关于带摩擦的拟sure超边对偶

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英文标题：
《On the quasi-sure superhedging duality with frictions》
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作者：
Erhan Bayraktar, Matteo Burzoni
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We prove the superhedging duality for a discrete-time financial market with proportional transaction costs under model uncertainty. Frictions are modeled through solvency cones as in the original model of [Kabanov, Y., Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets. Fin. Stoch., 3(2):237-248, 1999] adapted to the quasi-sure setup of [Bouchard, B. and Nutz, M., Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models. Ann. Appl. Probab., 25(2):823-859, 2015]. Our approach allows to remove the restrictive assumption of No Arbitrage of the Second Kind considered in [Bouchard, B., Deng, S. and Tan, X., Super-replication with proportional transaction cost under model uncertainty, Math. Fin., 29(3):837-860, 2019] and to show the duality under the more natural condition of No Strict Arbitrage. In addition, we extend the results to models with portfolio constraints.
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中文摘要：
我们证明了模型不确定性下具有比例交易成本的离散时间金融市场的超边缘对偶性。摩擦是通过偿付能力锥进行建模的，正如[卡巴诺夫，Y.，货币市场交易成本下的对冲和清算。Fin.Stoch.，3（2）：237-2481999]的原始模型一样，该模型适用于[Bouchard，B.和Nutz，M.，非支配离散时间模型中的套利和二元性。Ann.Appl.Probab.，25（2）：823-8592015]的准确定性设置。我们的方法可以消除[Bouchard，B.，Deng，S.和Tan，X.，模型不确定性下按比例交易成本的超级复制，Math.Fin.，29（3）：837-8602019]中考虑的第二类无套利的限制性假设，并显示无严格套利更自然条件下的对偶性。此外，我们将结果推广到具有投资组合约束的模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_quasi-sure_superhedging_duality_with_frictions.pdf (362.84 KB)

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关键词：sure SUR Mathematical proportional Quantitative

具有摩擦的拟sure超边对偶* 1和Matteo Burzoni** 2牛津大学密歇根大学（University of MichiganUniversity of Oxford）2019年9月19日摘要我们证明了模型不确定性下具有比例交易成本的离散时间金融市场的超边缘对偶性。摩擦通过偿付能力锥进行建模，如卡巴诺夫（1999）的原始模型，该模型适用于Bouchard和Nutz（2015）的准确定性设置。我们的方法可以消除Bouchard等人[2019]中考虑的第二类无套利的限制性假设，并在更自然的无严格套利条件下显示二元性。此外，我们将结果推广到具有投资组合约束的模型。关键词：模型不确定性、超边际、比例交易成本、投资组合约束、稳健金融。理学硕士（2010）：90C15、90C39、91G99、28A05、46A20。JEL分类：C61，G13.1简介社会经济现象通常受到随机性的强烈影响，而非例外。从K night的开创性工作（参见，g.Knight【1921】）开始，风险和不确定性之间的区别就这种随机性的性质而言已被广泛接受。如果有可用的概率描述（例如，掷一枚公平的硬币），我们通常将情况称为风险。相反，如果一种情况不能用概率术语完全描述，我们称之为不确定。原因很简单，可能是缺乏客观模型（例如，赛马的结果；见Bayraktar和Munk【2017】及其参考文献）或缺乏信息（例如，从成分未知的瓮中提取）。数学金融领域的经典文献主要关注风险，而对奈特不确定性问题的关注最近才从Avellanda et al.（1995）开始。

特别是，在Bayraktar和Zhou【2017】、Bouchard和Nutz【2015】和Inaciaio et al【2016】、Burzoni et al【2019】、Cheridito et al【2017】的准确定框架中，在无摩擦离散时间市场中，对套利理论和相关的超边缘对偶性等基本主题进行了系统研究。在风险下，Kabanov[1999]引入了具有比例交易成本的离散时间市场的经典模型。该模型由一组锥K描述：={Kt}t=0，。。。，t其决定：i）可接受的策略；ii）偿付能力要求；iii）定价机制。更准确地说，后者被称为一致价格系统，它们本质上是在对偶锥K中取值的鞅过程*t、 Bartl等人【2017年】、Bayraktar和Zhang【2016年】、Bouchard和Nutz【2016年】、Burzoni【2016年】、Dolinsky和Soner【2014年】在不确定性案例中考虑了此类模型的实例，然而*Erhan Bayraktar部分得到了国家科学基金会DMS-1613170拨款的支持，部分得到了Susan M.Smith主席的支持。**Matteo Burzoni感谢ETH基金会和牛津大学胡克研究奖学金的支持。建立一个准确定的超边缘对偶性的问题一直没有解决。最近，Bouchard等人[2019]采用随机化方法获得了一个最终结果（其他应用见alsoAksamit等人[2019]，Bayraktar和Zhou[2019]，Deng等人[2018]）。

