风险分担委托代理问题分析

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英文标题：
《Analysis of the Risk-Sharing Principal-Agent problem through the
  Reverse-H{\\\"o}lder inequality》
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作者：
Jessica Martin (INSA Toulouse, IMT), Anthony R\\\'eveillac (INSA
  Toulouse, IMT)
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we provide an alternative framework to tackle the first-best Principal-Agent problem under CARA utilities. This framework leads to both a proof of existence and uniqueness of the solution to the Risk-Sharing problem under very general assumptions on the underlying contract space. Our analysis relies on an optimal decomposition of the expected utility of the Principal in terms of the reservation utility of the Agent and works both in a discrete time and continuous time setting. As a by-product this approach provides a novel way of characterizing the optimal contract in the CARA setting, which is as an alternative to the widely used Lagrangian method, and some analysis of the optimum.
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中文摘要：
在本文中，我们提供了一个替代框架来解决CARA效用下的第一最佳委托代理问题。该框架在基本契约空间的一般假设下，证明了风险分担问题解的存在性和唯一性。我们的分析依赖于委托人的期望效用在代理的保留效用方面的最优分解，并在离散时间和连续时间环境下工作。作为一种副产品，该方法提供了一种在CARA环境中描述最优契约的新方法，作为广泛使用的拉格朗日方法的替代方法，并提供了一些最优分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Analysis_of_the_Risk-Sharing_Principal-Agent_problem_through_the_Reverse-H{"o}.pdf (294.86 KB)

2022-6-10 18:35:11 上传

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关键词：代理问题 委托代理 风险分担 Applications Quantitative

风险分担委托代理问题的反向H"older不等式分析Jessica Martin*1和Anthony Réveillac+1INSA de Toulouse，IMT UMR CNRS 5219，Universitéde Toulouse，135 Avenue deRangueil 31077 Toulouse Cedex 4 Francede2019年12月18日。本文中，我们提供了一个替代框架，以解决CARA utilities下的第一个最佳PrincipalAgent问题。该框架在非常一般的契约空间假设下，证明了风险分担问题解的存在性和唯一性。我们的分析依赖于主体的预期效用在代理的保留效用方面的最优分解，并且在离散时间和连续时间设置下都有效。作为一种副产品，该方法提供了一种新的方法来描述CARAsetting中的最优契约，这是广泛使用的拉格朗日方法的一种替代方法，并提供了一些最优分析。1简介在最优合同或激励政策设计领域的许多经济情况可以根据所谓的委托-代理公式收集，其中要求代理人代表委托人执行行动以换取工资。自1987年Holmstr"om和Milgrom发表的开创性论文【8】揭示了一种解决特定类型委托代理问题的新方法以来，人们对这种公式产生了新的兴趣*杰西卡。martin@insa-图卢兹。fr+安东尼。reveillac@insa-图卢兹。关键词：委托代理问题；一流的；风险分担；博尔赫法则；反向H"older不等式；最优承包理论；存在独特性。连续时间出现问题。从那时起，这一方法得到了扩展。例如，一些著名的贡献包括[18]和[19]中Schattler和Sung的作品，[20]中Sung的作品，以及最近Sannikov的贡献。

正如我们刚才提到的，这些工作的重点是一种特殊类型的委托-代理问题，即道德风险案例，该问题的利息金额与其现实情况相当。事实上，它涉及到在委托人无法控制和监控代理人行为的情况下的最优契约。这与实际应用程序相当匹配。将投资组合管理委托给银行家的投资者不能指望控制银行家的行为。一群股东无法监督公司首席执行官的每一项行为。因此，可以说，道德风险问题在部分信息下建立了最优收缩模型。为了衡量这种信息不对称的影响，将最优契约与最优风险分担规则进行比较具有启发性。这条规则是在完全信息的情况下产生的，当委托人指示代理人的行动，并保证对代理人的保留效用。关于这个问题的具体文献称为第一最佳委托代理问题，包括重要的著作，如[5]、[6]和[15]。然而，它比关于道德风险问题的文献更为稀缺。这背后至少有两个原因。第一个重要原因是，第一个最重要的问题也是所谓的风险分担问题。风险分担问题记录在经济和保险的多个领域（但不是在一个委托人和一个代理人问题的另一个背景下），更一般的文献使用例如风险度量方法。我们请读者阅读[7]第1节，了解有关风险分担问题的现有文献。

