仿射跳跃扩散：随机稳定性和极限定理

然后：（ii）对于每个q∈ [1，p]，存在（4）成立的正有限常数Cq和ρqsuch。（iii）对于任何可测量函数h:X 7→ R带| | h | | fp<∞, （5） 和（6）保持。（iv）对于任何可测量函数h:X 7→ R带| | hq | | fp<∞ 对于某些q>2的情况，存在非负的有限常数σhandγhs，如（7）和（8）保持为n→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、 我们注意到，如果X具有平稳分布π且收敛（3）成立，则称其为遍历，而如果| | Px（X（t））成立，则称其为f指数遍历∈ ·) - π（·）| | f≤ c（x）e-ρt，t≥ 0，x∈ 十、 对于某些函数f:X 7→ [1, ∞), c:X 7→ R+和一些正有限常数ρ。显然，在定理1（ii）或定理2（ii）的假设下，X是指数遍历的。建立AJDs阳性Harris复发的关键条件是β+E（Z）κ是一个稳定的矩阵。如果我们按照惯例∞ = 0，当κ=0时，该条件表示β是一个稳定的矩阵，而与E | | Z | |的完整性无关。β是稳定矩阵的条件在文献中有典型的假设，包括Sato和Yamazato（1984）、Glasserman和Kim（2010）以及Jena等人（2012），以便该过程是均值回复且具有平稳分布。然而，这三篇文章中的第一篇研究的是一种特殊的列维驱动的SDE，而另外两篇研究广告，因此其中非e篇文章与AJD一样允许状态相关的跳跃强度。可以看出，β+E（Z）κ的稳定性意味着β；参见Zhang等人（2015）的引理3。因此，我们的条件更强，我们称之为强均值回归条件。注意，E（Z）是平均跳跃大小，当AJD值较大时，κ在很大程度上决定了跳跃强度的大小。在某种程度上，E（Z）κ捕捉跳跃的影响。

因此，通过施加β+E（Z）κ的稳定性, 我们基本上假设平均反转是过程动力学中的一个主导因素，比跳跃更重要。另一方面，这种情况在技术上是温和的。事实上，我们在第3.3节中表明，如果需要AJD的哈里斯复发率为正，则通常不能解除AJD。3随机稳定性在这一节中，我们应用李亚普诺夫思想来解决X的随机稳定性。这种方法的关键步骤是明智地构造合适的李亚普诺夫函数；参见Meyn和Tweedie（1993c）对这种方法的广泛处理。然而，我们没有直接使用那里的结果，因为他们的理论使用了一个域的定义，坚持有趣的诱导鞅，而我们使用的是局部鞅。考虑一个二次微分函数g:X 7→ R、 根据It^o公式，g（X（t））=g（X（0））+Ztg（X（s-）u（X（s-）+dXi，j=1g（X（s-）xixj（σ（X（s-）σ（X（s-）)ij公司ds+Ztg（X（s-）σ（X（s-）d W（s）+ZtZX（g（X（s-）+z）- g（X（s-））N（ds，dz）。（9） 通过在二次可微适当可积函数G上定义算子G、L和A，通过G（x）：=g（x）·（b+βx）+dXi，j=1g（x）xixjai，j+dXk=1αk，ijxk！，L g（x）：=（λ+κx） ZX（g（x+z）- g（x））ν（dz），A g（x）：=g g（x）+L g（x），（10）我们可以重写（9）asg（x（t））=g（x（0））+ZtA g（x（s-）ds+s（t）+s（t），s（t）：=Ztg（X（s-）σ（X（s-）d W（s），s（t）：=ZtZX（g（X（s-）+z）- g（X（s-）~N（ds，dz），（11），其中~N（ds，dz）=N（ds，dz）-∧（X（s-）dsν（dz）是N（ds，dz）的补偿随机测度。我们引入了一些符号，以便于构造所需的李雅普诺夫不等式。首先，对于d×d矩阵H 0，定义| | v | | H：=√v高压。那么，| |·| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |||≤ ||v | | H≤\'\'δ| | v | |，v∈ Rd，（12）其中（δi:i=1，…，d）是H的特征值，\'δ=min{δi:i=1，…，d}和\'δ=max{δi:i=1，…，d}。

