基于随机矩阵理论的复杂市场动力学

9（c）和（d），介于<Ci j>和<Ci j |>之间，以及<Ci j>和d f，在不同的时间滞后（无滞后、滞后1、滞后2和滞后3）下τ=10天。这里，显然，lag-1、lag-2和lag-3分别代表10天、20天和30天的时滞。散点图中的巨大差异表明，很难检测和提取有关车祸的信息，例如提前30天。图10（a）显示了平均相关（<Ci j>）、最大特征值（λmax）、负特征值数量（#-根据随机矩阵理论15（a）（b）（c）（d）图9<Ci j>vs.Ci j>和<Ci j>的散点图和d f=<Ci j>- < Ci j>，对于历元20天的相关矩阵的不同时间滞后（无滞后、1天、2天和3天），位移为：（a）-（b）τ=1天；（c） -（d） τ=10天。颜色栏以年为单位显示时间段。位移为的新兴光谱的est特征值（λmin） τ=1天。利用asmall畸变（ε=0.01），我们打破了特征值在零处的简并，得到了特征值的“新兴谱”，其中包含一些有关市场的有趣信息。小畸变参数ε=0.01对包括λmax在内的谱的非零特征值的影响可以忽略。我们在<Ci j>和λmax之间有很高的相关性。但是新兴谱的其他特性（#-ve-EVandλmin）与平均相关系数的相关性较小。图10（b）所示为τ=10天。16 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligman（a）（b）图10相关系数（<Ci j>）、最大特征值（λmax）、负特征值数的平均值图(#-在ε=0.01时，作为20天历元时间函数的频谱最小本征值（λmin），位移为：（a）τ=1天和（b）τ=10天。

<Ci j>和λmax之间的相关性很高，但“新兴光谱”的其他两个性质（#-ve-EV和λmin）与平均相关系数的相关性较小。3 RMT在金融市场中的最新应用3.1市场状态和acrash状态长期前兆的识别任何复杂系统中的临界动力学研究都很有趣，但也可能非常具有挑战性。最近，Pharasi等人[24]提出了一项基于标准普尔500指数（美国）数据和日经225指数（JPN）数据的相关结构模式的分析，该数据在1985-2016年的32年期间具有短时间段。他们将“市场状态”定义为类似关联结构的集群，其发生频率高于纯粹的偶然性（随机性）。他们首先使用功率映射来降低奇异相关矩阵的噪声，并在三维MDS映射中获得了不同且更密集的簇（如图11（a）所示）。噪声抑制的效果不仅在一个历元的单个相关矩阵上显著，而且在不同短时历元的不同相关矩阵计算的相似矩阵及其相应的MDS图上也显著。他们使用三维多维比例图，应用k均值聚类将相似关联模式的聚类划分为k组或市场状态。这种聚类方法的一个主要困难是必须将k值作为输入传递给算法。通常，有几种建议的确定k值的方法（通常是任意的）。

Pharasi等人【24】表明，使用基于簇半径的新处方和噪声抑制参数的可选选择，可以非常稳健地确定“最佳”簇数。在新的处方中，他们根据随机矩阵理论17（a）（b）（c）（d）图11（a）将美国市场划分为四种典型市场状态，使用相当多（约500）个复杂市场动态的集合来测量集群内距离的平均值和标准差。k均值聚类是在由噪声抑制（ε=0.6）相似矩阵构建的MDS图上进行的[21]。MDS图中指定的坐标是由M=20天的短时间序列构造的相应相关矩阵，并按 τ=10天。（b） 显示了美国市场的四种不同状态，分别为S1、S2、S3和S4，其中S1对应于具有低均值相关性的平静状态，S4对应于具有高均值相关性的临界状态（崩溃）。（c） 1985年美国四个不同州（S1、S2、S3和S4）市场的时间动力学-2016年。（d）成对市场状态（MS）转移概率网络图。配对市场状态从S1和S2到S4的转移概率远小于1%，但从S3到S4的转移概率为6%。图改编自参考文献[24]。不同的初始条件（k质心的随机坐标选择或n个对象的等效随机初始聚类）；每一组初始条件通常会导致表示不同相关矩阵的n个对象的稍微不同的聚类。如果点的簇在坐标空间中非常不同，那么即使对于不同的初始条件，k-means聚类方法也会产生相同的结果，从而产生簇内距离的小方差。

然而，当聚类非常接近或重叠时，将矩阵分配到不同聚类中的问题就成了问题，因为初始条件会影响不同点的最终聚类；因此，对于初始条件的集合，Intra簇距离的方差较大。因此，特定数量的聚类的最小方差或标准差意味着聚类的稳健性。为了优化簇的数量，Pharasi等人提出，应该寻找最大k，在不同初始条件下，簇内距离的方差或标准差最小。因此，根据18 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligmanon发现相似关联模式集群的修改处方，他们对美国和日本的市场状态进行了特征化。这里，在图11（b）中，我们重现了美国市场的结果，显示了四种典型的市场状态。然后，可以将市场的演变视为市场状态之间的动态转换，如图11（c）所示。重要的是，该方法可以生成对应于临界状态（或崩溃）的相关矩阵。它们对应于众所周知的金融市场崩溃，并聚集在市场状态S4中。他们还分析了成对市场状态的转移概率，发现（i）保持在相同状态的概率比向不同状态的转移高很多，并且（ii）最可能的转移是最近邻的转移，而向其他远程状态的转移很少见（见图11（d））。

