不确定交易量目标下的最优交易执行

这仅部分解决了预测更新带来的问题，因为过去的决策不能事后修改，这意味着PMI=1yiDi-16=DT。事实上，如果我们用δk表示，k<m，则在决策时间tk报告的预测更新，那么与δkdue相关的预测误差与过去决策相当，等于δεk：=δkPkr=1年。这对应于额外的交易量，可能是正的，也可能是负的，为了与DT匹配，需要在剩余的交易期内进行交易。我们预测，当volumetarget发生更新时，交易者会根据独立于决策变量的固定分布，通过在剩余交易期间重新分配预测误差来调整其策略。预先考虑这些更正可以部分考虑未来的追索行动，而无需计算代价高昂的动态编程模拟。在我们的方法中，我们在未来的交易期间根据固定的比例重新分配额外的交易量。我们将这些固定比例视为模型参数，并将最佳参数值的学习留给未来的工作。让βk，i注意交易期τi的预测误差Δεkto的校正比例。显然，如果i≤ k和pmi=k+1βk，i=1表示所有k<m。我们将参考β：=（βk，i）∈ Rm-1×mas再分配矩阵。如果数量目标不确定，我们将交易策略的成本定义为：（i）在考虑由再分配矩阵β确定的追索权粗略模型的情况下，遵循初始交易策略，在执行期结束时产生的交易成本与（ii）在完全流动的市场中理想获得的交易成本之间的差异，其中整个头寸在执行期的开始。

考虑到这些因素，与策略相关的交易者交易成本y=【y，…，ym】是以下随机变量：C（y）：=mXi=1ni（y）~Si- DTS（10）=mXi=1“ξi+τigini（y）τiD+mXk=1δk-iXk=1nk（y）#+mXi=1ni（y）高ni（y）τi, （11） 式中，ni（y）是一个随机变量，表示交易期间的交易量τi：ni（y）=yiDi-1+1-1Xk=1βk，iδεk=yiD+i-1Xk=1δkyi+βk，ikXr=1yr！。（12） 在交易期间交易的头寸数量ni（y）τiis由（i）最佳交易量估计值Di的比例yi组成-1和（ii）与之前的交易量预测更新相关的头寸调整。现在，如果我∈ {1，…，m}，ni（y）定义为（12），然后1Tn（y）=DT，其中n（y）：=[n（y），…，nm（y）]T。从（12），我们观察到，给定样本空间的任何结果ωOhm因此，任何预测更新的实现，即δ（ω）：=[δ（ω），…，δm-1（ω）]T，交易量的实现n（y；ω）：=[（n（y））（ω），…，（nm（y））（ω）]T可以表示为决策变量y的线性组合。形式上，这意味着ω ∈ Ohm, 我们可以找到一个（下三角）矩阵L（ω），使得n（y；ω）=L（ω）y。（13）此外，如果D6=0，L（ω）是非奇异的，因为对角线上的所有元素都不同于零，即。i:Lii（ω）=D。在本文的其余部分，C（y；ω）是（C（y））（ω）的简写，即给定结果ω的执行策略的交易成本。最后，我们认为，如果保证交易者在不利时期不会支付过高的价格，那么他们交易成本的差异就不是最重要的。因此，我们认为风险厌恶交易者更愿意在最坏情况情景的分位数条件下最小化其预期交易成本，而不是在所有情景下最小化其交易成本的方差。

因此，我们用α-条件风险值（CVaRα）风险度量来量化交易者策略的风险：CVaRα[C（y）]=βyZOhmyC（y；ω）dP（ω），（14），其中βy=P[C（y）≥ VaRα[C（y）]]，Ohmy={ω∈ Ohm : C（y；ω）≥ VaRα[C（y）]}，且VaRα[C（y）]=minnγ∈ R | FC（y）（γ）≥ 1.- αo，（15），其中fc（y）（γ）=P[C（y）≤ γ] （16）是C（y）的累积分布函数。α-条件风险值是一种一致的风险度量（Artzner等人，1999年；Rockafellar和Uryasev，2002年），其重点是极端成本的比例α，并可解释为条件成本超过阈值VaRα[C（y）]的预期。给定风险规避参数λCVaR∈ [0，1]，交易者因此试图最小化总交易成本的平均CVaRαtrade-o fff：minimiseyДλCVaRα（y）：=（1- λCVaR）E[C（y）]+λCVaRCVaRα[C（y）]（17a）受1Ty=1的约束。（17b）注意，在优化问题（17）中，交易者的追索权是预先估计的，而不是通过动态规划进行模拟，以避免困扰随机优化的维数灾难。然而，与Almgren和Chriss（2001）的模型相比，模型（17）定义得很好，因为它适应总体积变化，因此保证满足总贸易体积等于DT的约束。2.2.1市场可行性的必要条件如前所述，Huberman和Stanzl（2004）提供了市场可行的必要条件（4），前提是交易周期是同质的，即gi=g，hi=h，τi=τ，每个交易周期τi，i∈ {1，…，m}。对于线性冲击函数，即方程（5a）和（5b），条件（4）随后变为 签名qτ+ ηqτ- 签名-qτ+ η-qτRγq，对于q R 0。

