跳跃过程中非单调信息的鞅概念

我们说E[ξ| Gt]-E[ξ| G]=英尺- Bt，t≥ 如果F是if鞅，b是关于G的IB鞅，则0是一个极小鞅表示。现在假设X描述了金融或保险应用程序中的贴现索赔过程。那么我们通常对过程t 7感兴趣→ E【Xt | Ft】，这不一定很明确。如果X是一个c\'adl\'ag过程，其对紧集的最高期望是有限的，那么就存在一个唯一的c\'adl\'ag过程XF，即所谓的X相对于F的optionalprojection，这样xft=E[Xt | Ft]几乎可以肯定对于每个t≥ 我们在这里说，如果一个过程在消失之前是唯一的，那么它就是唯一的。现在，我们将可选投影的概念扩展到非单调信息。定义2.6（可选投影）。设X是可积的c\'adl\'ag过程。如果存在唯一的c ` adl ` ag过程，则几乎可以肯定，对于每个t≥ 0，那么我们称xg为X相对于G的可选投影。可选投影xg可以分解为[Xt | Gt]- E[X | G]=limn→∞XTn公司E[Xtk+1 | Gtk+1]- E[Xtk | Gtk]= 画→∞XTn公司E[Xtk | G[tk，tk+1]]- E[Xtk | Gtk]- 画→∞XTn公司E[Xtk | G[tk，tk+1]]- E[Xtk | Gtk+1]+ 画→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk+1]，它是关于G的IF鞅、IB鞅和IB补偿器的和。通过切换tk和tk+1的角色，我们可以获得类似的分解，其中IB补偿器被IF补偿器替换。定义2.7（可选投影的最小表示）。我们称之为E[Xt | Gt]-E[ξ| G]=英尺- Bt+Ct，t≥ 0，如果F是if鞅，B是IB鞅，C是IB补偿器或关于G的if补偿器，则为极小表示。正如我们在本节开头提到的，到目前为止，我们只是假设我们在这里讨论的所有限制确实存在。

在下一节中，我们将重点讨论markedpoint流程框架，因为这不仅保证了限制的存在，而且还允许我们显式计算限制。3跳跃过程框架在文献中，我们可以找到定义跳跃过程框架的不同方法。一种方法是从标记点过程（τi，ζi）i开始∈非(Ohm, A、 P）具有一些可测量的标记空间（E，E），即：oτi：(Ohm, （A）→ ([0, ∞], B（[0，∞])), 我∈ N是随机时间，oζi：(Ohm, （A）→ （E，E）是给出分数的随机变量。与点过程文献不同，我们在此不假设随机时间（τi）i∈以任何特定方式增加或订购。这为我们提供了有用的建模灵活性，另请参见本节末尾的评论。设E是一个可分的完备度量空间，E：=B（E）是它的Borel-sigma代数。此外，让Ohm 是一个波兰空间及其Borel-sigma代数。我们将每个ζias解释为可以从时间τ离子观察到的一条信息。正如引言中所述，我们还假设信息片段ζi可能在一定的保存时间后被删除。因此，我们扩展了标记点过程（τi，ζi）i∈Nto（τi，ζi，σi）i∈N、 式中oσi：(Ohm, （A）→ ([0, ∞], B（[0，∞])), 我∈ N、 是随机时间，使得τi≤ σi。我们将σias解释为信息块ζi的删除时间。注意，随机时间（σi）i∈一般情况下，Nare未订购。为了更紧凑的表示法，下面我们将使用等价序列（Ti，Zi）i∈未定义asT2i-1： =τi，T2i：=σi，Z2i-1： =ζi，Z2i：=ζi，i∈ N、 即随机时间T2i-1奇数索引指的是创新，偶数索引指的是相应的删除时间。我们通常认为∞Xi=1{Ti≤t}< ∞, t型≥ 0，（3.1），这将确保存在（最小）补偿器。

