单调夏普比率与投资绩效的相关度量

在这里，我们遵循这个想法。注意，在理论上，可以将CVAR作为λ中的函数进行反演，但在实践中，计算难度可能是一个严重的问题：即使对于一个固定的风险水平λ，计算复杂系统的CVAR也可能需要太多的时间，因此反演需要对多个λ进行这样的计算，可能不可行（在复杂的工程或金融模型中经常如此）。因此，我们希望能够直接处理各种可能性，并有一种有效的方法来计算它们。我们将看到，下面给出的表示结果不仅仅是一种有效的计算方法。特别是，在第2节中，它将显示与单调夏普比的联系，这一结果并不明显。需要以下简单引理来证明可以转换CVAR。引理4。对于X∈ Lp，p∈ [1, ∞), 函数f（λ）=λ定义的Qp（X，λ）∈ [0，1）具有以下性质：1.f（0）=E X；2.f（λ）连续且不递减；3.f（λ）在集合{λ：f（λ）<ess sup X}上严格递增；4.如果P：=P（X=ess sup X）>0，则f（λ）=ess sup X表示λ∈ [1-P1/p，1）。证据第一个属性显然遵循双重表示，第二个属性可以很容易地从定义中获得。为了证明第三个性质，观察到如果Qp（X，λ）<ess sup X，那么定义中的最小值在一些c*< ess sup X.So，对于任何λ′<λ，我们有qp（X，λ′）≤1.-λ′k（X-c*)+kp+c*< Qp（X，λ），使用该k（X-c*)+kp>0。最后，如果P>0，尤其是ess sup X<∞, 然后Qp（X，λ）≤ 任意λ的ess sup X∈ [0，1），定义为一个悬臂c=ess sup X。另一方面，对于λ=1- 我们有R=P-1I（X=ess sup X）满足双重表示中的约束，E（RX）=ess sup X。

因此Q（X，λ）=ess sup X，然后Qp（X，λ）=ess sup X f或任何λ≥ λ的单调性。定义。对于X∈ Lp，p∈ [1, ∞), 和x∈ R、 setPp（X，X）=0，如果x>ess sup x，（P（x=sup x））P，如果x=ess sup x，1- Q-1p（X，X），如果E X<X<ess sup X，1，如果X≤ E X.本定义中的“主要”情况是第三种情况。特别是，我们可以看到，对于f或随机变量X，其分布具有无界支撑，第一种和第二种情况没有实现。图1示意性地显示了分位数函数、theCVAR、概率分布函数和衰减概率之间的关系。特别是，很容易看出，总是Pp（X，X）≥ P（X>X）。根据【15】的术语，这两个数量之间的差异是“安全缓冲”，因此被称为缓冲概率。定理5。对于任何X∈ LpPp（X，X）=最小值≥0k（c（X- x） +1）+kp。（12） 证明。对于p=1的情况，这一结果在[25]中得到了证明。在这里，我们遵循相同的想法，但对于一般p∈ [1, ∞). 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设x=0，否则考虑x-x ins代替x.Q（x，λ）λxλ=1Q（x，λ）E Xess sup xλxλ=1P（x，x）P（x>x）E x ess sup x“buffer”图1：左：分位数和分布函数。右：互补概率分布函数和衰减概率P（X，X）。在此示例中，ess sup X<∞, 但是P（X=ess sup X）=0，所以P（X，X）在任何地方都是连续的。情况1：E X<0，ess sup X>0。通过引理4和Qpwe havePp（X，0）=min{λ的定义∈ （0，1）| Qp（X，1- λ） =0}=最小λ∈（0,1）{λ| minc∈R（λk（（X+c）+kp- c） =0}=最小λ∈（0,1）c∈R{λ| k（X+c）+kp=λc}。注意，此处的最小值只能在c>0时计算（从c开始≤ 0约束明显不满足）。然后将约束中等式的两部分除以c，我们得到pp（X，0）=minc>0k（c-1X+1）+kp，明显等于（12）。案例2：E X≥ 0

