如何不进行均值-方差分析

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英文标题：
《How Not To Do Mean-Variance Analysis》
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作者：
Vic Norton
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We use the 2014 market history of two high-returning biotechnology exchange-traded funds to illustrate how ex post mean-variance analysis should not be done. Unfortunately, the way it should not be done is the way it generally is done -- to our knowledge.
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中文摘要：
我们使用两个高回报生物技术交易所交易基金的2014年市场历史来说明如何不进行事后均值方差分析。不幸的是，据我们所知，不应该按照通常的方式来做。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> How_Not_To_Do_Mean-Variance_Analysis.pdf (665.38 KB)

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关键词：方差分析 Quantitative Applications Optimization QUANTITATIV

如何不进行均值-方差分析Vic NortonMathematical Reminations in 622 Morton AvenueBowling Green，OH 43402-2223邮箱：vic@norton.nameOctober2018年12月22日摘要我们利用2014年两支高回报生物技术交易所交易基金的市场历史来说明，事后方差分析不应该是一个。不幸的是，据我们所知，不应该这样做。γεωμτρητομηδεεστω让任何人都不知道几何学进入这里1前言后均方差分析是描述性统计的一种金融应用。但是，描述性统计具有很强的几何效应，其中方差与均值之和起着至关重要的作用。在本文中，我们强调均值方差分析的几何学。几何图形以点开始。我们几何展的主要内容是两个生物技术交易所交易基金，FBT–第一信托纽约证券交易所Arca Biotechnology Indx Fund和XBI–SPDR S&P Biotechnology ETF。图2.1显示了这两支基金2013年12月31日归一化调整后收盘价AFBt和aXBI的图表，以及这两支基金中无人看管的长期投资组合UIP的图表。UIP的归一化调整后收盘价向量aUIP=0.75·aFBT+0.25·aXBI，（1.1）必然是aFBT和aXBI的凸组合。标准化调整后的收盘价是驱动我们均值方差车的马。当调整后的收盘价向量aFBT、aXBI和AUIP被其每日收益向量rFBT、rXBI和rUIP所取代时，您将进入一个更高的维度空间，所有几何体都将落后。下面的图片讲述了整个故事。

由于TikZ矢量图形语言，这些图片是精确的数字图像，而不仅仅是示意图。2标准化调整后收盘价–几何示例图2.1显示了两个高回报交易所交易基金FBT和XBI中无人参与投资组合UIP的2014年历史。2013年12月31日UIPwasUIP的收盘构成=75%的FBT+25%的XBI，（2.1），但这些收盘比例在2014年从未出现过。事实上，在第一季度的大部分时间里，UIP在XBI中的收盘价超过25%（绿色高于蓝色），而在其余三个季度的大部分时间里，XBI在UIP中的收盘价不到25%（蓝色高于绿色）。然而，图2.1显示了3:1比例的几何图形。在每条垂直线上，棕色点正好是绿色XBI点到蓝色FBT点之间距离的四分之三。图2.1:2013-12-31-2013-12-31 2014-03-31 2014-06-30 2014-09-30 2014-12-31FBT=第一信托生物科技指数ETFXBI=SPDR标准普尔生物科技ETFUIP=无人看管的FBT-XBI投资组合OCRP=持续重新分配的FBT-XBI投资组合从2013-12-31到2014-12-31，共253个市场日包含全部费用图2.1中的四个调整后收盘价图表示在未来252个市场日内，相应基金或投资组合在2013-12-31年收盘价的100美元投资价值的变化。每个图形对应一个点a∈ R、 三个点aFBT、aXBI和aUIPof（2.1）位于线段A=t·aFBT+（1）上- t） ·aXBI，0≤ t型≤ 1，（2.2）在R中，AUIP对应于t=0.75。（附录A描述了如何计算正常化调整后的收盘价。）投资组合UIP是一种完全被动、无人参与的投资。试想一下，2013年末，一位投资者在FBT和XBI中拥有资金。