条件（3.1）意味着几乎可以肯定的是，在有界区间上至少有无数个随机时间。此外，我们假设t2i-1（ω）<T2i（ω），ω∈ {T2i<∞}, 我∈ N、 （3.2）即，新信息不会立即删除，但至少在短时间内可用。基于序列（Ti，Zi）i∈Nwe生成随机计数度量值uIviauI（[0，t]×B）：=1{t≥Ti=Tj:i，j∈I}∩{Ti6=Tj:i∈一、 j6∈一} {子∈B} 对于t≥ 0，B∈ EI，I N、 式中，EI：=B（EI），EI：=E | I |，ZI：=（ZI）I∈一、 如果不同的随机时间（Ti）不重合，那么我们只需要考虑计数度量u{I}，I∈ N、 它们分别描述了随机时间的到来和它们的标记。但如果随机时间可以同时发生，那么我们需要计数度量的全尺度uI，I N、 涵盖各种独立和连接的事件。对于每个I N、 测度{uI（·）（ω）|ω∈ Ohm} 由它们在[0，t]×B上的值生成一个随机计数度量（[0，∞) ×EI，B（[0，∞) ×EI）），即：对于任何固定的∈ B（[0，∞) ×EI）映射ω7→ uI（A）（ω）可从(Ohm, A） 到（N，B（N）），其中N：=N∪ {∞},o 对于几乎每个ω∈ Ohm 映射A 7→ uI（A）（ω）是（[0，∞) ×EI，B（[0，∞) ×EI））。时间t的可观测信息≥ 0由完整过滤系数ft给出：=σ{T2i-1.≤ s<T2i}∩ {Z2i∈ B} ：s∈ [0，t]，B∈ E、 我∈ N∨ Z、 让随机时间Ti，i∈ N、 停车次数。这里是符号\'∨’ 表示由相关集合的并集生成的西格玛代数。时间t的可接受信息≥ 0由子sigma代数族GT=σ给出{T2i-1.≤ t<T2i}∩ {Z2i∈ B} ：B∈ E、 我∈ N∨ Z、 时间t＞0之前的可容许信息由亚西格玛代数族给出-t=σ{T2i-1<t≤ T2i}∩ {Z2i∈ B} ：B∈ E、 我∈ N∨ Z、 备注3.1。

回想一下T2i-1.≤ T2i，i∈ N、 是我们假设在随机时间（Ti）i之间保持的唯一一种顺序，由自然假设τi产生≤σi，i∈ N、 当排序无意中显示额外信息时，这一事实是相关的。例如，如果我们有一个模型，其中创新时间（τi）是有序的，即T<T<T<···················································。在许多情况下，我们可以通过对配对进行排序（T2i）来避免这种隐含信息的影响-1，T2i）以非信息方式。备注3.2。在不丧失一般性的情况下，假设0 6∈ E、 然后，通过定义c\'adl\'ag过程，t：=（Z2i{T2i-1.≤t<T2i}）i∈N、 GTG和G信息-t也可表示为gt=σ（Γt）∨ Z、 t型≥ 0，克-t=σ（Γt-) ∨ Z、 t>0.4可选投影在本节中，我们研究可选投影的存在性和路径性质。请注意，本节和以下所有章节通常假设我们处于第3节的标记点流程框架中。还记得我们对G的具体定义-t、 定理4.1。假设X=（Xt）t≥0是一个令人满意的c\'adl\'ag流程sup0≤s≤t | Xs|< ∞, t型≥ 0。（4.1）则存在符合定义2.6的可选投影XgA，我们有XGt-=E[文本-|G-t] 几乎可以肯定的是，每t>0。如果X在紧集上有可积变分，则X在紧集上有有限变分路径。这里可能会令人惊讶的是，XGis确实总是一个c\'adl\'ag过程，但请注意，条件（3.1）排除了标记点过程框架中的跳跃时间集群。在证明定理4.1之前，我们先给出几个辅助结果。LetN：={M N：#M<∞},M：={M {1, 3, 5, . .