其目的是构建一个有效的无摩擦价格过程：i）有摩擦市场中期权的超边际价格与无摩擦市场中相应的超边际价格一致；ii）marti ngale测度类的期权价格与原始市场的一致价格体系类的期权价格相同。当实现这两个属性时，Bouchard和Nutz（2015）的无摩擦结果便产生了二元性。为了执行该计划，第二类无套利假设（NA（P））起到了至关重要的作用，这确保了无套利市场的构建是自动无套利的。NA（P）规定，如果头寸在时间t+1时是准肯定有偿付能力的，则在时间t时必须是准肯定有偿付能力的。这种条件具有很大的限制性，因为它无法用于单期市场的基本示例，即使市场参与者无法获得确定的偿付能力（见【Bayraktar和Zhang，2016，备注11】）。在本文中，我们不需要强假设NA（P），并且在更自然的无严格套利（NAs（P））条件下证明了超边对偶。后者确保在不承担任何风险的情况下不可能实现盈利，因此，它概括了无摩擦市场中的经典无风险条件。从技术角度来看，我们也没有假设Bouchard等人[2019]中的其他不必要假设：i）我们不要求交易成本是一致有界的，换句话说，对于某些c>0的情况，相对于所选数量的买卖价差不一定是[1/c，c]的子集；ii）我们不需要技术假设K*t型∩Rd+={0}对于任何t=0。T

从建模的角度来看，我们的方法允许将以前的结果扩展到组合约束过程C：=（Ct）t=0，。。。，Tde确定了市场上可接受的策略。据我们所知，即使在参考概率测度P固定的经典情况下，这些结果也是新的。正如Bouchard等人【2019年】所述，我们假设所谓的有效摩擦假设，并采用随机化方法。我们首先构建了一个类似于Bayraktar和Zhang【2016】的反向过程，并基于动态规划方法（参见B urzoni和iki【2019】对相关鞅选择问题的广泛研究）。此过程生成一个新的CONE集合K*= （▄K*t） t=0，。。。t通常不同于原始K，并且在条件NAs（P）下显示为非空。值得注意的是，不可能直接将Bouchard et al.（2019）的结果（或对其的直接改编）应用于▄K*. 事实上，一般来说K*twill只有一个解析图，与K的Borel可测性相反*t、 为了应用Bouchard和Nutz【2015】的结果，钻孔可测量性假设至关重要。为了克服这一困难，我们提出了一种新的随机化方法。我们不会将fr ictionless process^设计为采用▄K中的值*但我们考虑一类合适的概率^P，以得到^St∈K*每次t^P-q.s。与Bouchard et al.（2019）类似，我们最终证明，所需的二元性可以从无摩擦市场的二元性结果中推断出来。特别是，我们在这里使用了Bayraktar和Zhou【2017】的数据，其中考虑了可能的投资组合约束。我们通过指定常用的符号和设置来结束介绍。第2节阐述了超级对冲的双重性。

第3节的内容是建设无摩擦市场。最后，我们在第4节中证明了主要结果，并展示了它如何扩展到半静态交易。注：对于拓扑空间X，BXis是Borel-sigma代数。P（X）是（X，BX）上的全概率测度类，δxdenotes是X上的Dirac测度∈ 十、 对于概率测度P和集合R P（X）我们说P<< R i f存在▄P∈ R使得P<<若P.A财产持有f或任何P，则称其持有R-q.s∈ R、 定义在X上并在Rd的幂集中取值的映射U称为多函数（或随机集），并用U:X表示=> 对于X上的sigma代数G，多功能U称为G-可测if，对于任意开集O Rd，我们有{x∈ X:U（X）∩ O 6=} ∈ G、 A地图f:X→ RDF（x）∈ U（x），对于任何x∈ dom U：={x∈ X:U（X）6=}称为U的选择器。我们用L（G；U）表示U的G-可测选择器类。对于U:X×X=> Rd和x∈ X固定，符号U（X；·）指被视为X（多重）函数的随机集。给定一类概率R P（X），U（X；·）的（条件）准肯定支撑，用suppRU（X；·）表示，是最小的闭集F Rdsuchtthat U（x；·） F，R-q.s.对于适用于给定过滤G的随机集U：=（Ut）Tt=0的集合，我们用L（G）表示-; U） H类过程，使得Ht+1∈ 每t=0，…的L（Gt；Ut）。T- 最后，对于两个Rd值过程H和S，我们定义（Ho S） t：=Pt-1u=0Hu+1·（Su+1- Su）。设置。让T∈ N是固定的时间范围，I：={0，…T}。为了以后使用，我们还定义了-1:= {-1.T- 1}. 我们考虑过滤空间(Ohm, F、 Fu，F，Fu）被赋予一类（可能是非支配的）先验P P(Ohm) 描述为以下内容。-Ohm是给定的抛光空间。我们选择Ohm := OhmT、 在哪里Ohmt表示（t+1）的乘积Ohm. 任意ω∈ Ohm用ω=（ω，…）表示。

