几何局部方差Gamma模型

而结果分叉→ 至少对于Heston和Stein-Stein模型，0是正确的，对于K→ ∞直接遵循Lee的隐含方差矩公式，通过总隐含方差表示σw=vIT，Lipton（2001）；Gatheral（2006）wL≡ σ（T，K）T=TTw公司1.-十、Xw2w-(Xw）w++Xw，（66），其中w=w（X，T），X=对数K/F，F=Se（r-q） 这是股票的远期价格。因此，所考虑的局部方差线性走向模型在First0不适用≤ x个≤ x和最后一个xnj<x<∞ 每一个微笑的敲击间隔T=Tjas，这是李氏公式的紫罗兰色。因此，在这两个时间间隔内，我们使用第4.1节中讨论的模型，其中局部方差在对数走向中是线性的。有趣的是，在Itkin和Lipton（2018）中；Carr和Itkin（2018）以及第4.1节，根据Kummer函数获得了闭式解。这里的解是通过超几何函数SF（a，b，c；x）表示的。由于两个解y（x）和y（x）是独立的，因此等式（51）是等式（57）的通解。两个常数C，C应根据边界条件f或f函数y（x）确定。方程（47）给出了零度和完整度下x空间中ODE方程（57）的边界条件，即它们是齐次的。基于局部方差曲线的通常形状及其正性→ 0，我们期望vj，i<0。类似地，对于x→ ∞ 我们预计vj，i>0。在这两个极限之间，假设给定到期日Tjis的局部方差曲线是连续的，但曲线的斜率可以是正的，也可以是负的，参见Itkin（2015）和其中的参考文献。4.3. 打击空间中的局部波动率分段线性另一个流行的模型是，假设局部波动率在打击空间中是分段线性的。

该模型之前在文献中经常被考虑，例如《赫尔和怀特》（2015）；Kienitz和Casper s（2017）。下面，我们表明，在这种假设下，我们的模型仍然是可分解的，并且可以使用与在Itkin和Lipton（2018）中阐述的相同方法获得封闭形式的解决方案；Carr和Itkin（2018年）。因此，区间【xi，xi+1】上相应的连续分段线性局部波动率函数σj（x）读取σj，i（x）=σj，i+σj，ix，（67）由于σj（x）是x中的连续函数，我们有σj，i+σj，ixi+1=σj，i+1+σj，i+1xi+1，i=0，新泽西州- 1.（68）同样，这意味着σj（x）的一阶导数在点xi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。由于σ（x，T）是时间的分段常数f函数，σj，i，σj，i不依赖于间隔[Tj，Tj+1），j∈ 0，M- 1] ，和j ump到点Tj，j处的新值∈ Z∩ [1米]。将表达式（67）替换为表达式。（46），对于第i个空间间隔，我们得到-（b+ax）xVx，x（x）+bxVx（x）+b0，jV（x）=c（x），（69）b=σj，i，a=σj，i。同样，等式（69）是一个非齐次常微分方程，其解可以用等式（51）的形式表示，其中i（x）=-y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx+y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx≡ L+L。相应的齐次方程可按如下方式求解。首先，如果b6=0，b+ax 6=0，我们改变自变量x 7→ z=abx/[b（b+ax）]。因此，齐次方程式（69）采用形式bz(-b+bz）Vz，z（z）+zh2bz+b- bz公司iVz（z）+b（b- bz）V（z）=0。接下来，我们对从属变量v（z）7进行更改→ zk公司zbz+bkG（z），其中k，kb是给定时间片的一些常数。

