利率期限结构的一致性随机模型

我们假设X=（Xt）t∈[0,∞)允许转移半群（Pt）t∈[0,∞)作用于B（E）B（E上有界Borel函数的空间）。现在，我们将模型变量rc（t）、λ（t）和φ（t）定义如下：rc（t）=a（t）+ha，X（t）i（2.26）λ（t）=b（t）+hb，X（t）i（2.27）φ（t）=c（t）+hc，X（t）i（2.28），其中a、b、c是E和a、b中的任意常量投影向量。注意，过程（rc，λ，φ）通常不具有马尔科夫性质，当它具有马尔科夫性质时，它是先验时间不均匀的。为了保持分析的可跟踪性，在本文中，我们将把Markovprocess X纳入一类精细过程中，由Duf fie和Kan（1996）引入，然后由Duf fie et al.（2003）在规范状态空间域e=Rm+×Rn中进行分类。由于正半无限矩阵状态空间的有趣扩展，最近恢复了精细过程（见Bru（1991），Gourieroux和SufanaIRS OIS 1m/3m 3m/6mT投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函0.5 0.50825 0.13 0.17 9.6 9.6 19.32 21.321 0.311 0.331 0.125 0.165 8.29 9 16.25 18.252 0.37 0.395 0.125 0.165 7.8 9.8 13.56 15.563 0.5 0.5 0.12 0.16 7 9.21 11.7 13.74 0.657 0.667 0.16 7 7 7.7 10.64 12.645 0.83 0.87 0.109 0.16 7.3 7.3 9.74 11.746 1.0862 1.0978 0.13 0.17 6.8 6.8 10.2 10.28 1.5001 1.5149 0.2260.276 6 6 9.7 9.79 1.6496 1.6684 0.368 0.418 5.7 5.7 9.7 9.7 9.710 1.836 1.837 0.563 0.613 5.3 5.3 8.67 10.67表2：2013年1月1日的市场数据报价。资料来源：彭博社（2003年）、Da Fonseca等人（2007年）、Grasselli和Tebaldi（2008年）和Cuchiero等人（2011年））。在附录A中，我们回顾了AFFINE过程的定义及其在Riccati ODE解决方案方面的特征。然后，在附录B中，我们对掉期以及caps等非线性工具的定价所涉及的相关预期进行了计算。

我们强调，我们的框架极易处理。3市场数据校准在本节中，我们继续根据隔夜指数掉期、Vanilla和基础掉期的市场数据，根据多因素Cox/Ingersoll/Ross（CIR）动力学校准模型版本，逐步向校准中添加更多工具。因此，目标是为所有期限的利率期限结构获得一个经过校准的、一致的滚动风险模型。下文第4节更明确地将滚动风险划分为信贷和融资流动性部分，其中包括校准工具集中的信贷违约掉期。该模型的这一版本是通过最近研究的多项式过程的更一般家族中的一个过程获得的。g、 菲利波维奇和拉尔森（2016），另见其中的参考文献。我们的方法可以很容易地扩展到这个更大的类，只需稍作修改，并在计算期望值时使用稍微不同的技术。同样的情况也适用于其他过程，例如L’evy驱动模型，见Eberlein和Raible（1999）。

事实上，考虑到我们的校准工作，随机模型的选择对于有效计算续集中涉及的相关期望非常有用。IRS OIS 1m/3m 3m/6mT投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函ask0.5 0.3263 0.3263 0.091 0.096 8.2 8.2 1.96875 2.468751 0.337 0.3395 0.092 0.097 8.75 9.25 2 2.09375 2.218752 0.7191 0.7231 0.094 0.099 9 9 9.625 10.125 2.125 2.253 1.157 1.161 0.103 10.25 10.75 2.125 2.254 1.5234 1.5234 74 0.126 0.131 10.75 11.25 2.15625 2.281255 1.8 1.8038 0.184 0.189 11.5 2.15625 2.281256 2.0166 2.0206 0.345 0.355 10.87511.375 2.15625 2.281258 2.3348 2.3388 0.949 0.989 10.125 10.625 2.15625 2.281259 2.4551 2.4591 1.296 1.346 9.625 10.125 2.15625 2.2812510 2.559 2.563 1.562 1.602 9.125 9.625 2.15625 2.28125表3：2014年9月8日的市场数据报价。资料来源：Bloombergmaking动力学（2.26）–（2.28）特定asrc（t）=a（t）+dXi=1aiyi（t）（3.1）λ（t）=b（t）+dXi=1biyi（t）（3.2）φ（t）=c（t）+dXi=1ciyi（t）（3.3），其中yi遵循定价措施下的Cox–Ingersoll–Ross（CIR）动力学，即dyi（t）=κi（θi- yi（t））dt+σipyi（t）dWi（t），（3.4），其中dWi（t）（i=1，···，d）是独立的维纳过程。为了保持模型的分析可处理性，根据（2.26）–（2.28），我们在这一阶段不考虑时间相关系数。由于每个因子都遵循独立的CIR型动力学，因此每个因子保持正值的充分条件是2κiθi≥σi，i、 正如Cox等人（1985年）所讨论的单因素案例。我们从OIS开始校准，然后包括货币市场工具，如香草掉期和基础掉期。原则上可以对具有可选性（上限/下限和互换选项）的仪器进行校准，但不包括在本文件的范围内。

