关于带摩擦的拟sure超边对偶

对于任何t∈ 一、 考虑随机集▄K*,d-1t：=p rojRd-1（yenK*,0t）项目接管第一个d- 1坐标和▄K*,0与（3.1）中的▄K类似。观察t hat，graph（▄K*,d-1t）=项目Ohmt×Rd-1.图表（▄K*t）∩Ohmt×Rd-1× {1}. （3.4）引理2.6，图（~K）*t） （3.4）中的交点也是解析的。由于投影是连续映射，我们得出以下结论：图（~K*,d-1t）是分析性的。第2步。我们现在显示setAvt：=(ω, θ) ∈ Ohmt×Rd-1： θit=yiSit（ω），y∈K*,d-1t（ω）+v对于任意v∈ 研发部-1和t∈ 一、 这与附录中的L emma A.1一起产生了这一主张，因为图（Θt）是来自Avt的可数个分析集的交集。注意功能f：Ohmt×Rd-1× Ohmt×Rd-17→ Ohmt×Rd-1定义的asf（ω，y，￠ω，s）=ω、 ys，yd码-1sd-1.ω = ~ω(ω, -1.-1） ω6=￠ω是Borel可测的。回顾St>0和K*t型 Rd+，我们有那个avt=f图表（▄K*,d-1t+v），图表（~St）∩Ohmt×Rd-1+,其中，S是第一个d给出的过程- 1 S的分量。由于▄S是Borel可测量的，所以图（▄St）是一个B-orel集。此外，从步骤1开始，图（▄K*,d-1t+v）是一个分析集。由于f是可测量的，我们得出结论，Avtis是分析的。推论3.2。对于任何t∈ 一、 随机集ΔΘt（ω）：={Δθ∈ P（Rd-1) : θ ∈ Θt（ω）}有解析图。证据ΔΘ图是Θtvia图的图像，映射为（ω，θ）7→ （ω，Δθ），这是一种嵌入（参见【Aliprantis and Border，2006，定理15.8】）。由于通过连续函数的分析集的图像再次是分析的，因此论文如下。对于t∈ {0，…T- 1} 我们定义了随机集^Pt（ω）：={P∈ P（^）Ohm) :^P|Ohm∈ Pt（ω），^P（图Θt+1（ω；·））=1}，ω∈ Ohmt、 （3.5）我们将定义扩展到t=-1带^P-1： ={P∈ P（^）Ohm) :^P（图Θ）=1}，这是一个非随机集，因为Kitself是非随机的。提案3.3。（3.5）中定义的随机集^pts具有解析图。证据修复t∈ 我-1.

为了便于记法，将At+1表示为：=图Θt+1，这是解析函数3.1。功能1At+1：Ohmt×^Ohm→ 因此，R是上半解析的。不难看出函数φ：Ohmt×P（^Ohm) → R使得φ（ω，^P）=E^P[1At+1（ω；·）]是上半解析的（参见[Bouchard and Nutz，2015，引理4.10]的证明）。因此，集合{（ω，^P）∈ Ohmt×P（^Ohm) :^P（图Θt+1（ω；·））=1}=φ-1([1, ∞ )),是解析的，因为φ是上半解析的。具体而言，本文针对t=-1、现在0≤ t型≤ T- 1、回想一下地图πOhm: P（^）Ohm) → P（Ohm), 每个^P∈ P（^）Ohm) 它处于边缘位置Ohm, Borel是否可测量（见【Aliprantis and Border，2006，定理15.14】）。因此，正如在[Bouchard et al.，2019，引理2.12（i）]的证明中，集合{（ω，^P）∈ Ohmt×P（^Ohm) :^P|Ohm∈ Pt（ω）}也是解析的。综上所述，观察图（^Pt）是两个先前集合的交集。现在，我们证明这个类在一组足够丰富的事件上是非空的。引理3.4。假设NAs（P）。集合Nt：={ω∈ Ohmt： ^Pt（ω）=} 对于任何t∈ 我-1、特别是，对于集合N：=∪t型∈我-1Nt。证据修复t∈ 我-1、对于t=-1从命题2.7来看，Θ是非随机和非空的，因此没有任何东西可以显示。