仿射跳跃扩散：随机稳定性和极限定理

（35）根据（33）和（35），支配收敛定理规定κxZX（g（x+z）- g（x））ν（dz）~ pg（x）·ZxHzκx | | x | | Hν（dz）=pg（x）·xH E（Z）κx | | x | | H，和thusL g（x）=（λ+κx） ZX（g（x+z）- g（x））ν（dz）~ pg（x）xH E（Z）κx | | x | | H，（36）as | | x | | H→ ∞ . 组合（32）和（36），A g（x）=g g（x）+L g（x）=pg（x）xH（β+E（Z）κ)x | | x | | H+o（1）！这里，我们使用符号f（x）~ g（x）如果lim | | x | | H→∞f（x）g（x）=1。同于| | x | | H→ ∞ . 根据（31），矩阵H的定义，-x个H（β+E（Z）κ)x=-x个[H（β+E（Z）κ) + （β+E（Z）κ)H] x个≥\'γ| | x||≥γδ-1 | | x | | H，其中γ>0是-[H（β+E（Z）κ) + （β+E（Z）κ)H] 。因此，存在k>0，其中g（x）≤ -p‘γ’δ-1g（x）用于所有x∈ X | | X | | H>k。因此，（30）通过设置k={X保持∈ X：| | X | | H≤ k} ，c=p‘γ‘δ-1/4，且c=最大值{1，supx∈K（A g（x）+cg（x））}。3.2定理1（ii）的指数遍历性。注意，如果E | | Z | | p<∞ 对于某些p>0，则E | | Z | q<∞ 对于所有q∈ （0，p）。我们假设p∈ （0，1），因为p≥ 定理2（ii）涵盖了1，这将在后面得到证明。由于β是稳定的，因此存在一个矩阵H 0，以便-（Hβ+βH） 0.我们证明gq（x）=（1+| | x | H）q/2满足了一些紧集K和一些正常数c，c的不等式（30）。注意gq（x+z）- gq（x）≤ （1+| | x | | H+| | z | H）q/2- （1+| | x | H）q/2=qξq/2-1 | | z | | qH，其中等式来自中值定理和ξ∈ （1+| | x | H，1+| x | H+| z | H）。因为ξ>1和p∈ （0，1），我们有gq（x+z）- gq（x）≤q | | z | | qH。同样，它可以是n thatgq（x）- gq（x+z）≤q | | z | | qH。因此，| gq（x+z）- gq（x）|≤q | | z | | q手ZXgq（x+z）- gq（x）ν（dz）≤ZX | gq（x+z）- gq（x）|ν（dz）≤qE | | Z | | qH<∞,因此，当κ=0时，L gq（x）=λZX（gq（x+z）- gq（x））ν（dz）=O（1），as | | x | | H→ ∞ . 此外，将g（32）应用于gq（x），A gq（x）=g gq（x）+L gq（x）=qgq（x）xHβx | | x | | H+o（1）！，同于| | x | | H→ ∞ .

