基于随机矩阵理论的复杂市场动力学

请注意，对于较小的M值，新兴光谱向左移动，并且对于较小的M.series值，其某些特征值为负值，例如N>>M，则相应的互相关矩阵与N高度奇异-M+1零特征值，这导致特征统计较差。我们使用幂图技术【12，35】打破了零处的奇异值退化。在该方法中，短历元Wishart矩阵W（或每个相关系数Ci jof theempical cross-correlation矩阵C中的后续元素）的每个元素（Wi j）的非线性失真由Wi j给出→ （符号Wi j）| Wi j | 1+ε，（8），其中ε是噪声抑制参数。对于非常小的畸变，例如ε=0.001（此处使用），我们得到了本征值的“新兴谱”，这是由零处的退化本征值产生的，与原始谱很好地分离。最近的研究和应用8 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligman（a）（b）（c）（d）（e）（f）图3参数为N=1024和M=64的相关Wishart群的特征值谱，显示在具有恒定相关性的半对数标度上：（a）U=0.1，（b）U=0.3，（c）U=0.8。插图显示了相应的非零特征值密度，这与Marcenko Pastur分布密切相关。（d） -（f）显示当非线性畸变（ε=0.001）应用于相同矩阵时，新兴光谱的密度。注意，随着恒相关强度的增加，合并光谱的形状从扭曲的半圆变为类似洛伦兹的形状）。在本章后面，我们将通过将失真ε的值从0变为0.8来研究功率映射方法的不同方面。在图中。

2，我们研究了非线性失真对Wishart系综行为的影响（U=0），其中N>>M。图2的顶行显示了系综的半对数图，参数为：（a）N=1024和M=512，以及（b）N=1024和M=64。然后，将ε=0.001的小非线性畸变提供给群，以显示出现的光谱，如图所示。2（c）和（d）。有趣的是，随着M变短，新兴光谱的形状从半圆变为天文畸变的。此外，请注意，当M变短时，新兴光谱向左侧移动。对于较小的M值，新兴光谱的一些特征值变为负值。在相关Wishart系综的情况下，负值的数量取决于历元M的大小、畸变参数ε和平均相关性【22】。图3显示了与强度U的恒定相关性对参数SN=1024和M=64的相关Wishart群的本征谱和新兴谱的影响。无花果。3（a）-（c）显示了相关Wishart群在半对数尺度上的特征值分布，相关度分别为U=0.1、U=0.3和U=0.8。插图显示了非零特征值的密度，这些密度在所有情况下都由Marcenko Pastur分布密切描述。在最下面一行，图。3（d）-（f）显示了从零处退化特征值的非线性失真中产生的相应新兴谱的密度。根据随机矩阵理论的shapesComplex市场动力学9（a）（b）（c）（d）（e）（f）图4参数N=1024和M=256的相关Wishart系综W的特征值谱的半对数图，在与U=0.1的恒定相关性下，畸变参数为：（a）ε=0，（b）ε=0.1，（c）ε=0.2，（d）ε=0.4，（e）ε=0.6和（f）ε=0.8。

对于ε=0.1，合并谱与非零特征值很好地分离，但随着畸变参数ε的增加，新出现的谱开始向剩余的非零特征谱移动，并最终在更高的值（例如ε=0.8）下与之合并。当相关Wishart群的恒相关值增加时，出现的光谱从扭曲的半圆变为类似洛伦兹的。接下来，我们在图4中展示了失真（或噪声抑制）参数ε对本征值谱的影响。图4（a）-（f）显示了参数N=1024和M=64的相关Wishart群的特征值分布，以及不同的失真参数值：ε=0.0,0.1,0.2,0.4,0.6和0.8，在ζ中的所有非对角元素之间保持恒定的相关性（U=0.1）。非零特征值的密度由Marcenko Pastur分布密切描述，但随着ε值的增加，出现的谱向主谱移动。当ε=0时，新兴谱不存在，但它与畸变参数高值的主谱合并，例如，ε=0.8.2.2经验互相关矩阵的特征值分解。我们还分析了雅虎金融数据库中标准普尔500（美国）指数N=194调整后的每日收盘价时间序列。如方法论小节所述，我们构建了M=200个交易日的经验互相关矩阵x（τ），以交易日τ结束。在图5（a）和（e）中，我们分别为2011年3月7日至2011年12月16日（高平均相关）和1995年4月18日至1996年1月30日的时间序列选择了两个相关矩阵（低平均cor10 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligmanrelation）。颜色栏显示股票之间的相关性。