这导致方程0=-bz公司b- bz公司G′（z）+f（z）G′（z）+f（z）G（z），（70）f（z）=zb- bz公司bz（2k+z+2）- 2bb（k+k+z）+b,f（z）=q+qz+qz- bkz，q=bb- bk（k+1）+b（3k+k）,q=bb2bk（k+k）- 2b级- b（3k+2k）,q=bb- （k+k）b（k+k- 1) - b.我们现在要求f（z）与z成比例b- bz公司具有常数乘法器q，即f（z）=qzb- bz公司.用z的幂逐项求解这个方程，我们得到k=-qb，k=q（b+q）- b（b+q）bb，q=b- b±qb+2b（2b+b）+b.相应地，将这些定义代入式（70）一个结果s0=zG′（z）+（b+z）G′（z）- aG（z），b=2-b+2qb，a=qb。这是一种Kummer方程，其中有两个独立的解，Polyanin和Zaitsev（2003）G（z）=e-zU（a+b，b，z），G（z）=e-zM（a+b，b，z）。（71）因此，由于q可以取两个值，对应于p lus和减号，我们得到了原始方程（70）的四个基本解。与上一节类似，我们无法在第一个0≤ x个≤ x和th弹性体xnj<x<∞ 每一个微笑的打击间隔T=Tjas，它比Lee的公式更严格。因此，在这两个层段，我们使用第4.1节中讨论的模型，其中局部方差在对数走向中是线性的。因此，局部波动率是局部方差的平方根。源项的计算公式（51）中源项pIin的计算可以通过几种方式实现。最前沿的方法是使用数值积分，因为P ut价格P（x，Ti-1） 当我们求解T=Ti的等式（51）时，x的函数已经已知。我们强调，这不是酪蛋白Itkin和Lipton（2018），因为有功能P（x，Ti-1） 是通过逆变换获得的，因此，只有在前一时间级别的一组离散打击才知道。因此，在进行积分时，有必要进行某种插值，以确定所有走向的局部方差。

此外，这种插值必须保持无套利，参见Itkin和Lipton（2018）。另一方面，使用无套利插值提供了另一个优势，因为如果明智地选择插值函数，可以计算封闭形式的源项积分。在这里，我们希望利用相同的想法，从而与数值积分相比，显著提高我们模型的计算性能。下面的例子考虑在走向空间中局部方差分段线性的情况。然后根据等式（63）第4.2节中的解，我们得到j（x）=-y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx=-y（x）abZy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz，（72）y（z）=zmF（m- 1，m，c；z） ，c（z）=V（S，Tj-1，z），z=-ax/b，其中W（z）在等式（64）中定义。根据Itkin和Lipton（2018）的想法，在Carr和Itkin（2018）中，我们引入了非线性插值p（x）=γ+γx，x≤ x个≤ x、 （73）γ=P（x）x- P（x）xx- x、 γ=P（x）- P（x）x- x、 然后，Carr和Itkin（2018）中的命题6.1证明了该插值sch-eme是无套利的。值得强调的是，拟议的插值不会影响给定市场冲击下的解值（报价），因为分段插值器的构造与这些值完全匹配。因此，插值仅影响非kn自身的卖出价值，即在给定的市场冲击之间有冲击的卖出价值。因此，如果不使用这些罢工，即在交易或对冲中，插值的影响根本无法观察到。然而，如果它们用于某种目的，则与精确解的差异很小（在干扰误差范围内），而这些打击的近似解仍然不存在套利。回想一下，我们使用公式（45）引入了V（x）。因此，式（72）中的术语c（z）的形式为（见附录D和E q（D.3）），c（z）=V（S，Tj-1，z）=“γ+γz+”γz。