，ωt），带ωs∈ Ohm对于任何0≤ s≤ t、 -我们设置F：=BOhm以及它的普遍完成。同样，过滤F={Ft}t∈土地面积={Fut}t∈i由Ft给出：=BOhmtand futts通用完成。-对于每个t∈ 一、 PTI是一组随机概率Ohm用解析图和Pisnon随机。我们设置，P={P · · ·  PT公司-1： Pt公司∈ L（未来；Pt），t型∈ {0，…，T- 1} }，类L（Fut；Pt）是Jankov-Von Neumann定理中的非空（见[Bertsekas和Shreve，1978，命题7.49]），因此P通过Fubini定理得到了很好的定义。2主要结果我们考虑了卡巴诺夫（1999）引入的具有比例交易成本的金融市场的一般模型。该模型完全由一组随机凸闭锥来描述：={Kt}t∈我 Rdwith d≥ 2，称为偿付能力锥。这些代表了以d基础资产的实物单位表示的头寸集，这些头寸可以在零投资组合中以零成本变现。我们假设任何具有非负坐标的位置都是可解的，即Rd+ 千吨级。集合-KT代表零成本可用的投资组合类别。我们假设对于任何t，K是可测量的∈ 我和Knon random在一起。以下是coneK的标准符号 Rdwe用K表示*:= {x∈ Rd:x·k≥ 0k∈ K} 它的双锥和o:= -K*它的极锥。我们通过引入市场上可容许头寸的一些约束，推广了Kabanov[1999]的模型。它们由一组随机的凸闭conesC表示：={Ct}t∈我 Rd，这样每个CTI都是可测量的。零成本策略η：=（ηt）t∈如果满足ηt，则可接受∈ Atfor任意t∈ 一、 式中：=（ξ∈ L（Fut；Ct）：ξ=tXs=0-带ks的ks∈ Ks，P-q.s。 0≤ s≤ t） 。换句话说，η满足（Ct）t施加的约束∈i并且它是以零成本可用的投资组合之和获得的。

我们用HK表示可接受策略的类别，省略了对C的依赖，因为它将在本文中固定。假设2.1。我们假设int（K*t） 6= f或任何t∈ 一、 此外，我们假设CT Ct+1对于任何t=0，T- 第一个假设称为有效摩擦假设。第二种是指允许在两个时段之间不进行交易。后者在无约束的情况下（即Ct）显然是令人满意的≡ Rdfor任意t∈ 一、 定义2.2（NAs（P））。无严格套利条件成立，如果∈ 一、 在∩L（Fut；Kt）={0}。这一条件是对classicalone准肯定设置的直接概括（参见，例如，Kabanov等人【2003年】和最近的论文K¨uhn和Molitor【2019年】中关于这一概念稍微较弱的变量）。定义2.3（SCPS）。一对（Z，Q）和Q<< 如果Zt∈ int（K*t） ，Q-a.s。t型∈ I和Ho Z是Q-局部超鞅H∈ L（Fu-; C） 。其解释是，（Z，Q）定义了一个无摩擦无套利价格过程，该过程与{（Kt，Ct）}t定义的交易成本模型相符∈一、 我们很快用SCP集和规范化SCP类来表示，即对于任何t，满足Zdt=1的SCP∈ 一、 我们现在准备讨论这篇论文的主要结果。让G：Ohm → Rdbe是一个Borel可测量的随机向量，表示期权在标的资产的物理单位方面的最终回报。G的超边际价格由πK（G）：=infny给出∈ R:η ∈ HKT值+ηt- G∈ KT，P-q.s.o，（2.1），其中edis是Rd定理2.4的规范基的dthvector。假设NAs（P）。对于任何Borel可测随机向量G，πK（G）=sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】。（2.2）此外，当πK（G）<∞.第4节给出了定理2.4的证明。