在每个步骤中，校准包括最小化校准条件（如（2.9）和（2.23））的平方偏差之和。例如，继Schl¨ogl和Schl¨ogl（2000）之后，系数可以分段保持不变，以便于校准现金期权价格数据，同时保留大多数分析可处理性。IRS OIS 1m/3m 3m/6mT投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函ask0.5 0.4434 0.4434 0.136 0.146 9.1 9.1 2.375 2.8751 0.51 0.511 0.159 0.164 10 10.5 2.19675 2.196752 0.896 0.898 0.175 0.18 11.75 12.25 1.9375 2.056253 1.2354 1.2404 0.189 0.194 13.5 1.84375 1.968754 1.5103 1.5153 0.255 0.26 13 625 14.125 1.78125 1.906255 1.698 1.757 0.333 0.338 13.875 14.375 1.78125 1.906256 1.918 1.922 0.541 0.581 13.75 14.251.75 1.8758 2.1877 2.1917 0.991 1.041 13.035 14.035 1.8125 1.93759 2.2857 2.288 1.255 1.305 13 13 13.5 1.84375 1.9687510 2.3665 2.369 1.478 1.518 12.75 13.25 1.90625 2.03125表4：2015年6月18日的市场数据报价。资料来源：BloombergIRS OIS 1m/3m 3m/6mT投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函ask0.5 0.90415 0.90415 0.379 0.385 17.3 17.875 4.96875 5 5.968751 0.775 0.774 0.395 0.402 15.75 17.232 5.35 5.6252 0.8935 0.4055 0.4125 15 14.4 4 7 25 5 5 5 1.725 5 5 5 5 5 5 1.0005 1.0054 0.419 0.42 14.625 13 4 4 4 4 4 4 4 1.654 1.1 1075 1.1095 0.452 0.459 13.111 13.623 4.075 4.3255 1.208 1.21 0.485 0.492 12.245 13.237 3.825 4.0756 1.3097 1.312 0.540.548 12.2 12.755 3.825 3.8258 1.4895 1.4895 0.685 0.695 10.063 11.337 3.7 3.79 1.5655 1.5675 0.7838 0.7938 9.665 10.904 3.575 3.82510 1.634 1.636 0.863 0.903 9.359 10.625 3.625 3 3.85表5：2016年4月20日的市场数据报价。来源：Bloombergs由于我们同时对多个风险源进行建模，校准问题必然成为高维非线性优化问题之一。为此，我们采用Ingber（1993）的“自适应模拟退火”算法和Storn和Price（1997）的差分进化算法。

