不确定交易量目标下的最优交易执行

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英文标题：
《Optimal Trade Execution with Uncertain Volume Target》
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作者：
Julien Vaes and Raphael Hauser
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  In the seminal paper on optimal execution of portfolio transactions, Almgren and Chriss (2001) define the optimal trading strategy to liquidate a fixed volume of a single security under price uncertainty. Yet there exist situations, such as in the power market, in which the volume to be traded can only be estimated and becomes more accurate when approaching a specified delivery time. During the course of execution, a trader should then constantly adapt their trading strategy to meet their fluctuating volume target. In this paper, we develop a model that accounts for volume uncertainty and we show that a risk-averse trader has benefit in delaying their trades. More precisely, we argue that the optimal strategy is a trade-off between early and late trades in order to balance risk associated with both price and volume. By incorporating a risk term related to the volume to trade, the static optimal strategies suggested by our model avoid the explosion in the algorithmic complexity usually associated with dynamic programming solutions, all the while yielding competitive performance.
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中文摘要：
在关于投资组合交易最佳执行的开创性论文中，Almgren和Chriss（2001）定义了在价格不确定性下清算固定数量单一证券的最佳交易策略。然而，也存在一些情况，例如在电力市场中，交易量只能估计，并且在接近指定的交付时间时变得更加准确。在执行过程中，交易者应不断调整其交易策略，以满足其波动的交易量目标。在本文中，我们建立了一个模型来解释交易量的不确定性，并证明了风险厌恶交易者在推迟交易时有好处。更准确地说，我们认为最佳策略是在早期和晚期交易之间进行权衡，以平衡与价格和交易量相关的风险。通过加入与交易量相关的风险项，我们的模型提出的静态优化策略避免了通常与动态规划解决方案相关的算法复杂性爆炸，同时产生了竞争性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_Trade_Execution_with_Uncertain_Volume_Target.pdf (1.25 MB)

2022-6-11 01:21:57 上传

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关键词：交易量 不确定 Quantitative Transactions uncertainty

不确定交易量目标下的最优交易执行*Julien Vaes+Raphael Hauser2021年9月，Almgren和Chris（2001）在关于投资组合交易最佳执行的开创性论文中，定义了在价格不确定性下清算固定数量单一证券的最佳交易策略。然而，也存在这样的情况，例如在电力市场中，交易量只能估计，并且在接近特定交付时间时变得更加准确。在执行过程中，atrader应不断调整其交易策略，以满足其波动量目标。在这篇文章中，我们建立了一个模型来解释交易量的不确定性，并且我们证明了风险厌恶交易者在延迟交易方面是有好处的。更准确地说，我们认为最佳策略是在近期和后期交易之间进行权衡，以平衡与价格和交易量相关的风险。通过加入与交易量相关的arisk项，我们的模型提出的静态优化策略避免了通常与动态规划解决方案相关的算法复杂性的爆发，同时产生了具有竞争力的性能。1简介最优执行问题是指找到最佳交易策略的问题，以确保在分配的时间内从一个投资组合过渡到另一个投资组合。交易策略包括在专用市场上交换的买卖订单。最佳执行问题与流动性不足的市场密切相关。事实上，在流动性不足的市场中，价格动态对大型交易非常敏感。因此，一个理性的交易者应该考虑到自己交易的影响，因为这会增加他们的交易成本，这对他们的交易头寸是不利的。

Almgren和Chris（2001）在其关于最优执行的论文中提出了一个模型，该模型既能捕捉价格的内在随机演变，也能捕捉交易对价格动态的影响。通过采用Markowitz（1952）定义的回报风险交易进行投资组合对冲，Almgren和Chriss（2001）将风险缺失的细微差别添加到Bertsimas和Lo（1998）之前所述的最优订单执行问题中。他们表明，交易者越厌恶风险，就应该越快获得所需头寸，以避免与价格动态相关的风险。这些策略是静态的和时间一致的：它们是在交易之前确定的，因为它们只依赖于执行期开始之前可用的信息。此外，如果交易者在中途重新计算最优策略，则未来交易计划保持不变，因为未来价格波动假设独立于过去的实现。然而，如果交易者将中期更新规则定义为初始策略的一部分，那么Kissell和Malamut（2005）意义上的激进货币策略会带来更好的回报风险交易效果（Almgren和Lorenz，2007；Lorenz和Almgren，2011）。由于方差会毫无区别地惩罚有利和不利的交易成本结果，文献中也使用了其他风险度量，如预期效用（Schied和Sch"oneborn，*第一作者的工作得到了阿兰·图灵研究所（AlanTuringInstitute）在图灵博士生资助计划（grantTU/C/000022）下的支持。

