基于随机矩阵理论的复杂市场动力学

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英文标题：
《Complex market dynamics in the light of random matrix theory》
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作者：
Hirdesh K. Pharasi, Kiran Sharma, Anirban Chakraborti and Thomas H.
  Seligman
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We present a brief overview of random matrix theory (RMT) with the objectives of highlighting the computational results and applications in financial markets as complex systems. An oft-encountered problem in computational finance is the choice of an appropriate epoch over which the empirical cross-correlation return matrix is computed. A long epoch would smoothen the fluctuations in the return time series and suffers from non-stationarity, whereas a short epoch results in noisy fluctuations in the return time series and the correlation matrices turn out to be highly singular. An effective method to tackle this issue is the use of the power mapping, where a non-linear distortion is applied to a short epoch correlation matrix. The value of distortion parameter controls the noise-suppression. The distortion also removes the degeneracy of zero eigenvalues. Depending on the correlation structures, interesting properties of the eigenvalue spectra are found. We simulate different correlated Wishart matrices to compare the results with empirical return matrices computed using the S&P 500 (USA) market data for the period 1985-2016. We also briefly review two recent applications of RMT in financial stock markets: (i) Identification of \"market states\" and long-term precursor to a critical state; (ii) Characterization of catastrophic instabilities (market crashes).
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中文摘要：
我们简要概述了随机矩阵理论（RMT），目的是突出计算结果和金融市场作为复杂系统的应用。计算金融学中经常遇到的一个问题是选择一个合适的时期来计算经验互相关回报矩阵。长历元会平滑回归时间序列中的波动，并具有非平稳性，而短历元会导致回归时间序列中的噪声波动，相关矩阵具有高度奇异性。解决这一问题的有效方法是使用功率映射，其中非线性失真应用于短历元相关矩阵。失真参数的值控制噪声抑制。失真还消除了零特征值的退化性。根据相关结构，发现了本征值谱的有趣性质。我们模拟不同的相关Wishart矩阵，将结果与使用1985-2016年期间标准普尔500（美国）市场数据计算的经验回报矩阵进行比较。我们还简要回顾了RMT在金融股票市场中的两个最新应用：（i）识别“市场状态”和临界状态的长期前兆；（ii）灾难性不稳定性的表征（市场崩溃）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Complex_market_dynamics_in_the_light_of_random_matrix_theory.pdf (7.03 MB)

2022-6-10 18:45:48 上传

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关键词：矩阵理论 动力学 Applications Fluctuations Quantitative

复杂市场动力学根据随机矩阵理论Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.SeligmanAbstract，我们简要概述了随机矩阵理论（RMT），目的是强调金融市场作为复杂系统的计算结果和应用。计算金融中经常遇到的一个问题是选择一个合适的时期来计算经验互相关回报矩阵。较长的历元会使返回时间序列中的波动变得平滑，并存在非平稳性，而较短的历元会导致返回时间序列中的波动，并且相关矩阵具有高度奇异性。解决这个问题的一个有效方法是使用功率映射，其中非线性失真应用于短历元相关矩阵。失真参数的值控制噪声抑制。失真还消除了零特征值的退化性。根据相关结构，发现了本征值谱的有趣性质。我们模拟不同的相关Wishart矩阵，将结果与使用1985-2016年期间标准普尔500（美国）市场数据计算的经验回报矩阵进行比较。我们还简要回顾了RMT在金融股票市场的两个最新应用：Hirdesh K.PharasiInstituto de Sciencias F'sicas，墨西哥国立奥诺马大学，Cuernavaca-62210，墨西哥进出口银行，电子邮件：hirdeshpharasi@gmail.comKiran印度新德里贾瓦哈拉尔·尼赫鲁大学计算与综合科学学院，邮编：110067，电子邮件：kiransharma1187@gmail.comAnirban印度新德里贾瓦哈拉尔·尼赫鲁大学计算与综合科学Chakrabortis学院，邮编：110067，电子邮件：anirban@jnu.ac.inThomasH