当只允许动态交易时，主要困难在于建立定理2.4。在下面的定理4.12中，我们将对偶性扩展到允许在有限数量的期权中买入并持有头寸的情况。在下文中，使用额外的无约束组件扩展原始市场将更加方便。更准确地说，我们可以考虑市场“K”，其中“Kt：=Kt×R+”和“Ct：=Ct×R”∈ 一、 这也满足了假设2.1。很容易看出，πK（G）=πK（\'G），其中\'G=[G；0]。在双面，i:S→\'Swith i（Z，Q）=（[Z；1]，Q）显然是一个双射，且Q[G·ZT]=等式[\'G·ZT；1]]。备注2.5。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（Kt，Ct）已经在上述形式中，对于任何t∈ 一、 我们将Bayraktar和Zhang【2016】的一些结果应用于投资组合约束的情况。这些将在下一节中有用。考虑随机集的集合▄K：={▄Kt}t∈一、 通过向后递归定义如下。我们让K*T： =K*Tand▄K*t： =K*t型∩conv（Γt）+C*t型, t=t- 1.0，（2.3），其中，ω∈ Ohm固定，Γt（ω）：=支持（ω）~K*t+1（ω；·）。我们将kt定义为K的对偶*t对于任何t∈ 一、 以下是Bayraktar和Zhang【2016】中引理6和命题4在当前背景下的推广。这些证明是类似的，我们将其推迟到附录中。引理2.6。K*每个t的thas分析图∈ 一、 提案2.7。如果K满足假设2.1和NAs（P），则K也同样适用。特别是int（K*t） 6= P-q.s.f或所有t∈ 一、 3随机化方法在本节中，我们构造了一个扩大的可测空间（^）Ohm,^F，^Fu，^F，^Fu）赋予了可测概率类^P。在这个空间上，我们构造了一个价格过程^S=（^St）t∈Iwhichre提供了一个无摩擦的金融市场∈K*t^P-q.s。

对于任何t∈ I（下面的推论3.5）是无套利的（下面的命题3.9）。我们选择^Ohm:= Ohm×Rd-1和设置^Ohm =^OhmT、 其中^Ohmt表示^的（t+1）倍积Ohm. 我们捐赠Ohm 过滤F：={Ft}t∈一、 其中，对于每个t∈ 一、 ^Ft：=英尺 BRd公司-我们用^fut表示^F的普遍完成。类似地，^F：=B^Ohm^fu是它的普遍完成。我们简短地表示（ω，θ）∈^Ohmt对于具有ωs的形式（ω，…，ωt，θ，…，θt）的元素∈ Ohm和θs∈ 研发部-1，对于任何s=0，t、 约束集合扩展到^Ohm以显而易见的方式。由于没有混淆的来源，我们仍然用C={Ct}t来表示t hem∈一、 接下来，我们构建价格过程^S。回想一下，对于任何t∈ 一、 Ktis Borel可测量，因此也可测量K*t、 此外，int（K*t） 根据假设2.1，为非空。根据【Bouchard和Nutz，2016，引理A.1】，存在St∈ L（Ft；int（K*t） ）。S自K起*t型 Rd+我们可以规范化sto，例如最后一个组件，以便Sttakes values inK*,0t：={y∈ K*t： yd=1}，t∈ 一、 （3.1）我们将Borel可测价格过程定义为，St（ω，θ）=[St（ω）θt，…，Sd-1t（ω）θd-1t，1]，（ω，θ）∈^Ohm, t型∈ 一、 （3.2）最后一个组件用作数字。本节的其余部分致力于为每t构造所需的概率度量集^P∈ 一、 我们定义了随机集Θt（ω）：={θ∈ 研发部-1： ^St（ω，θ）∈ 整数（▄K*t（ω））}，ω∈ Ohmt、 （3.3）引理3.1。每t∈ 一、 这是一个解析图。证据在证明中，我们将重复使用这样一个事实，即解析集的类是闭的、欠可数的并和交，而通过Borel可测函数的解析集的图像又是解析的。第1步。