单调夏普比率与投资绩效的相关度量

观察如果一对（Z，c）满足φ（a，b）中的约束，则该对（Z，c）的c=c+b- b+E（a- a） ，Z=Z+a-a+（c- c） X，满足φ（a，b）中的构造。很明显，kZ-Zkp+| c-c |=O（ka-akp+| b-b |），这意味着φ（a，b）是连续的，所以强对偶是有界的。现在让我们来转换双重问题。很明显，如果E（uX）6=0，那么g（u，v）=-∞ （c以上最小化）。对于E（uX）=0的u，使用σp（X）的对偶表示，我们可以wr iteg（u，v）=infZ∈LpsupR公司∈RE（Z）（R+u- v） +v）如果E（uX）=0，其中R={R∈ Lq：E R=0，kRkq≤ 1} 是σpfromLemma 2的对偶集。观察集合R在弱-* 巴拿赫-阿洛格鲁定理的拓扑学。因此，通过极大极小定理（见定理12），su Preum和in-finum可以互换。那么很容易看到g（u，v）>-∞ 仅当存在R时∈ R使得R+u-v=0a。s、 ，在这种情况下，g（u，v）=v。因此，对偶问题可以写为：Sp（X）=supu∈Lqv公司∈R{v | u≥ 0 a.s.，E（uX）=0，v- u∈ R} =支持∈R{E（RX）| R≤ E（RX）a.s.}=支持∈Lq{E（RX）| R≤ E（RX）a.s.，E R=0，kRkq≤ 1} ，在第二个等式中，如果v-u=R∈ R、 然后，第二个约束意味着v=E（RX），因为假设E X=1。现在，通过将右侧的变量R改为R/E（RX），我们可以得到表示（5）。从（5）可以明显看出，对于p>1（Sp（X）），q=inf∈Lq{E | R | q | R≤ 1 a.s.，E R=0，E（RX）=1}。（6） 我们现在将考虑与此问题对偶的优化问题。用φ表示其最优值函数：Lq×R×R→R、 将优化变量R更改为1会更方便- R（显然不会改变φ的值），因此φ（a，b，c）=inf∈Lq{E | R- 1 | q | R≥ a a.s.，E R=1+b，E（RX）=c}。让我们证明φ在零处是连续的。用C表示（a、b、C） R的Lqtheset∈ LQ满足问题的约束条件。

这将足以表明，如果kakq，| b |，| c |足够小，那么对于任何R∈ C（0，0，0）存在∈ C（a，b，C）使得kR-eRkq公司≤ （kRkq+K）（kakq+|b |+|c |），反之亦然。这里K是一个固定常数。由于P（X<0）6=0，存在ξ∈ L∞从而ξ≥ 0 a.s.andE（ξX）=-1、如果R∈ C（0，0，0），则可以取所需的∈ 前者中的C（a，b，C）=（a+λR+λξ，如果E（aX）≥ 0，a+uR+u，如果E（aX）<0，其中非负常数λ，λ，u，u可以从约束条件中轻松找到∈ C（a，b，C），结果是λ，u=1+O（kakq+；b |+；C |）和λ，u=O（kakq+；b |+；C |）。如果R∈ C（a，b，C），然后taker=（λ（R- a+λξ），如果c≥ E（aX），u（R- a+u），如果c<E（aX），带λi，uimakingeR∈ C（0，0，0）。因此，强对偶性在（6）中成立，我们有sp（X）=supu∈Lq+v，w∈具有双目标函数g的Rg（u，v，w）（7）：Lq+×R×R→Rg（u、v、w）=参考∈LqE（| R | q+R（u+v+wX）- u- w） =-Eq-1qp | u+v+wX | p+u+w,其中，第二个不等式是通过选择R获得的，R使每个随机结果的期望下的表达式最小。观察任何固定v、w∈ R最佳u*= u*（7）中的（v，w）可以明确地找到：u*= （v+wX+q）-. 然后通过直接代数变换得到（3）。对于p=2，从（3）我们得到（S（X））=maxa，b∈Rnb公司-E（aX+b）+- 1很容易看出，仅在b以上最大化就足够了≥ 最大化b并引入变量c=-ab，我们得到了p=2的表示（4）。为了得到p=1的表示式（4），让我们再次考虑问题（5）。与（7）类似（唯一的条件是对我们e krkqin而不是e | R | q），我们可以得到S（X）=supu∈L∞+v、 w∈Rg（u，v，w），其中现在我们表示（u，v，w）=infR∈L∞{kRk∞+ E（R（u+v+wX）- u）- w} 。观察g（u，v，w）>-∞ 是在E | u+v+wX |处的th≤ 1： 否则Taker=c（I（u+v+wX≤ 0) -I（u+v+wX>0））并设c→ ∞.