.} : #M<∞}是自然数的所有有限子集和奇数自然数的所有有限子集，定义：=（QI，（Zi）i∈一） ，我∈ N，其中QI：=sup{t≥ 0：uI（[0，t]×EI）=0}。自从Ohm 是一个Polish空间及其Borel-sigma代数，上存在正则条件分布P（·| ZM）和P（·| ZM，RI）(Ohm, A） 每M∈ M和I∈ N当集合M和N是可数的时，所有这些条件分布在一个联合异常零集合上同时是唯一的。在本文中，符号pm，RI（·）=P（·| ZM，RI）指右侧条件期望的任意但固定的正则版本，对于任何可积随机变量Z，我们设置em，RI[Z]：=ZZ dPM，RIi。e、 EM，RI【Z】是条件期望e【Z | ZM，RI】的特定版本，我们通过将Z与我们为p（·| ZM，RI）选择的特定常规版本进行积分来获得。如果I= 我们还使用缩写形式PM=PM，REM=EM，R自PM起，R是P（·| ZM）的一个版本。此外，定义I- 1：={i- 1：我∈ 一} ，映射spm，RI=r（·）：=P（·| ZMI=z，RI=r）| z=ZMI，MI：=M \\（I∪ （一）- 1） ）（4.2）参考右侧因式分解的条件期望的任意但固定的常规版本，对于任何可积随机变量Z，我们定义，RI=r[Z]：=ZZ dPM，RI=r。通过将M减少到mim，我们可以准确地忽略RI已经覆盖的zm中的那些随机变量。请注意，映射PM，RI=r（·）| r=RIequals PM，RI（·）。对于M∈ M和t≥ 0我们定义Gt可测量设置金额：=\\i∈M{Ti≤ t<Ti+1}∩\\i6∈M级(Ohm \\ {Ti≤ t<Ti+1}）和相应的G-适应随机过程IM=（IMt）t≥0viaIMt：=1AMt，t≥ 0。（4.3）由于假设（3.1），IMTHA的路径仅在紧集上有有限多个跳跃，因此它们有左极限和右极限。此外，通过构造，它们是正确连续的，因此这些过程是IMare c\'adl\'ag。

左侧极限可表示为IMt-= 1AMt-何处-:=\\我∈M{Ti<t≤ Ti+1}∩\\i6∈M级(Ohm \\ {Ti<t≤ Ti+1}）。提案4.2。对于任意可积随机变量ξ和任意集合M∈ M和I∈ 我们几乎可以肯定是哈维姆特[ξ| Gt∨ σ（RI）]=IMtEM，RI[ξIMt]EM，RI[IMt]，IMt-E[ξ| G-t型∨ σ（RI）]=IMt-EM，RI[ξIMt-]EM，RI【IMt-]（4.4）根据公约，0/0：=0。注意，如果I=. 每当EM，RI[IMt]=0且EM，RI[IMt-] = 0，我们必须有EM，RI[ξIMt]=0和EM，RI[ξIMt-] = 0，因此（4.4）的右侧确实定义得很好。证据（4.4）的左边几乎肯定等于当西格玛代数G和G-被其未完成的版本替代。因此，在剩下的证明中，我们将忽略G和G定义中Z的扩展-.每小时∈ σ（ZM）存在G∈ GTH使H∩ 金额=G∩ AMtand viceversa公司。因此，（σ（ZM）∨ σ（RI））∩ 金额=（Gt∨ σ（RI））∩ 金额 燃气轮机∨ σ（RI），t≥ 0。（4.5）这意味着随机变量IMtEM，RI[ξIMt]EM，RI[IMt]为（Gt∨ σ（RI））-可测量，且适用于每个G∈ 燃气轮机∨ σ（RI）we obtainEGIMtEM，RI[ξIMt]EM，RI[IMt]= EEM，RIHIMtEM，RI[ξIMt]EM，RI[IMt]= EHEM，RI[ξIMt]= E[1GIMtξ]=EGIMtE[ξ| Gt∨ σ（RI）],i、 e.