利率期限结构的一致性随机模型

第2节以模型变量表示基本工具，即隔夜利率、信用利差和代表纯融资流动性风险的利差。第3节根据OIS、利率和基差掉期的多因素Cox/Ingersoll/Ross型动态市场数据校准了模型的具体规格-这是模型的版本，仅侧重于频率基础。为了根据市场数据校准，将展期风险分为其信贷和流动性部分，我们需要包括回购（“无违约”利率）和信贷违约掉期（CDS）——这在第4节中完成。第5节结束。2模型2.1模型变量我们建立了一个没有套利机会的无摩擦市场模型，其中交易在时间间隔[0，T]内持续进行，其中T是任意的正最终日期。通过过滤概率空间对市场的不确定性进行建模(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，Q），支持我们即将引入的所有价格流程。此处q表示风险中性度量，因此我们直接在定价度量下对市场进行建模。此外，eqt是EQ[.| Ft]的简写。用RCR表示银行间隔夜利率（如联邦基金利率或EONIA）的连续复合短期利率抽象。这等于无风险（无违约）连续复合短期利率r加上信贷利差。在最简单的情况下，可以采用“违约部分恢复”，即“市场价值恢复”模型，并用q表示违约损失部分（假定不变）。

Rc（s）=r（s）+∧（s）q（2.1），其中∧（s）q是整个面板的平均（市场聚合）信贷利差，∧（s）是相应的违约强度。请注意，尽管导言中提到的“多曲线”利率建模文献中的一个重要部分HeuristicalyAdvanced认为（主要由于其短期到期）银行间隔夜利率基本上没有违约风险，但在基于强度的违约模型中，即使在瞬时限值下，这也是不正确的。在我们的建模中，我们不需要这个参数。相反，它证明了RCI是对任何fullySee Duf fie和Singleton（1999）的支付进行折现的适当比率。在这里，“风险中性度量”是指与即时无违约利率r贴现相关的等价鞅度量（即，计分是相关的连续复合储蓄账户）。在存在市场可能不完整的风险（如信用风险）的情况下，这一衡量标准不一定是唯一的，但我们遵循大部分信贷衍生品文献，假设模型在尽可能适用于可用的流动性市场工具的情况下，为我们提供了假定定价标准下的“正确”动态。

换言之，模型价格是无套利的，相对于市场中观察到的价格而言，但这并不一定意味着任何偏离这些模型价格的行为都会导致可利用的套利机会。行动时间t或过夜，-eRTtrc（s）数据从时间T滚动到时间T。输入OIS 0 eRTtrc ds- （1+（T- t） OIS（t，t））以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）-1+贷款（t- t） L（t，t）净结果0（t- t） （L（t，t）- OIS（t，t））表1：假设没有滚动-超额风险，利用伦敦银行同业拆借利率/OIS利差的策略。担保衍生产品交易，因为标准ISDA信贷支持附件（CSA）规定，过账担保品按银行间隔夜利率计息。滚动风险通过引入π来建模，表示任意但固定实体在隔夜借款时必须支付的超额利差。π（s）有两个组成部分，π（s）=φ（s）+λ（s）q（2.2），其中φ（s）是纯融资流动性风险（包括特殊和系统性风险），λ（s）qi是rc上的特殊信贷利差（最初，例如在时间0时，λ（0）=0，因为在校准基差数据时，我们正在考虑市场聚合平均值）。任何给定（但具有代表性）XIBORpanel构件的默认强度为∧（s）+λ（s）。因此，λ（s）q代表展期风险的“信贷”（也称为“续期”）风险组成部分，即特定借款人无法在隔夜（或在我们的数学抽象中是瞬间）在rc展期债务的风险，而不必支付额外的利差λ（s）q，因为其信贷质量低于确定rc的小组贡献者的信贷质量。2.2具有展期风险的OIS，一期案例让我们首先考虑最简单的案例，即LIBOR/OIS在单个应计期的利差。

在没有展期风险的情况下，可以构建一种利用这种利差的策略（可以为多个应计期构建类似的策略，或者利用频率（期限）基础）：以隔夜利率借款，每天滚动借款。签订OIS收票和付款固定，从而限制利率风险敞口。按伦敦银行同业拆借利率贷款。尽管这并不是严格意义上的后一点的详细讨论，请参见Piterbarg（2010）。在第3节中，φ（s）将被建模为扩散，作为我们模型的“第一次切割”混凝土规格。正确建模流动性冻结可能需要允许φ（s）跳跃-本节中列出的框架将允许这种扩展。再次注意，为了数学上的方便，我们将“每日”等同于连续时间最小限制，如果这种简化被认为具有实质性影响，则可以取消它，而代价是一些额外的数学繁琐。一种套利策略，如果我们假设一方保证能够以rc方式展期借款（即，在没有展期风险的情况下），并且信贷利差对称地适用于借款人和贷款人，则该策略产生的利润等于LIBOR/OIS利差，如表1所示。

