几何局部方差Gamma模型

（19） 然后，定义（S，T，K）=TSTU（S）（20）为LVGE模型中到期时间T=0的欧洲Pu T值。类似地，Pd（S，ν，K）=TDνU（S）（21）将是式（1）模型中t=0时到期日为ν的欧洲看跌期权价值。那么式（18）中的Bochner积分的形式为p（S，T，K）=Z∞PD（S，ν，K）pe-pνdν，p≡ 1/X（T）。（22）因此，P（S，T，K）由PD（S，ν，K）的拉普拉斯-卡森变换表示，P是该变换的参数。注意p（S，0，K）=PD（S，0，K）=U（S）。（23）要继续，我们需要模拟PD（S，ν，K）的Dupire前向PDE。下面，为了简单起见，我们在S.3.1中删除了下标“0”。杜皮尔式前锋PDED尽管这可以通过多种不同的方式实现，但为了兼容性，我们本着卡尔和纳托奇（2017）的精神进行了这项工作。首先，用ν区分等式（21），并考虑等式（3）的产量νPD（S，ν，K）=e-rνeνA【A】- r] U（S）=e-rνEQ[A- r] 美国。（24）我们考虑了式（2）中发电机A的定义，并提醒在t=0时，我们有D=S≡ S、 公式（24）转换为νPD（S，ν，K）=- rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）+e-rνEQσ（S）SSU（S）. （25）然而，我们需要用一对自变量（ν，K）表示正向方程，而等式（24）是根据（ν，S）推导的。要做到这一点，请遵守以下等式：σ（S）SSU（S）= 均衡器σ（S）Sδ（K- S）= 均衡器σ（K）Kδ（K- S）（26）=等式σ（K）KKU（S）= erνσ（K）KPD（S，ν，K）。其中Dirac delta函数δ（S）的筛选性质- K） 已使用。

而且-rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）（27）=e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q） S（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S）+- （r）- q） （K）- S）（K）- S）+S+（r- q） K级（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q） （K）- S）+- （r）- q） K级（K）- S）+K= -qPD（S，ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，ν，K）。因此，使用E q。（26）和E q。（27），式（24）可转换为νPD（S，ν，K）=-qPD（S，ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KKPD（S，ν，K）≡ AKPD（S，ν，K），（28）AKPD=-q- （r）- q） K级K+σ（K）KK、 该方程与Dupire方程非常相似，具有非零利率和连续股息，参见Ekstrom和Tysk（2012）及其参考文献。请注意，AKis还支持atime均质生成器。3.2. 单项PDDE我们的最后一步是将等式（28）中定义的线性微分算子L应用于Q的两部分。(22). 利用dt的时间均匀性和Dupire方程（28），我们得到-qP（S、T、K）- （r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KKP（S，T，K）（29）=Z∞体育课-pν-qPD（S，ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KKPD（S，ν，K）dν=Z∞体育课-pννPD（S，ν，K）dν=-pPD（S，0，K）+pZ∞PD（S，ν，K）pe-pνdν=pP（S、T、K）- PD（S，0，K）= p[p（S，T，K）- P（S，0，K）]，其中在最后一行中，我们考虑了Eq。(23).因此，最终P（S，T，K）解决了以下问题-qP（S、T、K）- （r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KKP（S，T，K）=P（S，T，K）- P（S，0，K）X（T），P（S，0，K）=（K- S） +。（30）与属于PDE类的Dupire方程相比，E q。（30）是一种颂歌，或者更准确地说是一种部分划分的差异方程式（PDDE），因为右手部分的时间导数现在被划分的差异所取代。以颂歌的形式写着σ（K）KK- （r）- q） K级K-q+X（T）P（S，T，K）=-P（S，0，K）X（T）。（31）对于下一节中考虑的某些特定形式的局部波动率函数σ（K），可以解析地求解该方程。

