时间不一致随机控制的强平衡和弱平衡

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英文标题：
《Strong and Weak Equilibria for Time-Inconsistent Stochastic Control in
  Continuous Time》
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作者：
Yu-Jui Huang and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A new definition of continuous-time equilibrium controls is introduced. As opposed to the standard definition, which involves a derivative-type operation, the new definition parallels how a discrete-time equilibrium is defined, and allows for unambiguous economic interpretation. The terms \"strong equilibria\" and \"weak equilibria\" are coined for controls under the new and the standard definitions, respectively. When the state process is a time-homogeneous continuous-time Markov chain, a careful asymptotic analysis gives complete characterizations of weak and strong equilibria. Thanks to Kakutani-Fan\'s fixed-point theorem, general existence of weak and strong equilibria is also established, under additional compactness assumption. Our theoretic results are applied to a two-state model under non-exponential discounting. In particular, we demonstrate explicitly that there can be incentive to deviate from a weak equilibrium, which justifies the need for strong equilibria. Our analysis also provides new results for the existence and characterization of discrete-time equilibria under infinite horizon.
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中文摘要：
引入了连续时间平衡控制的新定义。与涉及衍生类型操作的标准定义不同，新定义与离散时间均衡的定义类似，并允许明确的经济解释。术语“强平衡”和“弱平衡”分别是在新定义和标准定义下为控制创造的。当状态过程是时间齐次连续时间马尔可夫链时，仔细的渐近分析给出了弱平衡点和强平衡点的完整刻画。借助Kakutani-Fan的不动点定理，在附加紧性假设下，还建立了弱平衡点和强平衡点的一般存在性。我们的理论结果被应用于非指数贴现下的两态模型。特别是，我们明确证明，可能存在偏离弱均衡的动机，这证明需要强均衡。我们的分析也为无限视界下离散时间平衡的存在性和特征提供了新的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Strong_and_Weak_Equilibria_for_Time-Inconsistent_Stochastic_Control_in_Continuous_Time.pdf (390.19 KB)

2022-6-10 19:42:30 上传

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关键词：随机控制 Mathematical Quantitative respectively Optimization

连续时间非一致随机控制的强弱平衡*Zhou Zhou+2019年8月13日摘要引入了连续时间平衡控制的新定义。与涉及衍生实体运营的标准定义不同，新定义与离散时间均衡的定义相似，并允许明确的经济解释。术语“强平衡”和“弱平衡”分别是在新定义和标准定义下为控制创造的。当s状态过程是时间齐次连续时间马尔可夫链时，仔细的渐近分析给出了弱平衡点和强平衡点的完整刻画。由于Kakutani Fan的不动点定理，在额外的紧性假设下，也建立了we-ak和强平衡的一般存在性。我们的理论结果应用于非指数贴现下的两状态模型。特别是，我们明确证明，偏离弱均衡是有动机的，而弱均衡恰恰需要强均衡。我们的分析还为有限horizo n.MSC（2010）：60J27，91A13，93E20下离散时间平衡的存在性和特征提供了新的结果。关键词：时间不一致性，随机控制，强均衡，弱均衡，非指数贴现。在时间不一致的情况下，从未来自我的角度来看，今天得出的最优规则可能不是最优的。与标准的时间一致性模型相比，不存在对整个规划期有利的“动态最优策略”。Strotz【16】中介绍了对时间不一致性的一种明智反应，即将未来自我的行为作为一种约束，找出应对这种约束的最佳当前行动。

