关于带摩擦的拟sure超边对偶

（4.6）为了证明该权利要求，观察（4.5）中的第一项仅通过最后一个分量θT依赖于θ，而（4.5）中的第二项仅依赖于第一个分量θT- 1θ的分量。Fixn公司∈ N、 P∈ P、 引理4.4和（4.4）中存在^Pn∈^P使^Pn|Ohm= P和kt·^St=d-1Xi=1kit^Sit+kdt≤n、 ^Pn-a.s.自n起∈ N和P∈ P是任意的，我们推断（4.6）成立，并且证明了该主张。Itremains表示ξ=yed+ηT- G、 ξ·^ST≥ 0^P-q.s。=> ξ ∈~KTP-q.s.假设，通过矛盾，存在一个集合a和一个概率P∈ P使得P（A）>0和ξ（ω）/∈任意ω的KT（ω）∈ A、 在不丧失一般性的情况下，我们可以取ξ的Borel可测版本。回想一下，假设▄KT=KT是Borel可测量的，因此b：={（ω，y）∈ Ohm ×Rd：ξ（ω）·y<0}∩ 图形（int（▄K*T） ）是Borel可测量自【Bouchard and Nutz，2016，L emma A.1】。此外Ohm 包含A。由于B是Borel，根据Jankov Von Neumann定理，存在一个UniversallyMeasureable映射sT：Ohm → Rdwith图形sT B、 自图表sT 图形（int K*T） 我们可以对最后一个分量进行标准化，根据【Rockafellar和Wets，1998，Theorem14.16】，存在进一步可测量的随机向量‘θtsatizingξ（ω）·ST（ω，’θT（ω））<0，ω ∈ A、 对于任何0，也取Θt的\'θta选择器≤ t型≤ T- 1、对于上述任何一个选择器，我们采用Borel可测量版本。现在考虑概率测度^P∈^P从核^Pt（ω，…，ωt；ω′，θ′）：=Pt（ω，…，ωt；dω′） δ′θt+1（ω，…，ωt；ω′）（θ′），带^P-1： =P-1. 任意稀疏P的δ′θ-1.∈ P(Ohm). 注意，^P∈^P和^P|Ohm= P、 Byconstruction，^P（ξ·ST<0）≥ P（A）>0，这与假设相矛盾。双重问题的平等性。

摘自【Bayraktar and Zhou，2017，引理5.7】any^Q∈^Qt表示崩解（^Qt）t=0，。。。T-其中，^Qt是^Qt（^ω）的通用可测量选择器：=^P∈ P（^）Ohm) :^P<<^Pt（ω），E^P|^St（^ω；·）|<∞ 安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯^St（^ω；·）]≤ 0y∈ Ct（ω）, ^ω ∈^Ohmt、 （4.7）对于t=0。T- 1、类似地，市场K的标准化SCP集由分解（Qt）t=0，。。。T-1of Q满意度|Zt（ω；·）|<∞ 和EQt【y·】Zt]≤ 0, y∈ t=0时的Ct（ω），（4.8。T- 1、提案4.6。对于任意随机向量G∈ Fu，sup（Z，Q）∈SEQ[G·ZT]=sup^Q∈^QE^Q【G·ST】。（4.9）证明。假设（Z，Q）∈通过构造，这是一幅Charath’e地图。根据Implicit映射定理（参见【Rockafellar and Wets，1998，定理14.16】），存在anF自适应过程（θt）t∈iθt：Ohmt型→ 研发部-并且使得^St（ω，θt（ω））=Zt（ω）。（4.10）用（Qt）t表示∈我-1给定Ft的Q的条件概率集合-1，扩展t ot=-具有任意Q的1-1.∈ P(Ohm). 我们使用Δθtas作为随机核，并构造概率^Q：=（Q-1. δθ)  · · ·  （QT-1. ΔθT）。由于（Z，Q）满足（4.8）和（4.10）成立，我们推断∈此外，很明显，等式[G·ZT]=E^Q[G·ST]。相反，假设^Q∈^Q.我们将（Z，Q）定义为Q：=^Q|Ohm而且，对于每个t∈ 一、 Zt：=E^Q[^St | Ft]。用（^Qt）t表示∈我-1（分别为（Qt）t∈我-1） ^Q的解体（分别为Q）。Fr om E^Qt[y·^St+1（^ω；·）]≤ 0表示任何y∈ Ct根据Ctis Ft可测量的事实，我们推断，对于任何t=0，…，qtsaties（4.8），T-1、此外，自^Q<<^P，根据^P的定义，我们得到：i）Q<< P和ii）ZT取整数（~K）中的值*t） 任何t的Q-a.s∈ 一、 我们得出（Z，Q）∈此外，我们显然有EQ[G·ZT]=E^Q[G·ST]。4.1定理2.4的证明。我们现在准备证明本节的主要结果。

