风险分担委托代理问题分析

在aPrincipal雇佣多个不同代理人的情况下，也分析了委托代理问题。请注意，对于CARA代理，此框架也可以使用。现在我们来看看风险中性本金的情况，可以将其分析为CAR a本金情况的一个极限，我们在下面这样做。4.2风险中性原则的情况本文所提供的分析涉及的是一个委托人和一个代理人，他们都是风险厌恶者，通过CARA效用函数建模风险厌恶。事实上，本文的关键是CARA实用程序的指数特性。然而，文献中的一个重要案例是风险中性委托人希望雇佣风险厌恶型代理人。更准确地说，如果我们将自己设置为离散时间集，风险分担问题（2.1）将变成：sup（W，a）∈CadmE[Xa- W），（4.4）其中，我们使用了与之前相同的符号（尤其是对效用函数UA（x）=- 经验值(-γAx））。由于我们的ReverseH~A"ulder方法依赖于功能Up和UA的结构，因此我们无法在风险中性的情况下直接执行它。然而，众所周知，风险中性框架可以被视为一种极限情况，通过将映射重新缩放到∧UP（x）：=-经验值(-γPx）-1γ通过将γPgo设为0来扩展。因此，我们可以将我们的方法用于▄UPand uat，以获得风险中性情况下最优解的存在性及其特征。考虑满足（PC）的合同（W，a）。然后通过引理5.1（在第5.4节中），E[Xa- W]=ElimγP→0以上（Xa- W）= limγP→0Eh向上（Xa- W）i=limγP→0γ-1P（E[向上（Xa- W）]+1）≤ limγP→0γ-1便士E[向上（Xa*- W*)] + 1.,根据定理2.2的（ii）。

利用上界值的显式计算，我们得到了- W]=ElimγP→0以上（Xa- W）≤ limγP→0γ-1便士向上（x- y+eκ（1））e经验值-γPγAγP+γABγA+γPγA+1= x个- y+eκ（1）。我们给出了上界x- 风险中性原则的价值问题。显式计算表明，该上界可通过选择合同（W*RN，a*RN）带*RN=κ*（1） 和W*RN=y+κ（κ*（1） ，形式上是定理2.2中的最优契约，γP=0。最优参数具有经济意义：委托人对风险保持中立，因此愿意向其代理人支付固定工资，而不管输出过程的绩效如何。我们注意到，在这种情况下，问题的风险共享结构消失了，Principalcarries承担了所有风险。因此，我们有一个风险中性情况的存在性证明，以及最优的可能特征。当然，我们可以更直接地计算风险中性最优值，而无需利用本文所用方法提供的风险规避最优值。然而，风险中性案例可能被视为风险规避案例的一部分，这一事实允许将第3节的结果扩展到中性设置。我们在下面给出了这样的扩展。提案4.1。Let（W*, 一*) 是^UP（x）=- 经验值(-^γPx）给出定理2.2，并设（W，a）在Cadm中。然后：E[Xa- W]Eh^向上（Xa*- W*)我≥ limγP→0γ-1便士Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE^以上（Xa*- κ（a*))γAγA+γPγA+γPγA×上（y）上（y）.证据见第5.5节。该命题是命题3.1的渐近形式，用于比较风险中性和风险规避原则：我们得到了依赖于行动比率和参与约束比率的分解。

然而，请注意，风险中性效用未被签署，因此，这种不平等更难利用。最后，请注意，此分析也是在连续时间内进行的。5证明在本节中，我们收集了用于进行分析的技术结果的证明。5.1定理2.1的证明。我们将a固定在R+中，并证明定理的每一项。（i） 对于第一个结果，我们将委托人的（预期）效用与代理人中的一个进行了预测。我们有：E[向上（Xa- W）]=E[向上（Xa- κ（a））×exp（γP（W- κ（a））]=EhUP（Xa- κ（a））×UA（W- κ（a））|-γPγAi。（5.1）我们希望从该表达式中提取代理的效用，并至少获得一个等式。要做到这一点，我们需要某种霍尔德不等式。然而，经典H"older不等式无法应用，原因有二：第一，指数-γPγAof试剂的效用为负；然后，映射的负性向上调用了H"older不等式的反向使用。这两个特征在所谓的反向H"older不等式中得到了考虑，这可以看作是经典H"older不等式的对应物，并在命题2.1中给出。特别是，我们希望使用第（i）项。更准确地说，让：F：=向上（Xa- κ（a）），G：=| UA（W- κ（a））|-γPγA.（5.2）自然地注意到，这两个随机变量取决于利息下的合同（W，A）。我们希望将反向H"older应用于F和G，并使用我们校准的指数p来表示| G|-p-1=| UA（W- κ（a））|；这立即给出p=1+γpγA=γA+γpγA>1。因此，我们立即得到：Eh | F | pi=Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγP+γAi，Eh | G|-1便士-1i=-E[UA（W- κ（a）dt）]。将命题2.1的（i）应用于F和G，并在关系式（5.1）中选择p，得到我们的结果：E[UP（XaT- W）]=-E[| F G |]≤ Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA.（5.3）（ii）我们首先证明（ii’）等于（ii’）。