SeligmanInstituto de Ciencias F'isicas，墨西哥国立奥诺马大学，Cuernavaca-62210，墨西哥和国际科学中心，Cuernavaca-62210，墨西哥电子邮件：seligman@icf.unam.mx2Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligman（i）“市场国家”和关键国家长期前身的识别；（ii）灾难性不稳定性的表征（市场崩溃）。1简介随着“大数据”时代的到来【10、14】，大数据集已在许多领域无处不在，如图像分析、基因组学、流行病学、工程、社交媒体、金融等，为此我们需要新的统计和分析方法【4、6、7、16、30】。经验相关矩阵在大样本数据分析中至关重要，因为各种统计方法强烈依赖于这些矩阵的有效性，以便分离“观测”信号或时间序列中包含的有意义信息[3]。通常，时间序列的长度是有限的，这会导致虚假的相关性，并且很难从噪声中提取信号【12，27】。因此，在确定经验相关性时，了解有限时间序列的定量效应非常重要【9、12、27、34】。随机矩阵理论（RMT）试图描述随机矩阵特征值的统计信息，通常是在大维数的限制下。1929年，J.Wishart（40）的一篇无标题论文首次提出了这一主题，他提出白噪声时间序列的相关矩阵是相关矩阵的适当先验。E、 Cartan在一篇重要但鲜为人知的论文[5]中提出了经典的随机矩阵群。此后，人们对这一主题的兴趣越来越大，其中提到L.G.的工作很重要。

华于1952年出版了第一部关于这一主题的专著；可提供英文译文[13]。Wigner将RMT引入物理学，基于这样的假设，即核组分之间的相互作用非常复杂，可以在其R矩阵散射理论的框架内将其建模为随机函数[37]。这最终导致哈密顿量^H呈现为一个大的随机矩阵，因此核系统的能级可以通过该矩阵的特征值来近似，实际上，核能级之间的间距可以通过矩阵特征值的间距来建模【38，39】。RMTHA的使用遍及从分子物理学到量子色动力学的许多领域。最近，RMT已成为一种流行的工具，用于使用经验回报时间序列的交叉相关性来研究金融市场的动态【26，31】。在本章中，我们介绍了随机矩阵理论（RMT）的最新技术，主要关注被视为复杂系统的金融市场中相关性的计算结果和应用【2、11、31、32】。计算金融中经常出现的一个中心问题是选择需要计算经验互相关回报矩阵的历元大小。很长的历元会平滑返回时间序列中的波动，而且时间序列也会遇到非平稳性问题[20]，而短时间历元会导致返回时间序列中的波动有噪声，相关矩阵会变得非常奇异（具有许多零特征值）[9]。除其他外，解决此问题的有效方法是使用功率映射[9、12、27、34]，其中非线性失真应用于短历元相关矩阵。

这里，我们演示畸变参数的值如何控制噪声抑制。根据随机矩阵理论3，复杂市场动力学也消除了零特征值的简并性（对于畸变参数的极小值，这会导致接近零的分离良好的“新兴光谱”）。根据相关结构，发现了本征值谱的有趣性质。Wishart引入了由白噪声构造的相关矩阵，其特征值谱的形状为Marcenko Pasturdistribution[17]；当引入相关结构时，会出现明显的偏差【8】。我们模拟不同的相关Wishart矩阵【19，40】，将结果与1985-2016年期间使用标准普尔500（美国）市场数据计算的经验回报矩阵进行比较【9】。我们还简要回顾了市场营销理论在金融股票市场中的两个最新应用：（i）识别“市场状态”和临界状态的长期前兆[24]；（ii）灾难性不稳定性的表征（市场崩溃）[9]。本文描述如下。第2节详细讨论了数据描述、方法和结果。第3节包含RMT在金融市场中的应用。最后，第4节包含结论性意见。2数据描述、方法和结果2.1数据描述我们使用了Yahoo Finance数据库[1]，用于1985年1月2日至2016年12月30日（T=8068天）期间标准普尔500（美国）市场调整收盘价的时间序列；股票数量N=194，其中我们已将整个期间存在于指数中的股票包括在内。

