仿射跳跃扩散：随机稳定性和极限定理

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英文标题：
《Affine Jump-Diffusions: Stochastic Stability and Limit Theorems》
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作者：
Xiaowei Zhang and Peter W. Glynn
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Affine jump-diffusions constitute a large class of continuous-time stochastic models that are particularly popular in finance and economics due to their analytical tractability. Methods for parameter estimation for such processes require ergodicity in order establish consistency and asymptotic normality of the associated estimators. In this paper, we develop stochastic stability conditions for affine jump-diffusions, thereby providing the needed large-sample theoretical support for estimating such processes. We establish ergodicity for such models by imposing a `strong mean reversion\' condition and a mild condition on the distribution of the jumps, i.e. the finiteness of a logarithmic moment. Exponential ergodicity holds if the jumps have a finite moment of a positive order. In addition, we prove strong laws of large numbers and functional central limit theorems for additive functionals for this class of models.
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中文摘要：
仿射跳跃扩散构成了一大类连续时间随机模型，由于其分析的可处理性，在金融和经济学中特别流行。这类过程的参数估计方法需要遍历性，以便建立相关估计量的一致性和渐近正态性。在本文中，我们建立了仿射跳跃扩散的随机稳定性条件，从而为估计这类过程提供了所需的大样本理论支持。我们通过对跳跃分布施加“强均值回归”条件和温和条件，即对数矩的有限性，建立了此类模型的遍历性。如果跳跃具有正阶的有限矩，则指数遍历性成立。此外，我们还证明了这类模型的加性泛函的强大数定律和泛函中心极限定理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Affine_Jump-Diffusions:_Stochastic_Stability_and_Limit_Theorems.pdf (323.4 KB)

2022-6-11 02:18:04 上传

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关键词：稳定性 Mathematical Quantitative Differential distribution

有效跳跃差异：随机稳定性和极限理论Xiaowei Zhang+Peter W.Glynn*摘要跳跃差异构成了一大类连续时间随机模型，由于其可分析性，在金融和经济学中特别流行。这类过程的参数估计方法需要遍历性，以便建立相关估计量的一致性和渐近正态性。在这篇论文中，我们发展了一个跳跃微分的随机稳定性条件，从而为估计这类过程提供了所需的大样本理论支持。我们通过对跳跃分布施加“强均值回归”条件和温和条件，即对数矩的完整性，来建立此类模型的遍历性。如果跳跃具有正阶的最后时刻，则指数遍历性成立。此外，我们还证明了这类模型的强大数定律和加性f函数的函数中心极限定理。关键词。a ffine跳跃式扩散；遍历性；李亚普诺夫不等式；强大的largenumbers定律；函数中心极限理论（functional central limit theorem1 Introduction a ffine jump Diff-ion，AJD）过程是一类重要的连续时间随机模型，广泛应用于金融和计量经济学。这类模型足以捕捉各种经验属性，如随机波动性和杠杆效应；例如，见Barndor Off-Nielsen和Shephard（2001）。此外，由于其瞬态分布的特征函数为指数形式，因此a ffne结构允许高效计算。然后，可以通过求解广义Riccati类型的普通微分方程（ODE）系统来计算变换；见Du ffee等人（2000年）。

有效计算此类特征函数的能力将导致计算各种期望和概率以及使用“矩量法”校准此类模型的显著易处理性；见S ingleton（2001）、Bates（2006）和Filipovi\'c等人（2013）。+通讯作者。香港城市大学商学院管理科学系，香港。电子邮箱：肖伟。wzhang@cityu.edu.hk*美国斯坦福大学管理科学与工程系，加利福尼亚州94305，AJD过程包括许多重要的特例：Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程，也称为Vasicek（1977）中的Vasicek模型；s q uare根扩散过程，也被C ox等人（1985）称为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型；以及Heston（1993）的Heston随机波动率模型。Du ffe和Kan（1996）、Dai和Singleton（2000）、Du ffe等人（2000）、Barndor fff-Nielsen和Shephard（2001）、Cherid ito等人（2007）和Collin Dufresne等人（2008）对相关扩展进行了讨论。此外，AJD还与a ffne点过程密切相关，这涉及跳跃强度，其对底层AJD过程的状态具有a ffne依赖性。这类点过程包括霍克斯过程（Hawkes 1971），作为一种特殊情况，在金融经济学中被广泛用于捕捉事件到达数据中观察到的自激行为；例如，见Errais et al.（2010）、Ait-Sahalia et al.（2015）和Gao et al.（2018）。如前所述，AJD模型的估计和校准能力对此类模型在金融和经济领域的普及起着关键作用。当然，这类AJD过程的大样本理论支持预测程序依赖于强大数定律（SL LNs）、函数中心极限定理（FCLTs）和相关遍历理论。

