不确定交易量目标下的最优交易执行

再分配矩阵β的一个明智选择是最佳风险中性策略y？所隐含的矩阵？，t、 λVar=0，在时间t的均值-方差框架（优化问题（3））中，即矩阵定义如（30）所示，但带有y？，t、 λVar=0。指数效用和平均QV。据我们所知，考虑到数量目标的不确定性，迄今为止文献中忽略了这一点。有些文章在概念上处理与我们的问题类似的问题，但依赖于我们的模型中丢弃的假设，允许更大的通用性，如下所述。在Cheng等人（2017、2019）的研究中，作者将订单的不确定性纳入了最优执行问题，即订单执行不足或执行过度的风险。Bulthuis等人（2017年）扩展了该模型，除市场订单外，还包括不确定利率的限制订单。作者还增加了惩罚，以调整订单符号和订单数量。为了进行比较，我们考虑了Cheng等人（2017）的模型，因为我们对市场做出了类似的假设；该模型在这里被表述为一个清算问题，即从卖方的角度，而不是早期采用的买方的角度。他们的模型如下。让Xt表示traderholds在t时持有的股份数量∈ 执行过程中的[0，T]；xdenotes股份的初始金额。类似于toAlmgren和Chriss（2001），SDEdSt驱动的公平价格STI=γdxt+udt+σdWt<=> St=S- γx+γxt+ut+σWt（36），交易价格Sti由St=St给出- ηvt，（37）其中wt是布朗运动，vt表示交易者计划在t时刻交易的速率，u参数化价格漂移，γxt，γ≥ 0，和-ηvt，η>0，分别指交易的永久和临时影响。

为了考虑到有关顺序的不确定性，Cheng等人（2017）增加了由另一个布朗运动Zt（可能与Wt相关）驱动的位置xta噪声的动力学，即dxt=-vtdt+m（vt）dZt，（38），其中差异m（vt）表示订单不确定性的大小。每次t∈ [0，T]，策略x产生的利润和损失（损益）∏T（x），直到时间T为∏T（x）=xt（St- S）-Zt公司Su- Sdxu。（39）（39）的第一项表示仍需交易的头寸公允价值的变化（如果St>S，则对交易员有利），而第二项是由于时间t之前交易的股票的价格风险和价格影响而产生的成本。使用方程式（36）和（37），损益可重新计算为∏t（x）=xt（γ（xt- x） +ut+σWt）-Zt（γ（xu- x） +uu+σWu- ηvu）dxu。（40）为了阻止在终端时间T的任何剩余头寸，惩罚条款f:xT→ -βxT，β≥ η>γ加在∏T（x）上，得出最终P&Le∏T（x）：=∏T（x）+f（xT。如果订单不确定性的大小是恒定的（m（vt）=m），并且没有漂移（u=0），Cheng等人（2017）提供了最佳交易率v？的封闭式表达式？tand清算轨迹x？tof arisk厌恶交易者以两种不同的方式评估风险。一方面，通过最大化最终损益的预期效用，即supv∈埃胡e∏T（x）i与U的指数效用函数：U（x）=1-e-θeuxθeu。另一方面，通过最大化因其二次变化而受到惩罚的预期损益（Forsyth et al.，2012），即supv∈AEhe∏T（x）- λqvQV[πT（x）]i。在这两种情况下，A表示容许控制集。风险厌恶参数分别由θeu>0和λqv>0给出；θeu（分别为λqv）越大，交易者越厌恶风险。基于最优交易率v？tgiven by Cheng et al。