在此条件下，我们得到g（u，v，w）=-E u- w自fromH¨older不等式| E（（α+v+wX）R）|≤ kRk公司∞在R=0 a.s.时获得数值之前，对偶问题变成（X）=- infu公司∈L∞v、 w∈R{E u+w | u≥ 0 a.s.，E | u+v+wX |≤ 1}. （8） 请注意，最大值的值为非正值，因此将w的值限制为R就足够了-只有让我们来确定v∈ R、 w∈ R-并找到最佳u*= u*（v，w）。显然，只要v+wX（ω）≥ 0，最好是takeu*(ω) = 0. 当v+wX（ω）<0时，我们应该有u*(ω) ≤ |v+wX（ω）|，所以u（ω）+v+wX（ω）≤ 0（否则，选择u*（ω） =| v+w X（ω）|会更好）。因此，对于最佳u*E | u*+ v+wX |=E | v+wX |- E u*.特别是，对于最佳的u*（8）中第二个约束条件中的不等式应满足为等式，否则可能会找到较小的u*. 观察如果E（v+wX）+>1，则无u∈ L∞满足问题约束的存在。另一方面，ifE（v+wX）+≤ 1那么至少存在一个这样的u。因此，问题（8）可以重写如下：-S（X）=infv∈R、 w∈R-{E | v+wX |+w- 1 | E（v+wX）+≤ 1}.显然，E | v*+ w*X |≤ 0表示最佳对（v*, w*), 因此，约束应满足为等式（否则，将v，w乘以1/E | v+wX）+，这将降低目标函数的值）。通过AsRightForward变换，我们得到1+S（X）=supv∈R、 w∈R-{v | E（v+wX）+=1}引入新变量c=w/v，我们得到表示（3）。2.3基本属性理论3。

对于任何p∈ [1, ∞), LPS中的单调形状比满足以下特性。（a） （准凹度）对于任何c∈ R、 集合{X∈ Lp：Sp（X）≥ c} isconvex。（b） （标度不变性）Sp（λX）=Sp（X），对于任何实λ>0。（c） （定律不变性）如果X和Y具有相同的分布，则Sp（X）=Sp（Y）。（d） （二阶单调性）如果X在二阶随机序列中支配Y，那么Sp（X）≥ Sp（Y）。（e） （连续性）Sp（X）在任意X上相对于Lp范数是连续的，e X>0，P（X<0）6=0。在证明这个定理之前，让我们简要地讨论一下投资组合选择问题上下文中的性质。准凹性意味着单调夏普比率有利于投资组合多样化：如果Sp（X）≥ c和Sp（Y）≥ c、 然后Sp（λX+（1-λ） Y）≥ C对于任何λ∈ [0，1]，此处为λX+（1- λ） Y可以是回报为X和Y的投资组合之间的差异。注意，拟凹性的性质弱于凹性；提供一个例子来说明单调夏普比不是凹的并不困难。标度不变性可以解释为利用投资组合无法改变单调锐度（与标准份额比率相同）。也就是说，假设X=Rx，其中Rx=hx，Ri是投资组合X的回报∈ Rn+1（如第2.1节所示），Pixi=1。考虑exi=λxi，i的平均投资组合ex≥ 1和ex=1-Pexi，即通过按比例缩放所有风险头寸从x获得的投资组合。然后很容易看到Rex=λRx，因此Sp（Rx）=Sp（Rex）。显然，定律不变性表明，我们能够在只知道收益分布的情况下评估性能。连续性属性的解释也很清楚。二阶单调性意味着SPI与风险厌恶型投资者的偏好一致。

