风险分担委托代理问题分析

这包括在（2.3）中：由于负功率-γPγA，上界随着代理效用的降低而增加。现在我们有了委托人的预期效用的分解和它精确保持的条件（Borch规则），我们转而进一步利用这种分解和代理的预期效用的外观，以获得一个没有W和a的界。我们在以下两个命题中分两个阶段进行。提案2.2。让a进入R+。对于W（a）中的任何W，Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA≤ 向上(-y） ×inf▄a∈R+E向上Xa- κ（￠a）γAγA+γPγA+γPγAProof。将参与约束（1.1）应用于右侧术语，并在左侧术语的a中进行优化。因此，仍需在a中执行优化。为此，我们引入以下两种符号：eκ（p）：=supx∈R+（px- κ（x）），对于任何p≥ 0和κ*（p） ：=argsupx∈R+（px- κ（x）），对于任何p≥ 0.~κ是κ的勒让德变换，而κ*是它的相关论点。由于κ的凸性，这些都得到了很好的定义。我们在下面的命题中使用这两个符号来执行a中的优化，并获得我们的上界。提案2.3。对于R+中的任何a，它认为：Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa≥ E向上Xa公司*- κ（a*)γAγA+γPγA+γPγA=经验值(-γP（x+～κ（1）））E经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA，其中A*:= κ*(1). 因此，我们对Cadm中的任何（W，a）都有：Eh | UP（Xa）- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA≤ 向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA.证明。见第5.2节。定理2.1、命题2.2和命题2.3的结合允许我们在a中利用委托人的预期效用分解、参与约束和非优化，以上界委托人的价值函数。我们得到的上边界没有W和a，是证明存在性的关键。

事实上，我们现在能够证明，对于一个事实上唯一的可接受合同，这个上界是达到的。这给出了我们的主要结果，它同时是第一个最佳问题的解的存在性、唯一性和特征化结果，也是以下关键定理的目标。定理2.2（存在性、唯一性和特征化）。（i） 考虑Cadm中任何契约中的（W，a），那么它认为：E[UP（Xa- W）]≤ 向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA.（ii）现在让（W*, 一*) 如下所示：a*= κ*（1） andW公司*=γPγP+γAXa*+ β*,β*:= y+κ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+κ*(1)) -γAlnE经验值-γPγAγP+γAB.然后（W*, 一*) 是唯一验证（2.5）并饱和participationconstraint的联系人。（iii）此外：EhUPXa公司*- W*i=向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA。因此（W*, 一*) 唯一合同是否达到上限。因此，对于Cadm中的任何（W，a）：E[向上（Xa- W）]≤ EhUP公司Xa公司*- W*i、 和（W*, 一*) 是第一个最佳Principal代理问题的最优契约。证据见第5.3节。备注2.2。在本节中，我们假设我们希望在整个R+中找到一个最佳行动。事实上，我们也可以考虑对R+的紧致子集进行优化。对于这样的子集，最优操作是：*= 阿格苏帕∈南非- κ（a）我们可以将我们的关键定理应用于更具体的高斯设置，如下所示。例2.1。考虑高斯设置，其中B~ N（0，1）和κ（x）：=R+中某些K的Kx。风险分担问题存在唯一的最优联系。我们设置：a*:= κ*（1） =K，W*=γPγA+γPXa*+ β*,其中最佳β*具有以下表达式：β*:=γA |γP | 2 |γA+γP |+y+κ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+κ*(1)) .合同（W*, 一*) 是此设置中的最佳风险分担合同。

委托人的最佳预期效用值：EhUP（Xa*- W*)i=向上（x- y） 经验值γP-eκ（1）+γPγA2（γA+γP）.因此，我们的主要定理包括了文献[5]中讨论的单周期高斯集的著名结果。我们注意到，它甚至允许我们进一步超过[5]，并完全指定截距β*而不是让它依赖于拉格朗日乘数。备注2.3。定理2.2将解的存在性扩展到有界财富过程设置之外。它这样做没有对最优契约的形式做任何假设，并且使用了一个解析不等式，而不是我们缺乏矫顽力的变分法。Italso提供了一个重要的唯一性证明。因此，该结果通过在CARA公用事业案例中考虑一般设置（一般财富过程、福利函数的一般成本等），完成了对存在性和唯一性的预先判断。本节中讨论的推理可推广到连续时间设置，这将是第4节的重点。同时，我们对风险分担问题进行了一些进一步的分析，可以使用R everse-Holder不等式来收集这些问题。3通过反向霍尔德不等式对合同进行比较在本节中，我们使用命题2.1中给出的反向霍尔德不等式来比较风险分担环境中的不同合同。事实上，委托人预期效用分解的乘法性质促使我们比较不同条件下的效用比率。该分析揭示了校长可能希望做出的一些选择的影响。我们首先研究了实施另一项行动而非最佳行动的效果。在某些情况下，委托人确实希望超过或低于代理人，以下命题量化了这种选择对委托人自身效用的影响。