同样地，对于看涨期权p rice C（S，T，K），也可以推导出一个类似的方程，其读数为σ（K）KK+（r- q） K级K-q+X（T）iC（S，T，K）=-C（S，0，K）X（T），C（S，0，K）=（S- K） +。（32）求解式（31）或式（32）提供了确定σ（K）的方法，给定到期日为T的看涨期权和看跌期权的市场报价。然而，这只允许校准单个术语。原则上，如果公式（31）和公式（32）可以推广到这种情况，则可以逐项校准整个局部挥发性表面（因为时间均匀性假设）。3.3. 多个术语的PDDE可采用与Carr和Itkin（2018）第4节所述相同的方法进行归纳。因此，我们建议读者阅读该部分，而她的e仅提供一些有价值的评论。为了解决多重微笑的校准问题，我们需要放松式（1）中定义的Dtprocess的时间均匀性假设。我们假设局部方差σ（Dt）不再是时间齐次的，而是时间σ（Dt，t）的分段常数函数。让T，T，TMbe方差率σ（Dt）确定性跳跃的时间点。换句话说，在间隔t∈ [T，T），方差率为σ（Dt），T∈ [T，T）是σ（Dt），等等。这也可以表示为σ（Dt，T）=MXi=0σi（Dt）wi（T），（33）wi（T）≡ 1吨-Ti公司- 1吨-Ti+1，i=0，M、 T=0，TM+1=∞.注意，Mxi=0wi（t）=1t- 1吨-∞= 1.t型≥ 因此，如果所有σi（Dt）都相等，即独立于指数i，则等式（33）将减少到前面章节中考虑的情况。这意味着波动率σ（Dt）在日历时间T，T，…，随着时间的推移而跳跃，TM，而不是伽马时钟确定的营业时间ν。否则，波动率函数将在随机（业务）时间更改，这意味着它是随机的。但这完全超出了我们模型的范围。

因此，我们需要将公式（33）更改为σ（Dt，t）=MXi=0σi（D）(R)wi（Eq（t）），（34）(R)wi（Eq（t））=1X-1（t-Ti）- 1台-1（t-Ti+1），i=0，M、 X个-1（t）=q- rlog[1- （r）- q） t）]。（35）根据最后一行，X（t）存在t型≥ 如果q>r，则为0，并且t<1/（r）- q） 如果r>q。因此，当使用公式（6）时，我们有σ（Dt，t）t=ΓX（t）=MXi=0σi（D）(R)wi（X（t））=MXi=0σi（D）wi（t）。（36）因此，如果日历时间t属于间隔t≤ t<t，s emigroup TDν的最小生成元是σ（Dt）的函数（而不是σ（Dν））。截至T≤ t<t我们假设σ（D）=σ（D），即时间常数，它不依赖于ν。因此，A（在此时间间隔内，我们将其表示为A）仍然是时间均匀的。类似地，我们可以看到，对于T≤ t<t半群TDν的最小生成元AO也是时间齐次的，并且取决于σ（D）等。此外，与Carr和Itkin（2018）类似，可以看出，提出的P（s，Ti，K），i=1，M读取σ（K）KK- （r）- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1.P（S，Ti，K）=-P（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1).（37）这里的局部方差函数σ（K）=σi（K），因为它对应于区间（Ti-1，Ti]，其中上述ODE已解决。公式（37）是一个可求解所有i=1，…，的回归方程，M按顺序从i=1开始，受一些边界条件的约束。3.4. 边界条件在许多金融模型中，股票价格的动态表现为几何布朗运动（局部或随机波动），例如，庆祝BlackScholes模型，K→ ∞ 设置为beP（S、Ti、K）→ DiK公司- QiS，K→ ∞ ,其中Di=e-Rtis是折扣系数，Qi=e-qTi。事实上，由于可以很容易地进行检查，该条件是Dupire正向方程公式（28）的有效解，并且也反映了在K→ ∞ 卖出期权价格应以K为单位呈线性。

然而，该边界条件无法解决公式（31），因此无法在我们的模型中使用。因此，我们建议将边界条件设置为K→ ∞ 仍然假设它是formlimK的K的线性函数→∞P（S，T，K）=A（T）K- B（T）S，（38），其中A（T），B（T）是要确定的成熟度T的一些函数，因此等式（38）中的表达式解出了等式（31）。显然，T=0意味着A（T）=B（T）=1。然后我们可以递归进行。对于下一个到期日T=T将公式（38）推至公式（37），我们在K处获得→ ∞-（r）- q） KA（T）p- （pq+1）（A（T）K- B（T）S）=-P（S，T，K），（39）P（S，T，K）=A（T）K- B（T）S=K- S、 pj=X（Tj）- X（Tj-1) > 0.从这些方程中，我们得到b（T）=pq+1，A（T）=pr+1。（40）所以在这种情况下，A（T），B（T）是某种离散复合的类似物。递归进行，我们得到一个一般关系p（Ti）=B（Ti-1） piq+1=Qik=1（piq+1），（41）A（Ti）=A（Ti-1） pir+1=Qik=1（pir+1），i=1，M、 因此，在我们的模型中，看跌期权价格的自然边界条件是（P（S，Ti，K）=0，K→ 0，P（S，Ti，K）=A（Ti）K- B（Ti）S≈ A（Ti）K，K→ ∞,（42）可获得看涨期权价格的类似方程式，其如下所示：σ（K）KK+（r- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1.C（S，Ti，K）=-C（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1).（43）根据边界条件（C（S，Ti，K）=B（Ti）S，K→ 0，C（S，Ti，K）=0，K→ ∞.(44)4. 局部方差/波动率的分段模型要通过求解公式（37）校准局部波动率曲面，我们需要对局部波动率曲面的形状进行进一步假设。回想一下，我们假设这个曲面在时间上是分段恒定的。在走向空间中，Carr和Nadtochiy（2017）认为它是一个p iecewisconstant，而在Carr和Itkin（2018）中，考虑了走向空间中的分段线性局部方差。