然后，我们可以确定以下诱导矩阵规范（见Horn和Johnson（2012，第340页））。对于矩阵a∈ Rd×d，d e fine | | | | A | | |：=支持||Av | | | | v | |：0 6=v∈ 研发部和| | | A | | | H：=sup||Av | | H | | v | H:0 6=v∈ 研发部.3.1每个患者的哈里斯复发率和遍历性均为阳性 > 0，设X:= （X（n) : n=0，1，…）表示-X的框架。命题1。假设1-3，X对于任何 > 0，其中ν是X上的lebesgue度量值。P位置1的证明依赖于以下结果，这本身就很重要。它将跳跃扩散过程的不可约性归结为相关扩散过程的不可约性。引理1。假设X满足SDE（1）。设▄X=（▄X（t）：t≥ 0）满足度dX（t）=u（X（t））dt+σ（X（t））dW（t），~X（0）=X∈ 十、 （13）其中W是d维维纳过程i n（1）。如果▄X（resp.，X）是Д-不可约的，那么X（对应X）是Д-不可约的。证据考虑一个可测量的K X，并让τ表示X的第一个ju mp时间。然后Px（X（t）=X（t））=1表示t<τ*. 因此，对于任何大于0的t，Px（X（t）∈ K、 τ*> t） =排气I（￠X（t）∈ K、 τ*> t） | X（s），0≤ s≤ t型在这里，我们不限制其系数u、σ、∧遵循表（2）。=参展商（X（t）∈ K） Pτ*> t | X（s），0≤ s≤ t型i=附件（￠X（t）∈ K） e类-Rt∧（￠X（s））dsi。因此，Px（X（t）∈ K、 τ*> t） =0当且仅当Px（≈X（t）∈ K） =0表示任何t>0。那么就可以很清楚地看到▄X的ν-不可约性（resp.，▄X）表示X的（分别为X）。命题1的证明。证明中的关键是通过菲利波维奇（Filipovi\'c）和梅尔霍夫（Mayerhofer）（2009）中使用的线性变换将AJD转换为一种规范表示，其中矩阵涉及特殊形式的数据。

具体而言，请注意，如果X满足系数（2）的SDE（1），则对于任何非奇异矩阵A∈ Rd×d，线性变换Y=AX满意度dy（t）=（Ab+AβA-1Y（t））dt+AσA.-1年（吨）dW（t）+ZRdAzN（dt，dz），Y（0）=Ax，（14），其中N（dt，dz）具有补偿器测量∧（A-1Y（t-）dtν（dz）。因此，d裂谷、d扩散矩阵和SDE（14）的强度为Ab+AβA-1y，AσA.-1年σA.-1年A., 和λ+κA.-因此，（1）的强解的存在性和唯一性相对于非奇异线性变换是可变的。由于所有i=1，…，αi，ii>0，m、 根据Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）的引理7.1，存在非奇异矩阵a∈ Rd×D映射Rm+×Rd-mto自身，并将变换后的扩散矩阵呈现为以下方块对角线形式σA.-1年σA.-1年A.=diag（α1,11y，…，αm，mmym）00 h+Pmi=1yiηi！对于一些（d-m） ×（d-m） 矩阵h 0和ηi 0，i=1，m、 特别是，A的形式为=ImD Id-m！，对于一些（d-m） ×m矩阵D，其中i和Id-mare身份矩阵。此外，很容易验证Ab，AβA-1和κA.-1在lieuof b、β和κ中满足假设2和假设3。因此，我们可以假设（1）的扩散矩阵的形式为σ（x）σ（x），而不失一般性=diag（α1,11x，…，αm，mmxm）00 aJ J+Pmi=1xiαi，J J！。（15） 因此，XI（t）满足XI（t）=（bI+βIIXI（t））dt+diag(√α1,11x，√αm，mmxm）dWI（t），~XI（0）=XI∈ Rm+。假设2bi>αi，ii，i=1，m、 我们可以直接验证Duffee和Kan（1996）第388页的Theorem条件，得出0∈ Rm+在有限时间内无法实现，即对于所有t>0且i=1，…，Xi（t）>0，m、 如果▄Xi（0）>0，i=1，m、 现在我们考虑一个双射变换▄Y：=f（▄X），其中f:X 7→ X定义如下：fi（X）=2√XI对于i=1。

