年）。随机波动性期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。金融研究回顾，6（2）：327–343。Jacquier，A.、Keller Ressel，M.和Mijatovi\'c，A.（2013年）。大偏差和带跳跃的随机波动率：a ffne模型的渐近隐含波动率。《随机：概率与随机过程国际杂志》，85（2）：321–345。Keller Ressel，M.（2011年）。矩爆炸和a ffnestochastic波动率模型的长期行为。数学金融，21（1）：73–98。Leonard，C.（2000年）。具有独立增量的泊松随机测度和过程的大偏差。随机过程及其应用，85（1）：93–121。Robertson，S.（2010）。随机波动率模型的样本路径大偏差和最优重要性抽样。随机过程及其应用，120（1）：66–83。Rockafellar，R.T.（1971年）。

作为凸泛函的积分。二、太平洋数学杂志，39（2）：439–469。