这包括为（5.3）找到相等条件。通过命题2.1的（ii），不等式（5.3）是一个等式，如果且仅当契约（a，W）存在正常数α，使得（5.2）中定义的随机变量F和G享有：| F |=α| G|-聚丙烯-1、通过定义F、G和p=γA+γpγ，条件如下：| UP（Xa- κ（a））| | UA（W- κ（a）dt）|-（γP+γA）γA=α因此，利用我们效用的指数形式，我们得到了条件：| UP（XaT- W）| | UA（W）- κ（a））|=α，相当于toU′P（XaT- W）U′AW-RTκ（at）dt=γPγAα。将α设置为γPγAα，我们得到了我们的结果。我们现在证明（ii“”）等价于（ii“”）。当（ii’）成立时，（W，a）满足（4.2），我们有以下一系列含义，其中α是一个正常数：U′P（Xa- W）U′A（W- κ（a））=α=> （γP+γA）W- γPXa- γAκ（A）=lnαγAγP=> W=γPγP+γAXa+γAγP+γAκ（A）+lnαγAγP,=> W=γPγP+γAXa+β，其中β=γAγP+γAκ（A）+lnαγAγP.相反，让我们假设（ii’’）成立。然后（W，a），其中W=γPγP+γAXa+βsatifies（4.2），我们得到：U′P（Xa- W）U′A（W- κ（a））=exp（（γP+γa）β+γaκ（a））∈ R*+.5.2命题证明2.3假设a∈ R+。

我们已经准备好了（Xa- κ（a））|γaγa+γPi=Ehexp(-γP（Xa- κ（a）））γaγa+γPi=Ehexp(-γP（x+（a- κ（a））+B））γaγa+γPi=exp-γPγAγA+γPx+Φ（A）E经验值-γPγAγP+γAB其中C 7→ Φ（c）：=-γPγAγA+γP（c- κ（c））。注意，映射Φ在R+上是凸的，并且*:= κ*（1） ，Φ（c）≥ Φ（a*) = -γPγAeκ（1）γA+γP，c≥ 0.So，Eh | UP（Xa- κ（a））|γaγP+γAi≥ 经验值-γPγAγA+γP（x+～κ（1））E经验值-γPγAγP+γAB,我们由此推断出我们的结果。5.3最优契约的证明：定理2.2我们考虑契约（W*, 一*) 按设置定义：a*:= κ*（1） andW公司*=γPγP+γAXa*+ β*,β*:= y+κ（κ*(1)) -γPγA+γP（x+κ*(1)) -γAlnE经验值-γPγAγP+γAB.我们首先研究参与约束，以验证此类合同的可接受性。我们有：E[UA（W*- κ（a*))] = EUA公司γPγP+γAXa*+ β*+ κ(κ*(1))= EUA公司γPγP+γA（x+κ*（1） +B）+β*- κ(κ*(1))= UA（y）E经验值-γAγPγP+γAB- 自然对数E经验值-γPγAγP+γAB= UA（y）。因此W*属于W（a*). 根据定理2.1第（ii）项，合同符合Borch规则。此外，其形式为（W*, κ*（1） ）其中W*饱和参与约束。因此，达到委托人预期效用上限的等式条件是有效的，并且对于R+中的任何a和W中的任何W，我们都有相同的条件*（a） ，E[向上（Xa- W）]≤ EhUP公司Xa公司*- W*i=向上（x- y） 经验值γPT-eκ（1）+γPγA2（γA+γP）.我们推断（W*, 一*) 是第一个最佳委托代理问题的最优契约。5.4技术lemmaLemma 5.1。设（W，a）是C中的容许约束。随机变量序列向上（Xa- W）0<γP<1是一致可积的。so:E[Xa- W]=ElimγP→0以上（Xa- W）= limγP→0Eh向上（Xa- W）i.证明。该陈述的第二部分是一致可积性（UI）和恒等式映射是 UP的极限（如γPgoes到0）的结果。因此，我们将重点放在UI属性上，并应用de la Vallée-Poussin准则。