最重要的是，与临界状态（崩溃）相邻的状态就像一个临界状态的长期“前兆”，为金融市场崩溃提供早期预警。3.2灾难性不稳定性的特征市场崩溃、洪水、地震和其他灾难性事件虽然很少发生，但可能会对长期的重新循环产生毁灭性影响。因此，研究灾难性事件的潜在动力学和特征的复杂性至关重要。最近，Sharma等人[9]研究了美国市场和日本市场股票回报矩阵的互相关结构及其特征谱在不同短期时期的演变。通过使用功率映射方法，他们将失真参数ε=0.01的较小值的非线性失真应用于任何历元计算的相关矩阵，导致出现特征值谱。在此，我们重现了论文的一些重要发现【9】。有趣的是，我们发现新兴光谱的统计特性表现出以下特征：（i）新兴光谱的形状反映了市场的不稳定性（见图12（a）和（b）），（ii）最小特征值（与最大特征值类似，它捕捉了市场的平均相关性）表明金融市场变得更加动荡，特别是从2001年起，沃兹（见图12（c）），和（iii）最小特征值能够从统计上区分市场动荡或危机的性质——内部不稳定或外部冲击（见图12（c））。在某些不稳定性中，新兴谱的最小特征值与最大特征值正相关（因此与平均市场相关性），而在其他情况下，存在轻微的反相关。

他们提出，这种行为变化可能与以下问题有关：崩盘是与内在市场条件（如泡沫）有关，还是与外部事件（如浮岛崩盘）有关。通过λminand均值相关性的行为也观察到了碰撞的超前滞后效应，这可以进一步检验。根据随机矩阵理论的复杂市场动力学19（a）（b）（c）图12（a）相关矩阵及其特征值谱的非临界（正态）周期，针对M=20天的短回报时间序列进行评估，截至1985年8月7日，正态谱的最大特征值λmax=29.63。插图：新兴光谱使用功率图技术（ε=0.01）是一个变形的半圆，新兴光谱的最小特征值λmin=-0.011. （b） 相关矩阵及其本征谱的临界（崩溃）期，评估时间为M=20天，截至2008年9月15日，正常谱的最大本征值λmax=94.49。插图：使用powermap技术的新兴光谱（ε=0.01）是洛伦兹的，新兴光谱的最小特征值λmin=-0.014. （c） 美国（i）市场回报率r（t），（ii）平均市场相关性u（t），（iii）新兴谱的最小值（λmin），以及（iv）t检验的t值，该t检验检验滞后1最小特征值λmin（t-1） 平均市场相关性u（t）。相关系数的平均值与新兴光谱中的最小本征值在很大程度上相关。值得注意的是，当平均市场相关性非常高（崩盘）时，最小特征值表现不同（急剧上升或下降）。垂直虚线反映了由于内部市场反应而酝酿的重大崩盘。

请注意，美国市场的最小特征值表明，自2001年起，金融市场变得更加动荡。图改编自参考文献[9]。4结论性评论我们在财务时间序列分析的背景下简要概述了Wishart和相关Wishart集合。我们展示了时间序列长度对Wishart系综本征谱的依赖关系。大随机矩阵的奇异谱对Q=T/N不是很敏感；然而，虚假相关性的数量取决于它。为了避免非平稳性问题并抑制相关矩阵中的噪声，计算了过冲次数，我们在相关矩阵上应用了幂映射方法。我们表明，新兴光谱的形状取决于相关Wishart系综的相关U的数量。我们还研究了非线性畸变参数ε对新谱的影响。然后，我们利用1985-2016年期间标普500指数194只股票的回归时间序列，证明了经验互相关矩阵的特征值分解为市场模式、群体模式和随机模式。大部分特征值表现为随机模式，产生了Marcenko20 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.SeligmanPastur。我们还创建了替代相关矩阵，以了解部门相关性的影响。然后，我们研究了这些矩阵的特征值分布以及相关矩阵生成的MDS映射上的k均值聚类。显然，如果我们有10个对角块（代表扇区），那么我们在MDS映射上得到10个集群。

