经济复杂性中的方法和概念

让我们看看当我们将右边乘以P时会发生什么：~ mc（t+1）t=~ mc（t）t·P=Xkck（t）~ψTk！·P=Xkck（t）~ψTk·P=Xkλkck（t）~ψTk≈ λc（t）~ψt+λc（t）~ψt。近似值来自（非常！）重要性质，即IGENVALUESλk，对于k≥ 2的值（通常）小于1，因此它们逐渐缩小了~mc（t）t的特征向量分量，这些特征向量分量与主（和次主）左特征向量ψ和ψt不对齐。让我们取~mc（t+1）t的特定元素p（即乘积）：mc，p（t+1）≈ λa（t）ψp，1+λa（t）ψp，2。如果我们做同样的事情，但对于M（t）的列向量p，~mp（t），在左边乘以C，我们得到：Mc，p（t+1）≈ γp（t）Дc，1+γp（t）Дc，2。加起来，我们有，Mc，p（t+1）≈ λc（t）ψp，1+λc（t）ψp，2+γp（t）Дc，1+γp（t）Дc，2。（16） 随机矩阵的一些定理和性质告诉我们ψp，1do实际上不随乘积p而变化，因此ψp，1≡ 1.p、 类似地，Дc，1≡ 现在，特征向量分解的系数实际上是点积：ck（t）≡ ~mc（t）t·~ψkare country c-特定变量，whilepk（t）≡T~ДTk·~mp（T）是产品p特定变量。特别地，它们告诉我们M（t）的行/列如何与每个相应的特征向量对齐。例如，c（t）=~ mc（t）t·~ψ告诉我们国家与次显性特征向量P的对齐程度，而P（t）=~Дt·~ mp（t）国家与次显性特征向量c的乘积的对齐程度。既然我们假设M（t）是0和1的矩阵，那么“对齐”就意味着“求和”。因此，可以看出C（t）等于国家的多样性dc（t），而p（t）是产品的泛素up（t）。此外，c（t）因此是元素的和，称P为列归一化。也就是说，~T·P=~T。

可以看出，这个方程表示P的每一列的值加起来等于一，也表示特征值-特征向量关系。具体而言，由于我们知道随机矩阵的最大特征值为λ=1，归一化方程还表示，与主导特征值λ=1相关的左特征向量是1的向量。因此，~ψT=（1，1，…，1）。ψp，2是c国生产的产品，而p（t）是生产p国的ψc，2的值之和。方程式（12）简化为以下项：Mc，p（t+1）≈ λdc（t）+γup（t）+λc（t）P CIp+γP（t）ECIc，其中我们将ψP，2=P CIp作为产品P的“产品复杂性指数”值，而Дc，2=ecipa是国家c的“经济复杂性指数”值。这些指数揭示了国家c的产品生产是否与其他国家生产的产品以及该国生产的其他产品“一致”。但请注意，一些产品和一些国家如何通过系数c（t）和p（t）更强烈地诱导与其他国家的对齐。这些系数分别由PCI和ECI较高的产品和/或国家确定。我们能否期望这些产品和国家成为知识密集型或知识禀赋最丰富的国家？在某些条件下，我们确实可以，这已经被经验证明了。该假设所适用的条件是，产品和国家之间的相似性矩阵没有明确的集群或社区，这正是我们使用的近似值只需要考虑次优势特征向量的情况。Mealy等人（2017年）最近详细研究了原始ECI和PCI（Hausmann等人（2011年）提出）作为两组国家和产品集群指数的解释。