回想一下，据说arandom变量X的分布在第二个随机顺序中支配着Y的分布，我们用X<Y表示，如果E U（X）≥ E U（Y）对于任何递增凹函数U，使得E U（X）和E U（Y）存在。这样的函数可以解释为效用函数，然后二阶随机优势意味着任何风险厌恶的投资者都倾向于X而不是Y。关于定理3中的性质，让我们也提到文献[11]，该文献通过一种公理化方法研究了绩效度量，类似于相干和凸风险度量的公理化方法。作者将性能度量（也称为可接受性指数）定义为满足某些特性的功能，然后研究这些公理的含义，并展示与一致风险度量的深层联系，并提供性能度量的示例。性能度量所满足的f ou raxiom的最小集由拟凹性、单调性、标度不变性和半连续性组成（以L∞, 正如文[11]只考虑了函数L∞). 特别是，单调夏普比满足了这些公理，因此为公理系统的性能度量提供了一个新的示例。它还满足了文中讨论的所有其他自然属性：定律不变性、套利一致性（Sp（X）=+∞ i ff X≥ 0 a.s.和P（X>0）6=0）以及预期一致性（如果e X<0，则Sp（X）=0，如果e X>0，则Sp（X）>0；该特性满足p>1）。定理3的证明。准凹性源于Lp–Sharpe比率p（X）=E Xσp（X）是准凹的。实际上，如果Sp（X）≥ c和Sp（Y）≥ c、 然后SP（λX+（1- λ） Y）≥λE X+（1- λ） E Yλσp（X）+（1- λ） σp（Y）≥ C对于任何λ∈ [0, 1].

自Spis起，fZ（X）=Sp（X）的最大值- Z） overZ公司∈ Lp+，保持准凹度。标度不变性很明显。由于期望和Lpdeviation是定律不变性的，为了证明Sp的定律不变性，足以证明Sp（X）定义中的s向上可以仅在Y上发生≤ X wh ich对于X生成的σ-代数是可测的，或者换句话说，对于R上的一些可测函数f，Y=f（X）。但这是因为如果对于任何Y≤ X一个considerseY=E（Y | X），theneY≤ 十、 E（eY）=E Y和σp（Y）≤ σp（Y），henceSp（eY）≥ Sp（Y）。为了证明二阶单调性，回想一下二阶随机优势的另一个特征如下：X4Xif，且仅当存在随机变量X′和Z（可在另一个概率空间中定义）时，Xd=X′，Xd=X′+Z和d E（Z | X′）≤ 0.假设X4X。根据定律不变性，在不损失一般性的情况下，我们可以假设X、X、Z定义在相同的概率空间上。那么对于任何Y≤ X取Y=E（Y | X）。很明显，Y≤ 十、 E Y=E Yandσp（Y）≤ σp（Y）。因此σp（X）≤ σp（X）。最后，Sp（X）的连续性来自于期望和Lp偏差一致连续。3受影响概率本文【15】引入了所谓的受影响概率，它被定义为条件风险值（相对于风险水平）的反函数。该论文和其他论文的作者（例如，[19]）认为，在与不良事件可能性最小化相关的随机优化问题中，与通常的概率相比，受影响的概率可以作为更好的概率标准。在本节中，我们表明，单调夏普比与衰减概率密切相关，尤其是在p=1，2的情况下。

特别是，这将提供单调份额比率和条件价值风险之间的联系。我们首先回顾了条件风险值，并将dits推广到空间Lp。然后，我们给出了模糊可能性的定义，这将推广[15，25]中的Lto任意Lp。3.1审查riskLet X的条件值是一个描述损失的随机变量。与前一节相反，现在大值是坏的，小值是好的（负值是有利的）。暂时，为了避免技术困难，假设Xhas是一个连续分布。用Q（X，λ）表示X，λ分布的第λ个分位数∈ [0，1]，即Q（X，λ）是一个数字X∈ R、 不一定是唯一定义的，例如P（X≤ x） =λ。分位数Q（X，λ）也称为λ级X的风险值（VAR），它表明在概率1的最坏情况下- λ、 损耗w至少为Q（X，λ）。这种解释使VAR成为一种风险度量（在这个术语的广义上），并被从业者广泛使用。然而，众所周知，VAR缺乏人们从风险度量中所期望的某些属性。最重要的缺点之一是它不能显示概率小于1时发生的情况- λ. 例如，损失100万美元且概率为1%和200万美元且概率为0.5%的投资策略与损失100万美元和1000万美元且概率相同的策略截然不同，但它们在99%的水平上具有相同的VAR。VAR的另一个缺点是它不是凸的，因此，它可能不利于风险的分散，从而导致风险的集中（高于1- λ级）。条件风险值（CVAR；也称为平均风险值，或预期差额，或超额）被视为VAR的改进。