（74）事实证明，现在等式（72）中的积分可以以闭合形式计算。索引ZY（z）c（z）（1- z） zW（z）dz=I+I+I，（75）I=γZy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）Γ（c）（c- m级- 1） F（c- m级- 1，c- m+1，c，z），I=γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=γzA（z）Γ（c）（c）- m） F（c- m、 c类- m、 c，z）I=(R)γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）z（c- m+1）Γ（c）Fc- m、 c类- m+1，c- m+1c，2+c- m；z,A（z）=baΓ（c- 1） zc公司-m级-1，其中fa、 a、ab、b；z是广义超几何函数（Askey和Daalhu is（2010））。定义JJ（x）=y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx=y（x）abZy（z）c（z）（1）的第二个积分- z） zW（z）dz，（76）y（z）=zm+1-cF（米- c、 m+1- c、 2- cz） ，可以用类似的方法计算。结果readsZy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz=I+I+I，（77）I=γZy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）mF（2- m，-m、 2- c、 z），I=γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=γA（z）z（m- 1） F（1- m、 1个- m、 2- c、 z），I=(R)γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）z（m- 2） F级1.- m、 2- m、 2- 平方米- c、 3- m；z,A（z）=baΓ（1- c） Γ（2- c） z-m、 两种特殊情况是前0≤ x个≤ x和最后一个xnj<x<∞ 方程（53）和方程（54）给出的解的区间。5.1. 最后间隔xnj≤ x<∞.由于该区间的右边缘位于同一位置，因此应稍微修改等式（73）中的插值方案。这可以做两件事。第一种选择是将边界从实体移动到任何非常大但有限的正s trike。那么，可以毫无问题地使用等式（73）中的方案。但在我们的例子中，我们无法以闭合形式计算这些积分。因此，我们使用另一个选项，即用另一个非线性插值c（χ）=V（χ，Tj）替换等式（73）中的二次型-1，S）=γ∞z-ν、 z=χ+ba，（78），其中γ∞> 0，ν>0是一些需要确定的常数。显然，在χ→ ∞ 此插值保留了公式（47）中V的正确边界值，即V（χ）在此限值内消失。

γ适当值的推导∞, ν和附录B中给出的拟用插值保持无套利的证明。回想一下，在此区间，我们假设局部方差在对数走向χ中是线性的。因此，式（51）的数值稳定解对在式（54）中给出。然后可以闭合形式计算公式（51）中的积分。在此过程中，我们使用了Ng and d Geller（1970）Ze的以下符号-αzzνU（a，b，z）dz=Uν（α；a，b，z），Ze-αzzνM（a，b，z）dz=Mν（α；a，b，z）。然后i（χ）=y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ- y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ，（79）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξ∞Ze公司-zz公司-νU（α，β，z）dz=ξ∞U-ν(-1.α、 β，z），Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξ∞Zz公司-νU（β- α, β, -z） dz=(-1)-νξ∞U-ν(0; β- α, β, -z） ，ξ∞= (-1)β-αγ∞a2级-β.根据Ng和Geller（1970），Mν(-1.a、 b，z）=eiπ（ν+1）Mν（0；b- a、 b、，-z） ，（80）Mν（0；a，b，z）=zν+1ν+1Fν+1，aν+2，b；z, b 6=0，-1.-2.ν 6= - 1.-2.M-1（0；a、b、z）=abzFa+1、1、1b+1、2、3；z+ log（z），Uν（α；a，b，z）=πsin（πb）Mν（α；a，b，z）Γ（1+a- b） Γ（b）-Mν+1-b（α；1+a- b、 2- b、 z）Γ（a）Γ（2）- （b）.因此，所有必要的积分都可以用广义超几何函数表示。或者，这些积分可以用asU表示-ν(-1.α、 β，z）=G2,12,31, 2+α-β-ν1-ν, 2-β-ν, 0z, （81）U-ν(0; α, β, -z） =z1-νΓ(1 - α)Γ(β- α） G2,22,3ν, 1+α-β0, 1-β, ν-1.- z,其中Gm、np、q一apb，。。。，bq公司z是Meijer G函数，见Olver（1997）。不难验证在K→ ∞, 所以z→ ∞ , 积分I（χ）消失。5.2. 第一个间隔0≤ x个≤ x、 回想一下，在此区间，我们假设局部方差在对数走向χ中是线性的。Sinceat K公司→ 0我们有χ→ -∞, 等式（51）的数值稳定解对仍由等式给出。(54).然而，在这个区间，我们需要另一种插值方案，因为之前描述的方案不会产生可处理积分。