所考虑工具的数据集（每日买入和卖出价格）来自彭博社，包括2013年1月1日至2017年10月31日的美元（USD）工具。由于我们将模型校准为“横截面”数据，即单日市场的“快照”，因此我们仅给出一组示例性日期的结果，并验证了数据期内其他日期的结果在质量上是相似的。IRS OIS 1m/3m 3m/6mT投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函ask0.5 1.43128 1.43128 0.9809 0.989 13.7091 16.4909 19.5232 20.22681 1.385 1.39 1.1165 1.1165 14.016 15.184 17.4461 18.64392 1.6098 1.6188 1.3335 1.3335 13.6717 15.0783 15.4479 16.7523 1.7962 1.494 1.504 11.7628 15.4372 13.9918 15.408 24 1.9304 1.9354 1.601 1.649 11.4041 14.0959 13.785 14.3655 2.038 2.0401 1.718 1.728 11.6383 12.3617 13.649514.15056 2.1249 2.1299 1.796 1.804 10.7223 11.7777 13.4117 14.33838 2.2614 2.2664 1.914 1.924 10.1162 10.7838 13.4088 14.29129 2.3159 2.3209 0.9809 9 9 9.7987 10.5013 14.0925 14.307510 2.3671 2.368 1.987 2.037 9 9.5421 10.258 13.6338 14.6062表6：2017年3月22日的市场数据报价。资料来源：BloombergIRS OIS 1m/3m 3m/6mT投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函投标邀请函ask0.5 1.57511 1.57511 1 1.3455 1.3555 2.5057 5 5 5.9943 9.5544 10.19561 1.6286 1.6316 1.4655 1.4715 6.2566 6.7434 10.127 11.07312 1.8071 1.8121 1.59 1.63 7.127 8.873 10.8631 11.38693 1.9235 1.9284 1.699 1.709 8.1502 8.8498 11.2341 4 12.01564 2.0095 2.0115 1.749 1.799 8.1319 9.1181 11.4939 12.30615 2.0815 2.0832 1.827 1.837 8.2078 9.042211.8685 12.83156 2.1469 2.1488 1.862 1.912 7.8617 8.8383 12.1997 13.17538 2.261 2.264 1.961 2.011 7.2408 8 8.0593 13.1587 13.85139 2.3086 2.3103 1.3455 2.042 7.3706 7 7.8294 13.5685 14.331510 2.3519 2.3533 2.035 2.085 6 6 7.8384 13.4028 14.7973表7：2017年10月31日的市场数据报价。

来源：Bloomberg3.1市场数据处理我们的目标是将模型联合校准为三种不同的期限频率，即1个月、3个月和6个月期限，以及基于OIS的贴现系数。表2至表7分别显示了2013年1月1日、2014年9月8日、2015年6月18日、2016年4月20日、2017年3月22日和2017年10月31日的市场数据。在美元市场，基准利率掉期（IRS）支付3个月的伦敦银行同业拆借利率，而不是6个月的固定利率，即δ=0.25和 = 0.5. 为了使IRS与其他到期的LIBORof指数挂钩，我们可以使用基础掉期与基准IRS的组合。1个月、3个月和6个月期限的校准条件以公式给出，到期日T={0.5、1、2、3、4、5、6、8、9、10}，因为基差掉期市场中没有7年到期的报价。IRS和OIS以%表示，而基础掉期以基点表示，即百分之一的百分之一。（2.24），（2.23）和（2.25）。我们使用市场数据计算这些方程的右侧。我们称之为“市场方面”我们使用OIS方程（2.5）进行插值。我们的方法是将模型校准为基于OIS的贴现因子，然后使用校准后的模型推断任何所需中间期限的贴现因子。特别是，我们为OIS bid和ask引导时间相关参数A，然后使用OIS方程插值债券价格，以获得相应的中间成熟度bid和ask值。3.2模型校准问题模型校准是一个确定模型参数的过程，以使模型价格尽可能接近市场价格，即在方程式（2.23）中，我们希望左侧与右侧相等。本质上，我们是在暗示市场数据中的模型参数。

最常见的方法是最小化模型价格和市场价格之间的偏差，即在“相对最小二乘”意义下的Arg minθ∈ΘNXi=1Pmodel（θ）- P市场, （3.5）其中N是校准仪器的数量。θ表示从Θ（模型参数值的容许集）选择参数。pmodel和pmarketar分别是模型价格和市场价格。在我们的例子中，Pmodelis是（2.23）的左侧，Pmarketis是同一等式的右侧。市场工具通常以买入价和卖出价报价，因此我们认为市场价格仅在买入/卖出价差内准确。因此，我们只要求模型价格在投标范围内，而不是试图精确地确定中间价格。（3.5）中的问题可以表示为Arg minθ∈ΘNXi=1最大值Pmodel（θ）- Paskmarketpaksmarket，0+ 最大值Pbidmarket公司- Pmodel（θ）Pbidmarket，0. （3.6）基于梯度的技术通常不足以处理此类高维问题。相反，我们使用两种方法进行全局优化，即差分进化（DE）（参见Storn和Price（1995，1997））和自适应模拟退火（ASA）（参见Ingber（1996，1993））。3.3模型参数要求模型由以下数量组成：Rc是银行间隔夜利率的短期利率抽象，φ是纯融资流动性风险，λ表示展期风险的信贷或续期风险部分。为了保持优化问题的可控性，我们将校准分为3个阶段：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.5 1 2 3 4 5 6 9 1012152025向前速度Curvebidask图1:OIS–2013年1月1日的隐含远期利率（基于彭博社的数据）o第1阶段：根据OIS数据拟合模型。