请注意，不平等的方向（3.1）一开始似乎与直觉相反，但这是由于预期效用的负信号。命题3.1（实施次优a的影响）。设a为W（a）中的任何积极行为，Wbe为W（a）中的任何契约。Let（W*, 一*) 是定理2.2中描述的最优契约。我们将代理人的行动比率R（a）定义为：R（a）：=Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγa+γPiEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPi=经验值(-γP（a- κ（a）））exp(-γP（a*- κ（a*))γAγA+γP，参与约束比C（W，A）为：C（W，A）：=E[UA（W- κ（a））]E[UA（W*- κ（a*))]=E[UA（W- κ（a））]UA（y）。那么它认为：E[UP（Xa- W）]E[向上（Xa*- W*)]≥ R（a）γa+γPγa×C（W，a）-γPγA，（3.1）和[上（Xa- W）]≤ R（a）γa+γPγa×EhUPXa公司*- W*i、 （3.2）只要（W，a）6=（W），这些不等式就会变得严格*, 一*). 此外，当（W，a）限制参与约束时，C（W，a）=1，我们直接得到3.2。最后R（a）≥ 1.证明。（3.1）的证明是将反向保持器应用于E[UP（Xa）]的直接结果- W）]和E向上Xa公司*- W*. 实际上，我们得到：E[UP（Xa- W）]≤ Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA，并通过（W）的最优性*, 一*) :EhUP公司Xa公司*- W*i=E向上Xa公司*- κ（a*)γAγA+γPγA+γPγA×E[UA（W*- κ（a*))]-γPγA。取二者之比，注意E[UP（Xa*-W*)] ≤ 0改变了质量指数的符号，我们得到（3.1）。要获得（3.2），请注意通过参与约束：E[UA（W- κ（a））]≥ E[UA（W*- κ（a*))] ,因此（当ua为负值时）C（W，a）≤ 1，表示C（W，a）-γPγA≥ 1、最后，我们得到R（a）≥ 1直接通过提案2.3。从（3.1）中可以明显看出，委托人的公用事业比率分解为两个比率的乘积。其中之一（C（W，a））将代理人参与约束的影响转移到委托人的效用上：事实上，只要（W，a）约束（并使代理人效用最小化），C（W，a）就会最大化。

第二个比率R（a）进一步限制了代理人价值函数的可能值，这与选择的工资无关。事实上，我们在（3.2）中看到，行动a的选择可能会限制委托人可能实现的效用，无论相关工资是否约束参与约束。我们在下面的例子中说明了这个结果。示例3.1。考虑一位委托人，其公司的活动暂时减少，因此必须由一半的代理人进行减持。那么，委托人产生的预期效用损失，无论他支付的工资是多少，都可以用以下公式来量化：R（a）γa+γPγa=exp(-γP（a*- κ（a*)))经验值(-γP（a*- κ（a*))当然，我们看到行动选择的影响反过来取决于行动功能κ的成本。例如，对于一个凸但接近线性的函数κ，选择一个非最优动作对主体的影响不会像κ是凸的和二次的那样大。当然，我们可以进一步分析κ的影响，并希望量化两种不同成本函数的影响。我们在下面这样做，分析与上面类似。命题3.2（行动成本函数κ的影响）。Let（W*, 一*) 是在定理2.2中获得的风险分担问题和给定成本函数κ的最优值。设（W，a）是CADMF中某个成本函数^κ的某个契约，并约束ParticipationConstraint。然后：E[向上（Xa- W）]E[向上（Xa*- W*)]≥Eh |向上（Xa- ^κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPiγA+γPγA（3.3），特别是如果W的形式为γPγA+γPXa+β，则上述不等式保持相等。因此，如果（W，a）是某些特定^κ的最佳值，则可以量化^κ对获得的最佳值相对于κ的最佳值的影响。事实上，它认为：E[UP（Xa- W）]=Eh |向上（Xa- ^κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPiγA+γPγA×EhUPXa公司*- W*i、 （3.4）证明。