（18） 这种情况直观地意味着，在不同交易期购买和转售任何相同数量的qof股份所产生的临时成本应始终大于永久性影响引起的价格变动所带来的成本节约机会。对于任何向量:= [, . . . , m] Twith公司k：k≥ 0，条件（18）相当于η>γτ，这是Almgren和Chriss（2001）模型中具有唯一最优交易策略的有效条件。基于市场不应允许任何价格操纵的基本原理，我们将其定义为具有负预期成本的往返策略，条件（18）可以在更一般的框架中推广，其中影响对交易周期τi.Definition 2.1（往返策略）起作用并隐藏。往返策略n是一种策略，其中在执行期间执行的所有交易的总和等于零，即1Tn=0。请注意，往返策略是根据每个交易周期内的交易量而非比例y来定义的。事实上，如果总交易量DTA确定且等于零，则基于DTA比例的唯一往返策略将等同于不交易；因此，在提供更多灵活性方面，制定往返策略。根据定义2.1和Huberman和Stanzl（2004，定义1）的价格操纵定义，我们将价格操纵定义如下：定义2.2（价格操纵）。（风险中性）价格操纵是一种往返策略，具有严格负的预期成本，即[C（n）]<0。（19） 引理2.3。如果市场没有价格操纵，那么矩阵M：=E-Γ为正半定义，即。

M 0，其中=2ητ+2ηmτm2ηmτm··2ηmτm2ηmτm。。。。。。。。。。。。。。。。。。2ηmτm2ηmτm··2ηmτm2ηm-1τm-1+2ηmτm, 和Γ=2γγγiγm-1γ2γ...............γi·····2γi。。。。。。。。。γm-1············2γm-1.. （20） 证明。为了证明引理2.3，我们证明了如果矩阵M不是正半定义，那么我们可以找到aprice操纵。给定结果ω∈ Ohm, 往返策略n的交易成本由c（n；ω）=mXi=1“（ξi（ω）+γini）给出-iXk=1nk#+mXi=1i | ni |+ηiniτi！。（21）由于n定义了往返策略，交易成本可以用第一个m表示- 1通过使用pmi=1ni=0的事实，n的成分=> 牛米=-下午-1i=1ni:C（n；ω）=m-1Xi=1“（ξi（ω）+γini）-iXk=1nk#+m级-1Xi=1i | ni |+ηiniτi+m级m级-1Xi=1ni+ηm下午-1i=1niτm. （22）该交易成本可分为两部分：（i）Lin（n；ω），其随n线性增长，并取决于不确定性结果ω，（ii）n中的二次项与ω无关：C（n；ω）=Lin（n；ω）+m-1Xi=1ηiniτi+ηm下午-1i=1niτm-m级-1Xi=1γiniiXk=1nk！！（23）=Lin（n；ω）+nT[1:m-1] M n【1：M】-1] ，（24）式中，n[1:m-1] 是第一个m的向量- 1 n的分量。如果矩阵M不是正半定义，则存在方向d∈ Rm-对于每个ω，二次型是凹的∈ Ohm M与ω无关；与M的负特征值之一相关的任何归一化特征向量都是这样的方向。下面，让ζ-是M和v的负特征值，是相关的归一化特征向量。因此，存在一个κ∈ R、 这样，往返策略n：=hκv，κvm-1.-κ电视这是价格操纵。事实上，我们可以找到一个κ∈ R、 因此ω ∈ Ohm : C（~n；ω）<0，这意味着~n是一种价格操纵，即[C（~n）]<0。