第二作者的工作得到了Alan Turing研究所在EPSRC grantEP/N510129/1下的支持。+牛津大学数学研究所，安德鲁·怀尔斯大楼，牛津伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津大学，邮编：2 6GG（朱利安。vaes@maths.ox.ac.uk).牛津大学数学研究所，牛津大学伍德斯托克路Radcliffe天文台区Andrew Wiles大楼，OX2 6GG(hauser@maths.ox.ac.uk).2009; Sch"oneborn，2016），或α-条件风险值（CVaRα）（Butenko等人，2005；Feng等人，2012；Krokhmal和Uryasev，2007）。在前面提到的论文中，待交易的证券总量是确定的，并且是一个参数。然而，在许多情况下，交易者只处理对该交易量的估计，这在整个执行过程中是不同的；因此，需要一个模型，将与价格动态和交易量目标的不确定性相关的风险结合起来。例如，开放式投资基金的经理可以发行或赎回股票，以避免资产负债不匹配，如果股票仅在二级市场交易，则可能会出现这种不匹配。订单通常在交易日收集和汇总，净股票订单的发行或赎回导致需要收购或处置一定数量的基金投资资产，通常是在接下来的两个交易日内。我们的模型允许基金经理提前完成部分交易，并在接近首次下单的时间执行订单，然后在一天结束时结算所有股票订单，从而大大增加了基金投资者的市场流动性。

另一个例子是电力期货市场的清算，由于发电厂的物理限制，现货市场的流动性有限，因此必须在每个给定的交付期内产生接近实际需求的未偿交易量。据我们所知，以前的模型都没有考虑这两种不确定性来源。相关文章如Cheng等人（2017）；Bulthuis等人（2017年）；Cheng等人（2019），其中研究了订单不确定的最优策略，即订单未完成或超额完成的风险（后一种情况主要是出于数学原因而非实际原因）。与我们的情况形成显著对比的是，在他们的环境中，订单不确定性的大小被假定为常数或与订单大小成比例。在我们的案例中，不确定性与交易者的决策无关：成交量预测的更新完全取决于外部变量。因此，我们的模型假设，不确定性的两个来源，即价格动态和成交量目标的预测更新，都是市场固有的，独立于交易者的交易策略。此外，与Cheng等人（2017）采用的方法相比，本文提出的模型具有更大的灵活性；Bulthuis等人（2017年）；Cheng等人（2019年），因为它不依赖于交易期同质的假设：例如，它允许资产的流动性在执行期间发生变化。最后，与其他方法相比，使用我们的模型获得的策略是静态的，它们的计算避免依赖于计算密集型动态规划方法。本文的其余部分结构如下。

在第2节中，我们提出了一个模型，该模型在Almgren和Chriss（2001）的回报风险权衡模型的CVaRα当量公式中纳入了量的不确定性。我们建立了市场生存能力与最优交易策略凸集唯一性之间的关系。我们还探索了将文献中的模型应用于我们的问题的途径，并比较了它们的相对优势。第3节提供了数字证据，表明我们的模型比忽略体积不确定性时的平均CVaRα权衡效果要好得多，并将我们的方法与当前的备选方法进行了比较。然后，我们将说明如何将我们的模型应用于英国的电力交易，在英国，电力批发商交换电力期货合同，以对冲与电力需求波动相关的风险。最后，第4节和第5节讨论了研究结果，提出了进一步研究的途径，并对论文进行了总结。2模型为了符合介绍性示例中描述的框架，我们从希望在固定时间范围内获得头寸的交易者的角度制定了最优执行问题；这相当于Almgren和Chriss（2001）中提出的清算问题，直到下文所述交易引起的临时和永久影响发生变化。2.1价格不确定性下的最优执行我们使用以下符号：dT>0是m个执行期内时间T的总交易量，Sis是初始证券价格，τiis是两个连续离散决策时间ti之间的交易期长度-1和ti；通过滥用语言，我们也在第i个交易期使用τiin。

