关于带摩擦的拟sure超边对偶

我们在此将半静态一致超边际价格定义为‘∏Φ（g）：=infy∈ R:H∈\'H，使y+（Ho\'\'S）T≥ g'P-q.s.和HKT=HK对于任何k=d+1，m、 t=1，T.我们只需要展示以下内容。引理4.13。π（G·ST）=πΦ（G·ST）。证据不平等(≤) 正如右手侧的任何策略也允许左手侧的策略一样。对于不平等(≥), 假设（y，’H）∈ R×(R)H是G^ST.Let'H=（H，H）的超边，其中H是前d个分量的向量，H是最后m个分量的向量。回想一下，H∈\'H是一致的，即它只取决于ω变量。出租：=∪mk=d+1{ω∈ Ohmt： \'Hkt+16=\'Hk}并让\'t第一次为0≤ t型≤ T- 1使得某些P的P（At）>0∈ P、 Superheding属性的读数为，y+（(R)Ho\'S）T=y+（Ho^S）T+T-1Xt=1mXk=d+1hkt+1（(R)Skt+1-\'Skt）=y+（Ho^S）T+mXk=d+1hk（\'Sk’T）-\'\'Sk）+T-1Xt=\'tmXk=d+1hkt+1（\'Skt+1-(R)Skt）≥ G·^ST.’P-q.s.现在取ξ{x的可测选择器∈ Rm:x·h't+1<0}。这存在于【Bayraktar和Zhang，2016，引理12-13】，因为随机集对应于h't+1的极锥内部。既然CEP是固定的，我们可以采用一个Borel可测量的ξ版本。设（Pt）t=0，。。。，T-P的核分解，任意推广到t=-1、固定x∈ RmandΔθtanΔΘt的任意选择器，来自推论3.2，对于任何t∈ 一、 对于任何λ>0的情况，确定概率核'P't：=P't Δθ′t+1 Δλξ，Pt：=Pt Δθt+1 δxf对于t 6=’t。通过Fubini定理构造的测度‘Pλ属于‘P。Si nceλ是任意的，G^s仅取决于变量（ω，θ），我们推断（y，’H）不能是超边。定理4.12的证明。从引理4.13和定理2.4的证明中，我们得到πK，Φ（G）=πΦ（G·ST）=π（G·ST）=π（G·ST）=πr（G·ST）=sup'Q∈“QE”Q【G·^ST】，其中集合“Q”与集合“Q”的“S”类似。总结一下，请注意，对于任何“Q”∈“Q，E”Q[φk·ST]<对于任何k=d+1。

. . , m、 特别是，这意味着E'Q[Дj·ST]∈ （bj，aj）对于任何j=1。e，以及命题4.6，论文如下。下面是Rk中凸集的一个简单引理。对于j=1，k、 设ej为正则基的第j个元素，Aj：=Sn∈NA+nejand A-j： =序号∈不适用-nej公司。引理A.1。设A是RK中的凸集，int（A）6=.k\\j=1（Aj∩ A.-j） =int（A）。证据(). 让x∈ int A.对于任何j=1，k、 存在nj，因此x+njej∈A、 因此，x∈ A.-j、 以一种直观的方式，我们可以显示x∈ AJ和laimfollows。(). 让x/∈ int A.通过坐标的变化，假设x=0。由于A是凸的，根据超平面分离定理，存在H∈ Rk \\{0}使得H·y≥ 0对于任何y∈ A、 让j假设Hj6=0，并假设Hj<0（Hj>0的情况如下）。从Hj·nej<0到任意n∈ N、 x=0/∈ A.-j、 证据到此结束。我们在这里提供引理2.6和命题2.7的证明。引理A.2。允许Ohm 解析图中的be-Polish和Φ，ψ随机集。然后，Φ+ψ有解析图。证据考虑函数f（ω，ω，x，y）：=（ω，ω，x+y）表示（￠ω，ω，x，y）∈ Ohm × Ohm ×Rk×Rk。f（图（Φ），图（ψ））是通过Bo rel函数的解析集的图像，因此，它是解析的。此外，集合{（ω，ω）∈ Ohm × Ohm} 是的Borel子集Ohm × Ohm.综上所述，我们认为图（Φ+ψ）是Ohm x分析集的Rk（图（K*t） ，图（C*t） )∩{(ω, ω) ∈ Ohm × Ohm} ×Rk.引理2.6的证明。假设Ktis Bor el可测量，因此，根据【Bayraktar和Zhang，2016，引理13】，图（K*t） 是分析型的。t=t的结果如下。我们采用反向归纳法。回想一下图（C*t） 通过假设进行分析，根据【Bayraktar和Zha ng，2016，引理6】的pro，Γthas分析图。根据【Bayraktar和Zhang，2016，引理12（b）】，Conv（Γt）也是如此。