本文的目标是为AJD过程提供此类LLN和FCLT所适用的数学条件的首次全面开发。在第2节陈述了我们的主要结果之后，我们证明了第3节，即在与均值反转和跳跃分布有关的温和条件下，正则AJD是遍历的。然后我们研究了保证指数遍历性的条件。最后，在第4节中，我们为AJDs开发了SLLN和FCLT。就相关文献而言，Lee（2004）等研究了AJD过程的大时间“矩爆炸”及其与隐含波动率渐近的密切联系。Andersen和Piterberg（2007）分析了一类二维随机波动率模型，其中Heston模型是一个特例，以确定给定正序的瞬态时刻变为有限的“爆炸时间”。Glasserman和Kim（2010年）研究了无跳跃的多维函数微分（ADs）的指数矩。它们描述了扩散过程矩母函数的完整性域以及该域在“大时间”限制下的行为。此类矩的非退化极限的存在意味着AD边缘的紧密性，并且与平稳分布的存在密切相关。他们的方法基于确定AD的Riccati方程极限行为的稳定性分析。他们的结果在Jena等人（2012）中进行了扩展，使用了类似的方法。另请参见Keller Ressel（2011），以了解允许交易的二维弹性波动率模型的相关分析。我们的工作与上述论文主要在两个方面有所不同。首先，我们的模型是任意维的一般AJD，因此上述论文中的模型是我们的特例。

特别地，这些论文中的随机稳定性临界条件是我们的特例。例如，在没有跳跃的情况下，我们的稳定性条件降低到inGlasserman和Kim（2010）以及Jen a et al.（2012）；Keller-Ressel（2011）中所谓“方差”过程的稳定性条件是我们的一维特例。其次，他们的工作集中于极限分布的存在，而我们进一步建立了遍历性/指数遍历性结果。关于随机稳定性的更丰富结果源于我们在本文中采用的不同方法。我们的分析依赖于马尔可夫过程的李雅普诺夫准则；例如，参见Meyn和Tweedie（1993年c）。相关的稳定性理论可在Masuda（2004）、Barczy et al.（2014）、Jin et al.（2016）和Jin et al.（2017）中找到，但AJDs在那里研究的都是与状态无关的跳跃强度。2模型公式和主要结果我们将在本文中采用以下符号我们写Rd+：={v∈ Rd:vi≥ 0，i=1，d} 和Rd-:= {v∈ Rd:vi≤ 0，i=1，d} .oA向量v∈ RDI被视为列向量，v表示其转置，| | v | |表示其欧几里德范数。o对于矩阵a，a 0表示A是对称正半定义，A 0表示A是对称正定义。o我们写vI=（vI:i∈ 一） 和AIJ=（AIJ:I∈ 一、 j∈ J） ，其中v∈ Rdis是一个向量∈ Rd×dis a矩阵和I，J {1，…，d}是两个索引集。o我们使用0表示零向量或零矩阵，Id（i）表示除第i个对角线项为1之外的所有零项的矩阵，无论维数如何对于集合K Rd，IK（x）表示与K相关的指示器功能，即IK（x）=1 ifx∈ 否则为K和0。确定一个完全概率空间(Ohm, F，P）配备过滤装置{Ft:t≥ 0}满足通常假设（Protter 2003，第3页）。