除其他外，他们表明，ECI与经济绩效指标相关的原因在于，我们将看到，根据P和c的具体定义，我们得出ECIc=~ mc（t）t·~ P CI/dc，即一个国家的ECI是其生产产品的平均PCI。这可以进一步将方程简化为：Mc，p（t+1）=dc（t）+up（t）+（λdc（t）+γup（t））p CIpECIc。因为它捕捉了产品专业化的模式（一些产品比其他产品更具经济性）。此外，Mealy等人（2017）展示了与基于相似矩阵的其他降维技术的数学联系。从低维度看集体学习的一般结论是，第一个近似值是，在下一个时间步，Mc，p（t+1），c国出现的产品p是由国家的多样性、产品的普遍性、以及，c的生产篮子向量与产品复杂性向量的对齐，以及p在各国的存在与经济复杂性向量的对齐。3.3投入的不同是否意味着产出的一致性？到目前为止，我们争论了两个要点：第一，应该从集体学习过程的角度来理解经济发展，因为与技术进步或个人学习相比，一个地方集体知识的变化对成功生产活动的可能性影响最大；其次，我们认为集体学习的过程是能力积累的过程，表现为输出空间的多元化过程。关于这一点，重要的一点是，能力的积累是缓慢发生的，这是由产品共享能力和国家彼此相似这一事实促成的。

集体学习的整个过程可以用一个叫做“共识动力学”的简单方程来描述。第一点编码在我们的经济复杂性模型中，见第2节。该模型的早期和更简单版本（Hidalgo和Hausmann，2009；Hausmann和Hidalgo，2011）考虑了产品和国家，并声明asM（t）=C（t） P、 （17）矩阵C（t）是一个国家及其拥有的能力矩阵（随时间变化），而P是产品矩阵（ascolumns）和生产这些产品所需的能力矩阵（我们假设其近似恒定）。操作员 是一个“Leontief运营商”，只有当产品所需的能力是该国能力的子集时，该国才生产产品。方程（17）表示的生产过程可以使用常规矩阵乘法写成如下：M（t）=bC（t）·（P·A-1） c，其中b x c是将数字x舍入到小于x的最大整数的“FLOOR”函数，A是对角线矩阵，其元素是每个产品所需的能力数（即基于能力的复杂性）。舍入运算很难用数学方法来处理，但在这里，它又可以用一些指数来重新表示。要看到这一点，让我们看看这个操作的一个特定元素：Mc，p（t）=bPaCc，aPa，p/PaPa，pc。请注意，这个总和是如何累积p所需的能力a的分数的。只有当国家累积了100%的能力时，Leontief操作员才允许c生产p。我们可以假设一个CES生产函数，并更一般地表示这一点PaCρc，aPa，p/PaPa，p1/ρ，其中-∞ < ρ<1，带1/（1）- ρ） 然而，由于生产要素之间的替代弹性Cc，如果我们假设生产要素Cc是二元的，那么TheCES公式就失效了。

因此，要对从算术平均到Leontief的一系列生产函数进行建模，更有用的方法是将其写成asM（t）=C（t）·（P·A）-1)ρ、 （18）式中，ρ现在的范围为1（算术平均值，意味着因子之间的完全替代性）到∞ （Leontief函数和零可替代性）。如果C（t）代表C国家和能力a国家的就业人数，一个可能的差异过程可以写成asC（t+1）=Fc←c·c（t）·Fa→a、 （19）其中，我们假设将小区（c，a）中的人转移到小区（c，a）的转移概率是可分离的Pr（c，a | c，a）=Pr（c | c）Pr（a | a）。在方程（19）中，我们将概率Pr（c | c）表示为值Fc←candPr（a | a）作为值Fa→a、 您可以看到矩阵Fc←Cm必须是aleft随机矩阵，而Fa→aa右随机矩阵。要研究的一个问题是：如果假设（i）一个生产函数如方程（18）和（ii）一个能力在ofC（t）空间的扩散过程如方程（19），描述M（t）及其时间变化的过程是什么？我们是否恢复了之前提出的共识动态？这个问题似乎很深奥。但它触及了TEC一些假设的核心：个人学习是有限的，集体学习主要是由个人能力的积累驱动的。换言之，TEC的基本假设表明，既然人是保守的，他们的能力就会有所不同。但在集体层面，我们观察到的不是分歧，而是集体学习。因此，我们应该能够假设一个尊重“质量”（即系统中大脑的数量）守恒的分化过程，以及一个生产函数，这样集体学习可以通过相关的多样化和集体模仿过程来描述。