我们需要证明minc≥0k（cX+1）+kp=1。这显然与任何c≥ 0我们有minc≥0k（cX+1）+kp≥minc公司≥0E（cX+1）=1。情况3：ess sup X=0。现在k（cX+1）+kp≥ P（X=0）1/P对于任何c≥ 0，而k（cX+1）+kp→ P（X=0）1/pas c→ +∞. 因此minc≥0k（cX+1）+kp=P（X=0）1/pas索赔。情况4：ess sup X<0。类似地，k（cX+1）+kp→ 0作为c→ +∞.从公式（12）中，我们可以很容易地看到单调夏普比和p=1的受抑制概率之间的联系，2:对于任何X∈ Lp1+（Sp（X））p=（Pp(-十、 特别是，如果X是一个投资组合的回报，那么一个想要最大化投资组合回报率的单调夏普比率的投资组合选择问题就相当于最小化(-十） 超过0，即损失概率降低。这是经典投资组合理论和风险评估现代发展之间的一个很好的（有些出乎意料）联系！人们可能会问这样一个问题：对于p的其他值，p和p之间是否存在类似的关系。不幸的是，一般来说，似乎没有简单的公式将它们联系起来。可以表明，它们可以表示为以下优化问题：Sp（X）=minR∈Lq+{kR- 1kq | E R=1，E（RX）=1}，Pp（X，0）=最小∈Lq+{kRkq | E R=1，E（RX）=1}，它们具有相同的约束集，但目标函数不同。这里的第一个公式很容易遵循（5），第二个公式可以通过CVAR（11）的双重表示得到。3.3性质在本节中，我们研究了Pp（X，X）在X和X中的一些基本性质，并讨论了它在投资组合选择问题中的应用。本节的一个要点是，与单调夏普比率类似，可以使用衰减概率（损失）作为优化标准（在SP 6=1的情况下，由于s的表示更简单，2更方便）。定理6。

假设X∈ Lp，x∈ R和p∈ [1, ∞). 那么Pp（X，X）具有以下性质。1、函数x 7→ Pp（X，X）在[E X，ess sup（X）]上连续且严格递减，在整个R.2上不递增→ Pp（X，X）是拟凸的、变律的、二阶单调的、关于Lp范数的连续的、关于混合分布的凹的。3、功能p 7→ Pp（X，X）在p中是非衰减的。对于p=1，类似结果可在[25]中找到；p屋顶也很相似（除了3号支柱，但它显然遵循Lyapunovinequality），因此我们这里不提供它们。关于第二个性质注记th，尽管Pp（X，X）是准凸X，但它在X中不是凸的，如下面的简单示例所示：considerX≡ 2和Y≡ -1.然后P（（X+Y）/2，0）=1 6≤=P（X，0）+P（Y，0）。还记得，由分布函数F（x）和F（x）指定的R上两个分布的混合定义为分布F（x）=λF（x）+（1-λ） F（x）对于任何固定λ∈ [0, 1]. 我们写Xd=λX⊕(1-λ） Xif r的分布，dom变量X是X和X的分布的混合。如果ξ是随机变量，取值1，2，概率λ，1- λ与X无关，X，那么Xd=Xξ。对于分布混合物，Pp（x，x）的凹度意味着Pp（x，x）≥λPp（X，X）+（1- λ） Pp（X，X）。现在，让我们更详细地了解如何用Pp来描述一个简单的投资组合选择问题。假设设置与第2.1节相同：R isa（n+1）-资产回报的维度向量，第一项资产在回报率R下无风险，而其他n项资产在P中有随机回报。设Rx=hx，Ri表示投资组合x的回报∈ Rn+1，δ>0为固定数，要求的预期回报溢价。

考虑以下优化问题：最小化Pp（r- Rx，0）大于x∈ Rn+1受制于E（Rx- r） =δ，Pixi=1。（13） 换言之，投资者希望最小化其投资组合的回报率低于无风险回报率的可能性，但受预期回报的约束。表示调整后的风险回报率的向量R=（R- r注册护士- r） ，投资组合的风险部分x=（x，…，xn）。使用Pp的表示，问题变得最小化E（1- hx，Ri）p+overx∈ RN根据E hx，Ri≥ 0。（14）如果我们找到解决方案X*对于这个问题，那么p问题（13）中的最优投资组合可以如下所示：x*i=δx*iE hx*, Ri，i=1，n、 x个*= 1.-nPi=1x*i、 此外，观察约束E hx，Ri≥ 可以在（14）中删除0，因为在ifE hx，Ri<0的情况下，目标函数的值不小于1，wh ich不是最优的。因此，（14）成为一个不受约束的问题。4动态问题本节说明了当投资者可以在市场上持续交易时，如何利用发展的理论为动态投资组合选择问题提供新的优雅解决方案。我们得到的结果并不完全是新的，但它们的证明比文献中的要短得多，也更简单。4.1连续时间市场模型和两个投资问题假设有两种资产在市场上交易：价格为Bt的无风险资产和价格为t的风险资产∈ [0, ∞). 时光流逝。在不丧失一般性的情况下，我们假设Bt≡ 1、风险资产的价格由几何布朗运动建模，具有恒定的裂谷u和波动率σ，即St=SexpσWt+u -σt, t型≥ 0，其中WT是布朗运动（维纳过程）。在不丧失一般性的情况下，S=1。