假设0≤ t型≤ T- 设Dt+1：=dom（Θt+1），它是引理3.1的解析形式。在命题3.3的证明中，函数φ：Ohmt×P(Ohm) → 使得φ（ω，P）=EP[1Dt+1（ω；·）]是上半解析的。我们推导出setBt：={（ω，P）∈ Ohmt×P(Ohm) : φ（ω，P）=1}∩ 图（Pt）（3.6）是分析图，因此，它在Ohmt、 用N′t表示：=（项目Ohmt（Bt））C∈ 傅。我们证明，在NAs（P）下，N′是P极的。要看到这一点，请观察dct+1={ω∈ Ohmt+1：int（▄K*t+1（ω））=},是命题2.7中的P极性。假设存在P∈ 使得P（N′t）>0，并用{Pt}t表示∈Iits分解。

通过定义Bt，每ω的Pt（ω，DCt+1）>0∈ 因此，随机变量ZOhmDCt+1（ω；ω′）Pt（ω；dω′），ω∈ Ohmt、 在N′t上严格正。由于P（N′t）>0，通过对P积分Pt公司-1我们得到P（DCt+1）>0。这是一个矛盾，因为DCt+1是P极的。仍然需要证明N′t=Nt。包含内容 遵循Bt的定义。Takenow Ptan Fut Bt和Δθt+1的可测量选择器∈ L（Fut+1；ΔΘt+1），其中ΔΘt+1定义在推论3.2中。因为任意ω的Pt（ω，dom（Θt+1））=1∈ （N′t）C，我们可以在dom（Θt+1）的补码上任意扩展Δθt+1，并且，尽管有轻微的符号滥用，我们仍然用Δθt+1来表示它。产品测量Pt 对于任何ω，Δθt+1延伸至^Pt（ω）∈ （N′t）C。这表示（N′t）C （Nt）C本文如下。推论3.5。假设NAs（P）。对于任何t∈ 我-1，^St+1∈ 整数（▄K*t+1）^P-q.s.和任何（ω，θ）∈ NCt×Rd-1，supp^Pt（ω）St+1（ω，θ；·）=supp（ω）~K*,0t+1（ω；·）。证据IT来自Pt 对于任何Δθt+1，Δθt+1延伸至^pt∈ L（Fut+1；ΔΘt+1）和Pt是Btin（3.6）的可测量选择器。推论3.5表明，价格过程^S的参数θ的作用是“跨越”反向递归（2.3）给出的双锥。我们设置^P：={^P-1. · · · ^PT-1： ^Pt∈ L（Fut；^Pt），t型∈ 我-1}.这个类是通过Fubini定理很好地定义和构造的，正如对P所做的那样。事实上，从引理3.4来看，集合Ntis P-极性，因此，我们可以任意将任何^ptt扩展到一个普遍可测的核，尽管有点滥用符号，我们仍然用^pts表示。通过构造，我们得到了轨迹集在▄K内部取值的概率*等于1，即^P(ω, θ) ∈^Ohm :^St（ω，θ）∈ 内景K*t（ω）, t型∈ 我= 1.^P∈^P.（3.7）我们最终表明，从满足NAs（P）的模型（K，P）开始，衍生无摩擦市场（^S，^P）满足下面定义3.7的无套利条件。定义3.6。

我们说，当Ht+1时，过程H是egy的容许st r∈ L（^Fut；Ct）和自我融资条件（Ht+1- Ht）·St=0^P-q.s.保持0≤ t型≤ T- 1、允许策略的类别用^Hr表示。定义3.7（NA（^P））。如果（H），则无套利条件成立o^S）T≥ 0^P-q.s.表示（Ho^S）T=任何H的0^P-q.S∈^Hr。为了使用Bayraktar和Zhou【2017】的无摩擦对偶结果，我们需要验证论文中的假设3.1和5.1。请注意，在Bayraktar和Zhou【2017】的符号中，集合Ht对应于此处考虑的约束集合Ct。在NAs（P）下，推论3.5和命题2.7意味着supp^Pt（ω）（^St+1（ω；·））-^St（ω））= 研发部-1×{0}，^P-q.s.，其中，对于集合U Rd，span（U）表示其线性外壳。