如Carr和Itkin（2018）所示，在这种情况下，等式（37）可以以闭合形式求解。在本文中，我们希望扩展一类允许闭式格式解的局部波动率模型。为了继续，我们首先将因变量从P（S，Tj，K）更改为v（S，Tj，K）=P（S，Tj，K）- [A（Tj）K- B（Tj）S]+，（45），其中V称为有盖认沽期权。V的定义允许以更优雅的形式重新编写等式（37- vj（x）xVx，x（x）+b1，jxVx（x）+b0，jV（x）=cj（x），（46）b1，j=pj（r- q） ，b0，j=pjq+1，cj（x）=V（S，Tj-1，x），vj（x）=pjσ（x）/2，其中V（x）=V（S，Tj，x），x=K/S是货币的倒数。因此，根据V（x）和公式（42）的定义，公式（46）的边界条件变得均匀（V（x）=0，x→ 0，V（x）=0，x→ ∞.（47）在接下来的章节中，我们将考虑几个流行的走向空间局部波动率曲面近似值。每种近似都假设走向空间中局部波动率曲线的某种函数形式，这是给定到期时间T的波动率曲面的一条带。因此，这些应用程序的参数会随时间变化。此外，为了确定起见，我们假设r>q>0，但这个假设可以很容易地放宽。4.1. 对数走向空间中的局部方差分段线性假设对于每个成熟度Tj，j∈ [1，M]市场报价是针对一组弹簧Ki，i=1，NJ，假设这些罢工按递增顺序排序。然后在区间[χi，χi+1]，χ=log Ki/S，readsvj，i（χ）=vj，i+vj，iχ处，相应的连续分段线性局部方差f函数σj（χ）。（48）这里，我们使用超指数0表示v级，su per指数1表示斜率v。子指数i=0在vj中，0，vj，0对应于区间（0，χ）。由于vj（χ）是χ中的连续函数，我们有vj，i+vj，iχi+1=vj，i+1+vj，i+1χi+1，i=0，新泽西州- 1.

（49）这意味着vj（χ）的一阶导数在点χi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。我们假设v（χ，T）是时间的分段常数函数，vj，i，vj，i在区间[Tj，Tj+1]不依赖于T，j∈ [0，M- 1] ，并跳到点Tj、j处的新值∈ Z∩ [1米]。一个简单的分析表明，在这个假设下，通过改变变量x 7→ χ、 式（46）可转换为- v（χ）vχ，χ（χ）+（b+v（χ））vχ（χ）+bV（χ）=c（χ），（50），其中为了便于记法，我们采用了指数j。该方程与Itkin和Lipton（2018）第2节中考虑的方程具有相同的类型e，其解也可以用对流超几何函数表示，seePolyanin和Zaitsev（2003）v（χ）=Cy（χ）+Cy（χI（χ）（51）I（χ）=y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ- y（χ）Zyc（χ）（b+aχ）Wdχ，其中W=y（y）χ- y（y）χ是基本解y，y的所谓Wronskian。因此，问题归结为找到q的齐次版本的合适基本解。(51). 根据Polyanin和Zaitsev（2003），如果a6=0和a6=0，则通解读数为SV（χ）=（az）β-1J（α，β，z），（52）z=χ+ba，α=1+b+ba，β=2+ba。这里J（a，b，z）是退化超几何方程的任意解，即Kummer\'s函数，Abramowitz和Stegun（1964）。已知两种类型的Kummer函数，即M（a、b、z）和U（a、b、z），这两种函数分别是第一类和第二类Kummer函数。因此，可以直接应用Itkin和Lipton（2018）的方法，以获得式（51）的封闭式解决方案。