众所周知，该过程是随机微分方程（SDE）dSt=St（udt+σdWt）的唯一强解。在这个市场模型中，我们考虑以下两个选择最优投资策略的问题。问题1。假设一个交易者可以在一个时间范围内（0，T）动态管理她的投资组合。交易策略由标量控制过程ut确定，该控制过程ut等于投资于风险资产的金额时间t。投资于无风险资产的金额vt。投资组合的价值Xut=ut+vt，起始值Xu=xsatis受控的SDEdXut=ut（udt+σdWt），Xu=x。（15）这个方程是众所周知的，它表达了交易策略是自我融资的假设，即没有外部资本流入或流出。请注意，vt未出现在方程式中，因为它可以在vt=Xut时进行非均匀恢复- 美国犹他州。为了正确定义Xu，我们假设UTI对于WT和ERTutdt生成的过滤是可预测的<∞ . 我们还将强加以下温和的技术假设：E expσpZTut（1- Xut）dt< ∞. （16） 满足这些假设的所有过程的类别将用U表示。事实上，可以证明（16）可以删除，而不改变下面所列问题中的最优策略类别，但为了保持表示简单，我们将要求它保持不变。问题在于最大限度地减少时间T之前的损失概率。因此，交易者的目标是用一些固定的p来解决以下控制问题∈ (1, ∞):V=infu∈UPp（x- XuT，0）。（17） 对于p=2，这个p问题等价于单音夏普比Sp（XuT）的最大化问题- x） 。此外，我们还将证明，在标准夏普比S（XuT）的最大化问题中也得到了相同的解- x） 。

注：我们不考虑p=1的情况。从（15）和（17）可以清楚地看出，在不丧失一般性的情况下，我们可以（并且将）假设x=0。同样清楚的是，问题（17）并没有唯一的解决方案：如果某个u*最小化Pp（x- XuT，0）那么anyut=cu也是如此*t常数c>0。因此，如果想要有一个唯一的解决方案，必须引入额外的约束，例如对预期回报的约束，如E XuT=x+δ。这类似于第2.1节中讨论的标准马科维茨投资组合选择问题。问题2。假设在时间t=0时，交易者持有一个单位的风险集合，起始价格S=1，并希望卖出它比某个目标价格x更好≥ 1、资产是不可分割的（如房屋），只能一次性出售。销售策略由过程St的马尔可夫时间确定。回想一下，一个随机变量τ的值为[0，∞] 如果随机事件{τ≤ t} 在σ-代数σ（Sr；r）中≤ t） 对于anyt≥ 停止时间的概念反映了这样一种观点，即在交易人决定出售资产时，不能使用未来价格的任何信息。随机事件{τ=∞} 当资产从未出售，我们将∞:= 0。我们将看到，我们在下面公式化的问题中的最优策略不会以正概率表示资产。设M我们表示过程St的所有马尔可夫时间的类。我们考虑以下p的最优停止问题∈ (1, ∞):V=infτ∈MPp（x- Sτ，0），（18），即销售低于目标价格x的受影响概率的最小值。

与问题1类似，在p=2的情况下，将证明该问题等价于单调夏普比（Sτ）的最大化- x） 最优策略也使标准清晰度最大化。4.2一篇简短的文献回顾。此外，关于这两个问题，最有趣的是，从扩散过程和布朗运动的随机控制理论的角度来看，这两个问题“不标准”。也就是说，它们不会直接归结为某些偏微分方程的解，而对于“标准”问题，可以通过Hamilton–Jacobi–Bellman方程求解。在问题1和问题2（以及标准Sharperatio最大化的相关问题）中，无法写出HJB方程，因为目标函数不在受控过程某些函数的期望值m中，即不在e F（Xur；r≤ T）或E F（Sr；r≤ τ). 因此，需要另一种方法来解决这些问题。文献中有几位作者研究了标准夏普比最大化的动态问题以及均值-方差最优准则的相关问题。我们只是简单地提到了其中的几个。理查德森（Richardson）[24]可能是第一个在均值-方差标准下解决动态投资组合选择问题的人（也可以提到怀特（White）[20]的早期论文）；他使用了“鞅”方法。Li andNg[5]研究了一个多资产均值-方差选择问题，他们通过标准设置中的辅助控制问题来解决该问题。Pedersen和Peskir在最近的论文中也使用了类似的方法[3，4]。第一篇论文为最优销售问题（类似于我们的问题2）提供了解决方案，第二篇论文解决了投资组合选择问题（我们的问题1）。