我们将此利润解释为对展期风险的补偿，我们现在将继续进行从t到t的隔夜借款（设置δ=t- t） ，滚动本金和利息直至到期，任意但固定的实体在时间t支付：- eRTtrc（s）dseRTtπ（s）ds（2.3）假设借贷时对信用风险进行对称处理，从t到t向任意但固定的实体借贷将产生强度为∧（s）+λ（s）的信用风险。贴现为r（s）+（λ（s）+λ（s））q=rc（s）+λ（s）qt（2.3）的现值为- EQtheRTtφ（s）dsi（2.4）输入OIS以接收隔夜利率并支付固定利率OIS（t，t），使用rc贴现（由于OIS的抵押），付款的现值为1 qth1- e-RTtrc ds- e-RTtrc（s）dsOIS（t，t）δi（2.5）应计期内t时观察到的即期伦敦银行同业拆借利率【t，t】用L（t，t）表示。以伦敦银行同业拆借利率L（t，t）贷款时，我们（在时间t）收到信用风险付款1+δL（t，t）折扣，如上所述，rc（s）+λ（s）q，此Iseqt的现值-RTt（rc（s）+λ（s）q ds（1+δL（t，t））i（2.6）我们必须（因为策略的初始投资为零）三项（（2.4），（2.5）和（2.6））之和为零，即EQtheRTtφ（s）dsi=EQth1+e-RTt（rc（s）+λ（s）q）ds（1+δL（t，t））- e-RTtrc（s）ds（1+δOIS（t，t））i（2.7）由于违约风险的潜在影响，该策略并非严格无风险。然而，这种违约风险应反映在任何银行间借贷信贷利差中，无论是隔夜还是更长时间。

正如下文所示，正是展期风险引入了短期和长期债权之间的新区别。我们需要对“信贷”和“融资流动性”部分的展期风险进行对称处理，以保持基差的可加性：将一个月的期限换成三个月的期限，然后将三个月的期限换成12个月的期限，在财务上相当于将一个月的期限换成12个月的期限，因此（忽略交易成本），1百万/1200万基差必须等于1百万/300万和3百万/1200万基差之和。因此，如果更新风险为零，即λ（s）≡ 0，则LIBOR/OIS利差仅由资金流动性风险引起：EQtheRTtφ（s）dsi=EQth1+e-RTtrc（s）dsδ（L（t，t）- OIS（t，t））i（2.8）定义隔夜利率隐含的贴现因子，即dois（t，t）=eqt-RTtrc（s）dsi（2.9）由于初始OIS的按市值计价为零，因此OIS（t，t）=1- DOIS（t，t）δDOIS（t，t）（2.10）<=> DOIS（t，t）=1+δOIS（t，t）（2.11），因此Rc的动力学应与（2.11）（DOIS（t，t）的项结构）一致，φ（s）和λ（s）的动力学应与（2.7）一致。以下备注值得注意：o（2.11）表示-RTtrc（s）ds（1+δOIS（t，t））i=1因此（2.7）意味着我们不能-RTt（rc（s）+λ（s）q）ds（1+δL（t，t））i=1（2.12），除非φ（s）=0，即除非伦敦银行同业拆借利率/OIS利差仅由续期风险引起。o（2.12）似乎有悖常理，但这是因为（2.12）中的贴现只考虑了信用风险（包括“续订风险”），即。

它没有考虑到伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）借款人为避免φ（s）固有的展期风险而支付的溢价。2.3具有展期风险的OIS，多期案例OIS可能会在一个应计期【T，T】（特别是当OIS覆盖的期限超过一年时）在T支付一次以上的频率。在这种情况下，上一节的策略需要修改如下。隔夜借款t=Tto Tn（正常化Tj- Tj公司-1= δ, 0<j≤ n） ，本金滚动至到期，利息向前推至每个Tj，任意但不可执行的身份在Tj时支付(0<j<n）：1- eRTjTj公司-1rc（s）dseRTjTj-1π（s）ds（2.13），时间Tn：- ERTNTNT公司-1rc（s）DSERTNTNT-1π（s）ds（2.14）用rc（s）+qλ（s）贴现，该现值为-1Xj=1EQthe公司-RTjt（rc（s）+qλ（s））dsi- EQte-RTj公司-1t（rc（s）+qλ（s））dseRTiTj-1φ（s）ds- EQthe公司-RTn公司-1t（rc（s）+qλ（s））dseRTnTn-1φ（s）dsi（2.15）输入OIS以接收隔夜利率，并在每个Tj支付固定利率OIS（t，Tn）(0<j≤ n） ，使用rc贴现，付款现值为nxj=1（DOIS（t，Tj-1) - （1+δOIS（t，Tn））DOIS（t，Tj））（2.16）如果可以借贷给时间Tnat L（t，Tn）（即，市场上引用伦敦银行同业拆借利率L（t，Tn），并假设伦敦银行同业拆借利率以年复利报价，以Tn- t=m，利息和本金的现值等于-RTnt（rc（s）+qλ（s））ds（1+L（t，Tn））mi（2.17）我们必须有（因为策略的初始投资为零）三项（（2.15），（2.16）和（2.17））之和为零。