（4.4）中的第一个等式成立。将（4.5）替换为（σ（ZM）∨ σ（RI））∩ 金额-= （G）-t型∨ σ（RI））∩ 金额- G-t型∨ σ（RI），t≥ 0，（4.6）我们可以类似地证明（4.4）中的第二个方程成立。引理4.3。每M∈ M、 我∈ N，r≥ 0，e∈ E和满足条件（4.1）的每个c\'adl\'ag过程X，随机过程测试7→ EM，RI【XtIMt】，t 7→ EM，RI=r[XtIMt]有c\'adl\'ag路径。此外，可以通过替换XtIMtbyXt获得其左极限-IMt。证据应用支配收敛定理。提案4.4。在约定0/0：=0和1/0：=∞, 每M∈ 我们几乎肯定有支持∈[0,∞)IMtEM【IMt】<∞.证据

设τ和σ为任意两个非负随机时间，使得τ≤ σ. 首先，我们要展示z:=支持∈[0,∞){τ≤t<σ}E[1{τ≤t<σ}]<∞ （4.7）几乎可以肯定。对于（t，s）∈ [0, ∞)我们定义无界矩形A（t，s）：={（t′，s′）：t′≤ t、 s<s′}和可数生成的setB：=[（t，s）∈βA（t，s），β：=n（t，s）∈ Q+：t<s，P（（τ，σ）∈ A（t，s））=0°。允许B和Bo是B的边界和内部。Lx形式的任何直线：={（x，x）+λ（1，-1) : λ ∈ R} 交叉点B最多在一点上，因为对于任意两点y，y′∈ Lx，y 6=y′我们要么有y∈ A.oy′或y′∈ A.oy、 因此，设置γ：=[x∈Q+Lx∩ B∩n（t，s）∈ [0, ∞): P（（τ，σ）∈ A（t，s））=0ois可数，且c：=[（t，s）∈γA（t，s）是可数生成的。集合NB={（τ，σ）∈ B} 和NC={（τ，σ）∈ C} 是bothnull集，因为它们等于空集的可数并集。假设Z（ω）=∞ 对于任意但固定的ω∈ Ohm. 我们必须有τ（ω）<σ（ω）。自t 7起→ E[1{τ≤t<σ}]是一个c ` adl ` ag函数，至少下列语句之一为真：（1）E[1{τ≤对于某些u，u<σ}]=0∈ （τ（ω），σ（ω）），（2）E[1{τ<u≤σ} ]=0表示某些u∈ （τ（ω），σ（ω）），（3）E[1{τ≤u<σ}=0，表示u=τ（ω），（4）E[1{τ<u≤σ} ]=0表示u=σ（ω）。在情况（1）中，我们有P（（τ，σ）∈ A（u，u））=E[1{τ≤u<σ}=0和（τ（ω），σ（ω））∈ A.o（u，u），可以得出ω∈ 注意。在案例（2）中，我们可以与案例（1）进行类似的论证，但我们需要将A（t，s）的定义替换为{（t′，s′）：t′<t，s≤ s′}，并定义相应的空集N′B。我们得到ω∈ N′B.在情况（3）中，我们有P（（τ，σ）∈ A（τ（ω），τ（ω））=E[1{τ≤τ（ω）<σ}=0和（τ（ω），σ（ω））∈A（τ（ω），τ（ω）） B∪ B、 If（τ（ω），σ（ω））∈ B、 然后ω∈ 注意。If（τ（ω），σ（ω））∈ B、 然后整个线段{θ（τ（ω），τ（ω））+（1- θ)(τ(ω), σ(ω)) : θ ∈ （0，1）}处于B、 因为（τ（ω），τ（ω））∈ B和集合A（t，s）的矩形形状。

