几何局部方差Gamma模型

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英文标题：
《Geometric Local Variance Gamma model》
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作者：
Peter Carr, Andrey Itkin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper describes another extension of the Local Variance Gamma model originally proposed by P. Carr in 2008, and then further elaborated on by Carr and Nadtochiy, 2017 (CN2017), and Carr and Itkin, 2018 (CI2018). As compared with the latest version of the model developed in CI2018 and called the ELVG (the Expanded Local Variance Gamma model), here we provide two innovations. First, in all previous papers the model was constructed based on a Gamma time-changed {\\it arithmetic} Brownian motion: with no drift in CI2017, and with drift in CI2018, and the local variance to be a function of the spot level only. In contrast, here we develop a {\\it geometric} version of this model with drift. Second, in CN2017 the model was calibrated to option smiles assuming the local variance is a piecewise constant function of strike, while in CI2018 the local variance is a piecewise linear} function of strike. In this paper we consider 3 piecewise linear models: the local variance as a function of strike, the local variance as function of log-strike, and the local volatility as a function of strike (so, the local variance is a piecewise quadratic function of strike). We show that for all these new constructions it is still possible to derive an ordinary differential equation for the option price, which plays a role of Dupire\'s equation for the standard local volatility model, and, moreover, it can be solved in closed form. Finally, similar to CI2018, we show that given multiple smiles the whole local variance/volatility surface can be recovered which does not require solving any optimization problem. Instead, it can be done term-by-term by solving a system of non-linear algebraic equations for each maturity which is fast.
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中文摘要：
本文描述了P.Carr在2008年最初提出的局部方差Gamma模型的另一个扩展，随后Carr和Nadtochiy，2017（CN2017）和Carr和Itkin，2018（CI2018）进一步阐述了该模型。与CI2018中开发的最新版本的模型（称为ELVG（扩展的局部方差伽马模型））相比，这里我们提供了两项创新。首先，在之前的所有论文中，该模型是基于伽马时变{\\it算术}布朗运动构建的：CI2017年无漂移，CI2018年有漂移，局部方差仅为现货水平的函数。相反，这里我们开发了这个模型的{\\it geometric}版本，带有漂移。其次，在CN2017年，假设局部方差是罢工的分段常数函数，则将模型校准为期权微笑，而在CI2018年，局部方差是罢工的分段线性}函数。本文考虑3个分段线性模型：局部方差作为罢工函数，局部方差作为对数罢工函数，局部波动作为罢工函数（因此，局部方差是罢工的分段二次函数）。我们表明，对于所有这些新的构造，仍然可以推导出期权价格的常微分方程，该方程在标准局部波动率模型中起到Dupire方程的作用，而且可以以闭合形式求解。最后，与CI2018类似，我们表明，给定多个微笑，可以恢复整个局部方差/波动率曲面，而不需要解决任何优化问题。相反，它可以通过为每个成熟度快速求解非线性代数方程组来逐项完成。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：gamma MA模型 GAM Quantitative Mathematical

几何局部方差Gamma模型。Carr，A.ItkinTandon工程学院，纽约大学，12 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，USAbstracts本文描述了P.Carr于2008年最初提出的局部方差Gamma模型的另一个扩展，随后Carr和Nadtochiy，2017（CN2017）和Carr和Itkin，2018（CI2018）进一步阐述了该模型。与2018年开发的最新版本模型ELVG（扩展局部方差伽马模型）相比，这里我们提供了两项创新。首先，在之前的所有论文中，该模型是基于伽马时变算术布朗运动构建的：CI2017年无漂移，CI2018年有漂移，局部方差仅为现货水平的函数。相反，我们在这里开发了这个模型的几何版本，带有漂移。其次，在CN2017中，假设局部方差是罢工的分段常数函数，则将模型校准为期权微笑，而在CI2018中，局部方差是罢工的分段线性函数。本文考虑3个分段线性模型：局部方差作为罢工函数，局部方差作为对数罢工函数，局部波动性作为罢工函数（因此，局部方差是罢工的分段二次函数）。我们表明，对于所有这些新的构造，仍然可以推导出期权价格的普通微分方程，该方程起到Dupir e方程f或标准局部波动模型的作用，而且可以以闭合形式求解。最后，与CI2018相似，我们表明，给定多个微笑，可以恢复整个局部方差/波动率曲面，而不需要解决任何优化问题。