然而，这可以通过使用以下非线性插值C（χ）=V（χ，Tj）来实现-1，S）=ωez/z，z=χ+ba，（82），其中ω<0是要确定的常数。显然，在K→ 0和s o z→ -∞, 此插值保留了公式（47）中V的正确边界值，即V（χ）在此限值内消失。附录C中给出了ω的适当值的推导以及建议的插值保持无轨道的证明。现在，公式（51）中的积分可以用闭合形式计算，即：y（χ）Zy（χ）C（χ）（b+aχ）Wdχ- y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ，（83）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξZz-1U（α，β，z）dz=ξU-1（0；α，β，z），Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξZezz-1U（β- α, β, -z） dz=-ξU-1(-1.β- α、 β，z），ξ=(-1)β-αωa-β.函数U的表示-1(-1.β- α、 β，z），U-1（0；α，β，z）通过Meijer G-fun作用在公式（81）中给出。同样，可以很容易地验证，在K→ 0，所以z→ -∞, 积分i（χ）消失。5.3. 特殊情况z≈ 1或| v/b |<< 1、对于某些i，当间隔[Ki，Ki+1]时，会出现这种情况∈ [1，nj]系数a，等于| 1- zi |<< 1或| 1- zi+1 |<< 1、假设zi+1=1+，0<<< 1、如下一节所示，然后我们可以引入ghost点K*这样z*= 1.- . 因此，在间隔[K*, Ki+1]我们将使用等式（65）中的数值稳定解，而在区间[Ki，K*] - 式（63）中的正则解。如果zi=1，则可以提供相同的结构- .间隔z∈ [1-当z的值接近于z=1时超几何函数的奇异性时，有两种方法可以构造解。首先，我们可以使用v/bas a sm all参数建立一个渐近解，因为在z→ 1我们有v/b=（b+ax）/b=1-z→ 0.如Carr和Itkin（2018）所示，可以这样做，例如，使用Vasil\'eva等人的边界函数方法。

(1995).或者，根据等式（65），y（z）→ 1，y（z）→ z处为0→ 因此，这些解在z=1附近具有规则行为。因此，我们所需要做的就是提出可测量的无套利插值，以使公式（58）中源项的计算易于处理。该插值在附录D中构造。因此，根据公式（72）和公式（65），我们需要计算2个积分sj（x）=Zy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz，J（x）=Zy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz，（84）y（z）=zmF（m- 1米2米- c1.- z） ，c（z）=V（z，Tj-1，S），y（z）=zm（1- z） c类-2m+1F（c- m+1，c- m、 c类- 2m+2；1.- z） ，W（y（z），y（z））=ω（1- z） c类-2mz2m-c、 ω=-a（2m- 1.- c） b.积分J（x）可以以闭合形式找到，结果为J（x）=γJ2,0（x）+γJ2,1（x）+γJ2,1（x），（85）J2,0（x）=πωcsc（πc）z-mΓ（c- 2m+2）hzc-1F（c- m级- 1，c- m+1；cz） （c）- m级- 1） Γ（c）Γ（1- m） Γ（2- m） +F（2- m，-m；2.- cz） mΓ（2- c） Γ（c- m） Γ（c- m+1）i，J2,1（x）=π（m- 1） ωcsc（πc）z-mΓ（c- 2m+2）h（z（c- m） F（1- m、 1个- m；2.- cz） Γ（2- c） Γ（c- m+1）-zcF（c- m、 c类- m；cz） （c）- m） Γ（c）Γ（1- m） i，J2,2（x）=Γ（c- 2m+2）ωΓ（1）- m） Γ（2- m） Γ（c- m） Γ（c- m+1）G2,33,31,1,22-m、 c类-m+1，0z.使用公式（D.3）中定义的无套利插值的积分J（x）readsJ（x）=ω-1Z（1- z）-c+2m-1zc-m级-2F（米- 1，m；2米- c1.- z） （‘γ+γz+’γz）dz。该积分可计算如下。我们提醒z∈ [1 - , 1 + ], || << 1.