我们推断，Bayraktar和Zhou【2017】的集合Ht、Ht（^P）和CHT（^P），它们都与第一个d- 1套Ct的组件。由于CTI是一个凸闭锥，因此满足假设3.1 i）-ii）和5.1 i）。【Bayraktar和Zhou，2017年，备注5.2】足以验证假设5.1 ii）。特别是，我们表明at（ω，P）：=supx∈Ct（Ω）x·E^P[^St（^ω；·）]，^ω∈^Ohmt、 ^P∈ P（^）Ohm),Borel是可测量的。要看到这一点，请观察D：={（^ω，^P）：E^P|^St（^ω；·）|<∞} 当^S是Borel可测量时，是Borel可测量的（例如，参见[Bouchard and Nutz，2015，Lemma4.10]的证明）。此外，函数F（（^ω，^P），x）：=x·E^P[^St（^ω；·）]是一个特征映射，即当（^ω，^P）固定时，它在x中是连续的，当x固定时，它在（^ω，^P）中是可测量的。根据【Rockafellar和Wets，1998，示例14.15】，随机集F（（ω，P），Ct（ω））是可测量的。最后，对于anyc来说，限制为D也是Borel可测量的∈ R、 A-1t（（c，∞]) ∩ D={（ω，P）：F（ω，P），Ct（ω））∩ （c），∞) 6= } ∩ D、 设^Q：={Q<<^P:Ho^S是Q-局部-超鞅H∈ L（^Fu）-; C） }。

以下是Bayraktar和Zhou【2017】的第3.2条，在我们的上下文中也是有效的。对于ω∈ Ohm固定，NA（^Pt（ω））对应于单周期市场的NA（^P）（^St（ω），^St+1（ω；·））。定理3.8。以下是等效的：1。NA（^P）；2、对于任何0≤ t型≤ T- 1，N′t：={（ω，θ）∈^Ohmt： NA（^Pt（ω））失效}∈ Fuis是一个^P-极集；3、对于任何P∈^P t存在Q∈^Q使P<< Q、 证明。与[Bayraktar和Zhou，2017，定理3.2]的证明唯一不同的是，^Pt（ω）可能在P极集Nt上有空值∈ 傅。回顾图^Ptis分析命题3.3。因此，dom（^Pt）也是一个分析集。1.=> 2.【Bayraktar和Zhou，2017，引理3.3】证明了这一点。证明了（N′t）Cis等于集合{ω∈ Ohmt： （λ）*∩ Ct）（ω）-Λ*（ω） }，其中我们表示∧（ω）=su pp^Pt（ω）（^St+1（ω；·）-^St（ω））。在我们的框架中，上述集合必须与dom（^Pt）相交，dom（^Pt）是解析的，因此，相交是普遍可测量的。同样的证明得出N′是P极的。2.=> 3、基于【Bayraktar和Zhou，2017，引理3.4】。通用可测核qt定义Q∈^Q是在P极集合之外构造的，尤其是，它们被选为dom（Ξ）=（N′t）C的集合Ξ的选择器。在我们的框架中，相同的Ξsatifiesdom（Ξ）=（Nt∪ N′t）C，它仍然是普遍可测的P极。同样的证据可以得出结论。3.=> 1、为标准。提案3.9。NAs（P）表示NA（^P）。证据修复t∈ {0，…，T- 1}. 从定理3.8中，我们只需要证明NAs（P）意味着集合N′是^P极的。假设存在H∈ L（^Fut；Ct），这样t有（^ω）·^St+1（^ω；·）-^St（^ω）≥ 0，^Pt（ω）-q.s.推论3.5意味着H（^ω）（弱）将{St（^ω）}从集SUPPT（ω）~K中分离出来*t+1（ω；·），对于^P-极集合的补集中的任何^ω。这种分离延伸到（ω）＝conv（ω），用（2.3）表示的闭凸壳。