，m和fi（x）=xi，对于x=m+1，d、 然后，fi（x）xj公司=x个-1/2i，如果i=j，i=1，m、 1，如果i=j，i=m+1，d、 0，否则，以及fi（x）xk公司xl码=(-x个-3/2i，如果i=k=l，i=1，m、 0，否则。由此得出，根据It^o的公式，dfi（￠X（t））=ζi（￠X（t））dt+fi（￠X（t））σ（≈X（t））dW（t），对于i=1，d、 式中ζi（x）=fi（x）xiui（x）+fi（x）xi（σ（x）σ（x）)二。注意，我们在xi处显示了th>0，i=1，m代表x∈ 十、 所以函数ζ（X）对于所有X都是很好的定义∈ 十、 让f-1指定f的逆映射，即f-1i（y）=yi，对于i=1，m和F-1i（y）=yi，对于i=m+1，d、 那么，d▄Y（t）=ζ（f-1（▄Y（t）））dt+f（f-1（￠Y（t）））σ（f-1（￠Y（t）））dW（t），（16），其中f： =(金融机构xj）1≤i、 j≤dis f的雅可比矩阵。简单的计算表明，（16）的扩散矩阵为f（f-1（y））σ（f-1（y））σ（f-1（y））f（f-1（y））=diag（α1,11…，αm，mm）00 aJ J+Pmi=1yiαi，J J！。因此，根据假设αi，ii>0，i=1，m和aJ J 0，则（16）的扩散矩阵为一致椭圆。众所周知，这种分化过程承认正概率密度；例如，参见Davies（1989）的定理3.3.4。由于映射f是双射的，我们得出结论，X也允许正的跃迁密度，所以X是Д-不可约的。这就完成了引理1的证明。提案2。在假设1和2下，X是一个随机连续的a ffne过程。证据对于T>0和任何纯虚向量u∈ iRd，定义M（t）：=eφ（t-t、 u）+ψ（t）-t、 u）X（t），其中φ：R+×iRd7→ C和ψ（t，u）：R+×iRd7→ Cd是与t不同的函数。

应用It^o公式la，M（t）=M（0）+ZtM（s-）ψ（t- s、 u）σ（X（s））dW（s）+ZtM（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.N（ds，dz）+ZtM（s-）[-tφ（t- s、 u）- tψ（t- s、 u）X（s）+ψ（T- s、 u）u（X（s-）]ds+ZtM（s-）ψ（T- s、 u）σ（X（s-）σ（X（s-）ψ（T- s、 u）ds=M（0）+ZtM（s-）ψ（T- s、 u）σ（X（s））dW（s）+ZtM（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.N（ds，dz）+ZtM（s-）-tφ（t- s、 u）+ψ（T）-s、 u）b+ψ（T- s、 u）aψ（T- s、 u）ds+ZtM（s-）- tψ（t- s、 u）X（s-+ψ（T- s、 u）βX（s-）+dXi=1ψ（s，u）αiψ（s，u）Xi（s-）ds+ZtM（s-）（λ+κX（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.ν（dz）ds。因此，如果φ和ψ满足以下广义Riccati方程tφ（t，u）=ψ（t，u）b+ψ（t，u）aψ（t，u）+λZXeψ（t，u）z-1.ν（dz），tψi（t，u）=ψ（t，u）βi+dXi=1ψ（t，u）αiψ（t，u）+κiZXeψ（t，u）z-1.ν（dz），i=1，d、 φ（0，u）=0，ψ（0，u）=u，其中β是β的第i列，然后M（t）=M（0）+ZtM（s-）ψ（t- s、 u）σ（X（s））dW（s）+ZtM（s-）ZXeψ（T-s、 u）z- 1.~N（ds，dz）。（17） 根据Duffe et al.