当κ→ ∞, 因此，当knk→ ∞, 交易成本主要由其二次部分决定，即C（▄n；ω）▄nT【1:m】-1] M~n【1:M】-1]=κζ-< 02.2.2最优策略集与模型（3）相比，我们可以证明优化问题（17）的目标函数νλCVaRα在其可行集Y上是凸的：=ny∈ Rm | 1Ty=1如果市场排除任何价格操纵。任意λCVaR值的目标函数在Y上的凸性∈ [0，1]等价于两个函数f:Rm的同时凸性→ Ry 7→ E【C（y）】和f:Rm→ Ry 7→ y.引理2.4上的CVaRα[C（y）]。如果（5a）-（5b）给出了永久和临时冲击函数，并且如果M 0（分别为M 0），然后是函数f:Rm→ Ry 7→ E[C（y）]在y证明上（严格地）是凸的。根据定义，我们有E[C（y）]=ROhmC（y；ω）dP（ω）。因此，如果对于任何结果ω∈ Ohm, 函数C（·；ω）：Rm→ Ry 7→ C（y；ω）在y中是（严格地）凸的，那么引理2.4的结果成立，因为C（y）的期望可以看作是C（y；ω）的非负加权和。给定（11），C（y；ω）写为：C（y；ω）=mXi=1“ξi（ω）+τigini（y；ω）τiD+mXk=1δk（ω）-iXk=1nk（y；ω）#+mXi=1ni（y；ω）hini（y；ω）τi. （25）对于任何ω∈ Ohm, y和n（y；ω）之间存在线性变换，如（13）所示，前提是y中C（·；ω）的凸性等价于证明n（y；ω）中C（·；ω）的凸性（Boyd和Vandenberghe，2004），其中，使用（5a）-（5b），eC（·；ω）由eC（n（y；ω）给出；ω） =mXi=1“（ξi（ω）+γini（y；ω））D+mXk=1δk（ω）-iXk=1nk（y；ω）#+mXi=1i | ni（y；ω）|+ηini（y；ω）τi=mXi=1ξi（ω）DT（ω）-iXk=1nk（y；ω）+mXi=1γini（y；ω）DT（ω）+mXi=1i | ni（y；ω）|-mXi=1γini（y；ω）iXk=1nk（y；ω）+mXi=1ηini（y；ω）τi，（26），其中DT（ω）：=D+Pmk=1δk（ω）。

很明显，（26）的前三项是凸inn（y；ω），后两项可以用与引理2.3证明类似的方式组合，即。-mXi=1γini（y；ω）iXk=1nk（y；ω）+mXi=1ηini（y；ω）τi=nT[1：m-1] M n【1：M】-1]- γmDT（ω）-m级-1Xi=1ni（y；ω）！DT（ω）+ηmτmDT（ω）DT（ω）- 2米-1Xi=1ni（y；ω）！，（27）其中n【1：m】-1] ：=[n（y；ω），…，nm-1（y；ω）]T。因此，如果M 0（分别为M 0); 这将终止证明。引理2.5。如果（5a）-（5b）给出了永久和临时冲击函数，并且如果M 0（分别为M 0），然后是函数f:Rm→ Ry 7→ CVaRα[C（y）]在y证明上（严格地）是凸的。任何实值一致性风险度量%：Rm→ Ry 7→ % Artzner等人（1999）定义的[C（y）]可以用其双重表示法表示，即%[C（y）]=supu∈DEu[C（y）]，（28），其中D是Ohm （Shapiro等人，2009年，定理6.4和6.6）。因此，由于CVaRα是一个一致的风险度量（Rockafellar和Uryasev，2002，推论12），因此，通过将任意ω的C（·；ω）的（严格）凸性与定义为（严格）凸函数的点态上确界的函数是（严格）凸的（Boyd和Vandenberghe，2004）这一事实相结合，可以显示出所设计的结果。定理2.6。如果永久和临时冲击函数由（5a）-（5b）给出，如果λCVaR∈ [0，1]如果M 0（分别为M 0），则优化问题（17）的目标函数在其可行集Y证明上是（严格）凸的。基于引理2.4和2.5，证明很简单。与模型（3）类似，在λCVaR的条件下，可行集Y和定理2.6的凸性和非空性意味着∈ [0，1]和M 0，凸集Y的存在唯一性？ （17）中定义的模型的最佳执行策略。

如果M 0，最优策略集是一个单例，即Y？：={y？}。换句话说，必要条件M 0表示没有价格操纵，因此没有交易者有兴趣通过人工交易影响价格动态的可行市场，这等同于优化问题的凸性（17），因此是交易者考虑价格和交易量不确定性的最优策略的凸集。2.3与其他方法的比较有追索权的差异。在产量目标不确定的情况下，只要有对产量目标的预测更新可用，就可以将Almgrenand Chriss（2001）模型与系统追索一起部署。我们将证明，通过选择适当的y和β，可以在我们的模型中复制这种策略。与模型（17）类似，模型（3）中的交易策略n可以等效地表示为每个交易周期τi，i中固定量目标dt与交易的比例yi∈ {1，…，m}。引理2.7。如果ξi，i∈ {1，…，m}，是从平均值为零的独立随机变量中得出的，即如果永久和临时冲击函数由（5a）-（5b）给出，并且如果临时冲击参数所有（即独立于）交易期的iis常量，即。我∈ {1，…，m}：i=,那么最优策略y？优化问题（3）的比例表示为dti独立于dT的比例。证据基于（2），交易成本的期望值和方差由[C（n）]=mXi=1γinidT给出-iXk=1nk+mXi=1 |ni |+ηiniτi=mXi=1γiyi1-iXk=1yk！dT+mXi=1 |yidT |+ηiτi（yidT）,V【C（n）】=mXi=1V【ξi】dT-iXk=1nk=mXi=1V[ξi]1-iXk=1yk！dT。此外，如果我们假设w.l.o.g.dT>0，那么最佳体积n？优化问题（3）的数量为正（Almgren和Chris，2001）。