当每个未来的自我也以这种方式进行推理时，由此产生的策略就是一个（子博弈完美）均衡，未来的自我没有动机偏离这个均衡。这种均衡方法虽然被广泛接受，但对于随机控制的不连续时间来说非常重要。前期的挑战是如何准确地确定连续时间平衡。在离散时间内，这根本不是一个挑战：让F（x，α）是一个目标函数，取决于当前状态x和选定的控制α。平衡α*可定义为asF（x，α*) ≥ F（x，αα*), x和α，（1.1）*科罗拉多大学应用数学系，美国科罗拉多州博尔德80309-0526，电子邮箱：yujui。huang@colorado.edu.部分由美国国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）资助。+悉尼大学数学与统计学院，新南威尔士州，2006年，澳大利亚，电子邮件：zhou。zhou@sydney.edu.au.where α α*意味着我们只在时间0应用α，并切换到α*从时间1开始。经济学的解释很清楚：考虑到所有未来的自我都将遵循α*, 当前使用任何其他控制α并不比坚持α好*, i、 e.当前自我没有偏离α的动机*, 符合均衡思想。与（1.1）的连续时间类比远不明显。由于当前自我只存在于“时间点0”，连续时间内没有质量，因此他决定使用不同的策略α通常对F没有影响。换句话说，虽然可以用limε替换（1.1）的右侧↓0F（x，αεα*), 在大多数情况下，该极限等于F（x，α*),让（1.1）这样的比较毫无意义。Ekeland和Lazrak【5】首次提供了连续时间平衡的精确定义：粗略地说，α*是平衡iflim infε↓0F（x，α*) - F（x，αεα*)ε≥ 0, x和α。

（1.2）该公式刺激了对连续时间内时间不一致控制问题的振动研究，主要出现在数学金融中；参见【7】、【6】、【12】、【17】、【2】和【1】等。虽然（1.2）在某种程度上已成为连续时间均衡的标准公式，但它可能无法在经济意义上得到充分证明。正如比约克、Kh ap ko和Murgoci[1，备注3.5]所指出的，（1.2）与平衡概念并不完全对应：当（1.2）等于时，α*可以是不是最大点的固定点。也就是说，对于某些x和α，F（x，α*) < F（x，αεα*)对于所有ε>0，但（1.2）中的限值仍然为零。然后，当当前自我处于状态x时，会有偏离的动机：在一个很小的间隔[0，ε]内，跟随α比坚持α更好*.鉴于此，α*不应视为平衡，但它包含在（1.2）中。简而言之，（1.2）的定义可能太弱，无法准确反映均衡理念。本文引入了连续时间平衡的一个新定义：α*是任意x和α的平衡mif，存在ε*= ε*（x，α）>0，使得f（x，α）*) ≥ F（x，αεα*) 对于所有0<ε<ε*. （1.3）这与（1.1）类似，并允许以下经济解释：如果（1.3）对于某些（x，α）是违反的，那么在状态x下的电流自性，在一个很小的区间内偏离α，比坚持α要好*. 当α*是一种平衡；详见备注2.2。请注意，（1.3）包含（1.2），但反之亦然。在本文中，我们将（1.3）“强平衡”（定义2.2）下的平衡称为平衡，而（1.2）“弱平衡”（定义2.1）下的平衡称为平衡。

本文的主要目的是阐明强平衡和弱平衡之间的区别以及联系。具体而言，我们将受控状态过程X视为时间齐次连续时间马尔可夫链。通过为X选择合适的生成器Q，代理人打算在有限的期限内最大化其预期的累积运行收益。允许运行payoff函数与时间相关，使问题时间通常不一致。该框架特别适用于非指数贴现下的最优覆盖。通过（1.3）右侧的详细渐近分析，现在的形式为F（x，QεQ*), 我们建立了弱平衡和强平衡的完整刻画；见第3.1条和第3.2条。简言之，弱均衡相当于在其t阶项中的主导地位，而强均衡则需要一个更精细的涉及高阶项的结构。这反过来又为发现弱平衡和强平衡提供了一种便捷的机制；参见命题3.1、3.2、3.3，关于平均风险投资组合选择问题，He和Jiang【10】中出现了一个类似于我们的“强均衡”的概念。然而，弱平衡和强平衡之间的详细比较并不是他们关注的焦点。定理3.2。在伪指数贴现下的两态模型中，通过具体例子详细说明了这种机制。特别地，我们构造了一个显式的弱平衡Q*对于某些特定的（x，Q），F（x，Q*) < F（x，QεQ*) 对于所有ε>0足够小。也就是说，尽管Q*满意度（1.2），有动机偏离Q*当当前状态为x时，在一个很小的间隔[0，ε]；参见示例4.3和备注4.1。