因此，术语zk，k∈ R可以展开成z=1附近的系列，以获得zk=∞Xi=0(-1） 我ki公司(1 - z） i J（x）取公式J（x）=ω-1(γ∞Xi=0(-1） 我c- m级- 2iZ（1- z） 我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz（86）+γ∞Xi=0(-1） 我c- m级- 1iZ（1- z） 我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz+’γ∞Xi=0(-1） 我c- 惯性矩Z（1- z） 我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz）=ω-1.∞Xi=0νiZ（1- z） 我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz，=ω-1.∞Xi=0νic- 我- 2m（1- z）-c+i+2mFm级- 1米2米- c+i2m- c、 2m+i- c+1；1.- z,νi=(-1） 我γc- m级- 2i+ γc- m级- 1i+ γc- 惯性矩.指数-如果z=1附近b>0，c+i+2m=i+b/b始终为正值。根据附录D，bis的该条件在以下情况下有效：1-  ≤ z<1。在此之前，扩展Q中有2-3个术语。（86）在计算积分时提供足够的精度。然而，当1+>z>1（因此为双负）时也是如此，这意味着整个指数也为负，至少在低i时是如此。这是因为乘积的行为（1- z） 我-c+2mFm级-1米2米-c+i2m-c、 2m+i-c+1；1.- z即使在这种情况下也是正常的。在一个类似的例子中，前面章节中考虑的其他局部方差/波动性模型的源项可以以封闭形式计算。我们把这个练习留给读者。6、单学期微笑校准。Carr和Itkin（2018）中描述了局部波动性模型的校准问题，以及整个微笑解决方案的构建。在这里，我们遵循相同的应用程序路径，因此，只提供一些针对GLVG模型的简短评论。再次，作为一个例子，考虑局部方差是罢工的分段线性函数的情况。

第4节中考虑的其他情况的校准可以采用类似的方式进行。我们需要解决的一个一般校准问题是：给定与各种走向{K}相对应的看涨期权和/或看跌期权的市场报价：=Kj，j∈ [1，N]和相同的成熟度Ti，定义局部方差函数v（x），以便这些引号可以解决公式（37）和公式（43）中的方程。假设T=Tjar的卖出价因NJ有序罢工而闻名。图1中示意性地描绘了x线上这些行程的位置，因为等式（51）给出了解的一般形式，每个间隔为xi-1.≤x个≤ xind T=T可以表示为v（x）=C（1）j，iy（x）+C（2）j，iy（x）+I（x）。（87）为了更好的可读性，我们将两个积分常数的表示法更改为C（1）j，i，C（2）j，i。与Carr和Itkin（2018）类似，我们假设期权价格及其在每个节点i=1，…，的一阶导数的连续性，新泽西州。我们还通过两个附加条件对此进行了补充：第一个条件由公式（49）给出，另一个条件是，在每个节点上，解决方案P（S，Tj，Ki）必须与给定的市场报价f或该对（Tj，Ki）一致。所以这四个方程一起给出了xv（x）xoVxoVxoVxoV。xnjoVNJ图1:x中组合解决方案的结构示意图∈ R+：1（红色实线）-真实（未知）局部方差曲线，2（蓝色虚线）-分段线性解决方案。在x>xnj和x<x时，蓝线为b+alog（x）。对于四个未知变量vj，i，vj，i，C（1）j，i，C（2）j，i:Pi（x）| x=xi=Pi+1（x）| x=xi，（88）Pi（x）| x=xi=Pmarket（xi），Pi+1（x）x个x=xi=Pi（x）x个x=xi，vj，i+vj，ixi=vj，i+1+vj，i+1xi，i=1，新泽西州。公式（88）是关于4个（nj+1）变量vj，i，vj，i，C（1）j，i，C（2）j，i的4nj非线性方程组。