通过定义矩阵H，-x个Hβx=-x个（Hβ+βH） x个≥\'γ| | x||≥γδ-1 | | x | | H，其中γ>0是-（Hβ+βH） 。因此，存在k>0，使得g（x）≤ -p‘γ’δ-1g（x）用于所有x∈ X的| | X | | H>k。因此，gq（X）≤ -cgq（x）+cIK（x），x∈ 十、 （37）其中K={X∈ X：| | X | | H≤ k} ，c=p‘γ‘δ-1/4，且c=最大值{1，supx∈K（agx）+cg（x））}。我们将It^o公式应用于ectgq（X（t））。特别地，通过（11），ectgq（X（t））=gq（X（0））+Ztecs[cgq（X（s-）+A gq（X（s-）]ds+Ztecsgq（X（s-）σ（X（s））dW（s）+ZtecsZX（gq（X（s-）+z）- gq（X（s-））~N（ds，dz）。显然，上面的两个随机积分都是时间Tn的鞅，其中Tn={t≥0：| X（t）|>n}。它遵循（37）和可选采样定理，即ECTEXGQ（X（t∧ Tn））≤ gq（x）+ExZt∧Tnecs·cIK（X（s））ds≤ gq（x）+cc-1执行∧我们现在应用Fatou引理和单调收敛定理得出结论：ECTEXGQ（X（t））≤ gq（x）+cc-1·lim infn→∞Exet公司∧Tn=gq（x）+cc-1效果。（38）然后，我们可以利用Meyn和Tweedie（1993c）定理6.1证明中使用的论点得出结论，由于（38），存在正的有限常数Dqa和ρqsuch | Px（X（t）∈ ·) - π（·）| | gq+1≤ dq（gq（x）+1）e-ρqt，t≥ 0，x∈ 十、 在（12）中，存在正常数，并且d≤fq（x）gq（x）+1≤ D对于所有x∈ 十、 因此，| | Px（X（t））∈ ·) - π（·）| | fq≤ cqfq（x）e-ρqt，t≥ 0，x∈ 十、 其中cq=dqd/d。定理2（ii）的证明。在定理1（ii）的证明之后，证明（37）在当前假设下成立。请注意，E | | Z | | q<∞ 对于所有q∈ [1，p]E | | Z | | p<∞. 因此，我们可以将Lyapunov不等式（30）应用于gq（x），从而得到（37）。3.3关于强均值回归条件的注记我们建立X的正Harris复发的关键条件是强均值回归条件，即β+e（Z）κ是一个稳定的矩阵。

事实上，正如下面的例子所示，这种条件一般不能放松。提案3。假设d=1，m=1，假设1–3成立。如果E | Z |<∞ β+E（Z）κ>0，则X是瞬时的。证据证明还依赖于李亚普诺夫不等式；参见Stramer和Tweedie（1994）的定理3.3。具体而言，如果存在有界函数g和闭合集K（如g（x）），则会出现瞬态≥ 0，x∈ X\\K，（39）和supx∈千克（x）<克（x），x∈ X\\K.（40）设g（X）=1- e-x对于某些>0。显然，g对于x是有界的∈ X=R+。然后，A g（x）=（b+βx）g′（x）+（A+αx）g′（x）+（λ+κx）ZR+（g（x+z）- g（x））ν（dz）=e-x（b+βx）-（a+αx）+（λ+κx）ZR+（1- e-z）ν（dz）= e-xβ -α + κ(1 - E E-Z）x+b-a+λ（1- E E-Z）.设h（）为上述括号中x的系数，即h（）：=β-α + κ(1 -E E-Z）。很明显，h（0）=0，h′（0）=β+κE（Z）>0，对于某些>0，产生h（）>0。修正这个，我们看到A g（x）~ e-xh（）x为x→ ∞ . 因此，存在k>0，使得x的g（x）>0∈ X\\K，其中K：=[0，K]，证明（39）。此外，（40）是正确的，因为g（x）在x中增加。“边界”情况，即β+e（Z）κ= 0更为复杂，因为进程的行为可能取决于其他参数。我们将其分析留给未来的研究。4极限定理在本节中，我们证明了形式为rth（X（s））dsorPni=1h（X（i））的X的加性泛函的SLLNs和FCLTs)) 对于一些f函数h，离散时间和连续时间马尔可夫过程的极限定理在过去已经得到了广泛的研究；例如，见Glynn和Meyn（1996年）、Kontoyiannis和Meyn（2003年）、Meyn和Tweedie（2009年，第17章），以及其中的参考文献。特别是，积极的哈里斯复发“几乎”足以维持LLN。