请注意，从引理4.1和4.5中，我们只能推断出当一个人限制在扩大的市场中进行一致的交易时，原始问题的等式（与（4.3）相比）。仍然需要证明的是，使用（4.2）中定义的随机策略可以获得相同的价格，换句话说，我们需要证明^π（G·ST）=^πr（G·ST）。由美国表示（^Ohmt、 t）g类：^Ohmt型→ R只通过θt依赖于θ的上半解析函数，即g（ω，θ）=g（ω′，θ′），(ω, θ), (ω′, θ′) ∈^Ohmt、 ω=ω′，θt=θ′t。单周期情况。我们首先获得了T=1的结果，这将构成一般情况下的构建块。提案4.7。假设T=1和g∈ 美国（^OhmT、 T）。如果NA（^P）为真，则^π（g）=^πr（g）。证据不等式^π（g）≥ πr（g）是平凡的。反之，设Bn（0）为圆心为0，半径为n的封闭球inrdw∈ N、 交叉点▄K*,0∩ Bn（0）是Rd的Ona紧子集×{1}上的紧集形式-1、回顾^Pfrom（3.5）和letP的定义-1.∈ P(Ohm) 要专横。我们定义了^Pn：={（P-1. δθ) ^P：θ∈ On，^P∈^P}^P.用^pnreplacement^P表示^π和^πrin方程（4.2）和（4.3）的类似物，并注意，通过构造，{πn（g）}和{πrn（g）}分别在^π（g）和^πr（g）的基础上增加序列。我们现在使用inBouchard et al.（2019）的极大极小参数来推断出^πn（g）=infH∈Csupθ∈ Onsup^P<<^PE^P[g- H·（^S）-^S）]=supθ∈ OninfH公司∈Csup^P<<^PE^P[g- H·（^S）-^S）]=^πrn（g）。回想一下，圆锥体K*,0是非随机的。因此，在扩大的市场中，唯一相关的变量是θ。为了证明上述观点，充分观察函数（H，θ）7→ sup^P<<^PE^P[g- H·（^S）-^S）]=支持<<^PE^P[g- H·S]- H·^S（ω，θ）对于θfixed在H中是凸的，对于H fixed在θ中是模糊的。因此，我们可以应用极大极小定理[Terkelsen，1972，推论2]。

If^πr（g）≥ 画→∞^πrn（g）=∞, 然后^πr（g）≥ ^π（g）完全成立，证明是完整的。假设限制是有限的。设ε>0为任意值，对于anyn∈ N、 让Hn∈ Cbe是^πn（g）的ε-最优策略，即^πn（g）+ε+Hn·（^S（ω，θ）-^S（ω，θ））≥ g（ω，θ），（4.11），对于a^P-极集合外的任何（ω，θ）和任何θ∈ 在…上如果{Hn}n∈N Cis有界，我定义了一个收敛的子序列。用“H”表示其极限。从（4.11），在×{1}↑K*,0和πr（g）≥ 画→∞^πrn（g）=limn→∞πn（g），它保持πr（g）+ε+’H·（S-^S）≥ g、 ^P-q.s其中^π（g）≤ πr（g）+ε。我们现在证明，如果{Hn}n∈N Cis无界，它与SNA（^P）相矛盾。这与ε>0的任意值一起产生所需的不等式。若要查看此除法，请使用CN：=kHnk（4.11）的两侧。由于假定^πn（g）=^πrn（g）有界，因此^πn（g）/cn收敛到0。Hn/cn属于Rd的紧致球，因此，存在“H WITH k”Hk=1这样的Hn/cn→(R)H（直至提取子序列）。请注意，H∈ Csince Cis已关闭的目录。通过与上述相同的论证，这意味着“H·（^S-^S）≥ 0，^P-q.s.回顾（3.7），条件NA（^P）意味着“H=0”，这是一个矛盾，因为k“Hk=1。证据到此结束。注意，如果G：Ohm → Rdis是一个Borel可测向量，G·ST:Ohm → R是一个仅通过θT依赖于θ的Borel可测函数。特别是命题4.7，连同引理4.1和引理4.5，得出πK（G）=πR（G·ST）。定理2.4对于T=1的证明。根据提案3.9，NAs（P）将NA（^P）用于扩大的市场。根据引理4.1、引理4.5和命题4.7，πK（G）=πr（G·^ST），这是G·^ST在扩大市场中的超边际价格。