库存按行业分组排列（缩写见表1）。对角线上的方块显示了同一产业群中的相关性。图5（b）和（f）显示了相关矩阵的特征值分解为各自的市场模式、集团模式和随机模式。通过这种分离/分解，还可以重建不同模式对聚合相关矩阵的贡献，如下所示。相关矩阵的最大特征值对应于市场模型，反映了所有股票共同市场的总体动态，并与平均市场相关性密切相关。群模式捕获市场的行业行为，即图5（c）中相关矩阵最大特征值之后的15个特征值，以及图5（g）中相关矩阵的62个后续特征值。剩余特征值捕捉市场的随机模式行为（见图5（d）和（h））。通过使用特征值分解，我们可以过滤真实相关性（来自信号）和纯相关性（来自随机噪声）。为此，我们首先将总体相关矩阵分解为（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）图5（a）和（e）显示了2011年3月7日至2011年12月16日期间，M=200天的194支标准普尔500指数股票的互相关矩阵；（b） 1995年4月18日至1996年1月30日。这些股票是根据其行业类别排列的（缩写见表1）。沿对角线的区块显示出相同产业群内的相关性；颜色栏显示股票之间的相关性。（a） 显示了具有高平均相关和（e）低平均相关的相关矩阵。

（b） 和（f）显示了相关矩阵的特征值分解为市场模式、群体模式和随机模式。市场模式捕获平均市场相关性，这是矩阵的主要特征值。集团模式给出了市场的部门行为，其特征是随后的15个特征值为市场的相关矩阵（a），接下来的62个特征值为市场的相关矩阵（e）。其余的IGenValue显示随机行为。（c） （g）从相关矩阵中去除市场模式和随机模式后的相关矩阵；因此，矩阵仅由组模式组成。我们可以可视化显示扇区之间相关性的块结构。（d） （h）从相关矩阵中去除市场模式和集团模式后，显示相关矩阵；因此，矩阵仅由随机模式组成。基于随机矩阵理论的复杂市场动力学11C=N∑i=1λiaiai，（9），其中λian和aia分别是相关矩阵C的特征值和特征向量。处理相关矩阵重构的一种简单方法是按降序对特征值排序，然后重新排列相应秩中的特征向量。这允许将矩阵分解为三个单独的组件，即：。，市场、集团和随机C=CM+CG+CR，（10）=λaa+NG∑i=2λiaiai+N∑i=NG+1λiaiai，（11），其中对于高平均相关矩阵（图5（a）），NGis取15；对于低平均相关矩阵（图5（e）），NGis取62，即对于两个选定的相关矩阵，对应于最大特征值之后的15（或62）个特征值。值得注意的是，结果对NG的准确值并不十分敏感。如上所述，从2到NG的投资组合描述了行业动态。无花果

5（c）和（g）从各自的相关矩阵中移除市场模式和随机模式后，显示相关矩阵；因此矩阵仅显示组模式。我们可以看到块体结构，它显示了扇区之间的相关性。无花果。5（d）和（h）显示去除市场模式和集团模式后的相关矩阵；因此矩阵仅显示随机模式。一个重要的观察结果是，随着平均相关性的增加，市场模式向右移动。集团模式几乎与（a）（b）（c）图6（a）1985年至2016年32年间标准普尔500指数194支股票的平均互相关矩阵一致。股票按行业分组排列（缩写见表1）。对角线块表示同一产业群内的相关性，非对角线元素表示与其他产业群的相关性。（b） 将平均相关矩阵的特征值分解为市场模式、群体模式和随机模式。marketmode捕获平均市场相关性。集团模式给出了市场的部门行为。相关矩阵的随机模式产生了Marcenko Pastur分布。（c） 相关矩阵的特征值谱，针对整个32年的长回归时间序列进行评估，正态谱的最大特征值λmax=55.72。最大特征值与“体积”很好地分离。插图显示了频谱的随机部分，正常频谱的最小特征值λmin=0.22.12 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligmanrandom模式，但方差较高。因此，虽然市场模式非常强大，但部门动态几乎完全不存在（与参考文献[28]中观察到的情况类似）。无花果

6（a）显示了1985-2016年期间（T=8068个交易日）N=194支标普500股票的平均互相关矩阵。我们将平均互相关矩阵分解为市场模式、群体模式和随机模式。通常，市场模式捕获与最大特征值相对应的平均市场相关性，该相关性与其他特征值不同（参见参考文献[36]，了解相关Wishart集合中最大特征值行为的比较）。群体模式反映了市场的部门行为，在很大程度上与随机模式一致，并与股票的随机行为相对应。由此产生的特征值分布（如图6（c）所示）是一个Marcenko Pastur分布[17]（见图6（c）及其插图）和一些偏差。当N<<T时，我们不会得到任何零特征值。光谱的最大值（λmax=55.72）支配着整个市场。接下来的19个特征值对应于群模式，其余的表现为随机模式。光谱的最小特征值λmin=0.22。图7（a）显示了由替代数据（N=194个相关高斯噪声，每个长度T=10000）构建的互相关矩阵，使得矩阵包含10个不同相关性的对角块（等于标准普尔500指数市场不同部门的平均相关性）。图7（d）显示了代理互相关矩阵（N=194；T=10000），但现在有一个大块和6个小块。大板块的平均相关性等于四个板块的平均相关性（图6（a）中的CD、FN、ID和MT），它们显示了32年来标准普尔500指数市场的高部门间相关性。相关矩阵的特征值谱如图所示。