另一方面，FCLTS的条件通常包括指数遍历性，或类似于（30）形式的李雅普诺夫不等式。然而，离散时间马尔可夫过程的现有FCLT不适用于skeletonchain X因为它们通常需要建立一个“离散时间”版本的形式为Ex[g（X）的Lyapunovinequality())] ≤ cg（x）对于某些常数c<1，某些函数g≥ 1个，所有这些都是一个紧凑的集合。考虑到跃迁度量X（X() ∈ ·) 不明确知道。我们建立（8）的方法是首先考虑X（0）遵循平稳分布的场景。然后，我们将FCLT应用于平稳序列，即Ethier和Kurtz（1986，p.351）的定理3.1，其条件可以作为指数遍历性的一致性进行验证（4）。为了将FCLT推广到任意初始状态，我们遵循一个类似于Glynn和Meyn（1996）中使用的论点。渐近方差σhin（7）和γhin（8）可以用泊松方程的解来表示；例如，见Glynn和Meyn（1996）。但它通常没有SDE（1）的参数（a，α…，αd，b，β，λ，κ，ν）的闭合形式。然而，当h是（向量值）单位函数时，我们确实能够通过分析推导出出现在相应FCLT中的渐近平均值和共有协方差矩阵（见推论1），这要归功于易于处理的a ffne结构。4.1强大数定律定理1（iii）和定理2（iii）的证明。在定理1（iii）或定理2（iii）的假设下，我们在第3.1节中建立了X的正Harris递推和Godicity。Soπ（| h |）<∞ 对于任何可测量的函数h:X 7→ R带| | h | | fp<∞.

SLLN（5）则遵循S igman（1990）的定理2。对于骨骼链X, 注意，X的平稳分布π对于X必然是不变量的. 此外，X是ν-命题1不可约的，所以X哈里斯复发阳性。因此，SLLN（6）遵循Meyn和Tweedie（2009，第427页）的定理17.1.7。4.2定理1（iv）和定理2（iv）的泛函中心极限定理。固定q>2和任意可测函数h:X 7→ R带| | hq | | fp<∞.我们已在第3.2节中表明，存在矩阵H 0，一个紧集K和正单位常数c，c如a g（x）≤ -所有x的cg（x）+cIK（x）∈ 十、 当g（X）=（1+| | X | H）p/2时。由于（12），| | h | | fp<∞ 当且仅当| | h | | g<∞. 此外，我们在第3.1节中已经表明，k是X的一个小集。然后，根据Glynn和Meyn（1996）的定理4.4，（7）立即成立为n→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、 我们现在证明（8）在D[0，1]中弱地保持Pπ，其中π是X的平稳分布。这可以通过对{h（X（n））应用平稳序列的FCLT来实现) : n=0，1，…}，如果X（0），则为平均零平稳序列~ π、 式中，h（x）：=h（x）- π（h）。具体地说，让fk和fk表示由（X（n）生成的σ-代数) : n≤ k） 和（X（n) :n≥ k） ，分别为。Let^1（l）：=supΓ∈Fk+lEπ| P（Γ| Fk）- P（Γ）|表示Fk和Fk+与L-范数相关的混合度量（Ethier和Kurtz 1986，P.346）。然后，根据Ethier和Kur tz（1986年，第351页）的定理3.1和备注3.2（b），可以验证对于某些>0，Eπh\'\'h（X（n))2+i<∞ 和∞Xl=0[Д（l）]/（2+）<∞. （41）设=q- 2 > 0. 那么，Eπh\'\'h（X（n))2+i=π（(R)hq）≤\'总部fpπ（fp）<∞,验证（41）中的第一个条件。