文献稀少的另一个原因是，与道德风险等委托代理问题的其他变体相比，第一最佳委托代理问题不太现实，因为严格来说，它不适用于激励政策设计框架。这种现实主义的缺失意味着，与道德风险问题或委托代理问题的其他变体相比，该问题更容易扩展。在分析任何形式的委托代理问题时，都会出现两个主要问题。集合问题的解决方案真的存在吗？如果是这样，我们能为它获得某种形式的表征吗？存在性问题是根本性的，因为如果没有任何这样的保证，试图描述一个解决方案是毫无意义的。因此，在过去几十年中，获得存在结果引起了人们对不同类型的委托代理问题的极大兴趣。1987年，佩奇考虑了道德风险问题，并能够证明其存在。为此，他使用了一组假设，包括代理行为的紧集、有界工资和货币收益的紧集。同年，H~A"ulmstrom和Milgrom在他们的开创性论文[8]中证明了单期道德风险问题的存在性，该问题具有离散的（因而有界的）财富过程、一组紧凑的可行行动和CARA效用。然后，他们建立了一个接近离散模型的连续时间模型。不久之后，Sch~Adttler和Sung扩展了[8]的连续时间模型，并在[18]中建立了一组在连续时间环境中存在解的必要和有效条件。这样的一个条件是，代理人的行为属于一个紧集，但他们也假设工资在下面有界，然后证明他们的假设可以稍微提高，以便包括一些更一般的工资，例如线性工资。

最近的一项工作是Jewitt、Kadan和Swinkels在[10]中的工作，其中一个关键假设是财富过程是有界的。因此，许多著作考虑了相当严格的假设来获得存在。然而，一些论文旨在提供更一般的存在条件。其中包括Kadan、Reny和Swinkels在[11]中仅使用有界工资假设的道德风险和逆向选择设置的工作。Carlier在[3]中使用变分法和h-凸性解决了逆向选择情况下的不连续时间问题。Carlier和Zhang在[4]中进一步扩展了这项工作，使用了一个重要的假设，即获得所需的紧性。由于这一假设，作者在其示例中主要考虑了Lipschitz效用。通过文献分析，我们得出了几个重要结论。第一个结论是，第一个BEST问题是委托代理分析的基准问题，但关于它的具体文献很少。进一步研究这一问题及其可能的扩展将有助于更好地理解整个委托代理问题。另一个结论是，委托代理问题的一个关键设置涉及到CARA效用和adiscrete或gaussian财富过程。在后一种情况下，该模型成为所谓的calledLEN模型。例如，Muller在[15]中讨论了该模型，他描述了在连续时间最佳设置下问题的解决方案。最后，在进行任何形式的表征之前，建立解的存在性对于委托代理问题来说都是至关重要的。实际上，由于问题的随机性，在大多数情况下，潜在的契约空间是非紧的。

然后需要对模型进行额外假设，以获得紧性，尤其是在离散时间设置中，无法使用最优随机控制领域的结果，以便能够应用优化领域的标准存在定理。因此，文献中很少包含一般情况下委托代理问题的存在性结果。本文旨在揭示这三个结论的交叉点。事实上，我们考虑的是拥有财富不确定的企业（或投资组合）的委托人，以及以工资换取参与企业的代理人（我们还请读者参考[5]和[6]）。各自的公用设施UP和UAA定义为：UP（x）=- 经验值(-γPx）和UA（x）=- 经验值(-γAx），其中γ和γ是两个固定的风险规避系数。在单期设置中，为了减少其面临的不确定性，委托人在t=0时雇佣代理人，或留下合同，要求代理人（如果接受）提供服务≥ 在时间t=0时为0，以换取在时间t=1时支付工资W。然后，代理人的财富在时间t=1时变为x，x=x+a+B，其中x是时间t=0时的初始财富，B是一个平方可积随机变量，模拟委托人的随机风险敞口。注意，在这个简单的模型中，我们假设委托人完全遵守结果Xa（时间t=1）和代理人的行动A，这意味着委托人实际上向代理人指示了这一行动。为了模拟代理的效率成本，我们引入了定义在R+上的函数κ，并选择严格凸、连续且不递减的函数。

此类函数的一个简单示例是二次成本函数，对于固定常数K>0，其定义为R+中的任意x，即κ（x）=K | x |。重要的一点是，该合同（从现在起将由thepair（工资，行动）=（W，a）建模）是一个“要么接受要么放弃”的合同，如果满足了给定的参与约束（PC）条件（或保留效用约束）：E[UA（W- κ（a））]≥ UA（y），（1.1），其中y≥ 0表示代理接受合同的要求级别。在这种情况下，我们分析第一个最好的问题，它简单地写为：sup（W，a）subject to（1.1）E[UP（Xa- W）]，（1.2），也可以在连续时间设置中写入。提供此类问题解决方案的一种经典方法是使用变分方法，其中我们确定基础契约空间的拓扑，确保委托人预期效用的上半连续性、凹性和矫顽力，同时使契约空间凸和闭。这里的症结通常是矫顽力，尤其是矫顽力inW。在某些情况下，当B有界时，这可以确保。然而，很难做出更合理、更普遍的假设。在本文中，我们在几乎没有其他假设的情况下，提供了问题（1.2）解的存在唯一性的另一种证明。为此，我们利用效用指数函数的特性，首先分解委托人的预期效用。这种情况的一个典型例子是，代理人本身就是委托人，这意味着作为企业的管理者，委托人决定自己的工作水平和工资。