我们证明了πK（G）=πr（G·ST）=sup^Q∈^QE^Q[G·^ST]=sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】≤ sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】。事实上，第二个等式源自【B ayraktar and Zhou，2017，定理4.3】，在观察到当Cis为圆锥体时，上述论文中的aq是有限的当且仅当^Q∈^Q.第三个等式来自命题4.6，最后一个不等式来自▄ S、 Converse不等式源自标准参数。根据【Bayraktar和Zhou，2017，定理4.3】，当价格确定时，在扩大的市场中存在最优的超边缘策略。引理4.1和4.5的证明提供了原始市场中最优策略的构造。多期案例。根据【Bayraktar和Zhou，2017，引理3.4】，（4.7）中的^Qtas每0≤ t型≤ T- 1、给定gt+1∈ 美国（^Ohmt+1，t+1），我们定义为：Ohmt型→ R为gt（^ω）=sup^Q∈^Qt（^ω）E^Q[gt+1]（4.12）g′t：Ohmt×Rd→R为g′t（ω，h）=supθ∈ Θt（ω）{gt（ω，θ）- h·^St（ω，θ）}，（4.13），其中Θtas在（3.3）中。可以显示gt∈ 美国（^Ohmt、 t）。事实上，可测性性质完全来自于证明的第一行中的相同论点【Bouchard和Nutz，2015，引理4.10】。此外，GT仅通过^St依赖于θ，因此，仅通过θt（见（3.2））。现在回想一下，两个上半解析函数之和也是上半解析函数（参见[Bertsekas and Shreve，1978，引理7.30]）。由于^Stis B orel可测量，我们推断gt- h·^sti是（ω，h，θ）的上半解析函数。从引理3.1和[Bertsekas和Shreve，1978，命题7.47]我们推断g′是上半解析的。设▄Ptbe为上的概率集Ohmt×Rd-1×^Ohm由￠Pt（ω）给出：={（Δω δθ) ^P：（ω，θ）∈ 图Θt，^P∈^Pt（ω）}，ω∈ Ohmt、 回想一下，推论3.2中的随机集^ptan和ΔΘ具有解析图。

从mapx 7开始→ δxis嵌入与映射（P，Q）7→ PQ是连续的（见[Bertsekas和Shreve，1978年，引理7.12]），因此也有解析图。引理4.8。对于任何0≤ t型≤ T- 1、函数f：Ohmt×Rd×Rd→定义的asf（ω，h，x）=supP<<Pt（ω）EP燃气轮机+1- h·St- x·（^St+1-^St）（4.14）是一个普遍可测的正规被积函数。证据D enote by f▄P（ω，h，x）上确界为t的（4.14）右侧的函数。F r om【Rockafellar和Wets，1998，推论14.41】我们需要检查：1。对于任意（ω，h）∈ Ohmt×Rd，函数f（ω，h，·）是下半连续的。2、对于任意x∈ Rd存在ε′>0，因此，对于所有ε∈ （0，ε′），函数ψε：（ω，h）7→ 在fx中∈Bε（x）f（ω，h，~x）是普遍可测的，其中Bε（x）表示半径ε以x为中心的闭合球。由于fP（ω，h，·）对于每一个P都是连续的，并且连续函数的点态上确界是下半连续的，因此第一种说法如下。任意考虑ε>0。我们首先表明，对于任何（ω，h），ψε（ω，h）=supP<<Pt（ω）inf▄x∈Bε（x）f▄P（ω，h，▄x）。这源于极大极小定理的应用（参见[Terkelsen，1972，推论2]）。Bε（x）是一个紧集，对于固定的▄x，映射f▄P（ω，h，▄x）在▄P中是线性的（因此是凹的）。另一方面▄P<<~Pt（ω）}是一个凸集，对于固定的▄P，映射f▄P（ω，h，▄x）是有限的（henceconvex）并且在▄x中是连续的。我们可以重写inf▄x∈Bε（x）f▄P（ω，h，▄x）=f（ω，h，▄P）+f（ω，P），其中f=E▄燃气轮机+1- h·St, f=- supx∈Bε（x）EPx·（^St+1-^St）.上半解析函数Ohm ×Rd×P(Ohm) （见【Bouchard和Nutz，2015，Lemma4.10】）。我们认为fis是一个Borel可测函数（因此是上半解析函数）。给出这个定理，我们观察到f+f再次是上半解析的。