假设当时FBT占其总投资的75%，XBI占25%。UIP然后简单地跟踪到2014年他每100美元的投资。投资者什么都不做，这两支基金的所有股息都会自动再投资。然而，主要由UIP隐藏的不断重新分配的投资组合CRP是一个完全不同的问题。在这里，投资者先验地决定，75%的FBT和25%的XBI是其投资的正确比例。因此，在2014年的每个市场日之前，Here将其资金投资于这两支基金，以便在这一天的开始就以这些比例进行投资。算法2.1计算该场景下100美元的增长。算法2.1：计算2014年CRP调整后收盘价向量a0，CRP=100；%在2013年12月31日收盘时，为CRP投资100美元，因为i=1，2014年252个市场日中的每个市场日为252%，setrF=ai，FBT/ai-1，FBT- 1; % = 市场日FBT回报irX=ai，XBI/ai-1，XBI- 1; % = 市场日XBI回报率irR=0.75×rF+0.25×rX；%=在市场日iai返回CRP，CRP=ai-1，CRP×（1+rR）；%=市场日iNote收盘时的CRP值。上面的%符号开始注释。很难从图2.1中的棕色UIP图中找出红色CRP图。这些图非常接近，UIP图绘制在CRPgraph上，在大多数情况下将其隐藏在视图中。只有到2014年底，人们才能真正了解这些差异。图2.2是2014年12月的放大图。图表中的差异现在非常明显。在这里我们看到，整个12月，红色CRP图略高于棕色UIP图，12月31日明显高于棕色UIP图。因此，CRP在2014年的回报率高于UIP。请注意，2014年12月31日AUIPM的值必须为146.90=0.75×147.54+0.25×144.97by（1.1），FBT和XBI的终值如图2.2所示。

因此，UIP在2014年的总回报率为46.90%。事实上，CRP在2014年的回报率为47.32%，高于UIP，略低于FBT。图2.2:12月1日12月31日144.97XBI147.54fB这是四只基金2014年12月调整后的收盘价。表2.1:FBT XBI UIP CRP2014-12-01 145.736 135.477 143.171 143.4902014-12-02 147.918 139.052 145.702 146.0482014-12-03 148.034 139.184 145.821 146.1692014-12-04 147.123 138.121 144.873 145.2152014-12-05 148.150 140.580 146.258 146.6222014-12-08 151.214 141.417 148.765 149 2014-12-09 151.807 145.504 150.231 150.6302014-12-10 148.699 142.379 147.119147.5082014-12-11 148.786 142.720 147.269 147.6612014-12-12 146.878 142.480 145.778 146.1792014-12-15 142.657 136.400 141.093 141.4692014-12-16 140.807 135.609 139.507 139.8882014-12-17 145.851 142.076 144.907 145.3142014-12-18 150.737 146.628 149.710 150.1292014-12-19 152.212 147.990 151.156 151.5792014-12-22 150.463 146.886 149.569 149.9902014-12-23 143.842 139.313 142.710 143.1072014-12-24 145.968 141.988 144.973 145.3802014-12-26 149.554 145.261 148.481 148.8972014-12-29 150.017 145.790 148.960 149.3782014-12-30 148.151 144.258 147.178 147.5922014-12-31 147.544 144.973 146.901 147.321几何方程（2.1）适用于表2.1的每一行，但FBT和XBI在UIP中的比例，pFBT=0.75×FBT/UIP和pXBI=0.25×XBI/UIP，（2.3）在每条线路上都是不同的。2013年12月31日，3:1的比例最接近于在表2.1的2014年12月31日行实现，其中UIP以75.33%的FBT:24.67%的XBI收盘。对于每日回报，ri=ai/ai-1.- 1（i=1，…，252），（2.4）2014年回归向量方程，rCRP=0.75 rFBT+0.25 rXBI，（2.5）在Rdue持续再分配中有效。