这正是对强平衡新概念的需要。请注意，寻找平衡的机制虽然有用，但其目的是在个案基础上应用，而不是说平衡存在的先验条件。借助Kakutani-Fan的不动点定理，在Q的容许集上附加紧性假设下，可以建立弱平衡点和强平衡点的一般存在性结果；见定理3.3。如上所述，连续时间中时间不一致随机控制的文献仅关注弱均衡，其特征通常为（i）非线性微分方程系统的解，即所谓的扩展HJB系统（参见[7]和[1]），或（ii）离散时间平衡序列的极限点，当离散时间网格趋于零时（参见[17]和[1]）。我们的分析补充了上述（i）和（ii）。首先，请注意，上述（i）是部分表征：如果找到非线性系统的光滑解，则可以从中构建平衡。然而，解决这个系统通常很困难，也不清楚是否每个均衡都与这样一个系统相关。相比之下，在我们的情况下，X是一个连续时间受控马尔可夫链，比文献中常用的受控扩散更容易处理，我们获得了弱平衡的完整（即“当且仅当”）特征（定理3.1），以及一个易于检查的标准（命题3.1）。另一方面，我们在定理5.2中得到，在适当的连续性假设下，离散时间平衡点在连续时间收敛到弱平衡点。有趣的是，它被保证只收敛于弱平衡，而不是强平衡。

如例5.1所示，一系列离散的时间平衡唯一地收敛到一个不强的弱平衡。最后，我们的连续时间分析也为离散时间问题提供了新的思路。在Discretetime中，平衡被明确定义为（1.1），当时间范围有限时，可以通过Pollak中的直接向后顺序优化找到平衡【15】。在有限的视界下，这种落后的程序会崩溃；目前尚不清楚均衡是否普遍存在，也缺乏一种系统的平衡发现方法。定理3.1和命题3.1中的连续时间变元很有帮助：它们可以修改为离散时间，对于我们关注的这类时间不一致问题，给出了一个非常普遍的平衡点存在性结果，以及一个找到平衡点的条件；见定理5.1和命题5.1。本文的组织结构如下。第2节介绍了时间不一致问题的设置，定义了弱平衡和强平衡的两个不同概念。第3节收集了主要结果，包括弱平衡和强平衡的完整表征和普遍存在性。第四节将理论结果应用于一个具体的两态模型，在该模型中，我们明确证明了偏离弱均衡的动机。第5节推导了相应离散时间问题的几个新结果，并证明了离散时间平衡点收敛到弱平衡点。第6节总结全文。2设置和定义let X=（Xt）t≥0be是一个时间齐次连续时间马尔可夫链，取S中的值：={1，2，…，N}，对于某些N∈ N、 发电机Q∈ RN×Nof X需控制。对于每个i∈ S、 我们用Qi表示生成器Q的ithrow和letDi Ei：=q=（q，…，qN）∈ 注册护士：qj≥ 0，j 6=i，qi=-Xj6=iqj（2.1）是合格中介机构的容许集合。

控制空间为Q：=Q∈ RN×N:Qi∈ Di，我∈ S.考虑一个p ayo fff函数f，使得对于任何t≥ 0，i∈ S、 和q∈ Di，值f（t，i，q）∈ 假设Xt=i，Qi=q，则表示时间t的支付率。我们假设f（·，i，q）在[0]上连续，∞), 对于每个i∈ S和q∈ Di。（2.2）此外，我们还施加了可积性条件z∞supi公司∈S、 q∈Di，kqk≤c | f（t，i，q）|！dt<∞ c>0，（2.3），其中k·k表示RN中的欧几里德范数。注意，（2.2）特别暗示t 7→supi公司∈S、 q∈Di | f（t，i，q）|是下半连续的，因此Lebesgue是可测量的，这使得（2.3）中的积分具有敏感性。对于任何i∈ S和Q∈ Q、 （2.3）保证预期付款F（i，Q）：=Ei，QZ∞f（t，Xt，QXt）dt< ∞ （2.4）定义明确，其中Ei，Q表示以X=i和X等于Q的生成器为条件的期望。在本文中，只要对Q没有混淆，我们就会为Ei，Q编写Ei。一般来说，代理人的目标是通过选择Q来最大化F（i，Q）∈ Q可能会遇到时间不一致的问题。具体而言，最优控制Q*∈ 问题的答案∈QEiZ∞f（t，Xt，QXt）dt（2.5）可能取决于初始状态i，我们将其写为Q*（i） 。稍后，t>0，Xt=j 6=i，Q*（i） 对于p问题（2.5），可能不再是最优的，现在i被j代替，因此agentis temp会偏离Q*（j） ，在他看来，时间t是最优的。一个典型的例子是非指数折扣下的优化。在这种情况下，f取f（t，i，q）=δ（t）g（i，q），（2.6），其中δ：[0，∞) → [0，1]是一个贴现函数，假设它随δ（0）=1呈三次递减，g是一个一般的可测函数。众所周知，问题（2.5）对于特定情况δ（t）：=e是时间一致的-ρt对于某些ρ>0，但时间通常不一致。备注2.1。

