单调夏普比率与投资绩效的相关度量

初始资本为负值，因为可以构建套利机会。Bu t然后资本流程ext=Xut-Y的夏普比比Y高，因此单音夏普比Xu高*T、 矛盾。这证明了推论的第一个目标，第二个显然是从中衍生出来的。4.4问题2的解决方案我们假设x≥ 1, u ∈ R、 σ>0，p>1始终固定，并使用以下辅助符号：γ=2μσ，C（b）=b1+xb-x（1- b1级-γ） p-1.- x个-1对于b∈ [x，∞).定理9。最佳销售时间τ*问题（18）如下。1、如果u≤ 0，然后τ*可以是任意马尔科夫时间：Pp（x- 对于任何τ，Sτ，0）=1∈ M、 2。如果u≥σ、 然后以概率1拉伸任意水平x′>x，并且任何形式为τ的停止时间*= inf{t≥ 0:St=x′}是最佳值。3、如果0<u<σ，则最佳停止时间i sτ*= inf{t≥ 0：St≥ b*},其中b*∈ [x，∞) 是函数f（b）=（（1+C（b）（x）的最小点- b） ）pbγ-1+（1+C（b）x）p（1- bγ-1） ，b∈ [x，∞),我们设置τ*= +∞ 关于所有t的随机事件{St<b≥ 0}.观察如果0<u<σ，即γ∈ （0，1），则函数f（b）在[x]上达到其最小值，∞ ), 因为它与极限值SF（x）=f连续(∞) = 1.证明。从Ppwe haveVp=infc的表示≥0infτ∈ME |（1+c（x- Sτ））+| p.Let Yct=1+c（x- Sτ）。观察如果u≤ 0，则Yctis a submartingalefor any c≥ 0，Jensen不等式|（Yt）+）也是一个子鞅。因此对于任何τ∈ 我们有E |（1+c（x- Sτ））+| p≥ 1，然后v=1。如果u≥σ、 然后根据显式表示，St=exp（σWt+（u-σ） t）可以看到拉伸任何水平x′≥ 概率为1的1 w（正如具有非负漂移的布朗运动一样）。

对于任何x′>x，我们有Pp（x- Sτx′，0）=0，其中τx′是到达x′的第一时刻。在u的情况下∈ （0，σ），对于任何c≥ 0，考虑最优停止问题v2，c=infτ∈ME |（1+c（x- Sτ））+| p。这是一个马尔可夫过程的最优停止问题。根据一般理论（见例[7]），众所周知，这里的最优停止时间是阈值类型：τ*c=inf{t≥ 0：St≥ bc}，其中bc∈ [x，x+c]是必须找到的最佳水平。然后是Sτ的分布*顺式：它假设只有两个值bc和0，概率为pcand 1-pc，其中pc=bγ-1可以很容易地从带漂移的布朗运动的有界y交叉概率的一般公式中找到。因此，Vp=infb≥xinfc公司≤（b）-x）（1+c（x- b） ）pbγ-1+（1+cx）p（1- bγ-1).对于任何b≥ x最佳c*（b） 由C提供*（b） =C（b），这证明了定理的主张。推论10。假设u∈ （0，σ）和p=2。Letτ*表示定理9中的最佳停车时间。然后Sτ的标准夏普比*-x等于其单调夏普比S（Sτ*-x） =S（Sτ*-x） 。尤其是τ*同时最大化Sτ的标准夏普比- x、 即：。S（Sτ- x）≤S（Sτ*- x） 对于任意τ∈ M、 此外，在这种情况下，最佳阈值b*可以找到函数g（b）=bγ的最大点- xbγ+1（1- bγ-1).证据反对者Y≤ Sτ*- x、 如上所示，只考虑相对于随机变量Sτ生成的σ-代数可测量的Y就足够了*. 自Sτ*有一个二项分布，那么Y也应该有一个二项分布，假设值为Y≤ b*-x和y≤ -x具有相同的概率（b*)γ-1和1-（b）*)γ-1as Sτ*假定值b*和0。