回想一下，如果X∈ 土地具有连续分布，则风险水平λ下X的CVAR∈ [0，1]可以定义为能力1右尾的条件期望- λ、 即CVAR（X，λ）=e（X | X>Q（X，λ））（9）我们还将使用符号Q（X，λ）=CVAR（X，λ）来强调与分位数的联系。CVAR提供了一致性风险度量的基本（也是最常用的）示例。风险度量理论最初是在半论文[21]中介绍的，现在在金融应用中发挥着重要作用。我们不会讨论在优化问题中使用一致（和凸）风险度量的所有好处；例如，可以在Monograph（12）中找到对该理论主要结果的现代回顾。一些作者使用的VAR和CVAR定义与此处使用的定义略有不同：例如(- 十） 而不是X或1- λ代替λ等。Rockafellar和Uryasev【22】证明了CVAR通过优化问题Q（X，λ）=minc允许以下表示∈R1.- λE（X- c） ++c. （10） 实际上，该公式可以用作CVAR的一般定义，适用于X的任何分布，不一定是连续的。这种表示法的重要性在于，它提供了一种计算C VAR的有效方法，而在实际应用中，C VAR通常比使用f公式（9）快得多。当CVAR被用作凸优化问题（例如投资组合选择）的约束或最优性准则时，它也表现得“很好”。详情参见【22】。表示法（10）很容易说明如何将CVAR推广到X分布的右尾“增加权重”，这为空间Lp提供了一致的风险度量。定义。

对于X∈ Lp，确定标高λ处的Lp CVAR∈ [0，1）byQp（X，λ）=minc∈R1.- λk（X- c） +kp+c.例如，文献[26，27]对Lp CVAR进行了研究。特别是，在[26]中，有人认为，在某些投资组合选择问题中，较高的er值可以提供比标准CVAR（p=1）更好的结果。对于u s，由于与单调Sh arpe比率直接相关，情况p=1，2将是最有意义的，如下一节所示。众所周知，以下对偶表示适用于Lp CVAR，我们将在下面使用它：对于任何X∈ Lpandλ∈ [0，1）Qp（X，λ）=supE（RX）| R∈ Lq+，kRkq≤ (1 - λ)-1，E R=1, （11） 式中，通常p+q=1。这一结果在[27]中得到了证明。3.2受影响概率的定义及其表示考虑λ中与CVAR相反的函数，即随机变量x和x∈ 定义P（X，X）=λ，其中λ是指Q（X，λ）=X（在不连续点应注意一些，下面给出了正式定义）。在文献[13、15、25]中，p（X，X）被称为“缓冲”概率，即X>X；我们将在下面解释这个名称背后的基本原理。此时，从纯数学的角度来看，简单的函数求逆操作似乎不值得太多关注。但如果我们将应用程序考虑在内，情况就不是这样了。出于这个原因，在我们给出任何定义之前，让我们先讨论一下为什么研究g p（X，X）可能对应用程序有用。在许多实际优化问题中，可能需要考虑根据不良事件概率定义的约束，或使用这些概率作为优化标准。

例如，在损失超过100万美元的概率应小于1%的情况下，投资基金经理可能希望最大化其投资组合的预期回报；或者，如果结构核心部分的张力在其使用寿命内以很小的概率超过临界阈值，则工程师希望最小化结构的施工成本。不幸的是，概率与上文提到的风险价值有着相同的缺点：它不一定是凸的、连续的，也不能提供如果一个危险事件确实发生了，事情会如何发展的信息。由于这些原因，CVAR可能是一个更好的风险度量，它可以避免一些问题。例如，如果使用CVAR，上述投资者可以将其问题重新表述为预期回报的最大化，因为在最糟糕的1%的案例中，平均损失不超过100万美元。然而，这种问题的设置可能是不一致的，因为CVAR用分位数“说话”，但人们可能需要用概率来回答。例如，100万美元可能是该基金的流动资产价值，可以快速轻松地出售以弥补损失；因此，经理必须确保损失不超过该金额。但尚不清楚她如何获得CVAR提供的平均损失信息。类似的问题也出现在工程师的例子中。在【15】中，Rockafellar和Royset提出了这样一个想法，即VAR的倒数可能适用于此类情况：由于分位数和概率是相互倒数的，而CVAR是分位数的更好替代品，因此可以预期，C VAR的倒数，即受影响的概率，可以更好地替代概率。