（2017），很容易获得执行问题的最佳交易率，该交易率是从买方的角度制定的，希望获得不确定数量的股份DT。事实上，由于订单不确定，交易员持仓数量的波动可被视为交易量目标不确定的波动。因此，如果体积目标预测的动力学Dt：=E【Dt | Ft】由dDt=mdXt给出，其中xt是布朗运动，而（Ft）t∈[0，T]是表示时间T可用信息的西格玛代数的过滤，如果wt表示瞬间T的交易率，如果zt表示剩余交易的股票数量，以便与当前预测的成交量目标数据相匹配，则zt的动态由dzt给出=-wtdt+mdXt，（41），其中交易股份的初始金额Zi等于D：=E【DT | F】。请注意，与vt相比，WT的正值对应于股份收购。与Cheng等人（2017）的模型相比，交易对价格动态和交易价格的影响方向相反。考虑到清算计划中的正价格变动与收购计划中的负价格变动具有类似的效益，价格漂移和价格风险也与（36）相反。公允价格Stdynamics、交易价格St和损益∏t（z）由DST=-γdzt- udt- σdWt<=> St=S+γ（z- zt）- ut- σWt，（42）~St=St+ηWt，（43）∏t（z）=zt（S- St）-Zt公司S-Sudzu。（44）与（39）类似，（44）的第一项表示仍需收购头寸的公允价值变化（如果St<S，对交易员有利），而第二项是由于时间t之前交易的股票的价格风险和价格影响而产生的成本。

利用方程式（42）和（43），P&L可重新表示为∏t（z）=zt（γ（zt- z） +ut+σWt）-Zt（γ（zu- z） +uu+σWu- ηwu）dzu。（45）我们观察到等式（40）和（45）相似。因此，如果风险厌恶交易者要么使最终损益的预期效用最大化，即∏T（z）=∏T（z）+f（zT），要么使其二次变化所产生的预期损益最大化，那么最优交易率w？如果收购计划受制于不确定的成交量目标，那么该收购计划是否会与最优交易率v相同？tin受不确定订单限制的清算计划。此外，如果我们假设没有价格漂移，并且禁止任何剩余头寸，即u=0和β→ ∞, 然后，在没有固定成本的情况下，上文所述的持续执行问题基本上解决了与模型（17）相同的问题，即：。我∈ {1，…，m}：i=0，当价格变化ξi且预测更新δi，i∈ {1，…，m}，分别遵循方差τiσ和τim的零均值正态分布，即ξi~ N0，τiσ和δi~ N0，τim.总之，我们的方法有多个优点。首先，我们在引理2.8中表明，每当卷目标更新可用时，由在均值方差框架中重新计算最优策略组成的策略产生的交易量可以在我们的模型中使用适当的更新规则β进行复制。其次，与Cheng等人（2017）的模型相比，我们的模型更具通用性。事实上，为了提供最优交易率的封闭式表达式，Cheng等人（2017）基于以下假设，即价格动态和不确定订单均采用布朗运动建模，以及基于以下假设，即价格波动率（σ），成交量目标更新的波动率（m），价格影响参数（γ和η）在整个执行期内保持不变。

我们的模型中不需要考虑所有这些因素，这使我们能够考虑更广泛的情况，例如，在执行期间流动性比例不是恒定不变的情况，或者预测量目标更新相关的情况。在这些情况下，为Chenget al.（2017）提出的模型找到最佳交易率的封闭式表达式将具有更大的挑战性。或者，可以使用动态规划方法获得最佳速率；然而，与我们的方法相比，这将导致更高的计算成本。最后，正如我们将在第3节中所示，我们将观察到，尽管CVaRα风险度量不具有时间一致性，这可能导致次优策略（Rudloff et al.，2014），但与Cheng et al.（2017）提出的动态规划方法提供的最优解相比，使用我们的模型获得的策略具有竞争力。这表明，将与交易量目标相关的不确定性整合到策略交易成本的估计中（见方程式（11）），并通过预定规则β采取部分追索权，可以产生直观且具有竞争力的交易策略，同时避免更复杂方法的计算成本。3数值结果在本节中，我们分析了将与交易量目标相关的不确定性纳入交易执行问题的影响。我们提供了一些数字证据，表明在考虑与成交量目标相关的不确定性时，交易者应该通过延迟交易来调整其执行程序。为了验证结果，我们在两个不同的测试用例中应用了我们的模型。