假设一个随机过程X=（X（t）：t≥ 0）状态sp ace X 满足以下随机微分方程（SDE）dX（t）=u（X（t））dt+σ（X（t））dW（t）+ZRdzN（dt，dz），X（0）=X∈ 十、 （1）式中，W=（W（t）：t≥ 0）是d维维纳过程，N（dt，dz）是[0]上的随机计数测度，∞) ×Rdwith compensator measure∧（X（t-）dtν（dz）；m以上，u：Rd7→ Rd，σ：Rd7→ Rd×d和∧：Rd7→ R是可测函数，ν是Rd上的Borel测度。在续集中，我们将为初始分布η写Px（·）=P（···| X（0）=X）和Pη（·）=RXP（·| X（0）=X）η（dx）；Ex和Eη表示相应的期望算子。如果漂移u（X），扩散矩阵σ（X）σ（X），我们称X为AJD, 跳跃强度∧（x）在x中均为，即u（x）=b+βx，b∈ Rd，β∈ Rd×dσ（x）σ（x）= a+dXi=1xiαi，a∈ Rd×d，αi∈ Rd×d，i=1，d∧（x）=λ+κx、 λ∈ R、 κ∈ Rd.（2）本文的主要动机是AJDs的统计校准。应用于AJDs的大多数校准程序都基于以下一些估计方程。设Ξ表示未知参数的集合。为简单起见，我们假设进程X在时间纪元{k]进行了离散采样 : k=0，1，n} 对一些人来说 > 为了估计Ξ，一个明智的选择一个可处理函数h（x，y；Ξ），其中E[h（x（0），x(); Ξ）]=0，然后求解方程nnxk=1h（X（（k- 1)), X（k);^Ξn）=0，以计算估计值^n。在h的维数大于Ξ的维数的情况下，可以使用广义矩法（Hansen 1982）。h的典型选择包括X（k）条件分布的边缘特征函数) 给定X（（k- 1))如Sin-gleton（2001）所述，或对于某些具有足够平滑度的可处理函数g的g（x），其中Ais是Hansen和Scheinkman（1995）在（10）中定义的运算符。

另请参见Duffee和Glynn（2004），以了解h的选择，h也利用了运算符a，但在X的采样时间是确定性时间的随机倍。为了建立^Ξn的相合性和渐近正态性，标准是假定函数h的正harris递归以及某些矩条件；例如，见Hansen（1982）。作为定理1和定理2的一部分，我们给出的SLLN和FCLT为建立估计量的这些渐近性质提供了大量样本理论支持。我们请感兴趣的读者参阅Ait-Sahalia（2007），以广泛调查一般跳跃差异的各种统计校准方法以及统计有效性的相关假设。2.1主要假设以下三个假设在本文中是通用的。假设1。设X=Rm+×Rd-m、 对于每个x∈ 十、 SDE（1）具有系数（2），存在唯一的X值强解。假设2。设I={1，…，m}和J={m+1，…，d}对于某些0≤ m级≤ d、 （i）a 0，aII=0（ii）αi 0和αi，II=αi，II·Id（i）表示i∈ 我αi=0表示i∈ J（iii）b∈ Rm+×Rd-m；（iv）βIJ=0且βii具有非负的对角元素；（v） λ∈ R+，κI∈ Rm+和κJ=0；（vi）ν是X上的概率分布。假设3。aJ J公司 对于i=1，…，0和2bi>αi，ii>0，m、 在本文中，我们主要研究具有正则状态空间（假设1）和容许参数（假设2）的AJDs。在跳跃的情况下（即λ=0和κ=0），Filipovi'c和Mayerhofer（2009）证明了具有系数（2）的S DE（1）强解的存在性和唯一性。他们首先证明弱解的存在性，然后证明解的路径唯一性，最后应用山田-渡边定理（Karatzas和Shreve 1991，推论5.3.23）。

Dawson和Li（2006）采用了同样的方法，从一个或两个维度证明了AJDs的情况。显然，在假设2下，扩散矩阵和跳跃强度都与xJ无关，即σ（x）σ（x）= a+Pmi=1xiαi，跳跃强度∧（x）=λ+Pmi=1xiκi。在金融应用中，前m个分量（x，…，Xm）通常用于建模波动过程，它们被称为波动因子，而另一个分量（d- m） 组件被称为从属因子。我们在这里研究的AJD跳跃具有有限的活动性，这是假设ν为概率分布而非σ-有限度量的结果。然而，这一限制主要是为了数学上的简单性；对于不确定活动，也可以证明主要结果，但需要进行更深入的分析。人们可能会认识到，具有有限活动跳跃的第（1）款正是杜菲等人（2000）提出的模型，该模型涵盖了大量的金融和经济应用。对于一维AJD，如CIR模型，假设3中的条件2bi>αi，ii>0称为Feller条件，它保证过程保持正。另一方面，正如Meyn和Tweedie（1993b，c）所详述的，为了将亚普诺夫准则应用于连续时间马尔可夫过程，通常需要不可约性。例如，如果Meyn和Tweedie（1993b）中的某些骨架链是不可约的，则正Harris-Recurrenceis-sh-own等价于遍历性。假设3体现了这一目的（命题1）。具体来说，它被用来证明X允许正跃迁密度。请注意，菲利波维奇等人（2013）证实了AJD存在过渡密度，但他们的证明要求i=1时bi>αi，ii>0。