我们使用引理A.2和【Bayraktar和Zhang，2016，引理12（d）】得出结论。位置证明2.7。确定市场Kt：={K，…，Kt-1，Kt，KT}福特∈ 一、 我们采用反向归纳法。对于t=t，KT=K，这两个性质遵循假设。假设该论题对u=t+1为真。我们证明了这对于T是正确的。对于ω∈ Ohmt、 设∧t（ω）：={x∈ Rd:x∈~Kt+1（ω；·）Pt-q.s.}。来自【Bayraktar和Zhang，2016，引理7】∧t=Γ*t、 暗示∧*t型K*t+1P-q.s.来自归纳假设和假设2.1，int（λ*t） 6= 和int（K*t型-C*t） 6=在一个P-极集合外N。没有te现在对于每个ω∈ Nc，使其int（λ*t） （ω）∩ int（K*t型- C*t） （ω）=, （A.1）我们可以找到x∈ Rd \\{0}这样x·y≤ 0表示任何y∈ K*t型- C*横坐标x·z≥ 0对于任何z∈ Λ*t、 Fr om【Bayraktar和Z hang，2016，Le mma 16】，由于Ktand Ctare闭集，我们推断x∈ -千吨级∩ C和x∈ ∧t.设η为未来可测量的选择器{(-千吨级∩ 计算机断层扫描∩ ∧t）\\{0}}（关于其存在，请参见【Bayraktar和Zhang，2016年，命题4】）。注意η∈ 在+1（Kt+1）处，通过定义∧t，η∈~Kt+1P-q.s。严格无套利条件意味着tη=0 P-q.s，因此，ω的集合∈ 满足（A.1）的Nc为P极。在补集上，我们显然有int（~K*t） 6=. 我们只剩下讨论NAs（P）对Kt的影响。设η：=（η，…，ηT）和r≥ t使得ηr∈ Ar（Kt）∩ L（Fur；~Kr）（案例r≤ t型- 1微不足道）。根据可采性，ηr=-k- . . . - 千吨级-1.-~kt- . . . -kr，带ks∈ K对于s=0。t型-1和 ks∈KSS=t。r、 注意，对于t≤ s≤ T，int（￠K*s） 6= P-q.s.，因此，Ks=K*s∩ （conv（Γs）+C*s）*= Ks+（λs∩ Cs），其中第一个等式后接（2.3），第二个等式后接【Bayraktar和Zhang，2016，引理16】。我们从案例r开始≥ t+1。

根据【Bayraktar和Zhang，2016，引理8】，对于某些kt，我们有▄kt=kt+λt∈ L（Fut；Kt）和λt∈ L（未来；~Kt+1∩Ct）。因此，我们可以重写ηr=-k- . . . - 千吨级-1.- （kt+λt）-kt+1- . . . -对于任何s 6=t和￠ηt：=ηt，用￠ηs=ηs定义新策略￠η-1.- kt=ηt+λt。由于ηt，λt+1∈ L（Fut；Ct）和cti是一个凸锥，总和也取inCt，fr om的值，其中∈ 在（Kt+1）处。特别是，对于市场Kt+1和满足￠ηr，允许￠η∈ Ar（Kt+1）∩ L（Fur；~Kr）从严格无轨道的归纳式缩合中得出：~ηr=ηr=0 P-q.s。对于r=t的情况，通过假设ηt∈ L（毛发；~Kt）。与上述类似，我们可以为某些ξt重写ηt=ξt+λt∈ L（Fut；Kt）和λt∈ L（未来；~Kt+1∩ Ct），因此λt=-k- . . . - 千吨级-1.- ξt。这意味着λt∈ At（Kt+1）∩ L（未来；Kt+1） At+1（Kt+1）∩ L（Fut+1；~Kt+1），其中包含来自假设2.1。严格无套利条件意味着λt=0 P-q.s.，因此ηt=ξtP-q.s.Thu s，ηt∈ A（Kt+1）∩L（Fut；Kt）。再次使用严格的无套利条件，它遵循ηt=0。参考B。Acc ia io、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Sch a chermaye r.资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学鳍26(2):233–251, 2016. I SSN 09 60-1627。内政部：10.1111/百万。1 2060. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1111/mafi.12060.A.Aksamit、S.Deng、J.Obj和X.Tan。离散时间金融市场中美式期权的稳健定价二元性。《数学金融》，29（3）：861–8972019。内政部：10.1111/百万。12199网址https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/mafi.12199.C.D.Aliprantis和K.C.边界。有限维分析：搭便车指南。柏林斯普林格；伦敦，2006年。ISBN 9783540 326960 3540326960。内政部：10.10 07/3-540-29587-9。M、 Avellaneda，A.Levy和A.第。波动不确定市场中衍生证券的定价和对冲。

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