（2003）的命题6.1和命题6.4，在假设2下，前面的广义Riccati方程具有唯一解（φ（·，u），ψ（·，u））：R+7→C-×Cm-×iRd-mfor所有u∈ 厘米-×iRd-m、 其中Cm-= {z∈ Cm | Re（z）∈ Rm-}. 因此，φ（t，u）+ψ（t，u）x个∈ C-, x个∈ 十、 （18）根据假设1。此外，Du ffe et al.（2003）的命题7.4断言，对于所有t，s，th在φ（t+s，u）=φ（t，u）+φ（s，ψ（t，u））ψ（t+s，u）=ψ（t，ψ（s，u））（19）处∈ R+和u∈ 厘米-×iRd-m、 根据（17）和（18），（m（t）：0≤ t型≤ T）是局部m artin大风，带有| m（T）|≤ 1表示所有t，因此是鞅。SoEx[欧盟X（T）]=Ex[M（T）]=Ex[M（0）]=eφ（T，u）+ψ（T，u）x、 （20）即特征函数Ex[euX（t）]是X中的指数。

此外，通过（19）和（20）ChapmanKolmogorov方程px（X（t+s））很容易验证y∈ ·) =ZXPx（X（t）∈ dy）Py（X（s）∈ ·),这意味着X是一个时间齐次马尔可夫过程，因此是（20）的一个有效过程。最后，Ex[欧盟X（t）]在t中由（20）明显连续，表明X是随机连续的。定理1（i）的证明。我们首先证明了X是哈里斯回归的。Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.1断言，如果（i）X是Borel-right过程（Getoor 1975，p.55），并且（ii）X存在一个小集K，那么Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、 Wher eτK=inf{t≥ 0:X（t）∈ K} 。对于条件（i），我们注意到，根据Keller-Ressel et al.（2011）的定理5.1、Du ffe et al.（2003）的命题8.2和命题2，X是一个Feller过程。X的Feller性质平凡地暗示X是一个Borel-right过程。对于条件（ii），fix为任意 > 0并注意X是Feller链，因为X是Feller进程。根据Meyn和Tweedie（1992）的定理3.4，X的Feller性质命题1立即暗示所有紧集对于X都是小的, 因此，对于X.I，在后半部分中，我们将证明存在一个紧集K，使得Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、 为此，我们首先建立以下g李雅普诺夫不等式A g（X）≤ -c+cIK（x），x∈ 十、 （21）对于一些紧集K和一些正有限常数c，其中对于一些d×d矩阵H，g（X）=log（1+| | X | | H） 由于β是一个稳定的矩阵，因此存在一个d×d矩阵H 0，其中- （Hβ+βH） 0;见Berman和Plemmons（1994年，定理2.3（G），第134页）。计算g（x）的梯度和Hessian很简单，如下所示g（x）=2Hx1+| | x | |手g（x）=2（1+| | x | H）H- 4HxxH（1+| | x | H）。因此，G G（x）=1+| | x | Hx个H（b+βx）+dXi，j=1aij+dXk=1αk，ijxk！H-2HxxH1+| | x | | H！ij公司. （22）我们注意到，对于任何i，j=1。

，d，|（HxxH） ij |=|（Hx）i（Hx）j |≤ ||Hx公司||≤ |||H | | | | | x||≤δ-1 | | | | | | | | | H | | | x | | H，其中最后一个不等式来自（12）。因此，|（HxxH） ij | 1+| | x | | H=O（1），（23）as | | x | | H→ ∞ . 因此，我们可以重写（22）asG g（x）=2xHβx+O（| | x | H）1+| | x | H=2xHβx | | x | | H（1+| | x | H）+o（1），as | | x | H→ ∞ . 