在这两种情况下，假设市场上有一只股票，初始价格S=50，日交易量V中位数为500万股：（a）恒定的买卖价差。我们假设市场流动性在所有交易期间保持不变；我们假设每个交易期τi的买卖价差等于初始资产价格的0.25%，即。我∈ {1，…，m}：bi=0.125。（b） U形日内买卖价差。之前的论文，如Chan等人（1995年）指出，纽约证券交易所股票的交易量和买卖价差在交易日通常遵循U型模式；交易活动集中在市场开盘和收盘时。因此，价格影响斜率，即ηi，在早期和最后阶段大于中期（Huberman和Stanzl，2005）。为了捕捉这种行为，假设5个交易期的买卖价差为以下比例：b:=[b，…，b]T=[0.15，0.125，0.125，0.2，0.25]T，对应于初始资产价格S的0.3%，0.25%，0.25%，0.4%和0.5%。对于这两种情况，我们假设资产的波动率σ在整个执行期内是恒定的，等于0.95，价格变化ξi，i∈ {1，…，m}，遵循方差τiσ的零均值高斯分布，即ξi~ N0，τiσ. 对于临时影响，固定成本因素假设iis占所有交易期τi买卖价差的一半，即。我∈ {1，…，m}：i=0.5bi。此外，Almgren和Chriss（2001）认为，交易者产生的价格影响相当于每日交易量的每百分之一的买卖价差，即。我∈ {1，…，m}：ηi=bi/（0.01·V），这也是我们在本文中采用的。至于永久价格影响，Almgren和Chris（2001）假设，当每日交易量的10%被交易时，价格影响变得显著。

在此应用中，我们建议，如果其对应于交易期的5倍买卖价差，则影响是显著的，而Almgren和Chris（2001）认为价格变动等于一个买卖价差是显著的。这种规模的增加使我们能够更清楚地说明交易量不确定性对交易者所采用的风险的贡献，但对于非流动资产来说，这也是不完全现实的。因此，我们为所有i设置γi=（5bi）/（0.1V）∈ {1，…，m}。对于较小的γi值，交易量不确定性的影响略小，但由于顺序交易的累积影响，即使交易成本的微小节约也会随着时间的推移产生较大差异。最后，我们假设在这两种情况下，初始成交量目标损失为50万股，并且对于每个交易期τi，除了最后一个交易期，预测更新遵循方差τiν的零均值高斯分布，其中ν等于初始成交量目标的10%（ν：=0.1D），即。我∈ {1，…，m- 1} ：δi~ N0，τiν. 如第2.3小节所述，我们假设由于预测更新而产生的剩余交易量将根据风险中性最优交易策略y？隐含的矩阵β在未来交易期间重新分配？，t、 λVar=0在时间t计算的均值-方差框架（优化问题（3））中，即β=βk，iyt、 λVar=0∈ Rm-1×M，带βk，iyt、 λVar=0=0如果我≤ k、 y？，t、 λVar=0iPmr=k+1y？，t、 λVar=0rotherwise。（46）在实践中，价格变动和预测更新的准确分布未知，并根据历史数据进行估计（例如，见第3.4小节）。在下面，我们用^·任何交易者对基本真值参数的估计来表示。例如，τi^νiis交易者对τiνi的估计值，即交易期τi后发布的预测更新的方差。

