单调夏普比率与投资绩效的相关度量

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英文标题：
《Monotone Sharpe ratios and related measures of investment performance》
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作者：
Mikhail Zhitlukhin
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We introduce a new measure of performance of investment strategies, the monotone Sharpe ratio. We study its properties, establish a connection with coherent risk measures, and obtain an efficient representation for using in applications.
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中文摘要：
我们引入了一种衡量投资策略绩效的新方法，即单调夏普比率。我们研究了它的性质，建立了与一致风险度量的联系，并获得了一个用于应用的有效表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：夏普比率 相关度 Applications Presentation Quantitative

投资绩效的单调夏普比及相关测度*我们引入了一种新的衡量投资策略绩效的方法，即单调夏普比率。我们研究了它的性质，建立了与一致风险测度的联系，并得到了一个有效的表示，可用于实际应用。1引言本文涉及投资策略绩效评估问题。从广义上讲，绩效是指表征策略回报率的数值量，因此投资者通常希望找到高绩效的策略。显然，最广为人知的业绩衡量指标是夏普比率，即未来回报预期与标准差的比率，由无风险利率或其他基准进行调整。威廉·夏普（WilliamF.Sharpe）在1966年的一篇论文[9]中介绍了它，在[28]中还可以看到更现代的外观。夏普比率基于马科维茨平均方差（Markowitz mean varianceparadigm）[8]，该比率假设投资者只需要关心平均资产收益率和收益率方差：为了找到给定预期收益的风险最小（与收益方差一致）的投资策略，我们只需要确定一个具有最佳夏普e比率的战略，并在该战略和无风险资产之间进行适当的多元化（见下文第2 b节的简要回顾）。尽管马科维茨投资组合理论很简单，但从今天的经济科学来看，它是数学金融领域的一个重大突破。即使在65年后的今天，分析师仍会定期计算投资组合的夏普比率，并使用它和其他工具来评估业绩。在本论文中，我们以一种新的方式看待这一理论，并与更近期的发展建立联系。

主要部分*俄罗斯科学院斯特克洛夫数学研究所，8 Gubkina st.，莫斯科，俄罗斯。电子邮件：mikhailzh@mi-ras公司。俄罗斯。该研究得到了俄罗斯科学基金会项目18-71-10097的支持。这篇论文的材料来源于一个众所周知的观察结果，即方差与风险不完全相同：粗略地说，我们必须区分“高于平均值的方差”（这是好的）和“低于平均值的方差”（这是坏的）。特别是，夏普比率缺乏单调性，即可能存在一种投资策略，其收益率总是高于另一种策略，但夏普比率较小。这项工作的出发点是研究夏普比率的修正，这使得夏普比率单调。【14，16】中给出了一些初步结果。结果表明，修正后的夏普比率具有有趣的特性，并且与风险度量理论紧密相关。对它们的研究是本文的主题。我们所考虑的夏普e比率（我们称之为单音夏普比率）的修正被定义为所有概率分布的夏普比率的最大值，这些概率分布主要由一些给定投资策略的回报分布决定。在本文中，我们仅使用事前性能测量，即假设回报的概率分布已知n或可以建模，并且需要评估其性能；我们忽略了如何构建适当的模型并根据数据对其进行校准的问题。我们开发的理论侧重于两个方面：一方面，将新的性能度量放在现代理论基础上，另一方面，考虑到应用中出现的问题，如计算速度快和数值结果性能好。

关于前一方面，我们可以提到Cherny和Madan[11]的论文，他们用公理化的方法研究了性能度量。他们提出的绩效指标抽象理论与收益和一致风险指标理论密切相关，这是过去二十年数学金融领域的重大突破。我们表明，单调夏普比满足这些公理，这使得风险度量理论的结果可以通过Cherny和Madan的框架应用于此。此外，我们还与最近开发的对象建立了联系，即所谓的“有效概率”，由R ockafellar和Royset在【15】中首次引入，现在在涉及不确定性优化的应用中越来越流行。粗略地说，它们是涉及不良事件概率的优化标准的“好”替代品，并导致优化问题的解决方案，与使用标准概率时相比，这些优化问题具有更好的数学特性。我们的结果的主要含义之一是，具有单调Sharperatio的投资组合选择问题等价于最小化损失概率。针对上述第二个方面，我们的主要结果是将单调夏普比表示为某些对流优化问题的解，这提供了一种计算效率高的方法来评估它。在关于凸优化的文献中，以这种方式表示各种泛函是众所周知的。例如，在金融领域，我们可以提到Rockafellar和Uryasev[22]关于条件风险值表示的著名结果。