7（b）和（e）分别由MarcenkoPastur分布（见插图）组成，然后分别对应于10（和7）个块（类似于扇区）的10（和7）个特征值。无花果。7（c）和（f）显示3DMDS图，其中点（代表股票）分别基于10个和7个区块之间的相关性分散。在MDS图中，更多的相关股票放在附近，而反相关股票放在很远的地方（另见参考文献[24]）。在k=10和k=7的情况下，对代理数据矩阵执行的k均值聚类分别产生10和7个不同的聚类（以不同的颜色表示）。2.2.3美国市场相关性结构的动态接下来，我们研究了在32年期间（1985-2016年，T=8068个交易日）用标准普尔500指数194只股票的每日收益计算的市场相关性的时间演化。图8（a）和（b）显示了相关系数的平均值（<Ci j>）、相关系数绝对值的平均值（<Ci j>）以及相关系数绝对值的平均值和平均值的差值d f=<Ci j>- < Ci j>对于M=20天的短时间段，班次为： τ=1天（95%重叠）和τ=10天（重叠50%）。根据随机矩阵相关理论13，正向侧复杂市场动力学的转变指向了市场崩溃的时期（具有非常高的平均相关值）。d f的值与相关系数均值的值呈反相关。在相关系数均值较高的市场崩盘期间，股票之间几乎没有反相关，那么d f的值非常小，实际上接近于零（见参考文献[18]）。

它可以作为市场崩盘的一个指标，因为我们观察到d f值和<Ci j>之间存在高度的反相关，领先时间为一到两天（在市场崩盘之前）。类似地，图8（c）和（d）显示了相关系数Ci-jas随时间变化的方差、偏度和峰度曲线图 τ=1天 τ=分别为10天。平均相关与C的方差和偏度呈反相关，即当平均相关较高时，方差和偏度均较低。峰度与平均相关度高度相关。这些观察结果可以从市场的动态演变中看出，时间为M=20天，时间为τ=1，10天（s）。<Ci j>和<Ci j>之间的散点图，以及<Ci j>和d f（=<Ci j>- < Ci j>）对于经验（a）（b）（d）（e）（c）（f）图7（a）的不同时间滞后（无滞后、滞后-1、滞后-2和滞后-3），由具有不同相关性的10个对角块的相关高斯时间序列构造的互相关矩阵（等于图6（a）中每个扇区的平均相关性）。（d） 显示相同的互相关矩阵，但有一个大块和6个小块。大区块的平均相关性等于四个扇区的平均相关性（图6（a）中的CD、FN、id和MT）。在过去32年的标准普尔500指数市场中，它们具有很高的部门间相关性。（b） 和（e）显示了相关矩阵的本征值谱，其中包括分别对应于10个扇区的10组模式和对应于7个扇区的7组模式的Marcenko Pastur分布。插图显示了光谱随机部分的放大图片。（c） 和（f）分别显示10个和7个不同聚类的图，使用三维k均值聚类技术以不同颜色绘制。

在194只股票的三维多维标度（MDS）图上进行聚类。MDSmap上的每个点代表市场的一个存量。根据股票之间的相互关系，这些点分散在地图上——相关性更强的股票放在附近，相关性较弱的股票放在远处（另见参考文献[24]）。14 Hirdesh K.Pharasi、Kiran Sharma、Anirban Chakraborti和Thomas H.Seligman（a）（b）（c）（d）图8相关系数平均值（<Ci j>）、相关系数绝对值平均值（<Ci j |>）和差值（d f=<Ci j |>- < 作为时间的函数，对于M=20天的短时期，以及以下变化：（a） τ=1天和（b）τ=10天。我们发现，在碰撞期间（当平均相关度很高时），差值d f=<Ci j>- < Ci j>显示了最小值（接近零）（见参考文献[18]）。相关系数的方差（σ）、偏度和峰度曲线图，作为时间的函数，在短时间内M=20天，以及以下位移：（c）τ=1天和（d） τ=10天。相关矩阵C（τ），标普500指数的194支股票和M=20天的时期，以及τ=1天，分别如图9（a）和（b）所示。这里，lag1、lag-2和lag-3分别表示1天、2天和3天的时滞。颜色栏以年为单位显示1985年至2016年的时间段。散点图显示了不同时间滞后下<Ci j>与<Ci j>和<Ci j>与d f之间的相关性。散点图的方差随着时滞的增加而增加，保持线性相关系数的值几乎相似。<Ci j>和<Ci j |>之间的强线性相关性可能会给我们提供关于未来3天内崩盘的早期信息（来自lag-3的结果）。类似的线性相关性也可见于图。