使用与命题3.1证明中相似的推理，我们得到：E[UP（Xa- W）]E[向上（Xa*- W*)]≥Eh |向上（Xa- ^κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAEh |向上（Xa*- κ（a*))|γAγA+γPiγA+γPγA×E[UA（W- κ（a））]UA（y）-γPγA，（3.5），特别是如果（W，A）结合了参与约束，那么E[UA（W- κ（a））]UA（y）-γPγA=1，利用反向Holder等式条件，我们得到了形式为γPγA+γPXa+β的工资等式，使参与约束饱和。这一主张强调了行动成本函数的变化对风险分担最优值的影响，并将其包含在行动成本比率中。这一命题的推论将这一结果推广到这样一种情况，即委托人可以在两个代理之间进行选择，这两个代理具有各自的成本函数κ和^κ，以及各自的风险规避系数γA和γA，并希望选择一个，并向其提供相关的最优风险分担合同。推论3.1（两种试剂的比较）。考虑一个委托人，他在以（γa，κ，y）和（γa，κ，y）为特征的两个代理之间有一个选择。假设γAy=γA^y.Let（W，A）和（W，A）是相关的最优契约（回顾A=κ*（1） 和^a=^κ*(1)). 然后：E[向上（Xa- W）]=Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE|向上（X^a- ^κ（^a））|γa^γa+γPγA+γPγA×EhUPX^a-^Wi、 因此，ifEh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE|向上（X^a- ^κ（^a））|γa^γa+γP^γA+γP^γA<1，委托人应选择具有（γA，κ）特征的代理人，反之亦然。因此，代理人的选择取决于代理人的风险规避与其行动成本函数之间的平衡。注意，这个结果可以推广到γAy=γA^y的情况之外，只需将yand^的影响纳入比较标准即可。示例3.2。考虑人B~ N（0，1），κ（x）：=x和^κ（x）：=x。

然后a=1和^a=。委托人通过第一个代理人获得的预期效用为：E[|以上（Xa- κ（a））|γaγa+γP]γa+γPγa=exp-γP（x+a- κ（a））+γaγPγa+γP= 经验值-γPx个+-γAγPγA+γP.同样，第二个代理的预期效用为：E[| UP（X^a- κ（^a））|γa^γa+γP]γa+γP^γa=exp-γPx个+-γAγPγA+γP.因此，为了使其效用最大化，委托人应雇佣第一代理人，如果-γAγPγA+γP>-^γAγP^γA+γP，如果没有，则应使用第二种药物。请注意，对于更一般的成本函数和高斯B，Principal应使用第一代理ifa- κ（a）-γAγPγA+γP>^A- ^κ（^a）-γAγPγA+γP。备注3.1。与上述命题相同，我们也可以利用委托人效用的反向H~A"ulder分解的结果，在CARA效用下，将最优风险分担契约与最优道德风险契约进行比较。4反向H~A"ulder框架的扩展在下一节中，我们将说明我们的框架和结果的多功能性。实际上，到目前为止，我们已经使用了具有一般生产流程和一般行动成本函数的单周期模型。我们得到了风险分担解的存在性、唯一性和特征，并对模型进行了分析。在下面，我们将讨论此设置的一些扩展。第一个重要设置是连续时间设置。4.1连续时间条件下风险分担最优解的存在性、唯一性和特征我们指定了利息模型，该模型只是之前研究的模型的连续时间版本。更确切地说，我们考虑一个委托人和一个代理人。