目前，这仍然是一个悬而未决的问题。4差异映射在前几节中，我们使用了随机矩阵的特征值在-从式（12）中得出式（16）。目前，我们说，通过考虑显性和次显性特征值及其对应特征向量的影响，集体学习的过程可以描述为一阶近似。然而，这种近似的有效性取决于特征值的实际分布及其衰减速度。使用最大特征值通过少数特征向量表示经济差异的近似是一种降维形式。这种特殊的降维方式是我们对集体学习假设的直接动力。这些特征空间被称为“扩散映射”（Lafon和Lee，2006；Coifman和Lafon，2006）。与传统的降维技术（如主成分分析或经典多维标度）相比，有两大优势：一方面，差异图可以解释观测值之间的非线性依赖关系，另一方面，它们保留了局部结构。由于我们声称集体学习是一个缓慢的过程，而且它是由相关和相似的空间构成的，因此我们需要呈现数据，以保持局部结构，从而产生局部几何。在接下来的内容中，我们将探讨这种方法的一些影响（另请参见Mealy et al.，2017，了解差异映射与TEC背景下的其他降维技术之间的联系）。4.1一致性动力学和聚类特征值的分布，即所谓的矩阵“谱”，由相似性矩阵中的群落数量决定。

如果网络的节点组织在定义良好的K个集群中，则有K个-1除了值等于1的主导特征值外，还有相对较大的非平凡特征值。因此，可以用来推断网络中社区数量的一种启发式方法是，在我们观察到连续特征值对之间存在较大的“差距”之前，先计算特征值的数量。实际上，可以取大于0.1的值。其次，与这些K相关联的特征向量（左特征向量和右特征向量）- 1非平凡IgenValue揭示了集群的结构。因此，如果很好地定义了聚类，即使在矩阵ΦC×K上进行简单的K均值聚类-1其中列为K- 1 C的右特征向量将识别K簇（或者，如果对产物感兴趣，则取ψP×K-1其中列为K- 1 P的左特征向量）。让我们从数学上看看这是如何工作的。回想一下，集体模仿原则假设存在一个相似矩阵χ（c，c），它告诉我们国家对国家c的直接成对影响。也就是说，如果国家c生产一个单位的产品p，那么这将对c产生直接影响，从而将χ（c，c）/Pcχ（c，c）单位添加到其生产的p中。因为cmay影响到了另一个国家c，而cin反过来可能影响c，那么con c的净影响可能高于其直接影响。我们希望在低维中代表集体模仿的过程，这要求我们确定一个指标，该指标考虑到χ（c，c）定义的点的完整连通性。扩散图的框架需要两个假设：（i）对称性χ（c，c）=χ（c，c）和（ii）逐点正性χ（c，c）≥ 0表示所有c和c。在物理学中，将观察到的特征值分布与随机矩阵的特征值进行比较。

对于随机矩阵的一些特殊情况，有封闭的分析公式。这个物理学分支叫做随机矩阵理论。经济复杂性指数（ECI）只是这些维度之一。考虑到相似性矩阵χ（·，·），我们的想法是指出，如果χ（c，c）较高，而且更一般地说，如果它们由χ（·，·）定义的网络中的许多短路径连接，则c和c两个点（例如国家）应被视为“接近”。设dc=Pcχ（c，c），πc=dc/Pcdc。从对称性得到πcC（c，c）=πcC（c，c）。因此，χ（c，c）的对称性很重要，因为它意味着c（c，c）=χ（c，c）/Pcχ（c，c）是一个（右）随机矩阵，定义了一个可逆的马尔可夫链，这反过来又意味着其特征值/特征向量分解的良好性质，c·~Дk=γk ~Дkand ~ξTk·c=γk ~ξTk，其中1=γ>|γ|≥ |γ| ≥ . . . ≥ 我们规范化了特征向量，如pcξc，k/ξc，1=1和pcДc，kξc，1=1。对于所有的c，特征向量都是按照Дc，l=ξc，lξc，1来关联的。因此，我们得到了左右特征向量是正交的~ξTk·~Дl=δk，l。正如前面所解释的，在右随机矩阵的左边相乘传播概率。对我们来说，这只是一个关于C定义的随机扩散过程的数学抽象。根据这样一个过程，在给定初始概率π（t=1）t=~πTisπ（t+1）t=~πt·Ct的情况下，随机游走者在时间t跨越不同节点（即国家C）的概率。