表1给出了部门缩写。表1标准普尔500指数十个不同部门的缩写标签部门标签部门CD消费者可自由支配ID工业SCS消费者主食IT信息技术HC医疗保健MT材料如能源TC技术FN金融UT效用2.2方法和结果不同金融资产之间的关联在投资组合管理分析中起着基础性作用，风险管理、投资策略等。然而，只有有限的资产价格时间序列；因此，无法计算资产之间的4 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligmanexact相关性，而只能计算近似值。真实互相关矩阵的估计质量在很大程度上取决于金融价格时间序列长度T与资产数量N之间的比率。比率Q=T/N越大，估计效果越好；尽管由于实际限制，theratio甚至可以小于unity。然而，此类相关矩阵通常非常嘈杂，因此需要从噪声中过滤。为了建立相关矩阵，我们首先计算股票每日价格Pi=1，…，的回报率Rif。。。，N、 时间t（交易日）：ri（t）=ln Pi（t）-ln Pi（t-1） ，（1）其中Pi（t）表示时间t时股票i的价格。由于不同股票的波动水平不同，我们定义了等时皮尔逊互相关系数asCi j（τ）=hrirji-hrihrjiσiσj，（2）其中h。。。i表示时间平均值，σkdenotes表示返回时间序列rk的标准偏差，k=1。。，N、 计算时间为M个交易日，以τ日结束。Ci JAR元素仅限于域-1.≤ Ci j公司≤ 1，其中Ci j=1对应于完美相关性，Ci j=-1表示完善的反相关，Ci j=0表示不相关的股票对。

由于以下几个原因，在分析经验互相关系数的重要性和意义时存在困难：1。市场状况随时间而变化，如果选择的时间太长，任何一对股票之间存在的相互关联可能都不是固定的。估计互相关的时间太短会引入“噪声”，即波动。由于这些原因，经验互相关矩阵C（τ）通常包含“随机”贡献加上非随机结果的部分【25，23】。因此，通常将C（τ）的特征值统计量与大型随机相关矩阵的特征值统计量进行比较，这是一种由互不相关的时间序列（白噪声）构成的相关矩阵，称为Wishart矩阵。我们首先复制RMT的基本结果，例如，Marcenko Pastur分布或Marcenko Pastur定律，该定律描述了平方随机矩阵特征值的渐近行为[17]。然后，我们研究了N只股票回报矩阵的经验互相关结构的时间演化以及不同时间段的价值谱，并试图提取金融市场的一些新特性或信息【9，24】。2.2.1 Wishart和相关Wishart EnsemblesLet us构建了一个大型随机矩阵B，该矩阵由长度为T的N个随机时间序列产生，其中时间序列的条目是真正独立的随机变量，该随机变量是从均值和方差σ为零的标准高斯分布中产生的，因此根据随机矩阵理论5，市场动力学很复杂，得到的矩阵B是N×T。然后，可以将Wishart矩阵构造为w=TBB。（3） 在RMT中，Wishart矩阵的集合称为Wishart正交集合。