请注意，当委托人决定代理人的行动时，该行动必须对公司产生积极影响，因为<0意味着代理人会破坏公司，这当然没有任何意义。另一个例子是垄断型情况。就代理人而言。利用这种分解和所谓的反向H~A"ulder不等式，我们可以通过仅依赖于模型参数的s ome constantdepend来上界委托人的预期效用。然后，我们根据反向H~A"ulder等式条件导出一个最优分解，该条件为我们提供了一个唯一的可容许契约，从而达到上界。作为一种副产品，这使我们能够对Ris k共享的Borch规则有一个新的认识。因此，我们在CARA效用下得到了风险分担问题的存在唯一性证明，并给出了最优解的特征。我们认为，这种方法的优势在于它允许我们考虑的设定的普遍性。事实上，我们能够处理离散时间和连续时间情况，属于R+或甚至属于R+的任何紧凑子集的动作，一个一般的影响成本函数κ，更重要的是，具有指数矩的随机变量/随机过程的任何形式（最后一个假设是纯技术性的，因为我们正在优化指数预期效用）。此外，证明不依赖于对最优契约形式的任何先验直觉。因此，我们在文献中普遍考虑的更一般的情况下，提供了CARA效用下第一个最佳委托代理问题的存在性和唯一性结果。作为这种方法的副产品，我们还通过对委托人预期效用的分解，重新审视了著名的Borch风险分担规则。

最后，我们进一步分析了不同参数对委托人带回家效用的影响。事实上，我们分析了实施次优行动的效果，并研究了委托人必须在两个不同代理人之间进行选择的问题。我们的工作如下。首先，在第2节中，我们处理引言中描述的单周期问题。然后在第3节中，我们在单周期设置下进行了一些合同比较。最后，在第4节中，我们讨论了一些扩展，包括连续时间问题，然后收集了第5节中我们结果的更长证明，并在第6.2节中总结了单期风险分担问题。下面，我们讨论了导言中提出的问题（1.2）。要做到这一点，我们需要探索一个称为反向霍尔德不等式的关键结果。顾名思义，它与更著名的霍尔德不平等密切相关。我们在下面陈述结果。命题2.1（反向霍尔德不等式）。让p∈ (1, +∞]. 设F和G为两个随机变量，使得G 6=0，P-a.s。。然后：（i）反向H"older不等式成立，即E[| F×G |]≥ 呃| F | pip×呃| G|-1便士-1i-p+1。（ii）此外，不等式是一个等式，即E[| F×G |]=Eh | F | pip×Eh | G|-1便士-1i-p+1如果且仅当存在某个常数（即非随机）α≥ 0，使得| F |=α| G|-聚丙烯-1、为了继续我们对问题（1.2）的分析，我们为风险分担问题确定了一组可接受的合同Cadmas如下：Cadm=（W，a）∈ L(Ohm) ×R+满意（1.1）,其中L(Ohm) 是平方可积随机变量的s集。此外，对于R+中的给定a，确定相关可接受工资集：W（a）=nW∈ L(Ohm), 这样（W，a）在Cadmo。考虑到这些符号，我们将问题（1.2）重写为：sup（W，a）∈CadmE[向上（Xa- W）]，（2.1）或：supW∈W（a）supa∈R+E[向上（Xa- W）]。

（2.2）我们的目的是证明该问题存在解决方案。为此，我们利用命题2.1的不等式和主体效用的乘法性质来获得一个可达到的上界。作为第一步，我们应用反向H"older不等式和委托人预期效用的分解。定理2.1。让a进入R+。我们有：（i）对于W（a）中的任何W，E[UP（Xa- W）]≤ Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA.（2.3）（ii）对于W in W（A）。下列条件是等效的：（ii’）E[向上（Xa- W）]=Eh |向上（Xa- κ（a））|γaγa+γPiγa+γPγa×E[UA（W- κ（a））]-γPγA（2.4）（ii’）（A，W）满足Borch规则，即R中存在α*+这样：U′P（Xa- W）U′A（W- κ（a））=α，P- a、 s。。（2.5）（ii“”）工资W的形式为：W=γPγP+γAXa+β，其中β∈ R、 使（W，a）∈ Cadm。证据见第5.1节。备注2.1。（i） Karl Borch在[1]和[2]中推导的Borch风险分担规则出现在（2.5）中，作为委托人预期效用与其分解之间相等的条件。这为CARA实用程序案例中的规则提供了新的思路。事实上，它只允许签订能够隔离代理人预期效用对委托人预期效用影响的合同。我们将进一步看到，Borch规则是风险分担问题的必要最优性条件，就像使用拉格朗日方法时一样。（ii）在分析第一个最佳问题时，委托人和代理人的效用应该具有相反的效果，这似乎是很直观的：委托人应该希望最大化自己的效用，同时最小化代理人的效用。