与Elamgren和Chris（2001）一样，我们认为价格动态遵循算术随机游走，其中决策时间之间的价格步长为-1和根据随机变量ξi的分布确定的价格。最后，如果除了这些假设外，还将贸易引起的市场临时和永久影响插入价格动态中，我们得出价格演变如下∈ {1，…，m}：Si=Si-1+ξi+τigniτi, （1a）~Si=Si-1+小时niτi, （1b）其中Si是决策时ti的证券价格，ni是交易期τi内交易的证券数量（ni>0时买入，ni<0时卖出），Si是交易期τi内执行的交易的有效证券价格，最后g和h分别模拟了作为交易间隔内平均交易率函数的永久和临时价格影响。清算成本为随机变量givenby（2），此处从买方的角度计算：C（n）：=mXi=1niSi- dTS=mXi=1ξi+τigniτidT公司-iXk=1nk+mXi=1nihniτi. （2） 其中，n=[n，…，nm]是周期τi内交易量nio的向量。给定Markowitz（1952）的均值-方差框架，并给定由λVar表示的风险规避参数≥ 0，Almgren和Chriss（2001）模型得出的最优交易策略是通过解决以下优化问题获得的：极小值[C（n）]+λVarV[C（n）]（3a）服从1Tn=dT（3b），其中1是1s的向量，即[1，…，1]T。Gatherel和Schied（2012，推论1）证明了该模型的连续公式没有价格操纵，如果满足以下条件，则等于市场生存能力：（i）g是线性非减函数，即g（v）=γv和γ≥ 0和（ii）函数f:x 7→ xh（x）是凸的。如Almgren等人（2005年）所示，这些条件是根据经验观察到的。

对于Almgren和Chriss（2001）的离散公式，Huberman和Stanzl（2004，命题2）提供了具有时间独立价格影响函数的市场可行的以下必要条件：（i）函数g的线性度，以及（ii）hqτ- h类-qτR g公司qτ, 对于q R 0，（4），其中q是交易量，τ是每个交易周期的长度，即。我∈ {1，…，m}：τi=τ；稍后将对此条件进行解释。在他们的论文中，Almgren和Chriss（2001）假设了线性永久和临时影响函数。我们对我们的模型做出了类似的假设，但我们允许流动性参数随时间变化。因此，一个具有依赖于时间的价格影响函数。与交易期τiar相关的永久和临时影响函数gi和hi表示为followsgi（v）=γiv，（5a）hi（v）=isign（v）+ηiv，（5b），其中v是交易期间τi的平均交易率。函数的选择与该参数相关iandηimight被视为固定和可变的交易成本。合理的估计是买卖价差的一半和交易费用的总和（Almgren和Chris，2001）。参数ηican可解释为限制订单簿中订单量线性模型的梯度，作为与最佳限制订单偏差的函数；我们假设在进行空头或多头头寸时，该参数是相同的。

由于临时影响，任何市场参与者都会产生额外的HI成本nτi= i | n |+ηinτi，（6）对于交易期内交易的n个证券单位，τi.2.2在交易量目标的不确定性的情况下，dT（时间T前交易的总交易量）仅在执行期内完全确定，必须调整优化问题（3），以确保交易需要正确数量的证券。为此，我们假设成交量目标在最后一个交易期τm开始时是完全已知的。截至目前，我们用大写字母表示成交量目标，即DT，以强调这是一个与第2.1小节不同的随机变量。在本文中，我们认为与总交易量相关的不确定性定义如下：对于给定的交付时间T，让DIB在时间to预测总交易量，时间tm=T，Di：=E[DT | Fi]，（7）其中（Fi）mi=1是表示时间ti可用信息的sigma代数的过滤。假设两个连续的预测在decisiontime tm时由一个连续的随机变量δifor i<m产生差异-1，假设体积目标是完全已知的。因此，在整个执行期间，dt的预测如下：（Di=Di-1+δi，如果i∈ {1，…，m- 1} Dm=Dm-1，（8）其中Dm=DT，时间T前的总交易量。显然，在存在交易量不确定性的情况下，优化问题（3）的约束条件（3b）无法实施，因为在时间t，只有待交易总量的粗略估计是已知的，即。

D、 尽管如此，无论何时，只要有数量目标的更新可用，当与系统追索一起部署时，Almgren和Chriss（2001）的模型作为规划工具可能会很有用。然后，交易者将在每个交易期根据新的可获得交易量预测重新计算和更新其策略。这种方法的主要特点是交易者无法在时间t确定确保满足约束的静态策略（3b）。事实上，每个交易期的交易量必须不断更新。为了解决这个问题，我们随后提出了一种定义交易员策略的新方法。此外，为了避免模型数值评估的算法复杂性激增，我们希望避免采用基于动态规划和聚焦模型的方法，这些模型通过引入风险项来解释追索行动的影响。首先，与Almgren和Chris（2001）将交易者的策略定义为每个交易期的交易量不同，我们将交易者的策略定义为在每个交易期τi的过程中获得的总交易量dt的比例yi。自然地，以下约束必须保持，以在所有交易期强制执行整个交易量目标的分配：mXi=1yi=1。（9） 因此，在dt完全可预测的理想情况下，交易者将在交易期τi内获得证券的yidtunits。显然，这种定义必须适应dt不确定的情况，因为交易者应采取追索权以满足约束（3b）。作为一个起点，我们假设交易者尊重其初始策略，在每个交易期间进行交易，即计划的Di比例-1，即对可用的体积目标数据的最佳估计。