因此，在优化问题（3）中添加决策变量n的非负性约束不会改变其最优解。因此，可以替换PMI=1 |ni | byPmi=1ni=dT。因此，优化问题（3）目标函数中依赖于决策变量y的所有项都乘以dT，这意味着dT对最优解y？没有影响？。引理2.7意味着，在价格和交易量不确定的情况下，交易者的策略包括部署Almgren和Chriss（2001）的模型，以及在交易量目标更新可用时的系统追索权，是时间一致的。更准确地说，给定最优策略y？，tof（3）在时间t计算，如果重新计算最优策略y？，ti公司-（3）中的1个在随后的决策时间ti-1，我∈ {2，…，m}，它只是时间ti的延续-1至tmof y？，t、 即y？，ti公司-1： =hy？，ti公司-1i，yti公司-1miT=Pmr=iy？，tr！·yt[i：m]，（29）式中y？，t[i：m]：=hy？，ti，ytmiT。请注意，重新缩放的比例y？，ti公司-1，我∈ {2，…，m}，与过去的实现（价格变动和预测更新）无关，因此可以在执行期开始时，即在时间t预先计算。如果nrec：=[nrec，…，nrecm]t通过求解（3）每当发生交易量目标的更新，则在交易期τi，i计算交易量，从而更新其策略的交易员的交易量∈ {1，…，m}，等于比例y？，ti公司-最佳交易量目标估计Di的1-1分钟已交易量，即nreci=y？，ti公司-1i·Di公司-1.-圆周率-1k=1nreck.引理2.8。如果ξi，i∈ {1，…，m}，是从平均值为零的独立随机变量中抽取的，即。

如果永久和临时冲击函数由（5a）-（5b）给出，并且如果临时冲击参数iis在所有交易期间保持不变，即。我∈ {1，…，m}：i=, 然后存在策略“y”和再分配矩阵“β：=（βk，i）∈ Rm-1×m这样，等式（12）给出的交易量等于nrec。证据将y定义为y？，t> 0，时间t时优化问题（3）的最优解，和‘’=βk，i∈ Rm-1×mas由y？表示的再分配矩阵？，t、 即其成分定义如下的矩阵‘βk，iyt型:=0如果我≤ k、 y？，tiPmr=k+1y？，三逆。（30）那么，\'y和\'β使得等式（12）给出的交易量等于nrec。事实上，利用PMI=1y的事实？，ti=1，其中体积nrecare由nRec=y？给出？，tD，（31）nrec=y？，tPmr=2y？，tr公司D+δ- ytD公司=yt1级- yt型1.- yt型D+δ= ytD+y？，t1级- ytδ（32）nrec=y？，tPmr=3y？，trD+δ+δ- ytD公司- ytD公司-yt1级- ytδ！=ytD+y？，t1级- ytδ+y？，t1级- yt型- ytδ（33）。。。nreci=y？，tiD+i-1Xk=1y？，第1条-Pkr=1年？，tr！δk.（34）使用“y”和“β”的定义，得到一个nReci=”yiD+i-1Xk=11.-Pkr=1年“彝语+”彝语Pkr=1年1.-Pkr=1年δk=(R)yiD+i-1Xk=1'yi+'βk，ikXr=1'年！δk，（35）正是（17）中策略“y”和再分配矩阵“β”的交易量的表达式（见等式（12））。引理2.8意味着，如果我们要优化（17）策略集Y和再分配矩阵集B：=β ∈ Rm-1×mβk，i=0，如果i≤ k和k∈ {1，…，m- 1} ：Pmi=k+1βk，i=1, 然后存在一个策略（y，β）∈ Y×B，以便在发布交易量目标更新时，遵循此策略的交易量与交易员在均值-方差框架中重新计算最优策略的交易量相同。因此，明智选择的再分配矩阵β可以模拟采取追索权的行为。