跳跃过程中非单调信息的鞅概念

这可以通过将命题4.4和方程（5.4）结合起来，并使用pm，RI=（u，e）（AMu-) 以1为边界。因此，νih是（[0，∞) ×EI，B（[0，∞) ×EI））。类似的结论适用于映射ρI.命题5.4。假设映射（t，e，ω）7→ FI（t，e）（ω），I∈ N，可联合测量并满足（5.1）。对于每个t>0和B∈ 埃维几乎肯定是哈维林→∞XTnE公司金融机构。uI（（tk，tk+1）×B）Gtk公司= GI。νI（（0，t）×B），limn→∞XTnE公司金融机构。uI（（tk，tk+1）×B）Gtk+1= 你好。ρI（（0，t）×B），对于任何递增的分区序列（Tn）n∈带limn的Nof[0，t]→∞|Tn |=0，由gi（u，e）定义并隐藏：=XM∈密木-EM，RI=（u，e）[IMu-FI（u，e）]EM，RI=（u，e）[IMu-],HI（u，e）：=XM∈MIMuEM，RI=（u，e）[IMuFI（u，e）]EM，RI=（u，e）[IMu]。证据通过将F分解为正部分F+和负部分F-, 必须证明非负映射F+和F的第一个方程-只有因此，在不丧失一般性的情况下，我们假设从现在起F是非负的。将Mt=Mt（ω）定义为（4.8）。下面我们使用短符号jk：=（tk，tk+1）。SincePM∈MtIMtk=1对于任何tk，通过应用（4.4）、单调收敛定理和全概率定律，我们得到金融机构。uI（Jk×B）Gtk公司=XM公司∈MtIMtkEM【IMtkFI.uI（Jk×B）】EM【IMtk】=XM∈几乎每个ω的MtZJk×EIIMtkEM，RI=（u，e）[IMtkFI.uI（Jk×B）]PM（AMtk）PRIM（d（u，e））∈ Ohm. 对于u∈ （0，t）让Jube从tn得到唯一的间隔（tk，tk+1），使tk<u≤ tk+1，并设t（u）为Ju的左端点。

然后我们可以写金融机构。uI（Jk×B）Gtk公司=XM公司∈MtZ（0，t）×EIIMt（u）EM，RI=（u，e）[IMt（u）F.uI（Ju×B）]PM（AMt（u））PRIM（d（u，e））。取n的极限→ ∞, 对于几乎每个ω∈ Ohm 我们获得LIMN→∞XTnE公司金融机构。uI（Jk×B）Gtk公司=XM公司∈MtZ（0，t）×EIlimn→∞IMt（u）EM，RI=（u，e）[IMt（u）FI.uI（Ju×B）]PM（AMt（u））PRIM（d（u，e）），（5.5）使用几乎每个ω的MTI有限元，并应用单调收敛定理和支配收敛定理。请注意，命题4.4、假设（5.1）和0≤ IMt（u）FI。uI（Ju×B）≤ 金融机构。uI（（0，t）×B）确保存在一个可积绝大多数。对于n→ ∞ 我们有t（u）↑ u和Ju↓ {u} ，所以支配收敛定理意味着limn→∞EM，RI=（u，e）[IMt（u）FI.uI（Ju×B）]=EM，RI=（u，e）[IMu-B（e）FI（u，e）uI（{u}×{e}）]=1B（e）EM，RI=（u，e）[IMu-FI（u，e）]。总之，我们得到等式（5.5）的右侧等于GI。νI（（0，t）×B），我们可以得出结论，命题5.4中的第一个方程成立。命题5.4中第二个等式的证明是类似的。提案5.5。在命题5.4的假设下，对于每个t≥ 0和B∈ 埃维几乎肯定是哈维林→∞XTnE公司GI。νI（（tk，tk+1）×B）Gtk公司= GI。νI（（0，t）×B），limn→∞XTnE公司你好。ρI（（tk，tk+1）×B）Gtk+1= 你好。ρI（（0，t）×B），对于任何递增的分区序列（Tn）n∈带limn的Nof[0，t]→∞|Tn |=0。证据通过将G分解为正部分G+和负部分G-, 必须证明非负映射G+和G的第一个方程-只有因此，在不丧失一般性的情况下，我们假设从现在起G是非负的。根据νI的定义和单调收敛定理，我们得到[GI.νI（（0，t）]×EI）]=XM∈我相对长度单位Z（0，t）×EIGI（u，e）IMu-PM，RI=（u，e）（AMu-)PM（AMu-)PRIM（d（u，e）） .从命题4.2我们知道GI（u，e）是G-u-适用于每个（u，e）。这一事实和（4.6）意味着gi（u，e）IMu-PM，RI=（u，e）（AMu-) = IMu-EM，RI=（u，e）[IMu-GI（u，e）]。