原则向代理人提供到期时的单一现金流（工资）（表示为T），并要求取消行动a=（at）T∈[0，T]（完全由委托人监控）根据企业财富的随机波动持续及时。合同将再次成为一对（工资、行动）=（W、A）。我们从定义本金财富随机波动所需的概率结构开始。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，其中随机过程B：=（Bt）t∈[0，T]定义为其自然和完整过滤F：=（Ft）T∈[0，T]。这个随机过程的唯一要求是∈[0，T]E[exp（qBt）]<+∞, q∈ R*.这允许使用CARA实用程序，例如布朗运动。我们用E[·]表示概率测度P的期望值。根据公司的表现，代理人将被要求持续及时地执行动作a。因此，我们引入了F-可预测随机过程集P a=（at）t∈[0，T]，动作集为：H：=a=（at）t∈[0，T]∈ P、 s.t.E经验值qZT | at | dt< +∞,  q>0.由于我们将为代理人和委托人提供指数偏好，我们需要对行为和工资进行所谓的“指数矩”。如前所述，这是一个技术假设。给定H中的a，在0到到期日t之间的任何中间时间t，本金的财富由以下公式得出：Xat=x+Ztasds+Bt，t∈ [0，T]，P- a、 s.，（4.1），其中x∈ R是一个固定的实数。对于H中的任何动作a，我们设置FXa：=（FXat）t∈[0，T]Xa产生的自然过滤。特别是，我们对fxat可测随机变量集感兴趣，它为委托人支付给代理人的工资W提供了自然集。

更准确地说，我们设定：=FXaT公司- 可测随机变量W，E[经验（q W）]<+∞, q∈ R*.事实上，我们要求任何（正、负）动作顺序的所谓有限指数矩（分别针对工资）纯粹是技术性的。正如我们将看到的，最优合同将满足这些技术假设。代理人的福利成本再次由定义在R+上的凸、连续和非减损函数κ建模。如单周期问题导言所述，当且仅当满足以下参与约束（PC）时，代理人才会接受C中的合同（W，a）：EUA公司W-ZTκ（at）dt≥ UA（y），（4.2）R*:= R \\{0}其中：yis是给定的实数，κ：R+→ R为上述代理和ISA的服务成本建模，UA（x）：=- 经验值(-γA）（x）γA>0时，代理的风险规避参数。从现在起，我们假设参数（y，γA）是固定的。有了这些符号，我们可以将委托人的问题描述为一个类首优问题，如下所示：sup（W，a）∈CadmE[向上（XaT- W）]，（4.3），其中UP（x）：=- 经验值(-γPx），γP>0固定，其中Cadm：{（W，a）∈ C×H，（4.2）生效}是满足参与约束（4.2）的可接受合同集。我们注意到，这个连续时间问题可以使用最优随机控制领域的工具来处理。事实上，可以推导方程（4.2），以获得满足给定行动过程（at）t的参与约束的所有工资的参数化∈[0，T]。这允许我们将问题（4.3）重写为标准的最优控制问题，证明存在的一种方法是使用验证结果，只要所需的假设得到验证。下面我们提供了定理2.2的连续时间对应项。

它在相当普遍的假设下提供了存在性、唯一性和特征（尤其是对于一般过程（Bt）t∈[0，T]）。我们相信，这个定理揭示了潜在问题的结构，从而补充了可能的存在性和唯一性结果，揭示了最优控制。定理4.1（存在性、唯一性和特征化）。考虑合同（W*, 一*)按设置定义：a*t=κ*（1） 对于[0，t]和w中的任何t*=γPγP+γAXa*T+β*,其中常数β*价值：β*:= y+Tκ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+Tκ*(1)) -γAlnE经验值-γPγAγP+γAZTdBt.然后（W*, 一*) 满足和饱和参与约束。此外，对于CadmE中的任何（W，a）[向上（XaT- W）]≤ EhUP公司Xa公司*T- W*i、 只有（W）相等*, 一*). （W）*, 一*) 因此是连续时间风险分担问题中唯一的最优契约。最后，委托人的最佳效用是：EhUPXa公司*T- W*i=向上（x- y- γPT eκ（1））e经验值-γPγAγP+γAZTdBtγA+γPγA.证明。该证明与定理2.2的证明非常相似，计算是在连续时间内完成的。值得注意的是，作为该定理的结果，第3节中进行的分析很好地概括了该设置，并再次允许比较合同。在这种连续时间设置中，甚至可以轻松分析选择非恒定动作a的影响。备注4.1。在广泛研究的情况下，B实际上是一个标准布朗运动，定理4.1适用并给出了存在性和唯一性。最佳β*表达式为：β*:=TγA |γP | 2 |γA+γP |+y+Tκ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+Tκ*（1） ），委托人的预期效用为：EhUPXa公司*T- W*i=向上（x- y） 经验值γPT-eκ（1）+γPγA2（γA+γP）.因此，我们通过提供存在性和唯一性证明，以及提供另一种表征方法，补充了Muller在[15]中的表征工作。备注4.2。