在这条线上，至少有一个与C相交的点，因此我们可以得出ω∈ NC。在案例（4）中，我们可以与案例（3）进行类似的论证，但我们需要将（t，s）的定义替换为{（t′，s′）：t′<t，s≤ s′}，并定义相应的空集N′Band N′C。总之，我们有P（Y=∞) ≤ P（NB∪ 北卡罗来纳州∪ N′B∪ N′C）=0，即方程（4.7）成立。现在，让M∈ M可以任意但固定，并选择τ和σ作为随机时间，其中imt分别从0跳到1和跳回到0。假设pzm=zi是P（·| ZM=z）的正则版本，而EZM=z[·]是其相应的期望值。然后从（4.7）我们可以得出PZM=z的结论支持∈[0,∞)IMtEZM=z【IMt】=∞= 0对于每个z的选择。将两个z替换为ZM，其中我们使用插入规则对内部z进行条件期望，并在方程的两侧取无条件期望，最后得到p支持∈[0,∞)IMtEZM[IMt]=∞= 定理4.1的证明。受命题4.2的激励，我们设置为：=XM∈MIMtEM[XtIMt]EM[IMt]，t≥ 0，因为这个过程几乎肯定等于每个t的xGT≥ 请注意，涉及的条件期望数量最多可数，因此相应的规则版本在消失之前是唯一的。对于每个紧区间[0，t]和几乎每个ω∈ Ohm, 集合mt（ω）：={M∈ M:IMu（ω）=1表示至少一个u∈ [0，t]}（4.8）因假设（3.1）而有限。在EM[IMt]（ω）6=0的情况下，引理4.3产生thatlimε↓0Yt+ε（ω）=XM∈Mt+1（ω）limε↓0IMt+ε（ω）EM[Xt+εIMt+ε]（ω）EM[IMt+ε]（ω）=XM∈Mt+1（ω）IMt（ω）EM[XtIMt]（ω）EM[IMt]（ω）=Yt（ω）。（4.9）在EM[IMt]（ω）=0的情况下，命题4.4意味着几乎所有ω的IMt=0∈ Ohm,其中，异常零集不取决于t的选择。So（4.9）几乎肯定在[0]上为真，∞) 因为IMt（ω）=0意味着存在一个完整的区间[t，t+ω），其中右连续跳跃路径s 7→ IMs（ω）始终为零。

类似地，我们可以证明过程Y几乎肯定有左极限，即形式Y-=XM公司∈MIMt公司-EM[文本-IMt公司-]EM【IMt-], t>0。根据提案4.2 Yt-几乎可以肯定等于E[Xt-|G-t] 。由于c\'adl\'ag过程由其在时间线的可分离子集上的值唯一定义，我们对XGIS的选择几乎可以肯定是（E[Xt | Gt]）t的唯一可能修改≥[0，t]上Y的变化以xm为界∈MTSUPPT文本IMtk+1EM[Xtk+1IMtk+1]EM[IMtk+1]- IMtkEM[XtkIMtk]EM[IMtk]≤XM公司∈MTSUPPT文本IMtk+1米[IMtk+1]-IMtkEM[IMtk]EM[| Xtk+1 | IMtk+1]+IMtkEM[IMtk]EM[| Xtk+1 IMtk+1- XtkIMtk |],其中T是间隔[0，T]的任何分区0=T<···<tn=T。因为CM（ω）：=suptIMt（ω）/EM[IMt]（ω）几乎对每个ω都是有限的∈ Ohm, 参见命题4.4，LM（s）的变化量：=EM[IMs]以2为界，后者以xm为主∈Mt公司2CM+Z[0，t]IMsLM（s）LM（s-)d | LM |（s）EMhsup0≤s≤t | Xs | i+CMEMh2 sup0≤s≤t | Xs |+Z[0，t]IMsd | X | si≤XM公司∈Mt公司2厘米+2吨厘米EMhZ[0，t]d | X | si+3 CMEMhZ[0，t]d | X | si,几乎每个ω都是有限的∈ Ohm, 因为X在紧集上有可积变分，而Mt（ω）是有限的。