因此，我们可以重写H（ω）∈在-^St）*(^ω). 此外，从条件H（^ω）∈ Ct（^ω）=C**t（ω），我们还有H（ω）∈At+C*t型-^St）*(^ω). 最后，（2.3）表示int（≈K*t） int（在+C时*t） 。我们推断h（ω）6=0=>^St（^ω）/∈ 整数（▄K*t（ω））。根据推论3.5，^St∈ 整数（▄K*t） ^P-q.s.，因此，{ω∈^Ohmt： H（^ω）6=0}是^P-极性。4超边缘对偶本节致力于定理2.4的证明。为此，我们将primaland和对偶问题与第3节构建的^Sand诱导的无摩擦市场中的随机对应问题进行比较。利用无摩擦情况下已知的对偶结果，我们得到了结果。原始问题的平等性。我们首先观察到，对K或K使用可接受的策略会产生相同的超边际价格。引理4.1。πK（G）=πИK（G）。证据自Kt起~Kt，不等式(≥) 是微不足道的。现在让我们（y，|η）∈ R×HKbe是G的超边。我们证明存在η∈ hk使得ηT=△ηTand，因此，（y，η）是一个超边缘锻件。通过定义，我们可以写出|ηT=PTt=0-kt对于某些 kt∈ L（Fut；~Kt），对于任何t∈ 一、 我们观察到，从（2.3）中，~Kt=~K**t型=K*t型∩conv（Γt）+C*t型*= Kt+（Γ*t型∩ Ct）。来自【Bayraktar和Zhang，2016，引理8】，~kt=f+g，带f∈ L（Fut；Kt）和g∈L（未来；~Kt+1∩ Ct）。迭代相同的过程直到时间T- 1并回顾▄KT=KT，我们得到▄KT=ftt+。ftT，对于某些fts∈ L（Fut；Ks），s∈ {t，…t}。此外，gts：=PTu=s+1管长至L（Fut；~Ks+1∩ Cs）对于s=t，T- 1、请注意，FTS仅为s定义≥ t、 对于s<t，我们将fts设置为0，以便我们可以重写▄kt=PTs=0fts。现在确定kt：=Pts=0fstandηt：=Ptu=0-库福尔t∈ 一、 显然，ηT=°ηTso thatyed+°ηT- G∈ 千吨级=> yed+ηT- G∈ 千吨级。我们只剩下证明ηt∈ L（Fut；Ct）表示任何t∈ 一、 为此，观察t=时，Tit从ηt=～ηt开始。t=0时。

T- 1，我们有tXu=0ku=tXu=0tXs=0fus+TXs=t+1fus=tXs=0（ks+gst），其中，对于第二个等式，我们在第一项中交换求和顺序，并在第二项中使用gstin的定义。上述方程式的读数为ηt=～ηt+Pts=0gst。Byconstruction，gst∈ CtP-q.s.。此外，可容许性|η意味着|ηt∈ CtP-q.s.通过证明CTI是一个凸锥，论文如下。我们现在考虑由^S定义的无摩擦市场中的超边缘问题。请注意，^Hr中的交易策略（见定义3.6）原则上可能取决于变量θ。由于该变量仅起作用，一般的^Fu可预测过程无法持续识别香港的元素。为此，我们需要将可接受策略的类别减少到只依赖于变量ω的策略。定义4.2。一致策略H={Ht}t∈Iis是满足Ht+1的Rd值进程∈L（未来 {, Rd}；Ct）对于任何0≤ t型≤ T- 1且以下自我融资条件成立：supθ∈ Θt（Ht+1- Ht）·St（·θ）=0 P-q.s。0≤ t型≤ T- 1.（4.1）我们用^H表示所有自我融资一致策略的集合。备注4.3。回想一下，^S的最后一个组件用作num'eraire。H的自融资条件∈^Hris标准，即要求-（Hdt+1- Hdt）与PD一致-1i=1（命中+1- Hit）^Sit^P-q.s.另一方面，一致的策略只取决于ω变量，因此在数值中的位置需要能够覆盖^St价格的最坏情况，这解释了（4.1）。我们在下面展示，对于任何一致的策略，（4.1）的左侧是可测量的。根据可接受策略的选择，可以在扩大的市场中计算随机变量g的两个相应的超边际价格：^πr（g）：=infy∈ R:H∈^hrt此类y+（Ho^S）T≥ g、 ^P-q.s。, （4.2）^π（g）：=infy∈ R:H∈^H使得y+（Ho^S）T≥ g、 ^P-q.s。.