此外，通过上述（4.13）的可测性的相同论证，我们可以得出以下结论：ψε=supP<<Pt（ω）（f+f）在上半解析Ohm ×Rd，因此可普遍测量。这证明了第二个属性。为了得出结论，证明费斯博雷尔是可测量的就足够了。要了解这一点，请观察函数EP[x·（^St+1（ω；·）-^St（ω；·））]在（ω，P）中是可测量的，在▄x中是连续的，也就是说，它是一个Carath'eodory映射。根据【Rockafellar and Wets，1998，示例14.15】，其与bε（x）的组合产生了一个Borel可测量的随机集a，使得sup a=-f、 总之，观察任意c∈ R、 {（ω，P）：f<c}={（ω，P）：A∩ (-c∞) 6= } ,是a.备注4.9中可测量性的Borel集。注意，对于任何ω∈ Ohmt、 （4.14）的右侧等于inf{K∈R:X≤ K^Pt（ω）-q.s}，其中X是期望值内的随机变量。特别地，这等于时间t的最小量，对于该最小量，策略x是gt+1的超边缘，假设h是时间t使用的策略- 此外，通过▄Pt的构造，初始量为f（ω，h，x）的策略x是一种（有条件的）超边缘策略，它只依赖于事件ω，而不依赖于事件（ω，θ）。在定义4.2的术语中，这种结构提供了一致的策略。回想一下，NA（^Pt（ω））是NA（^P）的条件版本（见定理3.8）。提案4.10。让0≤ t型≤ T- 1并假设NA（^Pt（ω））。存在一个UniversallyMeasureable映射：Ohmt×Rd→ Rd和一个P-极集N，使得对于任何（ω，h）∈ NC×Rdg′t（ω，h）+h·^St+Д（ω，h）·（^St+1-^St）≥ gt+1、~Pt-q.s.和g′t（ω，h）>-∞.证据

将gt+1的一致条件超边际价格（ω，h）定义为映射（ω，h）7→ inf公司y∈ R:H∈ Ct（ω）：y+h·St+h·St+1-^St）≥ gt+1，~Pt（ω）-q.s。.g′t（ω，h）是gt+1的一致条件超边际价格，这一事实源自命题4.7和[Bayraktar和Zhou，2017，定理4.3]的相同极大极小论证。此外，根据定理3.8，NA（^Pt（ω））在极集合N之外保持不变。同样，根据[Bayraktar和Z hou，2017，定理4.3]，g′t（ω，h）>-∞ 在NC×Rd上，达到了最大值。这仍然表明，可以以一种可测量的方式选择超级边缘策略。从引理4.8来看，（4.14）中定义的映射是一个普遍可测的正规被积函数。根据【Rockafellar和Wets，1998，命题14.33】并回顾g′是上半解析的（因此是普遍可测的），映射ψ（ω，h）：={x∈ Rd:f（ω，h，x）≤ g′t（ω，h）}是一个闭值的普适可测随机集。所需的ψ是ψ的任何可测量的选择器（存在于，例如【Rockafellar and Wets，1998，推论14.6】）。定理2.4对于T>1的证明。我们首先表明，对于任何g∈ 美国（^OhmT、 T），^π（g）=^πr（g）=sup^Q∈^QE^Q[克]。（4.15）对于T=1，（4.15）源自命题4.7和【Bayraktar和Zhou，2017，定理4.3】。我们用归纳法证明了一般情况。假设T=1，证明了t方程（4.15）。如果终端时间为u，则表示为^πuthe（一致的）超边际价格。特别是（4.3）中定义的^πT=^π。让gt+1∈ U SA（^Ohm分别在（4.12）和（4.13）中定义GTA和g′TA。我们声称^πt+1（gt+1）≤ ^πt（gt）。用^P | t表示^P对^的限制Ohmt、 与^Q | t类似。