，m，w，这比我们的假设更重要3.2.2主要结果在给出本文的主要结果之前，让我们回顾一下关于马尔可夫过程随机稳定性的几个概念。定义1。状态空间为X的马尔可夫过程X称为Harris递归过程，如果X上存在一个非平凡的σ-有限测度，使得r∞IK（X（t））dt=∞, Px-a.s.，适用于所有x∈ X和任意可测集K，其中ν（K）>0。定义2。Harris递归马尔可夫过程X称为正Harris递归，如果它加入了有限不变测度π，那么它可以归一化为概率测度，称为X的静态分布，测度π必须是唯一的。定义3。对于状态空间为X的马尔可夫过程X，集合K 如果存在M<∞ 苏克那个ExR∞IK（X（t））dt≤ M代表所有x∈ 十、 此外，如果X是具有均匀瞬变集的X的可数覆盖，则称X为瞬变。定义4。对于任何可测量函数f:X 7→ [1, ∞) 以及X上的任何有符号测量值，用| |Д| | f定义的f-标准值：=sup | h|≤f |Д（h）|，其中Д（h）：=RXh（x）Д（dx）。Wh en f≡ 1，| |···········································。还需要以下概念来说明AJDs的随机稳定性条件。定义5。如果一个方阵的所有特征值都有负实部，则称其为稳定矩阵。以下符号将有助于在续集中进行演示。设Z表示分布为ν的Rd valuedrandom变量。对于q>0，设置fq（x）：=1+| | x | | q。对于任何可测量的函数f：x 7→ [1, ∞) 和h:X 7→ R、 设置| | h | | f：=supx∈X{| h（X）|/f（X）}。

设D[0，1]表示右连续函数x的空间：[0，1]7→ 具有左极限的R，赋以Skorokhod拓扑。除了A ffne结构之外，AJDs相对于其他j ump Diffusion模型的一个显著特征是其跳跃强度依赖于状态。这一特性赋予AJDs更大的财务建模灵活性，但也给分析过程动态带来了技术困难。事实上，当我们在第3节中建立李雅普诺夫不等式时，需要根据跳跃强度是否依赖于状态进行不同的理论处理。因此，我们在两个独立的定理中给出了我们的主要结果。定理1仅涵盖具有状态无关跳跃强度（κ=0）的AJD，而定理2允许具有状态相关JUMP强度。定理1。如果假设1-3成立，κ=0，β是一个稳定的矩阵，E log（1+| | Z |）<∞, 那么：（i）X是正的Harris回归和limt→∞||Px（X（t）∈ ·) - π（·）| |=0，x∈ 十、 （3）其中π是X的平稳分布。此外，如果E | | Z | p<∞ 对于某些p>0，则：（ii）对于每个q∈ （0，p），存在正的有限常数Cq和ρqsuch | | Px（X（t）∈ ·) - π（·）| | fq≤ cqfq（x）e-ρqt，t≥ 0，x∈ 十、 （4）（iii）对于任何可测量函数h:X 7→ R带| | h | | fp<∞,二甲苯限制→∞tZth（X（s））ds=π（h）= 1，x∈ 十、 （5）andPxlimn→∞nnXi=1h（X（i)) = π（h）！=1，x∈ 十、 （6）（iv）对于任何可测函数h:X 7→ R带| | hq | | fp<∞ 对于某些q>2的情况，存在非负的有限常数σ和γ，例如n1/2nZn·h（X（s））ds- π（h）=> σhW（·），（7）和n1/2nn个·Xi=1h（X（i)) - π（h）=> γhW（·），（8）as n→ ∞ 对于所有x，Px在D[0，1]中较弱∈ 十、 其中W是一维维纳过程。定理2。如果假设1-3成立，β+E（Z）κ是稳定矩阵，且E | | Z | |<∞, 然后：（i）X是哈里斯回归正，（3）成立。此外，如果E | | Z | | p<∞ 对于一些p≥ 1.