我们知道，长期平稳分布直接由向量极限给出→∞~π（t）t=~ξt=~πt（即，与特征值γ=1相关的左特征向量是平稳分布，同时与国家的多样性成比例）。让我们将“扩散距离”（Coifman et al.，2005）定义如下：Dt（c，c）=kC（c，·）- C（C，·）k1/π=Xc（Ct（C，C））- Ct（c，c））π，（20），其中Ct（c，c）是矩阵Ct的一个元素。可以看出，这种类型的距离将与c和c相关的多条路径的所有贡献相加，因此，对于χ（·，·）的特定测量中的噪声具有鲁棒性。Ct（c，c）isCt（c，c）=XkγtkИc，kξc，k.（21）的光谱分解取代了方程（20）中的该光谱表示，即扩散距离屈服值dt（c，c）=Xk≥2γ2tk（Дc，k- ^1c，k）。（22）请注意，k=1的项从总和中消失，因为~Д=~ 1。如果有K个社区或国家集群，则会有K个显著较大的特征值。如果是这种情况，则方程（22）可以仅使用K来近似- 1项：Dt（c，c）≈KXk=2γ2tk（Дc，k- ^1c，k）=~Φt（c）-~Φt（c）, （23）其中~Φt（c）是位于K的欧几里德空间中的点c的坐标向量- 1维，其中给定坐标k为Φt，k（c）=γtkИc，k。我们提出集体学习可以用一致性动力学来描述，并且我们使用随机矩阵来表示这些动力学的数学方程。在这个框架中，右特征向量和左特征向量包含关于这些相似网络的社区结构的信息。然而，差异图的框架表明，右特征向量（对于C，左特征向量对于P）更能捕获有关社区的信息。

因此，右特征空间中的国家将紧密联系在一起，他们在这个欧几里德空间中的运动将与其所在社区中其他国家的运动更加紧密地结合在一起（Coifman和Hirn，2014）。（我们稍后将说明，相比之下，lefteignivers更适合于测量能力，因此与基础能力数量相关的是到原点的距离）。这两个空间（左特征空间和右特征空间）是相关的，因为一个国家嵌入社区的范围本身就是衡量其能力数量的一个指标。为了掌握这个框架是如何应用的，我们创建了三个mmatrice。首先，我们根据生产的产品确定了一些国家。通过这种方式，我们创建了专门生产某些产品的国家区域。因此，如果c和p属于同一社区，我们将Mc，p=1，概率为0.6，如果不属于同一社区，概率为0.1，从而创建了矩阵。第二种方法是遵循Hausmann和Hidalgo（2011）的模型，使用C和P来确定M。这些基本矩阵也是二元矩阵，一方面可以被视为国家和它们拥有的能力的矩阵，另一方面可以被视为产品和它们需要生产的能力的矩阵，因此M=C P、 最后，第三种构造M的方法是从真实数据中构造M。我们选择2015年、224个国家和773种产品（SITC4代码）。图2显示了均匀填充矩阵的结果，可以通过回顾安娜·卡列尼娜（Anna Karenina）的原则来看出这一点：多样化程度高的国家似乎都是一样的，而多样化程度低的国家则各自的多样化程度低。因此，我们应该期待一个“富国俱乐部”的出现。社区。图3显示了基于基本能力结构创建的矩阵的结果，还有五个社区。