这篇论文还很好地解释了为什么这样的表示在应用程序中很有用（下面我们也简要介绍一下）。我们的表述在动态交易中夏普比率最大化的随机控制问题中也很有用。这些问题在文献中被称为随机控制问题的例子，其中Bellman最优性原则不能直接应用。通过我们的理论，与文献中已知的结果相比，我们能够以更短、更简单的方式找到最佳策略。最后，我们想提及的是，在文献中已经研究了大量的绩效指标。例如，见论文【10、17、18】提供了100多个例子，涉及投资策略质量评估的各个方面。我们认为，由于理论上的广泛性和应用的便利性，单音夏普比对该领域做出了有价值的贡献。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了m on-otone-Sharpe比率，并研究了它的基本性质，使其成为一种合理的性能度量。在那里，我们还得到了一个中心结果，即凸优化问题的解。在第3节中，我们概括了受抑制概率的概念，并与单调夏普比率建立了联系，并说明了它如何用于投资组合选择问题。第4节包含对d y纳米问题的应用。2单调夏普比率2.1简介：马科维茨投资组合优化和夏普比率考虑了一个单期市场模型，当投资者想要在n+1资产之间分配初始资本时：在e无风险资产和n风险资产上。假设风险资产收益率为r n Ri，i=1。

，n，这样，在资产i中“今天”投资的1美元变成了“明天”投资的1美元（1+Ri）；收益率是具有已知分布的随机变量，因此Ri>-1，概率为1（无破产发生）。无风险资产集的回报率是恒定的，R=R>-1、我们总是假设Riare kn的概率分布是已知的，例如，我们没有考虑如何根据过去的数据进行估计的问题。换言之，wealways采用事前绩效措施（见[28]）。投资者的投资组合由向量x确定∈Rn+1，其中xi是投资于资产i的初始资本的比例。特别是，Pixi=1。一些coor-dinates可能为负值，被解释为卖空（i=1，…，n）或贷款（i=0）。很容易看出，投资组合的总回报率为Rx=hx，Ri=PixiRi。Markowitz模型规定投资者应按照以下方式选择最佳投资组合：她应决定自己想要实现的预期回报率，然后找到使回报Var Rx方差最小化的投资组合x。这导致了二次优化问题：最小化Var Rxover x∈ Rn+1受E Rx=uPixi=1影响。（1） 在Ri联合分布的温和条件下，存在唯一解x*, 它可以很容易地用协方差矩阵和Ri的预期收益向量来明确地编写（该公式可以在任何关于该主题的教科书中找到，例如，参见[23]中的第2.4章）。结果是（σx*, ux*), 其中σx*=√Var Rx*, ux*= E接收*对应所有可能预期回报的最佳投资组合u∈[r，∞), 位于平面（σ，u）的直线上，称为有效边界。这是投资者应该从中选择的一组投资组合——任何低于这条线的投资组合都不如一些有效的投资组合（即。

具有相同的预期回报，但方差较大），且没有任何投资组合高于有效边界。有效前沿的斜率等于任何包含非零风险资产的有效投资组合的夏普比率（那些投资组合具有相同的夏普比率）。回想一下，夏普回报率R定义为无风险利率调整的预期回报与标准偏差（R）=E（R）的比率- r）√Var R。特别是，为了解决问题（1），找到一些有效的投资组合^x就足够了，然后任何其他有效的投资组合都可以通过无风险投资组合x=（1，0，…，0）和^x的组合来构建，即x*= (1 - λ） x+λ^x，其中λ∈ [0, +∞) 选择以满足E Rx*= u ≥ r、 这就是共同基金定理的基本表述。因此，夏普比率可以被视为衡量投资组合绩效的指标，投资者有兴趣找到绩效最高的投资组合。实际上，广义市场指数可以被视为非常接近有效投资组合。本文材料的主要部分来源于夏普比率并非唯一的观察结果：对于两个随机变量X，Y，它们的质量X≤ Y a.s.并不意味着它们的比率之间存在相同的不平等，即s（X）≤ S（Y）。这里有一个例子：设X具有正态分布，平均值为1，方差为1，Y=X∧ 1.显然，S（X）=1，但可以计算S（Y）>1。从投资组合选择问题的角度来看，这一事实意味着有可能通过提供部分回报（或消费回报）来提高收益率。这与效率的常识解释不符。

因此，有人可能想寻找一个替代的Shar-pe比率，这将不会有这样一个非自然属性。在本文中，我们将使用以下简单的想法：如果有可能通过处置部分回报来提高夏普比率，那么让我们将新的绩效衡量定义为通过这种处置可以实现的最大夏普比率。即，定义新的功能BY（X）=supC≥0秒（X-C） 其中，支持是所有非负随机变量C（以与X相同的概率s速度定义），代表处置收益。在本节的其余部分，我们将研究此类泛函以及它们如何用于投资组合选择问题。我们将在更一般的环境下工作，不仅要考虑预期收益率与标准收益率偏差的比率，还要考虑Lp中的预期收益率与偏差的比率。下面将给出相应的定义。2.2单调夏普比率的定义及其表示在本节中，除非另有说明，否则我们将随机变量视为某些投资策略的回报。也就是说，大值是好的，小值是坏的。在不丧失一般性的情况下，我们假设无风险利率为零，否则可以用X替换回报X- r、 所有结果都是有效的。首先，我们给出了Lp中偏差度量的定义，p∈ [1, ∞),这将用于夏普比率的分母，而不是标准偏差（后者是p=2的特殊情况）。以下各处，k·kp表示Lp中的标准值，即kXkp=（e | X | p）p.definition。我们定义了随机变量X的Lp偏差∈ Lpasσp（X）=最小值∈RkX公司- ckp。在p=2的特殊情况下，众所周知，σ（X）是标准偏差，最小值是c*= E X.对于p=1，最小值c*=med（X），X分布的中值，因此σ（X）是与中值的绝对偏差。