这确保了相应的平均收益满足Markowitz 1987年第3-4页“标准平均方差投资组合选择模型”的要求，即CRP=0.75 eFBT+0.25 eXBI，（2.6）。本文附带的辅助文件夹包括三个文件FXUZ7。csv，matlab/FXUC2014。mat和matlab/FXZC2014。mat，其中包含本文使用的标准化调整收盘价。3如何不进行均值-方差分析MathWorks(R)Financial工具箱和MATLAB编程语言可能是进行均值-方差分析最常用的资源。我们已经在本文附带的辅助文件夹的MATLAB子目录中使用MATLAB脚本计算了均值方差表。我们的MATLAB脚本hn2mv1a。m说明了均值-方差分析的问题，这是通常的做法。脚本以lineload FXUC2014开始。材料；%A日期基金A Legendaw加载253×4调整后收盘价矩阵，A=【aFBT、aXBI、aUIP、aCRP】，如图2.1所示。该矩阵的秩为3而非4，因为AUIPI是AFBt和aXBI（1.1）的线性组合。接下来，我们从A中删除ACRPF，并添加列SAUIP2=0.50·aFBT+0.50·AxBIAN和aUIP3=0.25·aFBT+0.75·aXBIso，使A=[aFBT，aXBI，aUIP，aUIP2，aUIP3]成为秩2的253×5矩阵。几何上，A描述R中一条直线上的5个点，秩（A）=2，因为该直线不通过原点。hn2mv1a。m script继续使用ad j u s t e d c l o s i n g p r i c e sp t f=p o r t f l i o中的行%%g e t a s e t矩；p t f=估计资产时刻（ptf，A，\'数据格式\'，\'价格\'）；【mn，cv】=获取资产时刻（p t f）；这里，mn和cv是5×1和5×5的日均收益和日均收益矩阵的协方差，对应于从via（2.4）导出的252×5日均收益矩阵xr=[rFBT，rXBI，rUIP，rUIP2，rUIP2]。

年化结果如表3.1所示。表3.1:MATLAB计算的年化结果fBT XBI UIP UIP2 UIP3E 0.4245 0.4324 0.4235 0.4244 0.4274σ0.2656 0.3491 0.2777 0.2963 0.3203方差VFBT 0.0705 0.0804 0.0729 0.0753 0.0778XBI 0.0804 0.1219 0.0905 0.1008 0.1112UIP 0.0729 0.0905 0.0771 0.0815 0.0859UIP2 0.0753 0.0815 0.0815 78 0.0942UIP3 0.0778 0.1112 0.0859 0.0942 0.1026表3.1中的一个问题立即出现明显的长期投资组合UIP和UIP2的平均回报率怎么可能低于任一组成基金的平均回报率？维度问题不太明显，但同样令人担忧。我们从调整后的收盘价历史记录A开始，它对应于线段上的五个点（一个单纯形）inR；但是，要对A进行均值-方差分析，我们必须跳转到由日收益矩阵R（秩（R）=秩（V）=5）的五个线性独立列生成的四个单纯形。这对我们来说根本没有意义！这是（e，σ）-正在发生的事情的图片。粉红色区域是由R的五列组成的4-单纯形的图像。（图中的坐标是百分比。）图3.1：可获得的（e，σ）42.0 42.5 43.0 43.5eσ持续真实定位无障碍路径有效前沿FBTXBIUIP2UIP3CRP持续真实定位门户FBTUIPCRP图3.1是表3.1的图形表示。红色的连续重新定位区域表示所有可获得的（ep，σp）：所有（ep，σp），使得ep=ep，σp=pvp，vp=pTV p，（3.1）具有表3.1中的E和V，以及0≤ p≤ 1，Xp=1，p∈ R、 （3.2）以下五个投资组合p在有效边界上的间距相等。