我们有：sup0<γP<1Eh |UP（Xa- W）| i=γ-2Psup0<γP<1E| 经验值(-γP（Xa- W））- 1|= sup0<γP<1E|(R)X | |扩展(-γP'X）|,其中，X是0到Xa之间的随机点- W（使用中值定理）。我们有柯西-施瓦兹不等式，sup0<γP<1Eh | UP（Xa- W）| i≤ E|\'\'X|1/2sup0<γP<1E经验值(-4γP'X）1/2.同于| X |≤ |Xa公司- W |，P-a.s.，我们有E|\'\'X|< +∞. 关于第二项，sup0<γP<1E经验值(-4γP'X）≤ sup0<γP<1P\'\'X≥ 0+ E经验值(-4γP'X）1'X<0≤ 1+E经验值(-4R'X）1'X<0≤ 1+E[经验（4R | Xa- W |）]<+∞.5.5命题证明4.1Let（W*, 一*) 是^UP（x）=- 经验值(-^γPx）在定理2.2中给出，并设（W，a）在Cadm中。然后，当期望效用函数为负时，利用反向Holder不等式，我们得到：E[Xa- W]Eh^向上（Xa*- W*)i=limγP→0γ-1P（E[向上（Xa- W）]+1）Eh^以上（Xa*- W*)我≥limγP→0γ-1P（E[向上（Xa- W）]）Eh^UP（Xa*- W*)我≥limγP→0γ-1PEh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA！E^以上（Xa*- κ（a*))γAγA+γPγA＋γPγA×E〔UA（W*- κ（a*))]-γPγA=limγP→0γ-1PEh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA！E^以上（Xa*- κ（a*))γAγA+γPγA+γPγA×以上（y）≥limγP→0γ-1PEh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×UP（y）！E^以上（Xa*- κ（a*))γAγA+γPγA+γPγA×上（y）=limγP→0γ-1便士Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγAE^以上（Xa*- κ（a*))γAγA+γPγA+γPγA×上（y）上（y）.6结论本文利用反向H"older不等式导出了一种新的风险分担委托代理问题的方法。通过对委托人的预期能力（依赖于指数效用函数的乘法性质）的具体分解，我们可以提取期望形式的参与约束。然后，我们就能够证明最优风险分担计划的存在性和唯一性，同时也能够刻画该计划的特征，同时使Borch规则出现。

我们注意到，这种分析允许对基础模型进行一般假设，并且在离散时间和连续时间设置中都非常相似。它也倾向于风险中性的情况。作为这项工作的副产品，我们能够分析实施次优行动的效果，并且能够深入了解影响委托人在两个代理人之间选择的参数。这种分析的另一个自然延伸可能是选择次优工资。这种选择可能有很多原因，比如想要强制执行有限责任，这也是作者正在进行的研究主题。7致谢作者感谢斯泰芬·维伦纽夫（Stéphane Villeneuve）的深入讨论和评论；以及ANR Pacman的财务支持。参考文献【1】K.Borch。再保险市场的均衡。《计量经济学》，30（3）：424–4441962。[2] K.博奇。《保险数学理论》——1960-1972年出版的保险论文注释选集。列克星敦图书，1974年。[3] G.卡利尔。具有逆向选择的委托代理问题的一般存在性结果。《数理经济学杂志》，2001年。[4] G.Carlier，K.Zhang在一般参考文献和非紧分配空间下委托代理问题解的存在性。2019年【5】J.Cvitani'c和J.Zhang。连续时间模型中的契约理论。Springer Finance，2012年。[6] J.Cvitani'c、X.Wan和J.Zhang。连续时间主代理问题的最优契约。2005年【7】P.Embrechts、L.Haiyan和R.Wang。基于分位数的风险分担。运营研究，2018年。[8] B.Holmstr"om和P.Milgrom。提供跨期激励的聚合和线性。计量经济学，1987年。[9] J.Laffont和D.Martimort。激励理论：主要代理人模型。普林斯顿大学出版社，2009年。[10] Jewitt，I.、Kadan，O.、Swinkels，J。

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