在时间序列的上下文中，W可以被解释为协方差矩阵，在N个随机时间序列上计算，每个随机时间序列具有T个统计自变量。这意味着平均而言，W不具有互相关。相关Wishart矩阵可以构造为w=TGG，（4）其中G=ζ1/2B是一个N×T矩阵；G的T×N转置矩阵和N×N正定对称矩阵ζ控制实际相关性。如果ζ是对角线矩阵，对角线项为单位，非对角线项为零（即，ζ=1，单位矩阵），则得到的矩阵W减少为前Wishart正交系综之一。如果ζ的对角线项为单位且非对角线元素为非零且为实数，则所得矩阵构成相关Wishart正交系综。为了简单起见，在本章中，我们生成并使用了ζ，其中所有非对角元素都是相同的（等于常数U，它位于零和单位之间）。Wishart正交系综的本征值谱可以解析计算。对于限制N→ ∞ 和T→ ∞, Q=T/N固定（且大于1），特征值的概率密度函数由Marcenko Pastur分布给出：(R)ρ（λ）=Q2πσp（λmax-λ)(λ -λmin）λ，（5）其中σ是G元素的方差，而λmin和λmax满足相关关系：λmaxmin=σ1 ±√Q. （6） 对于Q≤ 1，正半限定矩阵W，上述等式中的密度ρ（λ）。5被归一化为Q，而不是统一。因此，考虑到（N-T） 零，我们有ρ（λ）=Q2πσp（λmax-λ)(λ -λmin）λ+（1-Q） δ（λ）。（7） 首先，我们生成了一个大小为N×N的Wishart矩阵W（ζ=1），该矩阵由N个实际独立高斯变量的时间序列构成，每个变量的长度为T，均值为零，单位方差为（σ=1）。无花果

1显示了参数组N和T的细化对Wishart系综元素的概率分布和相应特征值谱的影响。图16 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligman（a）（b）（c）（d）（e）（f）图1（a）-（c）显示了有限尺寸对与b维度真实相关性的影响（N=有限，T=有限，Q（=T/N）=10）。由N个时间序列构成的Wishartensemble大小元素的概率分布（Wi j），每个具有长度为T的真实独立高斯随机变量，平均值和方差σ为零。Wi-jd分布的方差随N和T的增加而减小，N的方差减小到零→∞ 和T→∞ 其中tn=有限。（d） -（f）显示Wishart系综的本征值ρ（λ）的密度，其在数值上与所有N和T的Marcenko Pastur分布[17]（红色虚线）匹配。光谱的数值λmax=1.732和λmin=0.468也与公式6的理论计算结果精确匹配。使用高达200个集合的平均值生成了元素概率分布（Wi j）和特征值密度（|ρ（λ））的数值结果。（a） 显示维度Wishart矩阵元素的概率分布，其中N=1024，T=10240。图1（d）显示了特征值ρ（λ）的相应密度，其形状为理论上的马塞科帕斯分布（红色虚线）[17]。类似地，图。1（b）和（c）显示了使用参数集N=10240和T=102400，以及N=30720和T=307200生成的Wishart矩阵元素的相应概率分布。

我们可以看到，随着N的增加，分布的形状变得更窄，这意味着虚假互相关的数量减少。理想情况下，由于不存在真正的互相关，因此分布应为零处的Dirac delta。特征值谱对参数N和T不太敏感，如图所示。1（e）和（f），表示相应的本征值谱。对于上述所有模拟，我们发现模拟数据与理论上的Marcenko Pastur分布（红色虚线）非常一致，λmax=1.732，λmin=0.468（理论上使用公式6计算，Q=10）。正如我们前面提到的，平稳性假设对于非常长的返回时间序列是失败的，因此将一个长度为T的长时间序列分解为大小为M的nshorter历元（例如T/M=n）通常是有用的。对于每个较短的时期，平稳性假设都有所改善。然而，如果根据随机矩阵理论7（a）（b）（c）（d）存在N个回报时间复杂的市场动态，图2使用参数集（a）N=1024和M=512，Wishart矩阵W的特征值分布的半对数图；（b） N=1024，M=64。对于短时期（N>M），IGENVALUE谱有N-M+1零特征值和频谱的剩余特征值显示出类似于Marcenko Pastur分布的a分布。插图显示剩余M的放大视图-1特征值。（c） 和（d）显示了使用功率图技术生成的新兴光谱，其ε=0.001，为变形半圆形。利用1000多个系综成员的平均值生成了特征值密度的数值结果。