由于theOIS最初的按市值计价为零，我们可以降低（2.16）并将其直接写为nxj=1EQte-RTj公司-1t（rc（s）+qλ（s））dseRTjTj-1φ（s）ds=EQthe公司-RTnt（rc（s）+qλ（s））ds（1+L（t，Tn））mi+n-1Xj=1EQthe-RTjt（rc（s）+qλ（s））dsi（2.18）类似于单周期情况，由于OIS例外的按市值计价为零，因此OIS（t，Tn）=1- DOIS（t，Tn）δPnj=1DOIS（t，Tj）（2.19）2.4任意但固定的小组成员在长期应计期内面临的利率将（2.11）替换为（2.7），我们得到了L（t，t）的动力学，作为φ，rcandλ的动力学条件期望：L（t，t）=δEQtheRTtφ（s）dsiEQthe-RTt（rc（s）+λ（s）q）dsi- 1.（2.20）将其改写为贴现系数dl（t，t）=（1+δL（t，t））-1=设备-RTt（rc（s）+λ（s）q dsiEQtheRTtφ（s）dsi（2.21）我们看到，如果我们假设rc（s）+λ（s）q的动力学与φ（s）无关，则在rcinside上的“瞬时扩散”（公认为理论抽象）期望变为简单的π（s）=φ（s）+λ（s）q:DL（t，t）=EQthe-RTt（rc（s）+φ（s）+λ（s）q）dsi（2.22）2.5超过LIBOR到期的利率掉期（IRS）展期风险的应用必须是对称的，即适用于借贷双方的展期（借贷符号相反），否则矛盾是不可避免的。假设我们使用利率互换将具有期限结构T（L）的LIBOR从T（L）=T=T toT（L）nL转换为固定利率s（1）（T，T（1）n），根据期限结构T（1）支付，T（L）nL=T（1）n。对于（完全抵押的）掉期交易，必须持有Nlxj=1EQt“e-RT（L）jtrc（s）ds（T（L）j- T（L）j-1） L（T（L）j-1，T（L）j）#=nXj=1磅（T，T（1）j）（T（1）j- T（1）j-1） s（1）（t，t（1）n）（2.23）通常，我们有固定的（普通的）市场数据，针对不同期限、单一期限频率的流动掉期。

将其与基础掉期的市场数据相结合，我们得到了市场校准条件矩阵（2.23），即每个（到期日、期限）组合有一个条件。请注意，基差通常添加到基差掉期的较短期限中，因此（2.23）需要相应修改。

例如，如果T（L）对应于三个月的频率，T（1）对应于六个月的频率，T（2）对应于一个月的相同到期频率（T（L）nL=T（2）n），这种矛盾尤其会出现，因为在处理展期风险时的不对称性会阻止基差的相加：将支付一个月伦敦银行同业拆借利率与接受三个月伦敦银行同业拆借利率的头寸与支付三个月伦敦银行同业拆借利率与接受六个月伦敦银行同业拆借利率的头寸相结合，相当于支付一个月伦敦银行同业拆借利率与接受六个月伦敦银行同业拆借利率的头寸；因此（截至交易成本），一个月与六个月的基差应等于一个月与三个月以及三个月与六个月的基差之和。例如，普通美元掉期将三个月的伦敦银行同业拆借利率（每三个月支付一次）与每六个月支付的固定付款流进行交换。将（2.23）与基差掉期和利差b（t，t（L）nL，t（2）n）相结合，我们得到nxj=1EQt“e-RT（2）jtrc（s）ds（T（2）j- T（2）j-1） L（T（2）j-1，T（2）j）#=nXj=1磅（T，T（1）j）（T（1）j- T（1）j-1） s（1）（t，t（1）n）-nXj=1磅（t，t（2）j）（t（2）j- T（2）j-1） b（t，t（L）nL，t（2）n）（2.24）相反，因为基差掉期的惯例是基差掉期利差加至较短的期限，如果t（L）对应于三个月的频率，t（1）对应于六个月的频率，而t（3）对应于十二个月的相同到期频率（t（L）nL=t（3）n），则将（2.23）与基差掉期和利差b（t，t（L）nL，t（3）n）相结合，我们得到nxj=1EQt“e-RT（3）jtrc（s）ds（T（3）j- T（3）j-1） L（T（3）j-1，T（3）j）#=nXj=1磅（T，T（1）j）（T（1）j- T（1）j-1） s（1）（t，t（1）n）+nXj=1磅（t，t（3）j）（t（3）j- T（3）j-1） b（t，t（L）nL，t（3）n）（2.25）2.6随机建模我们假设该模型由时间齐次af-fine马尔可夫过程x驱动，该过程取Rd（d）的非空凸集E中的值≥ 1） ，赋予内积h·、·i。