特别是，在原点附近，数值上令人满意的对是，Olver（1997）y（χ）=（az）β-1M（α，β，z），（53）y（χ）=（a）β-1M（α- β+ 1, 2 - β、 z）。W=a2β-2ezzβ-2sin（πβ）/π。然而，在单位附近，数值上的满意度对为，Olver（1997）y（χ）=（az）β-1U（α，β，z），（54）y（χ）=ez（az）β-1U（β- α, β, -z） 。W=(-1)α-βa2β-2ezzβ-2.4.2. 局部方差在打击空间中是分段线性的另一个可处理模型是局部方差在打击空间中是分段线性的。特别是，这是我们在Carr和Itkin（2018）中使用的模型。由于退化超几何方程的线性，Kummer函数的任何线性组合都可以求解该方程。与前一节类似，区间[xi，xi+1]处对应的连续分段线性局部方差函数vj（x）读取svj，i（x）=vj，i+vj，ix，（55），但现在它是x的函数，而不是χ的函数。由于vj（x）是x中的连续函数，我们有vj，i+vj，ixi+1=vj，i+1+vj，i+1xi+1，i=0，新泽西州- 1.（56）这意味着vj（x）的一阶导数在点xi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。因为我们假设v（x，T）是时间的分段常数函数，vj，i，vj，i在区间[Tj，Tj+1]不依赖于T，j∈ 0，M- 1] ，和j ump到点Tj，j处的新值∈ Z∩ [1米]。公式（46）可通过归纳法求解。一个从T=0开始，在每个时间间隔[Tj-1，Tj]，j∈ Z∩ [1，M]为V（x）求解方程（46），然后从方程（45）中获得P（S，Tj，x）。

因此，可以为每个间隔单独构造等式（46）的解【xi-1，xi）。将表达式（55）替换为表达式。（46），对于第i个空间间隔，我们得到-（b+ax）xVx，x（x）+bxVx（x）+b0，jV（x）=c（x），（57）b=vj，i，a=vj，i。同样，等式（57）是一个非齐次常微分方程，其解可以用等式（51）的形式表示，其中i（x）=-y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx+y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx≡ J+J.（58）相应的齐次方程可按如下方式求解。首先，如果b6=0，我们改变自变量x 7→ z=-ax/b。因此，同质式（57）采用公式b（z- 1） zVz，z（z）+bzVz（z）+bV（z）=0。（59）然后我们改变因变量V（z）7→ zmG（z），其中m是给定时间片的常数。这导致方程zm[γ+b（m- 1） mz]G（z）+zm+1[b+2bm（z- 1） ]G′（z）+b（z- 1） zm+2G′（z）=0，（60）γ=b+m（b+b- bm）。接下来我们求解使γ消失的m，得到m±=b+b±p4bb+（b+b）2b。（61）值得一提的是，如果此表达式中的行列式D为负，则m+，m-变得复杂。然而，这不是解决方案的问题，因为系数C、Cin公式（51）也可能很复杂，因此卖出价格是真实的。将其代入等式。（60）重新安排- m（m- 1） G（z）+2米-bb型- 2mzG′（z）+z（1）- z） G′（z）=0，m∈ [m+，m-], （62）这是一个超几何方程。由于m可以取两个值，我们需要选择正确的值，以便最终解符合边界条件。将以上所有步骤结合起来，得到了E q的解。（59）可以写成asy（x）=zm[F（m- 1，m，c；z） ]，（63）y（x）=zmz1级-cF（米- c、 m+1- c、 2- cz）,m=m+，c=2m-bb，z=-abx，其中f（a，b，c；z）是普通的超几何函数，Olver（1997）。它在z=0，1时有规则奇点，∞.

根据式（52）中的解，这些奇点对应于toK=0、v=0和K→ ∞. 我们将在下面的K处显示→ ∞ 该区间的系数通常为正，因此方差为正。然而，B的符号应该是正负。因此，如果在这个时间间隔b>0，我们有x→ ∞, z→ -∞. 如果在这个区间b<0，我们有x→ ∞, z→ ∞.当没有c、c-一-b、 a-b是一个整数，我们有一对基本解f（x），f（x）在等式（52）中由方括号中的表达式表示。众所周知，除了z=1和z处的奇点之外，这一对在数值上是令人满意的，Olver（1997）→ ∞. 这些基本解的Wronskian W（f（x），f（x））是W（f（x），f（x））=（1- c） z-c（1- z） c类-2m，z=-相应地，W（y（x），y（x））=-a（1- c） bz2m型-c（1- z） c类-2m，z=-ax/b.（64）在z=1的奇点附近，然而，这一对在数值上并不令人满意。然后我们必须使用等式（62）的另一个解，即Olver（1997）y（x）=zm[F（m- 1米2米- c1.- z） ]，（65）y（x）=zm(1 - z） c类-2m+1F（c- m+1，c- m、 c类- 2m+2；1.- z）,W（y（x），y（x））=-a（2m- 1.- c） b（1- z） c类-2mz2m-c、 z=-ax/b.在z=∞ 见附录A。但是，我们不能在z使用此解决方案→ ∞ 以及在z处使用等式（63）中的溶液→ 这是由Roger Lee的矩匹配公式Lee（2004）引起的，该公式指出，在ewings中，隐含方差曲面在归一化str ike（或对数走向）中最多应为线性。De Marco et al.（2013）中也显示了这一点；Gerhold和Friz（2015），局部方差的渐近行为在K→ ∞ 和K→ 0