相反，它可以通过为每个快速成熟度求解一个非线性代数方程组来逐项完成。关键词：局部波动率、随机时钟、几何过程、伽马分布、分段线性波动率、方差伽马过程、闭式解、快速校准、无套利。1、简介P.Carr于2008年首次引入局部方差Gamma（LVG）波动率模型，随后在Carr和Nadtochiy（2014、2017）中提出，作为Dupire（1994）和Derman and Kani（1994）对局部波动率模型的扩展。后者是在庆祝邮件地址的顶部开发的：petercarr@nyu.edu（P.Carr），aitkin@nyu.edu（A.Itkin）提交给Elsevier的预印本2018年12月31日Black-Scholes模型，以考虑期权微笑的存在。所有局部波动率模型的主要优点是，考虑到欧洲期权价格或其在点（T，K）的隐含波动率，其中K，T是期权行使和到期时间，它们能够在这些点上精确地应用局部波动率σ（T，K）。该过程被称为局部波动率（或隐含波动率）表面的校准，参见Carr和Itkin（2018）中的Survey；Itkin和Lipton（2018）及其参考文献。然而，与经典的局部波动模型相比，LVG和ELVG有几个优点。首先，他们在财务上更富有。的确，值得注意的是，LVG/ELVG模型名称中的术语“本地”有点令人困惑。这是因为，例如，e LVG是通过随机时间变化ΓX（t）为算术布朗运动配备漂移和局部波动来构建的。这里，Γ是伽马随机变量，X（t）是时间t的确定函数。

由于随机变化是引入随机波动的一种方式，因此可以观察到，LVG/ELVG实际上是一种局部随机波动（LSV）模型，它结合了波动过程的局部和随机特征。有关LSV模型的更多信息，请参见Bergomi（2016）；Kienitz and Wetterau（2012年）。LVG/ELVG的另一个优点是，它们的校准在计算上更加高效。这是因为这种构造产生的不是偏微分方程（在经典情况下称为杜皮尔方程），而是偏微分方程（PDDE）。后者实际上是一个普通的微分方程（ODE），允许显式校准和快速数值计算。特别是，局部方差曲面的校准不需要任何优化方法，而只需要根解算器，Carr和Itkin（2018）。正如Itkin an d Lipton（2018）所述，考虑到各种到期日和s trikes的欧洲期权的市场报价，可以通过使用分析或数值方法直接求解Du-pire方程来获得局部（然后是隐含）波动率表面。suchan方法的优点是，如果相应的分析或数值方法保留无套利（包括各种插值等），则它可以保证无套利。显然，求解Dupire的PDE需要数值方法，如Coleman et al.（2001）中的数值方法，或如Itkin和Lipton（2018）中的半解析方法：i）首先使用Laplace-Carson变换，然后应用各种变换，以获得Kummer超几何函数中的tr固定方程的闭式解。然而，它需要一个反拉普拉斯变换来获得最终的解决方案。

为了使第二种方法易于处理，应该对不知道市场报价的罢工和到期日的本地/隐含波动率表面的行为做出一些假设。通常，在对数走向空间中，假设相应的局部方差为分段常数，Lipton和Sepp（2011），或分段线性Itkin和Lipton（2018），在成熟时间空间中为分段常数。为了使LVG/ELVG模型易于处理，也需要类似的假设。特别是，在Carr和Nadtochiy（2017）中，假设局部方差是罢工的分段恒常函数，则将模型校准为期权微笑，而在Carr和Itkin（2018）中，局部方差是罢工的分段线性函数。尽管ELVG具有这些优良的特性，但一个可能的问题是该模型是基于带漂移的算术布朗运动开发的。这意味着基础资产原则上可能会获得负值，在某些情况下这是不可取的，例如，如果基础资产是股票价格。因此，在本文中，我们描述了LVG模型的另一个扩展，该模型具有带漂移的伽玛-时变几何布朗运动，局部方差仅是光斑水平的函数（因此不是时间的函数）。其次，在Carr和Nadtochiy（2017）中，模型被校准为期权微笑，因为局部方差是罢工的分段常数函数，而在Carr和Itkin（2018）中，局部方差是罢工的分段线性函数。本文考虑了3个分段线性模型：局部方差作为罢工的函数，局部方差作为对数罢工的函数，局部波动作为罢工的函数（因此，局部方差是罢工的分段二次函数）。