要验证第二个y，请注意，根据马尔可夫性质，对于任何Γ∈ Fk+l存在一个函数wΓ，其中wΓ（·）|≤ 1假设P[Γ| Fk+l]=w（X（（k+l）)).如果X（0）~ π、 然后对于任何Γ∈ Fk+l，| P（Γ| Fk）- P（Γ）|=| E[wΓ（X）（k+l）))|Fk]- E[wΓ（X）（k+l）))]|=ZXwΓ（y）PX（k)（X（l) ∈ dy）-ZXZXwΓ（y）Px（X（（k+l））) ∈ dy）π（dx）≤PX（k)（X（l) ∈ ·) - π(·),其中| |···············································≤ 1.I如下所示：Д（l）≤ EπPX（k)（X（l) ∈ ·) - π(·)≤ cpe公司-ρplEπ[f（X（k))] = cpπ（fp）e-ρpl,因为定理1（ii）和定理2（ii），第二个等式成立。这一点立即令人感到困惑∞l=0[Д（l）]/（2+）<∞. 因此，我们得出结论，（8）在D[0，1]中弱地保持Pπ。现在我们证明（8）确实作为n成立→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、 为此，我们首先展示了PX画→∞sup0≤t型≤1 | Yn（t）- Yn，l（t）|=0= 1，x∈ 十、 （42）对于任何正整数l，其中Yn（t）：=n-1/2便士nt公司i=1英寸（X（i)) 和Yn，l（t）：=n-1/2便士nt公司+li=l+1英寸（X（i)).请注意，对于所有足够大的n，sup0≤t型≤1 | Yn（t）- Yn，l（t）|=nnXi=1英寸（X（i)) -n+lXi=l+1？h（X（i))=nlXi=1英寸（X（i)) -n+lXi=n+1英寸（X（i))≤nlXi=1英寸（X（i)) +nn+lXi=n+1英寸（X（i)) → 0，像素-a、 s.，作为n→ ∞ 对于所有x∈ 十、 因为ENPNI=1英寸（X（i)) → π（(R)h）<∞, 二甲苯-a、 s.，作为n→ ∞ 对于allx∈ 十、 由于定理1（iii）和定理2（iii）。这就完成了（42）的证明。设φ是D[0，1]上的有界连续泛函φ。那么（42）意味着对于任何正整数l，| Ex[φ（Yn）]- Ex[φ（Yn，l）]|→ 0作为n→ ∞ 对于所有x∈ 十、 此限制可以重写为LIMN→∞Ex[φ（Yn）]-ZXPx（X（l) ∈ dy）Ey[φ（Yn，l）]= 0，x∈ 十、

（43）另一方面，注意ZXPx（X（l) ∈ dy）Ey[φ（Yn，l）]- Eπ[φ（Yn）]≤ ||Px（X（l) ∈ ·) - π（·）| | supg∈D[0,1]|φ（g）|。自| | Px（X（l) ∈ ·) - π(·)|| → 0作为l→ ∞ 根据定理1（i）和定理2（i），对于任何δ>0，我们可以选择l，使ZXPx（X（l) ∈ dy）Ey[φ（Yn，l）]- Eπ[φ（Yn）]≤ δ. （44）然后从（43）和（44）中得出lim supn→∞|Ex[φ（Yn）]- Eπ[φ（Yn）]|≤ δ. 由于（8）在D[0，1]中保持spπ-弱，我们必须有limn→∞|Eπ[φ（Yn）]- Eπ[φ（W）]|=0，和thuslim supn→∞|Ex[φ（Yn）]- Eπ[φ（W）]|≤ δ.发送δ→ 0表示（8）对所有x在D[0，1]中弱保持Px∈ 十、 4.3特殊情况由于A ffine结构，当h为单位函数时，可以分析渐近平均值和渐近方差，即h（X）=X。注意，当h为Rd值时，相应的SL LN和FCLT是多元的。该计算方法与Zhang等人（2015）使用的方法非常相似，因此我们省略了细节。推论1。如果假设1-3成立且E | | Z | |<∞, 然后是PX限制→∞tZth（X（s））ds=v= 1，x∈ 十、 其中v=-（β+E（Z）κ)-1（b+λE（Z））。此外，如果E | | Z | | 2+<∞ 对于某些>0，则为n1/2nZn·X（s）ds- v=> ∑1/2W（·），如n→ ∞ 对于所有x，DRd中的Px较弱[0，1]∈ 十、 式中，∑=A（A+λE（ZZ))A.+mXi=1viA（αi+κiE（ZZ))A..致谢第一作者获得了通用研究基金（ECS 624112）项下香港研究资助委员会的部分支持。第二作者非常感谢香港城市大学进修学院的支持和知识环境，这项工作就是在那里完成的。参考Sahalia，Y.（2007）。使用离散采样数据估计连续时间模型。R.Blundell、P.Torsten和W.K.Newey（编辑），《经济学和计量经济学的进展、理论和应用》，第九届世界大会，第9章。剑桥大学出版社。Ait-Sahalia，Y.，J。

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