此外，根据（12）和以下事实：-（Hβ+βH） 0,-2倍Hβx=-x个（Hβ+βH） x个≥\'γ| | x||≥γδ-1 | | x | | H，其中γ>0是-（Hβ+βH） 。因此，lim sup | | x | | H→∞G G（x）=lim sup | | x | | H→∞2倍Hβx | | x | | H（1+| | | x | H）≤ -γδ-1.（24）另一方面，很容易看出1+（| | x | | H+| z | H）≤ 2（1+| | x | H）（1+| | z | H）对于所有x，z∈ 因此，log1+| | x+z | H1+| | x | H！≤ 对数1+（| | x | H+| z | H）1+| x | H！≤ 对数（2（1+| | z | H））。（25）很容易看出log（2（1+| | z | H））在X上是可积的，因为E log（1+| | z | H）<∞ 当且仅当ifE日志（1+| | Z |）<∞ 根据（12）。然后，我们将（25）的左侧移动到右侧，并应用Fatou引理获得lim sup | | x | | H→∞ZXlog1+| | x+z | | H1+| | x | H！ν（dz）≤ZXlim sup | | x | | H→∞log1+| | x+z | | H1+| | x | H！ν（dz）=0。k=0时，lim sup | | x | | H→∞L g（x）=lim sup | | x | | H→∞λZXlog1+（| x | H+| z | H）1+| x | H！ν（dz）≤ 0。（26）然后，我们从（24）和（26）得出结论，存在k>0，其中g（x）=g（x）+L g（x）≤ -γδ-1，对于所有x∈ 当| | X | | H>k时，很容易通过设置k={X来检查不等式（21）是否成立∈ X：| | X | | H≤ k} ，c=\'γ\'？δ-1/2，且c=最大值{1，supx∈K（A，g（x）+c）}。我们现在准备显示Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、 定义Tn=inf{t≥ 0：| X（t）|>n}。它由（11）和（21）得出，即g（X（t∧ Tn））≤ g（X（0））+Zt∧田纳西州[-c+cIK（X（s-）]ds+s（t∧ Tn）+S（t∧ Tn），n≥ 1.

（27）注意到| X（t-）|≤ n有界于t∈ [0，Tn），（Si（t∧ Tn）：t≥ 0）是鞅，i=1，2。然后根据可选抽样定理（参见，例如，Karatzas和Shreve（1991，p.19））Ex[g（X（t∧ τK∧ Tn））]≤ g（x）- cEx（t∧ τK∧ Tn），x∈ X\\K，n≥ 因此，cEx（t∧ τK∧ Tn）≤ g（x），x∈ X\\K，n≥ 1，自g（x）起≥ 0表示所有x∈ X.注意X是非爆炸性的，所以→ ∞ 作为n→ ∞ Px-a.s.适用于allx∈ 十、 因此，通过发送→ ∞ 然后s结束t→ ∞, 我们从m-on-otoneconvergence定理得出结论，cEx（τK）≤ g（x）表示x∈ 因此，Px（τK<∞) = 1代表所有x∈ 十、 因此，根据Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.1，X是Harris递归的。Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.2指出，给定Harris递推，如果s upx，X是正Harris递推∈KEx（τK()) < ∞. 我们现在表明事实确实如此。对于任何 > 0，设τK():=  + Θo τKbe之后K上的第一次击中时间, 其中Θ是轮班操作员；见夏普（1988年，第8页）。