我们表明，在这个新模型中，仍然可以推导出期权价格的普通微分方程，该方程在标准局部波动模型中起着Dupire方程的作用。此外，在所有三种情况下，该方程都可以用封闭形式求解。最后，s im ilarto Carr和Itkin（2018）表明，在给定多个微笑的情况下，可以恢复整个局部方差/波动性曲面，这不需要解决任何优化问题。相反，它可以逐项进行，对于每一个成熟度，整个校准都是通过求解一个速度明显更快的非线性代数方程组来完成的。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了新的模型，出于特殊原因，我们称之为几何局部方差伽马模型或GLVG。在第3节中，我们使用h齐次Bochner从属方法推导出了一个预测卖出期权价格的远期方程（这是一个普通的微分方程（ODE））。第4节通过考虑局部方差在时间上是分段常数来推广该方法。对于各种局部方差或波动性模型，用超几何函数给出了导出ODE的闭合f orms解。下一节讨论需要无套利插值的ODE源项的计算。利用Itkin和Lipton（2018）的思想，我们将介绍如何构造非线性插值，该插值既能提供无套利性，又能提供一个很好的可处理的s OURCE项表示，从而可以以闭合形式计算源项中的所有积分。第6节详细讨论了模型中多重微笑的校准。为了校准单一微笑，我们推导了模型参数的非线性代数方程组，并解释了如何对其初始值进行智能猜测。

在第7节中，我们讨论了一些数值实验的结果，在这些实验中，模型对给定市场微笑的校准是逐项进行的。最后一节结束。2、随机模型Wtbe是时间指数为t的Q标准布朗运动≥ 0、将随机过程Dt视为漂移udDt=udtdtt+σ（Dt）DtdWt的时间齐次离散，（1）其中波动函数σ是局部的且时间齐次的。如果σ（D）：R，则存在等式（1）的唯一解→ R在D中是Lipschitz连续的，在单位中满足生长条件。由于D是一个时间齐次马尔可夫过程，它的有限生成元a由aφ（D）给出≡uDD+σ（D）DDφ（D）（2）对于所有二次可微函数φ。在这里xis是x上的一阶微分算子。D过程的半群（这里是Q的一个表达式）是Dtφ（Dt）=etAφ（Dt）=EQ[φ（Dt）| D=D]，t型≥ 0。（3）这一等式也可以被认为是终值问题解决方案的Feynm an-K ac定理表示（参见，例如，L¨orinczi et al.（2011）），它将右侧的期望与相应PDE的解决方案联系起来，然后将指数算子eta应用于初始条件φ（Dt），给出了该偏微分方程的形式解。本着Carr和Nadtochiy（2017）的精神；Carr和Itkin（2018）介绍了一种新的过程DΓt，该过程由无偏伽马时钟t决定。无偏伽马时钟t的密度≥ 0 isQ{t∈ dν}=νm-1e级-νm/t（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ 电汇/电汇*. （4） 这里是t*> 0是过程的自由参数，Γ（x）是Gamma函数。很容易检查eq[Γt]=t.（5），因此，平均而言，随机伽马时钟Γ与日历时间t同步。对于期权定价问题，我们引入了更复杂的构造。也就是说，考虑写在底层流程St上的选项。

在不失概括性的情况下，为了清楚起见，让我们在下文中处理股票价格过程。让我们定义Statsst=DΓX（t）（6），其中X（t）是时间t的确定函数。我们需要确定X（t），以便在arisk中性测度Q下，总收益过程，包括在无风险利率r贴现后的价格增值和连续股息Q是鞅，参见Shreve（1992）。首先取^Std^St=d的导数e-rtSteqt= e（q-r） t[（q- r） Stdt+dSt]，（7）然后是我们得到的两部分的期望值e（q-r） tSt公司] = e（q-r） t{（q- r） 等式【St】dt+dEQ【St】}。（8） 所以为了使^sto成为鞅，等式（8）的Rhs应该消失。求解方程（q- r） y（t）dt+dy（t）=0，y（t）=等式[St | Ss]，s<twe-obtainy（t）=等式[St | Ss]=Sse（r-q） （t-s） ，（9）等式【dSt | Ss】=dEQ【St | Ss】=Ss（r- q） e（r-q） （t-s） 。另一方面，从式（6）中，式[dSt | Ss]=式[dDΓX（t）| Ss]=u式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]+式[σ（DΓX（t））DΓX（t）dWΓX（t）| Ss]（10）=u式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]，因为过程WΓX（t）是局部鞅，见Revuz和Yor（1999），第6章。因此，过程WΓX（t）从WΓt继承该属性，因此等式[σ（DΓX（t））DΓX（t）dWΓX（t）]=0。为了继续，假设伽马过程Γ独立于Wt（因此，ΓX（t）独立于WΓX（t））。然后，可以通过对ΓX（t）的初始条件进行计算，然后通过将t替换为X（t），对ΓX（t）的分布进行积分，从而计算公式（10）中RHS的期望值，即公式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]=Z∞等式[DΓX（t）DΓX（t）|ΓX（t）=ν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）（11）=Z∞等式[Dν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ X（t）/t*.我们考虑式（1）得出的最终等式[Dν]=式[dDν]=式[uDνDν+σ（Dν）DνdWν]=uEQ[Dν]Dν。（12） 求解关于y（ν）=EQ[Dν| Ds]的方程，我们得到EQ[Dν| Ds]=Dseu（ν-s） 。