表1总结了这两种情况的市场详情。表1：市场参数申购时间：T=5[天]交易周期数：m=5交易周期长度：我∈ {1，…，m}：τi=T/m=1[天]初始资产价格：S=50[$/股]资产波动率：σ=0.95[（$/股）/天1/2]价格变动分布：我∈ {1，…，m}：ξi~ N0，τiσ日交易量：V=5·10[共享]初始交易量目标预测：D=0.5·10[共享]交易量预测更新分布：我∈ {1，…，m- 1} ：δi~ N0，τiνν=0.1买卖价差：情况（a）：我∈ {1，…，m}：bi=0.125[$/股]案例（b）：b=[0.15，0.125，0.125，0.2，0.25][$/股]固定成本：我∈ {1，…，m}：i=0.5bi[$/股]对1%市场的影响：我∈ {1，…，m}：ηi=bi/（0.01·V）[（$/股）/（股/日）]永久影响参数：我∈ {1，…，m}：γi=（5bi）/（0.1V）[美元/股]CVaRα参数：α=0.13.1流动性的最佳策略和影响在表1的市场参数中，条件m 验证了定理2.6中的0，这意味着对于任何风险规避参数λCVaR∈ [0，1]，平均CVaR框架中的最佳交易策略是唯一确定的。图1a和1b描述了在仅考虑价格不确定性（PU）的情况下，两种流动性模型（17）的最优策略，而图1c和1d描述了在考虑两种不确定性来源时的最优交易策略，即价格和交易量不确定性（PVU）。图1e和1f分别表示了这两种情况下最优策略之间的差异。

这种差异说明，只有当交易者额外考虑到与交易量相关的不确定性时，才应该调整价格不确定性下的最优策略。考虑与交易量相关的不确定性对最优策略的影响与直觉是一致的：如果交易量不确定，等待对该交易量的更精确估计在降低风险方面是有利的。事实上，我们观察到，交易者应该减少第一个交易期的交易量，并将其分散到下一个交易期。此外，交易者越厌恶风险，对其最优策略的影响就越大。这些数据还表明，考虑成交量不确定性对最优执行策略的影响是非单调的，因为极端事件有两个不同的子集：成交量预测在交易后期增加的子集和成交量预测缩小的子集。第一种情况要求进行足够的早期交易，以避免在最新阶段将交易量提升到受流动性约束强烈影响的水平。第二种情况是，有必要避免在早期交易期间进行交易，并在稍后进行这些头寸的交易。这两种效应试图相互制衡，其结果是将一些早期交易重新分配到交易期的中间部分。

这一影响是由于纳入了追索权估计，并使用了专注于极端事件的CVaRα度量。当考虑到与交易量目标相关的不确定性以及价格不确定性时，流动性文件对最优策略和对策略的调整都有影响。首先，与流动性保持不变的情况相比，风险中性交易者应该将其交易从流动性较低的时期转向流动性较高的时期。这对于风险厌恶型交易者来说并不简单，因为风险厌恶型交易者越多，敌对情景对其目标函数的影响就越大，因此，交易者在市场流动性和不确定性的影响中的因素就越多。递减的τ1τ2τ3τ4τ500.20.40.60.81交易周期与交易的比例λCVaR=0.00λCVaR=0.25λCVaR=0.50λCVaR=0.75λCVaR=1.00（a）情况（a）：仅在PU下的最优交易策略，即。我∈ {1，…，m- 1} ：^νi=0。τ1τ2τ3τ4τ500.20.40.60.81交易周期与交易的比例λCVaR=0.00λCVaR=0.25λCVaR=0.50λCVaR=0.75λCVaR=1.00（b）情况（b）：仅在PU下的最佳交易策略，即。我∈ {1，…，m- 1} ：^νi=0。τ1τ2τ3τ4τ500.20.40.60.81交易周期与交易的比例λCVaR=0.00λCVaR=0.25λCVaR=0.50λCVaR=0.75λCVaR=1.00（c）情况（a）：PVU下的最优交易策略，即。我∈{1，…，m- 1} ：^νi=νi.τ1τ2τ3τ4τ500.20.40.60.81交易周期与交易的比例λCVaR=0.00λCVaR=0.25λCVaR=0.50λCVaR=0.75λCVaR=1.00（d）情况（b）：PVU下的最佳交易策略，即。我∈{1, . . .