文献中还有其他结果，Pedersen和Peskir的上述论文以及文献[2]中都有全面的概述。值得一提的是，大量的论文研究了所谓的均值-方差和相似性准则的时间不一致性问题，这意味着在时间t>t时，遵循策略不是最优的，而在时间t是最优的。这种矛盾在Markov过程的标准控制问题中不会发生，可以应用Bellman原理，但这对于非标准问题非常典型。有几种方法可以重新定义考虑时间不一致性的非最优策略的概念：例如，参见已经提到的论文[2-4]和其中的参考文献。我们不会处理时间一致性问题（我们的解决方案是时间不一致的）。与文献中的结果相比，在p=2的情况下，问题1和d2的解决方案很容易遵循早期的结果（例如，来自[3，4，24]）；其他情况也可以用以前已知的方法进行研究。尽管如此，本文的价值在于通过单调夏普比和衰减概率来解决这些问题的新方法。这种方法似乎比以前的方法更简单（读者可以观察到，与[3，4]相比，下面给出的解决方案有多短），并且有望用于更一般的设置。4.3问题1的解决方案7。问题1中的一类最优控制策略给定Yuct=uσ（p- 1） （c）- Xuct），其中c>0可以是任意常数。过程Yuct=c- 满足SD EdYuctYuct=-uσ（p- 1） dt公司-uσ（p- 1） dWt，Yuc=c证明。

假设x=0，根据Pp（x，x）的表示，我们得到v=minc≥0分钟∈英国（1- cXuT）+kp=分钟∈英国（1- XuT）+kp，（19）在第二个等式中，我们使用常数c可以包含在控制中，因为cXu=Xcu。表示Exut=1- Xut，以便受控过程满足方程dexut=-uutdt- σutdWt，eXu=1。然后Vp=分钟∈UE | eXuT | p，（20），其中（·）+从（19）中删除，因为很明显，一旦无性繁殖为零，最好选择u≡ 之后为0，因此进程保持为零。设vt=vt（u）=-ut/eXut。那么对于任何u∈ U我们有e | eXuT | p=EnZTexpRT公司upvs+σ（p-p） vs公司ds公司o、 其中Z是随机指数过程Z=E（σpv）。根据Novikov的条件，即du e为（16），Zt是一个鞅，EZT=1。通过在σ-代数上引入新的测度Q，FT=σ（Wt，t≤ T）密度dQ=ZTdP时，我们得到|渗出物| p=EQnexpRT公司upvs+σ（p- p）vsds公司o、 显然，可以通过最小化每个t的被积函数，即byv来最小化此表达式*t=-uσ（p- 1） 对于所有t∈ [0，T]。显然，它满足条件（16），因此相应的控制过程*t=μσ（p- 1） 渗出=μσ（p- 1)(1 - Xut）在问题（20）中是最优的。因此，任何控制过程uct=cu*t、 c>0，将在（17）中处于最佳状态。Sin ce Xuct=cXu*t、 我们得到了该定理的第一个定理。YUCT的表示遵循直截了当的计算。推论8。让u*=uσ（c-对于p=2，当某些c>0时，Xut）是问题（17）中的最优控制策略。那么Xu的标准夏普比率*等于它的单调夏普比S（Xu*T） =S（Su*T） 。特别是，u*还最大化了returnXuT，i的标准夏普比。e、 S（XuT）≤ S（Xu*T） 对于任何u∈ U、 证明。前提是有Y∈ 也就是说Y≤ 徐*Tand S（Y）>S（Xu*T） 。众所周知，我们所考虑的m市场模型是无套利且完全的。这意味着存在y<0和控制UT，使得Xu=Yan和XuT=y。