由于时间s上的we条件，这意味着Ds=DΓX（s）=Ss，因此EQ[Dν| Ds]=Sseu（ν-s） 。此外，我们将其代入式（11），设置伽马分布的参数t*打赌*= X（t）（so m=1）并积分以获得EQ[dSt | Ss]=uEQ[DΓX（t）DΓX（t）]=Sse-su1- uX（t）。（13） 最后，将式（9）和式（13）中得到的式[dSt | Ss]的r表示相等，我们得出X（t）S（r- q） e（r-q） （t-s） =Sse-su1- uX（t）。（14） 假设u=r- q、 该方程可解为提供指数（t）=1- e-（r）-q） tr公司- q、 （15）Carr和Itkin（2018）中也使用了X（t）的表达式表示ELVG。我们已经提到，ELVG可以被视为本文模型的算术模拟，它在Dt中是几何的。很明显，在极限r→ 0，q→ 0我们有X（t）=t。也基于等式（5）Eq[ΓX（t）]=X（t）。（16） 函数X（t）从零开始，即X（0）=0，d是时间t的连续非递减函数。更详细地说，如果r- q>0，函数X（t）在t中除了t以外的所有点都在增加→ ∞, 其中It为常数。然而，有限时间范围没有太多实际意义，因此任何有限时间t函数X（t）都可以被视为t中的递增函数。在另一种情况下，当r- q<0，函数X（t）严格递增t型∈ [0, ∞). 这意味着，总的来说，X（t）具有良好clo-ck的所有属性。因此，ΓX（t）具有随机时间的所有性质。因此，我们成功地证明，通过选择u和X（t），EQ的右手部分。（8） 消失了，我们的贴现股票过程，考虑到非零利率和连续股息，变成了鞅。因此，建议的结构可用于期权定价。这种设置可以很容易地推广到与时间相关的利率r（t）和连续股息q（t）。

我们把它留给读者。下一步是在原始流程和随时间变化的流程之间建立连接。Bochner（1949）指出，过程GΓtde定义为dgt=σ（G）gtdw是一个时间齐次马尔可夫过程。过程也是如此（r- q） Gtdt。因此，式（1）中定义的整个过程也是时间齐次马尔可夫过程。因此，这些半组TStof Stand TDtof DΓX（t）通过Bochner积分tstu（S）=Z连接∞TDνU（S）Q{ΓX（t）∈ dν}，t型≥ 0，（17），其中U（S）是TDT和TSt域中的函数。它可以通过利用D过程的时间均匀性，首先对伽马时间进行调节，并考虑Γ和Wt的独立性（或在ou r情况下的ΓX（t）和WΓX（t））得出。所以我们在上面所做的假设X（0）=0是一致的。这里，它代表了对第二个随机驱动因素——随机时钟ν的期权价格预期。当我们设置参数t时*伽马时钟的*= X（t），式（17）和E q。（4）implyTStU（S）=Z∞TDνU（S）e-ν/X（t）X（t）dν。（18） 为了简洁起见，在下文中，我们将此模型称为几何局部方差Gammamodel，或GLVG。3、期权价格的远期方程在本节中，我们推导出了一个看跌期权价格的远期方程，它类似于标准局部波动率模型的迪皮尔方程。在这样做的过程中，我们严格遵循Carr和Itkin（2018）相应章节的描述，从衍生角度来看，仅通过过程Dt的微型发生器A的定义，ELVG的GLVGdi效应。让我们将半群TStas的指数t解释为欧洲债权的到期日t，估值时间tv=0。也可以将测试函数U（S）作为该Europeanclaim的结果，即U（ST）=e-rT（K- ST）+。