用lineP=估计边界（ptf，5）计算它们；在MATLAB脚本hn2mv1a中。m、 P=FBT CRP？？？XBI公司1 0.75 0.50 0.25 0 FBT0 0.25 0.50 0.75 1 XBI0 0 0 0 UIP0 0 0 0 UIP20 0 0 0 UIP3持续重新分配区域中的每个投资组合，除了发电基金FBT、XBI、UIP、UIP2和UIP3，必须在2014年每个市场日收盘时重新分配，以保持其2013-12-31年的原始结算比例。另一方面，图3.1中的无人参与路径显示了FBT和XBI中所有无人参与投资组合的实际平均回报率和回报率标准差，通过下面的MATLAB示例1（scripthn2mv2.m）直接从调整后的收盘价向量（2.2）计算得出。MATLAB示例1：计算从FBT到XBI的无人参与投资组合路径doT=0:1/（nT- 1) : 1 ; % n t p o i n t s p a r t i t i n g[0，1]AT=a（：，1）* T+A（：，2）* (1 - T） ；%nT未分配的p r i c e v e c t o r sRT=在（2:2 5 3，：）。/在（1:2 52，：）- 1 ; % nT una tt END r e t u r n v e c t o r sET=252* 平均值（RT）；%nT平均值d a i l y r etu r n s（标准化）SigT=sqrt（2 52）* std（RT，1）；%我们应该注意HN2 MV1A的MATLAB行。m、 eCRP=252* 平均值（rCRP）；%eCRP=0.4265sigCRP=sqrt（252）* 标准（rCRP，1）；%sigCRP=0.2783生成了图3.1中两个CRP点的坐标。此编码中的rCRP对应于（2.5）的rCRPvector或aCRPvia（2.4）的rCRPvector。它们是一样的。4平均周期性回报问题下一页图4.1和hn2domv3。下面的脚本说明了一个严重的平均周期回报问题。

这是一个简单的艺术例子，其中一只基金在第一季度收益50%，第二季度亏损67%，第三季度收益200%，第四季度亏损17%。该基金的一位投资者意识到，他的基金今年的回报率为25%，但这三者之间的关系一直非常不稳定；他决定退出。他的投资顾问告诉他，不要那么快。只需将季度回报加起来：50%- 67% + 200% - 17% = 166%.你平均每季度超过40%。该基金似乎有点冒险，但从其历史来看，明年每个季度的平均回报率也应该达到40%。从数字上看很清楚。图4.1讲述了整个故事。平均周期性回报往往强调积极的一面。平均定期折扣的作用正好相反。定义1（有效回报和折扣）。让a和a在a之前的两个不同市场日对证券的调整成交价格进行调整。然后将该证券在该时间段内的有效回报定义为R=（a- a） /a，有效折扣asd=（a- a） /a.方程式（1+r）（1- d） =1始终保持不变，r和d始终具有相同的符号，正、负或零。定义1是对Kellison 2009《兴趣理论》中定义的一种诠释。年初至今回报率的定期变化和年末贴现率的定期变化是衡量一年内证券有效表现的适当措施。在图4.1的示例中，年初至今收益变化的年化平均值ise=50%- 00% + 100% - 25%=25%，年末贴现日期的年化平均变化ise=40%- 80% + 80% - 20% = 20%.这些年平均值确实满足定义1，（1+e）（1- e） =1。笔记EAN和eabove对应于图4.1下MATLAB代码中的e\\u 0和e\\u 1。

同样，Eran和ed对应于e\\u r和e\\u d。另一方面，MATLAB代码显示平均回报率er和平均折扣ed有相反的符号，和（1+er）（1- ed）=5.8667。这些计算表明，平均回报率和平均折扣与利息理论基本不相容。平均收益问题已在斯文森2009年第104-105页中指出。图4.1：平均定期回报/折扣问题时间0/4 1/4 2/4 3/4 4/4调整成交价格50 50 100 100 150%%hn2mv3。m级- 平均回收/卸载问题%%q u a r t e r l y a d ju s t e d c l o s i n g r i c e sa=[100，150，50，150，125]；%%平均q u a r t e r l y r e turnr=a（2：5）。/a（1:4）- 1 ; % q u a r t e r l y r e t u r nse r=4* 平均值（r）；%e\\u r=1.6667si g\\u r=2* 标准（r，1）；%sig\\u r=2.0069%%平均q u a r t e r l y d i s c count=1- a（1:4）。