（4.3）我们想证明，在无冲突市场中，仅使用一致的策略，G的超边际价格等于G^STin的超边际价格。为了实现这一目标，让我们首先阐述一致战略的自我融资条件。对于任何0≤ t型≤ T- 1，让Ht：=Ht+1- Htand定义F（ω，x）：=Pd-1i=1命中（ω）xi，这是一个Charath\'eodory映射。重新调用集合▄K*,d-引理3.1中步骤1的1具有解析图，因此，它是普遍可测量的（参见[Bayraktar and Zhang，2016，引理12]）。根据【Rockafellar和Wets，1998，示例14.15】，随机集F（ω，~K*,d-1t）再次可测量。我们定义φt（ω）：=sup F（ω，~K*,d-1t（ω））。观察φ对于任何c∈ R、 φ-1t（（c，∞]) = {ω ∈ Ohmt： F（ω，K）*,d-1t（ω））∩ （c），∞) 6= } ∈ Futandφ-1吨({∞}) = ∩c∈Qφ-1t（（c，∞]) ∈ 未来。我们还发现，自我融资条件（4.1）可以改写如下。- Hdt=supθ∈ Θtd-1Xi=1Hit^Sit（·，θ）=supx∈K*,d-1td-1Xi=1Hitxi=φt，（4.4），其中第二个等式来自推论3.5。定义A∞:= ∪T-1t=0φ-1吨({∞}).引理4.4。让P∈ P、 H类∈^H.o假设P（A∞) > 0。那么，对于任何n∈ N、 存在^Pn∈^P使^Pn|Ohm= Pand^Pn（Pd-1i=1Hit^Sit公司≥ n） 对于某些0，大于0≤ t型≤ T- 1;o 假设P（A∞) = 0。那么，对于任何n∈ N、 存在^Pn∈^P使^Pn|Ohm= PandPd公司-1i=1Hit^Sit公司≥ -Hdt公司-n、 ^Pn-a.s.适用于任何0≤ t型≤ T- 1.证明。对于固定的P，我们可以采用H的Borel可测量版本（因此也可以采用φt）。我们将特征映射^F（ω，θ）：=F（ω，^St（ω，θ））定义为0≤ t型≤ T- 1和F，但不同的是，现在F是以ω为单位的Borel可测量的。根据[Rockafellar和Wets，1998，示例14.15 b）]，随机集ω→ {θ×Rd-1： ^F（ω，θ）≥ n} ω→ {θ ∈ 研发部-1： ^F（ω，θ）≥ φt（ω）-n} ，是Borel可测的，因此，它们有Borel可测图。通过将它们的图与图（Θt）相交，我们得到了两个解析集。

扬科夫·冯·诺依曼定理证明了普遍可测选择器θ的存在性∞tand′θ<∞t分别。如果P（A∞t） 对于某些0，大于0≤ t型≤ T- 1我们让\'θt=\'θ∞对于s 6=t，我们让θsbe为Θs的任意选择器。如果P（A∞) = 0我们让\'θt=\'θ<∞t对于任何0≤ t型≤ T- 1和θTan是ΘT的任意选择器。由于P是固定的，我们采用上述选择器的Borel可测量版本。在这两种情况下，回想一下mapθ→ Δθ是Rdinto P（Rd）的一个嵌入，我们从核集合中构造一个概率测度^pn^Pt（ω，…，ωt；ω′，θ′）：=Pt（ω，…，ωt；dω′） δ′θt+1（ω，…，ωt；ω′）（θ′），对于0≤ t型≤ T- 1并将其扩展到^P-1： =P-1. 任意P的δ′θ-1.∈ P(Ohm). 已施工的^pnsaties^Pn|Ohm= P和所需的属性。引理4.5。πИK（G）=π（G·ST）。证据不平等(≥). 