类似地，当我们将四个块合并为一个，并有7个对角块时，我们在MDS地图上又得到了7个簇。此外，我们利用标准普尔500指数股票市场的收益率研究了相关系数统计特性的动态演化。我们计算了相关系数Ci j的平均值、绝对平均值、绝对平均值和平均值之间的差值、方差、偏度和峰度，短时间为m=20天，位移为τ=1天τ=10天。我们还展示了在相同的历元和位移下，相关系数的平均值、相关矩阵的最大特征值以及合并谱的负特征值和最小特征值的数量的演变。最后，我们讨论了RMT在金融市场中的应用。在一个应用程序中，我们演示了使用RMT和相关模式来识别可能的“市场状态”和市场崩溃的长期前兆。在第二个应用中，我们使用在短时期内计算的相关矩阵产生的新兴谱的最小特征值来描述灾难性不稳定性，即市场崩溃。致谢作者感谢R.Chatterjee、S.Das和F.Leyvraz在此介绍的联合工作。A、 C.和K.S.通过GOVT的BT/BI/03/004/2003（C）号赠款表示感谢。印度科学技术部、生物技术系、生物信息学系、新德里JNU潜在卓越大学II赠款（项目ID-47），以及印度ZF科学技术部向JNU提供的第四笔钱包赠款。K、 美国感谢大学资助委员会（印度ZF人类研究发展部）授予她的高级研究奖学金。H、 K.P.感谢UNA-DGAPA提供的博士后奖学金。

A、 C.、H.K.P.、K.S.和T.H.S.感谢CONACyT Fronteras 201项目的支持，以及UNA-DGAPA-PAPIT IG100616项目的支持。参考文献1。雅虎财务数据库。https://finance.yahoo.co.jp/ (2017). 2017年7月7日访问，使用R开源编程语言和统计计算和图形软件环境。Bar Yam，Y.：复杂系统的一般特征。生命支持系统百科全书（EOLSS），联合国教科文组织，EOLSS出版社，英国牛津（2002）3。Bendat，J.S.，Piersol，A.G.：相关和光谱分析的工程应用。纽约，威利国际科学出版社，1980年。315 p.（1980）4。Bouchaud，J.P.，Potters，M.：《金融风险和衍生品定价理论：从统计物理到风险管理》。剑桥大学出版社（2003）5。Cartan，'E.：出生于同一个空间变量复合体的领域。摘自：汉堡大学数学研讨会，第11卷，第116-162页。Springer（1935）《基于随机矩阵理论的复杂市场动力学》216。Chakraborti，A.、Muni Toke，I.、Patriarca，M.、Abergel，F.：《经济物理学评论：I.经验行为》。《定量金融》11（7），991–1012（2011）7。Chakraborti，A.、Muni Toke，I.、Patriarca，M.、Abergel，F.：经济物理学评论：Ii。基于代理的模型。《定量金融》11（7），1013–1041（2011）8。Chakraborti，A.、Patriarca，M.、Santhanam，M.：金融时间序列分析：简要概述。摘自：《市场和商业网络的经济物理学》，第51-67页。Springer（2007）9。Chakraborti，A.、Sharma，K.、Pharasi，H.K.、Das，S.、Chatterjee，R.、Seligman，T.H.：《灾难性不稳定性的表征：市场崩溃作为范式》。arXiv预印本XIV:1801.07213（2018）10。Chen，C.P.，Zhang，C.Y.：《数据密集型应用、挑战、技术和技术：大数据调查》。信息科学275314–347（2014）11。

GellMann，M.：什么是复杂性？复杂性1，16–19（1995）12。Guhr，T.，K¨alber，B.：估计财务相关矩阵中噪声的新方法。物理学杂志A：数学与普通36（12），3009（2003）13。华，L.：经典域中多复变量函数的调和分析。6、美国数学学会。(1963)14. Jin，X.、Wah，B.W.、Cheng，X.、Wang，Y.：大数据研究的重要性和挑战。大数据研究2（2），59–64（2015）15。Levandier，L.、Lombardi，M.、Jost，R.、Pique，J.P.：傅里叶变换：一种测量非常复杂光谱中统计能级特性的工具。《物理审查函》56（23），2449（1986）16。Mantegna，R.N.，Stanley，H.E.：《经济物理学导论：金融的相关性和复杂性》。剑桥大学出版社，剑桥（2007）17。Marˇcenko，V.A.，Pastur，L.A.：一些随机矩阵集的特征值分布。苏联斯博尼克数学1（4），457（1967）18。马丁内斯，M.M.R.：欧洲市场研究所的Caraterizaci\'on estadistica de mercados europeos。硕士论文，UNA（2018）19。Mehta，M.L.：随机矩阵。学术出版社（2004）20。Mikosch，T.，Starica，C.：金融时间序列中的非平稳性、长期依赖性和igarch效应。《经济学与统计评论》86（1），378–390（2004）21。M–unnix，M.C.、Shimada，T.、Sch–afer，R.、Leyvraz，F.、Seligman，T.H.、Guhr，T.、Stanley，H.E.：识别金融市场的状态。科学报告2644（2012）22。Ochoa，S.：Mapeo de guhr kaelber aplicado a Matrix de correlaci'on singulares de dos mercados fifinanciaros。硕士论文，UNA（2018）23。Pandey，A.，et al.：相关wishart群和混沌时间序列。物理审查E81（3），036202（2010）24。