利用这一点，现在不难看出S（Y）≤ S（Sτ*- x） ，这证明了第一种说法。第二种说法来自于τb={t形式的任何停止时间≥ 0：St=b}，b∈ [x，∞) 我们有S（Sτb- x） =g（b）。附录这个附录只是提醒了本文中使用的凸优化和相关结果中的一些事实。A、 1.优化中的对偶设Z是拓扑向量空间，f（Z）是Z上的实值函数。考虑优化问题使Z上的f（Z）最小化∈ Z、 （21）分析此类优化问题的有力方法是不考虑其对偶问题。为了表述它，假设对于所有z，f（z）可以以f（z）=f（z，0）的形式表示∈ Z、 式中F（Z，a）：Z×a→R是一个函数，A是另一个拓扑向量空间（F的方便选择和A的重要角色）。让A*表示A的拓扑对偶。定义拉格朗日L:Z×A*→R与双目标函数g:A*→ R byL（z，u）=infa∈A{F（z，A）+ha，ui}，g（u）=infz∈ZL（z，u）。然后将对偶问题转化为u上g（u）最大化的优化问题∈ A.*.如果我们分别用VP和Vd表示原问题和对偶问题的最优值（即分别为f（z）的内界和g（u）的上界），那么很容易看到VP≥ VDalways（始终）。我们通常对强对偶出现的情况感兴趣，即VP=VD，或者明确地说，minz∈Zf（z）=最大值∈A.*g（u）。（22）引入最优值functionφ（a）=infz∈ZF（z，a）。以下定理为强对偶性（22）提供了一个充分条件（见[1]中的定理7）。定理11。假设F在（z，a）中是凸的，且φ（0）=lim infa→0φ（a）。然后（22）保持不变。让我们考虑问题（21）的一个特殊情况，其中包括等式和不等式形式的约束。

假设对于某些p，Z=lp∈ [1, ∞) 和两个功能hi:Lp→ 给出了Lri（Rni），i=1，2（空间lp和Lri不一定定义在相同的概率空间上）。考虑问题最小化f（z）除以z∈ LPG受g（z）约束≤ 0 a.s.h（z）=0 a.s。通过定义f（z，a）=（f（z），如果g（z），可以将此问题表示为上述抽象设置的特殊情况≤ aand h（z）=aa。s、 ，则+∞, 否则该问题的拉格朗日isL（z，u，u）=infa，aF（z，a，a）+ha，ui+ha，ui=（f（z）+hg（z），ui+hh（z），ui，如果u≥ 0 a.s。，-∞, 否则，我们表示ha，ui=E（Piaiui）。所以双目标函数g（u，v）=infz∈Lp{f（z）+hg（z），ui+hh（z），vi}表示u≥ 0 a.s.，对偶优化问题最大化g（u，v）over u∈ Lr′，v∈ Lw′受u约束≥ 强对偶等式：minz{f（z）| g（z）≤ 0，h（z）=0}=最大值，v{g（u，v）| u≥ 0}A.2极大极小定理定理12（Sion的极大极小定理，推论3.3 in[6]）。假设X，是凸空间，其中一个是紧的，f（X，y）是X×y上的函数，因此X 7→ f（x，y）是准凹的，对于每个fixedy和y 7都是u.s.c→ f（x，y）是准凸的，对于每个固定的x，都是l.s.c.。然后是SUPX∈Xinfy公司∈Yf（x，y）=infy∈Ysupx公司∈Xf（x，y）。参考文献【1】R.T.Rockafellar。共轭对偶与优化，第16卷。暹罗，1974年。[2] X.Cui、D.Li、S.Wang和S.Zhu。优于动态均值方差：时间不一致性和自由现金流。MathematicalFinance，22（2）：346–3782012。[3] J.L.Pedersen和G.Peskir。最优均值-方差组合选择。数学与金融经济学，11（2）：137–1602017。[4] J.L.Pedersen和G.Peskir。最优均值-方差销售策略。数学与金融经济学，10（2）：203–2202016。[5] D.Li和W.-L.Ng。最优动态投资组合选择：多周期均值-方差公式。《数学金融》，10（3）：387–4062000。[6] M.锡安。

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