然后，Ex（τK() - ) =ZXPx（X() ∈ dy）Ey（τK）≤ZXc公司-1g（y）Px（X() ∈ dy）=c-1Exg（X()),（28）对于所有x∈ 十、 此外，从（27）可知，exg（X( ∧ Tn））≤ g（x）+（c- c） Ex公司( ∧ Tn），x∈ 十、 n个≥ 然后，利用Fatou引理和单调收敛定理，Exg（X()) ≤ lim信息→∞Exg（X( ∧ Tn））≤ g（x）+（c- c）, x个∈ 十、 （29）组合（28）和（29）得到thatEx（τK()) ≤ c-1（g（x）+d），x∈ 十、 因此，supx∈KEx（τK()) < ∞, 这意味着，根据Meyn和Tweedie（1993a）的定理1.2，X是正Harris递归的。最后，Meyn和Tweedie（1993b）的定理6.1断言，如果X是Д-不可约的，这在命题1中是正确的，那么一个正Harris递归过程是遍历的，即（3）成立。定理2（i）的证明。在证明定理1（i）之后，有必要证明李雅普诺夫不等式（21）在定理2（i）的假设下成立。

事实上，我们证明了以下strongerresultA g（x）≤ -cg（x）+cIK（x），x∈ 十、 （30）对于一些紧集K和一些正有限常数c，其中对于一些d×d矩阵H，g（X）=（1+| | X | H）p/2 0和一些常数p≥ 1、自E | | Z | |<∞, 存在p≥ 1其中E | | Z | | p<∞. 自β+E（Z）κ是稳定的，存在一个矩阵H 0，以便- [H（β+E（Z）κ) + （β+E（Z）κ)H] 0。（31）计算g（·）的梯度和Hessian很简单，如下所示g（x）=pg（x）1+| | x | HHx和g（x）=pg（x）1+| | x | H“H+（p- 2） Hxx公司H1+| | x | | H#。然后从（23）得出，作为| | x | | H→ ∞ ,G G（x）=pg（x）1+| | x | Hx个H（b+βx）+dXi，j=1（ai，j+dXk=1αk，ijxk）H+（p- 2） Hxx公司H1+| | x | | H！i、 j= pg（x）xHβx | | x | | H+o（1）！。（32）为了分析L g（x）的渐近行为，我们应用中值定理，即g（x+z）- g（x）=g（ξ）z=p（1+| |ξ| H）p/2-1ξHz，其中ξ=x+uz，对于某些u∈ (0, 1). 注意| |ξ| | H介于| | x | | Hand | x+z | | Handξ之间Hzκx之间的XLIEHzκx和（x+z）Hzκx、 然后是κx（g（x+z）- g（x））g（x）=p·（1+| |ξ| H）p/2-1（1+| | x | H）p/2·ξHzκx个~ p·xHzκx | | x | | H（33）为| | x | | H→ ∞ 对于所有z∈ Rd.此外，| g（x+z）- g（x）|=p（1+| |ξ| H）p/2-1 | zHξ|≤ p（1+| |ξ| H）p/2-1 | | z | | | | Hξ||≤ p'δ-1（1+| |ξ| H）p/2-1 | | z | | H | | | | | | H | | |ξ| H≤ p'δ-1（1+| |ξ| H）p/2-1/2 | | z | | H | | H | | | | H，（34），其中第二个不等式在（12）的s之后。所以κx（g（x+z）- g（x））g（x）≤|κ| | x | p'δ-1（1+| |ξ| H）p/2-1/2 | | z | | H | | | | H（1+| | x | H）p/2≤ p'δ-2 | | | | | | | | H | | |κ| H | | z | | H（1+| |ξ| H）p/2-1/2（1+| | x | | H）p/2-1/2，其中第二个不等式在（12）的s之后。注意1+| |ξ| H=1+| | x+uz | H≤ 2（1+| | x | H）（1+| | uz | H）≤ 2（1+| | x | H）（1+| | z | H），soZXκx（g（x+z）- g（x））g（x）ν（dz）≤ 2p/2-1/2p？δ-2 | | | | | | | | H | | |κ| | HZX（1+| | z | | H）p/2ν（dz）<∞.