5微型补偿器在本节中，我们推导了一大类增量自适应跳跃过程的微型补偿器，包括计数过程t 7→ uI（[0，t]×B）表示anyI∈ N和B∈ 工程安装。在约定0/0：=0和（4.2）下，让νI（[0，t]×B）：=XM∈MZ（0，t）×BIMu-PM，RI=（u，e）（AMu-)PM（AMu-)PRIM（d（u，e）），ρI（[0，t]×B）：=XM∈t的MZ（0，t）×BIMuPM，RI=（u，e）（AMu）PM（AMu）PRIM（d（u，e））≥ 0，B∈ EI，I∈ N提案5.1。对于每个I∈ N映射νIandρIcan可以唯一扩展到（[0，∞) ×EI，B（[0，∞) ×EI））。下面给出了命题的证明。在下文中，我们使用短符号F。κ（（0，t）×B）：=Z（0，t）×BF（u，e）κ（d（u，e）），用于随机测度κ和可积随机函数F。定理5.2。

假设映射（t，e，ω）7→ FI（t，e）（ω），I∈ N，可联合测量且令人满意Z（0，t）×EI | FI（u，e）|uI（d（u，e））< ∞. （5.1）如果FI（t，e）i s G-t-每个（t，e）可测量，然后每个B∈ 跳跃过程7→ 金融机构。uI（（0，t）×B）是一个IF鞅，IF compe为7→ 金融机构。νI（（0，t）×B）。如果FI（t，e）i对于每个（t，e）是可测量的Gt，那么对于每个B∈ 跳跃过程7→ 金融机构。uI（（0，t）×B）是一个带IB补偿7的IB鞅→ 金融机构。ρI（（0，t）×B）。通过选择GI≡ 1和GI′≡ 0对于I′6=I，定理5.2特别得出，νIis是计数过程uI的IF补偿器，ρIis是计数过程uI的IB补偿器。在直觉记法中，我们将这一事实写成asE[uI（dt×B）| G-t] =νI（dt×B），E[uI（dt×B）| Gt]=ρI（dt×B），B∈ 工程安装。命题5.1和定理5.2的证明现在分几个步骤进行。引理5.3。每M∈ M和t≥ 0我们几乎肯定有XI∈NZ[0，t]×EIPRIM（d（u，e））<∞ .（5.2）证明。对于每个s≥ 0和M∈ M假设（3.1）意味着EM∞Xj=1{Tj≤s}< ∞ （5.3）几乎可以肯定。因此，通过应用单调收敛定理，我们得到∞ > 相对长度单位∞Xi=1{Ti≤s}≥ 相对长度单位XI∈NuI（[0，s]×EI）=XI∈NEM公司uI（[0，s]×EI）=XI∈NZ[0，s]×EIPRIM（d（u，e））（5.4）几乎可以肯定每M∈ M和s≥ 命题5.1的证明。流程IMu-和PM（AMu-) 对于（u，ω）是联合可测的，因为-和PM（AMu-) 在u中保持连续，见引理4.3。映射PM，RI=（u，e）（AMu-) 关于（u，e，ω）sincePM，RI=（u，e）（AMs）可联合测量-) 在s中保持连续，并可对（u，e，ω）进行联合测量∈[0, ∞)|I |×EI×Ohm, 见引理4.3。因此，对于任何固定的∈ B（[0，∞) ×EI）映射ω7→ νI（A）（ω）是可测量的。此外，对于几乎每个ω∈ Ohm 映射A 7→ νI（A）（ω）是（[0，∞) ×EI，B（[0，∞) ×EI））。