f（t，i，q）中的t变量并不代表“实际日历时间”，而是“时差”，即当前时间与未来支付时间之间的差异。这在折扣设置（2.6）中得到了很好的证明。如果f（t，i，q）中的t是实时日历时间，（2.4）将是时间不均匀的（即f（i，q）应该是f（t，i，q））。这将使问题（2.5）具有时间一致性，因此对我们的研究不感兴趣。正如斯特罗茨（Strotz）[16]所述，当一个代理人足够老练，意识到他的“未来自我”将凌驾于他当前的计划之上（由于缺乏承诺），一个明智的反应是将他未来自我的行为作为一种解释，并选择最好的当下行动来应对。假设所有未来的自我都以同样的方式进行推理，代理会寻找一个（子博弈完美的）均衡策略，未来的自我没有动机偏离这个策略。虽然这种均衡策略在离散时间内有一个简单的定义（见下文定义5.1），但找到精确的连续时间公式一直是一个长期的挑战。Ekeland和Lazrak【5】首次采用导数型操作，严格定义了连续时间平衡。正如导言中提到的，这激发了对连续时间中时间不一致随机控制的研究。为了建立[5]意义上的平衡，我们引入，对于任何Q，Q′∈ Q和ε>0，时间ε时Q和Q′的组合，用Q表示εQ′。使用这种串联生成器意味着X的演化首先由区间[0，ε]上的Q控制，然后由Q′on（ε，∞).定义2.1。Q*∈ Q称为弱平衡，iflim infε↓0F（i，Q*) - F（i，QεQ*)ε≥ 0, Q∈ Q和i∈ S、 （2.7）定义2.1涉及一阶不等式。

这是在[5]中引入的，作为连续时间平衡的定义，随后是所有后续研究。尽管该公式很受欢迎，但在经济上可能并不完全合理。直觉上，我们希望从（2.7）中得到F（i，Q*) ≥ F（i，QεQ*) 对于所有（i，Q），ε>0足够小。然而，（2.7）并不能保证这一点。正如比约克、哈普科和穆尔戈奇[1，Remark3.5]所指出的那样，标准公式，如（2.7），并不完全符合平衡概念：当（2.7）等于时，不清楚Q*是最大点或平稳点。换句话说，对于某些Q∈ Q和i∈ S、 F（i，Q*) < F（i，QεQ*) 对于所有ε>0，但（2.7）中的限值仍然为零。然后，处于状态i的代理确实有动机改变：在一个很小的间隔[0，ε]内，遵循Q比坚持Q要好*. 因此，Q*不应视为平衡，但它包含在（2.7）中。这解释了定义2.1中的术语“弱平衡”。与此相反，温特提出了强平衡的新概念。定义2.2。Q*∈ Q称为强平衡，如果对于任何i∈ S和Q∈ 存在ε>0，使得f（i，Q*) ≥ F（i，Qε′Q*) 0 < ε′≤ ε. （2.8）备注2.2。定义2.2承认以下经济解释。如果（i，Q）违反（2.8），则存在{εn}n∈确保εn↓ 0和F（i，Q*) < F（i，QεnQ*) 适用于所有n∈ N、 因此，对于处于状态i的代理，偏离Q，在一个很小的间隔[0，εN]，N∈ N、 总比坚持Q好*. 当Q*是一个很强的平衡。研究弱平衡的标准概念与我们的强平衡的新概念之间的关系很有意义。可以立即进行一些观察。备注2.3。根据定义，强平衡也是弱平衡。