考虑任意（y，H）∈ R×hr满足y+（H·S）t≥ gt^P | t-q.s.通过重写之前的不等式，我们观察到thaty+（H·s）t-1.- Ht·St-1.≥ 燃气轮机- Ht·^St，^P | t-q.s.在t urn中，意味着+（H·^s）t-1.- Ht·St-1.≥ g′t（·，Ht）P | t-q.s.给定策略（y，H，…，Ht），命题4.10提供了一个普遍可测量的随机向量Ht+1=Д（·，Ht），使得策略（y，H，…，Ht，Ht+1）满足y+（H·，s）t+1≥gt+1^P-q.s.根据上述（y，H）的任意性，证明了该主张。我们推导出^πt+1（gt+1）≤ ^πt（gt）=^πrt（gt）=sup^Q∈^Q | tE^Q[燃气轮机]≤ sup^Q∈^QE^Q[gt+1]，其中等式来自归纳假设，第二个不等式来自标准粘贴参数。根据定义，^πrt+1（gt+1）≤ 此外，不等式sup^Q∈^QE^Q[燃气轮机+1]≤ ^πrt+1（gt+1）为标准。我们得出结论（4.15）适用于T=T+1。我们现在选择g=g·^ST，这是通过假设可测量的Borel。根据引理4.1、引理4.5、命题4.6和（4.15），我们推导出πK（G）=sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】≤ su p（Z，Q）∈序号【G·ZT】。同样，逆不等式后面是标准参数，二元性后面是（还记得备注2.5之前的讨论）。最后，无摩擦市场中的成就属性源自【Bayraktar和Zhou，2017，定理6.1】。引理4.1和引理4.5的证明提供了在原始市场中构建最优策略的方法。4.2带有选项的案例。我们现在考虑的情况是，有限数量的选项Д，^1eare可用于半静态交易。在本节中，我们展示了这种情况可以嵌入到前一种情况中。对于任何k=1，e、 我们假设φk：Ohm → RDI是一个Borel可测量函数，表示期权的最终收益，以基础d维资产的物理单位表示。BK和ak分别表示时间0时的任何Дkhas出价和要价。

我们设置Φ：=[Д；···；Дe；-φ; · · · ; -^1e]对应价格p：=（a，…，ae，-b-be）T.Φ取Rd×mand p中的值∈ m的rm：=2e。为了便于记法，我们重新标记期权，并将其价格纳入支付中，以便Φ=[φ- ped；···；φm- pmed]。此外，我们假设有一个满足第2节所有假设的动态交易市场（K，C）。容许策略的形式为η：=（η，α）和η∈ HKa动态策略和α∈ Rm+。定义4.11。如果NAs（P）对动态交易市场（K，C）和ηT+Φα成立，我们说NAsΦ（P）成立∈ KTP-q.s表示α=0。G的（半静态）超边缘价格：Ohm → RDI定义为πK，Φ（G）：=infny∈ R:η ∈ HKs。t、 yed+ηt+Φα- G∈ KT，P-q.s.o，（4.16），其中edis是Rd的规范基的dthvector。最后，定义集sΦ：={（Z，q）∈ S：等式[Дk·ZT]∈ （黑色，ak）k=1。e} 。定理4.12。假设NAsΦ（P）。对于任何Borel可测随机向量G，πK，Φ（G）=sup（Z，Q）∈SΦEQ【G·ZT】。（4.17）此外，当πK，Φ（G）<∞.如第3节所述，我们构建了一个扩展空间，其中只允许在无摩擦资产集中进行动态交易。“我们设置”Ohm=^Ohm×RMAD’Ohm =OhmTwith‘Ohmt的（t+1）-乘积‘Ohm.我们确定：Ohmt型→ Rd×rm使得o在第一个d分量上：\'St（ω，θ，x）=^St（ω，θ）；o在最后m个分量上：(R)St（ω，θ，x）=x表示1≤ t型≤ T- 1，且“Sk=pk，”“SkT（ω，θ，x）=φk（ω）·ST（ω，θ），k=d+1，m、 从集合中获得的一组先验值“P i”Pt：=^Pt P（Rm）。无摩擦市场中的约束集为C×Rm+。无摩擦市场中随机且一致的str集如前所述定义，并在此处表示为“Hrand”H。类似地，对于相应的超边缘价格“πrand”π。