如果G的超边缘策略集为空，则π▄K（G）=∞这种不平等的情况微不足道。假设（y，η）∈ R×HKis是指G.definet+1的超边缘：=ηt，t=0，T- 1、因为▄kt是一个凸锥，ηT- ηT-1.∈ -~ktbyadministrability，我们有thatyed+ηT- G∈~KT=> yed+ηT-1.- G∈~KT。对于P极集合外的任意ω和任意st∈K*,0t（ω），0≤ （yed+ηT-1(ω) - G（ω））·sT≤ y+HT（ω）·sT+T-1Xt=0kt（ω）·st- G（ω）·sT=y+T-1Xt=0Ht+1（ω）·（st+1- st）- G（ω）·sT，其中第二个不等式来自kt∈KT用于任何t∈ 一、 P-q.s.回顾，从（3.7）中，我们有∈K*t^P-q.s.，它遵循y+（Ho^S）T≥ G·^ST^P-q.s.仍需证明，在不丧失一般性的情况下，η可以选择为H是可容许的。来自η∈ 我们有那个Ht=ηt- ηt-1.∈ -Kt=(-K*t）*. 特别是，这意味着Ht·St≤ 0^P-q.s.，因此，δt：=Hdt+supθ∈ Θtd-1Xi=1Hit^Sit（·，θ）≤ 0 P-q.s.考虑新策略▄η，即h▄ηt=ηt- edPtu=t的0δuF∈ 一、 自命中=Hitfori=1。

d- 1和-Hdt=-Hdt+δt，自融资条件如下（4.4）。此外，再次使用（4.4），我们也有（|ηt- §ηt-1） ·x个≤ 0表示任意x∈K*,0t，表示￠ηt- §ηt-1.∈ -~Kt。最后，￠ηt∈ L（Fut；Ct），因为它与第一个d的ηt重合- 1协调，最后一个不受约束（见备注2.5）。我们通过观察Thayed+￠ηT得出结论-1.- G=yed+ηT-1.- edPT公司-1t=0δt- G属于▄KTS除外-1t=0δt≤ 0P-q.s.～kt是一个包含Rd+的凸锥。不平等（≤). 如果G·^sti的超边缘策略集为空，则^π（G·^ST）=∞ 这种不平等的情况微不足道。假设（y，H）∈ R×H是G·ST的超边。我们设置kT：=0，kT：=Ht- Ht+1和ηt：=Ptu=0-kufor任意t∈ 一、 假设Firstp（kdt=∞) > 0表示某些P∈ P和t∈ 一、 引理4.4，对于任意n∈ N、 存在^Pn∈^P使-（Hdt+1- Hdt）（ω）≥d-1Xi=1-套件^Sit≥ n、 ^Pn-a.s.其中第一个不等式来自（4.1）。请注意，左边的第一项是在时间t平衡战略H的成本，因为n是任意的和Pn∈任意n的^P∈ N、 我们推导出^π（G·ST）=∞ 这种不平等的情况微不足道。对于其余的证明，我们假设对于任何t∈ I（实际上，P-q.s.版本kdt{kdt<∞}是普遍可测量的）。从（4.4），kt（ω）·x≥ anyx为0∈K*,0t，表示kt（ω）∈~Kt（ω）。我们现在用（y，η）重写（y，H）的超边缘性质。对于a^P-极集合外的任何（ω，θ），我们有0≤ y+T-1Xt=0Ht+1（ω）·（^St+1-^St）（ω，θ）- G（ω）·^ST（ω，θ）=y+T-1Xt=0-kt（ω）·（^ST）-^St）（ω，θ）- G（ω）·^ST（ω，θ）=（yed+ηT（ω）- G（ω））·^ST（ω，θ）+T-1Xt=0kt（ω）·^St（ω，θ）。（4.5）我们声称这意味着：0≤ （yed+ηT（ω）- G（ω））·^ST（ω，θ），^P-q.s。