OIS模型参数包括集合θ={ai，yi（0），σi，κi，θi，i=1，···，d和a（t），t∈ [Tk-1，Tk]，k=1，2，····，10}。式中，d是系数的数量（此处考虑的情况下为一个或三个）。o第2阶段：使用第1阶段校准的参数，根据基础掉期校准模型。从第B.1节的结果来看，请注意，基差掉期仅通过c（t）+qb（t）依赖于c（t）和B（t），即两者不能单独基于基差掉期数据进行分离-这将在第4节中实施信用违约掉期校准时进行。定义d（t）=c（t）+qb（t），并在此阶段假设常数d。因此，此步骤中需要确定的参数为θ={bi，ci，q，i=1、··、d和d}第3阶段：现在，在保持所有其他参数不变的情况下，我们通过允许d（t）是时间的分段常数函数，即d（t）=d（k），来改进Vanilla和基差掉期∈ [Tk-1，Tk）。由于最短期限为一个月-1，Tk）选择为一个月的时间间隔。

然后，校准问题被低估，因此我们的目标是通过在校准目标函数中施加基于连续值之间的平方偏差之和的额外惩罚，使d（k）变化尽可能小，即Xk（d（k+1）- d（k））。这种关于时变参数的平滑度标准在利率期限结构模型的校准文献中得到了很好的确立，在这种情况下的使用可以追溯到Pedersen（1998）的开创性论文。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10成熟度-3-2-101210-3模型-市场出价模型-市场提问（a）2 3 4 5 6 8 9 10成熟度-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.510-3模型-市场出价模型-市场提问（b）2014年9月8日2 3 4 5 6 8成熟度-3-2-1012310-3模型-市场出价模型-市场提问（c）2015年6月18日500.510-3模型-市场报价模型-市场ask（d）20161年4月20日2 3 4 5 6 7 8 9 10成熟度-1-0.500.511.522.533.5410-3模型-市场出价模型-市场ask（e）20171年3月22日2 3 4 5 6 7 8 10成熟度-3-2-101210-3模型-市场出价模型-市场ask（f）2017年10月31日图2：单因素模型拟合OIS贴现因子（基于彭博社数据）3.4拟合OIS贴现因子我们使用隔夜指数掉期（OIS）根据方程式（2.11）和（2.19）提取OIS贴现系数DOIS（t，t）的数据。请注意，这是独立于模型的。彭博社提供的OIS数据有效期为30年。然而，与10年或更少的成熟度相比，10年以上OIS的治疗似乎存在系统性差异。当我们观察OIS贴现因子所暗示的远期利率时，这一点变得尤为明显：如图1所示，远期利率在10年大关时出现峰值。

因此，目前，我们将只在模型校准中关注10年到期的债券。OIS贴现因子仅取决于rc的动态，因此校准OIS贴现因子仅涉及方程式（2.26）中的参数。按照CIR型期限结构模型的标准实践，我们可以确保该模型通过（确定性）函数a（t）的时间依赖性来拟合观察到的（初始）期限结构。在单因素情况下（d=1），选择a=1，我们首先确定初始y（0）和常数参数a、κ、θ和σ，以便尽可能接近给定日期观察到的OIS贴现系数，然后选择时间相关（分段常数）a（t），以实现完美的fit，如图2所示。在该图中，基于OIS bid的折扣因子与模型折扣因子之间的差异始终为负，基于OIS ask的折扣因子与模型折扣因子之间的差异始终为正。这意味着我们已将模型推向市场，因为模型价格始终介于市场出价和风险之间。拟合参数如表8至14.3.5所示，适用于OIS、vanilla和基础掉期。每个vanilla掉期的校准条件由方程式（2.23）给出，对于每个HBASIS掉期，我们获得的条件如（2.24）或（2.25）所示。具体而言，以美元为单位，我们有香草掉期交易，其浮动期指数为四分之一支付的三个月伦敦银行同业拆借利率，而固定期每半年支付一次。我们将其与三个月、六个月和一个月、三个月的基差掉期相结合，为每个到期日提供三个校准条件（同样，我们将自己的到期日限制在十年以内，对于彭博社提供的数据，即。