可以使用其他偏差度量来确定单调夏普比，例如kX- E Xkp，但上述定义似乎对我们的目的最为方便。观察σ明显满足以下特性，稍后将使用：（a）它是次线性的；（b） 它在Lp上是一致连续的；（c） σp（X）=0当且仅当X是常数a.s。；（d） 对于任意σ-代数G F、 其中F是X的基本概率空间上的原始σ-代数，我们有σp（E（X | G））≤ σp（X）；（e） 如果X和Y具有相同的d分布，则σp（X）=σp（Y）。定义。随机变量X的Lpof中的单调Sharpe比∈ LPI由P（X）=supY定义≤XE Yσp（Y），（2）其中上确界为全Y∈ LPY使Y≤ X=0a时为X a.s。s、 我们通过定义Sp（0）=0进行设置。很容易看出，如果p>1，则Sp（X）取[0，∞].确实，如果E X≤ 0，则Sp（X）=0，因为可以取Y≤ X具有任意大的Lp偏差，保持E Y边界。另一方面，ifX≥ 0 a.s.和P（X>0）6=0，然后Sp（X）=+∞ 可以考虑ε=εI（X≥ ε） 带ε→ 0，其中E Yε/σp（Yε）→ ∞.因此，当E X>0且P（X<0）6=0时，将是最主要的情况；然后0<Sp（X）<∞. 对于这种情况，以下定理为Spas提供了一些凸优化问题的解。定理1。假设X∈ L和E（X）>0，P（X<0）6=0。然后，单调夏普比的下列表示是有效的。1） 对于p∈ (1, ∞) q等于p+q=1：（Sp（X））q=maxa，b∈Rnb公司- Eq-1qp（aX+b）+- qp+（aX+b）+o、 （3）2）对于p=1，2:1+（Sp（X，r）），p=最小值∈RE（1- cX）p+。（4） 该定理的主要观点是，它允许将计算随机变量集上的Spas上确界的问题导出为具有一个或两个实参数和凸目标函数的优化问题。

后一个问题比前一个问题容易得多，因为存在有效的数值凸优化算法。这为计算Sp（X）提供了一种方便的方法（虽然只是数值计算，但与标准夏普比不同）。我们还将看到，这种表示对于建立关于Sp的一些理论结果是有用的。为了证明，我们需要下面的辅助引理。引理2。假设X∈ Lp，p∈ [1, ∞), q等于p+q=1。那么σp（X）=m ax{E（RX）| R∈ Lq，E R=0，kRkq≤ 1}.证据前提σp（X）=kX-c*kp。根据H¨older不等式，对于任何R∈ LQ，E R=0，kRkq≤ 1我们有E（RX）=E（R（X- c*)) ≤ kRkq·kX- c*kp公司≤ kX公司- c*kp。另一方面，这两个不等式变成了r的等式*=sgn（X- c*) · |十、- c*|p-1倍- c*kp公司-1和R*满足上述约束条件。定理1的证明。在不丧失一般性的情况下，假设E X=1。首先，我们将通过以下优化问题来表示sps：Sp（X）=inf∈Lq{kRkq | R≤ 1 a.s.，E R=0，E（RX）=1}。（5） 在（2）中，引入n个新变量：c=（E Y）-1.∈ R和Z=cY∈ 有限合伙人。然后SP（X）=infZ∈Lpc公司∈R{σp（Z）| Z≤ cX，E Z=1}。考虑RHS中优化问题的对偶（参见附录，了解优化中对偶方法的简要概述）。定义双目标函数g：Lq+×R→ R byg（u，v）=infZ∈Lpc公司∈R{σp（Z）+E（u（Z- cX））- v（E Z- 1)}.对偶问题包括在所有u上最大化g（u，v）∈ Lq+，v∈ R、 我们想证明发生了强对偶，即主问题和对偶问题的值相等：Sp（X）=supu∈Lq+v∈Rg（u，v）。为了验证定理11中强对偶的充分条件，引入最优值函数φ：Lp×R→ [-∞, ∞)φ（a，b）=infZ∈Lpc公司∈R{σp（Z）| Z- cX公司≤ a、 E Z- 1=b}（显然，（Sp（X））-1= φ(0, 0)).