（5.6）通过应用Fubini-Tonelli定理和单调收敛定理，weobtainE[GI.νI（（0，t）]×EI）]=XM∈我Z（0，t）×EIEM【IMu】-]EM，RI=（u，e）[IMτI-GI（QI，ZI）]PM（AMu-)PRIM（d（u，e））=XM公司∈MEhEM公司IMτI-GI（QI，ZI）uI（（0，t）]×EI）i=EGI。uI（（0，t）×EI）.后一种预期根据假设（5.1）确定。因此，对于每M∈ Mwe几乎可以肯定haveEM[GI.νI（（0，t）]×EI）]<∞,GI。νI（（0，t）×EI）<∞.（5.7）设Jk：=（tk，tk+1）。从支配收敛定理中，我们得到了limn→∞XTnIMtkGI。νI（Jk×B）=（IM·-GI）。νI（（0，t）×B），因为IMis以1为界，并且因为（5.7）中的第二行。通过使用第一行（5.7），优势收敛定理进一步简化→∞XTnEM[IMtkGI.νI（Jk×B）]=EM（IM）·-GI）。ν（（0，t）×B）.通过应用Fubini-Tonelli定理，我们可以证明后一个方程等于Z（0，t）×BEM[IMu-GI（u，e）]PM，RI=（u，e）（AMu-)PM（AMu-)PRIM（d（u，e））。利用命题4.4和支配收敛定理，我们得到了limn→∞XTnIMtkEM[IMtkGI.νI（Jk×B）]EM[IMtk]=Z（0，t）×BIMu-E[IMu-]EM[IMu-GI（u，e）]PM，RI=（u，e）（AMu-)PM（AMu-)PRIM（d（u，e））=Z（0，t）×BIMu-GI（u，e）PM，RI=（u，e）（AMu-)PM（AMu-)PRIM（d（u，e）），其中第二个等式基于（4.6）和G-GI（u，e，）的u-适应性允许我们将GI（u，e）从条件期望EM[IMu]中拉出-GI（u，e）]。对M上的后一个方程求和∈ 对于（4.8）中定义的mt，并应用命题4.2，我们得到→∞XTnE公司GI。νI（（tk，tk+1）×B）Gtk公司= GI。νI（（0，t）×B）几乎可以肯定。因此，我们可以得出结论，命题5.5中的第一个等式成立。命题5.5中第二个等式的证明类似。定理5.2的证明。让GIand HIB如提案5.4所述定义。如果FI（t，e）是G-t每个（t，e）都是可测量的，那么命题4.2意味着GI（t，e）=FI（t，e）几乎是确定的。类似地，如果FI（t，e）对于每个（t，e）都是Gt可测量的，那么我们几乎可以肯定地得到HI（t，e）=FI（t，e）。

根据这一事实，通过减去命题5.4和命题5.5中的极限方程，我们得到了GI。uI（[0，t]×B）-GI。νI（[0，t]×B）和HI。uI（[0，t]×B）- 你好。ρI（[0，t]×B）满足IF/IB鞅的定义极限方程。补偿器的IF/IB可预测性来自命题5.5。请注意，由于（4.5）和（4.6）的原因，所有未解决的流程都以增量方式适应G。6最小马尔代尔表示假设λ是ui相对于F的补偿器。对于每个可积随机变量ξ，经典鞅表示定理得出鞅xt：=E[ξ| Ft]可以表示为xt=X+XI∈新西兰（0，t）×EIFI（u，e）uI（d（u，e））- λI（d（u，e））, （6.1）式中，F（u，e）（ω）可在（u，e，ω）和ω7中联合测量→ F（u，e）（ω）是Fu--每个（u，e）的可测量性，参见例如Karr（1986）。现在，我们将这个结果推广到非单调信息G。定理6.1。设ξ为可积随机变量。然后对于每个t≥ 0方程式（1.2）几乎可以肯定地认为forGI（s，u，e）：=XM∈MIMs公司EM，RI=（u，e）[IMsξ]EM，RI=（u，e）[IMs]-EM[IMu-IMuξ]EM[IMu-IMu]. （6.2）对于每个I∈ I和e∈ 工艺u 7→ GI（u-, u、 e）是G--调整和流程U 7→ GI（u、u、e）是G适应的。如果映射FI（u，e）=GI（u-, u、 E）和FI（u，E）=GI（u，u，E）满足定理5.2中的可积条件，则表示（1.2）是关于G的IF鞅和IB鞅的和。在F=G的情况下，我们有νI=λI，ρI=uI，且（1.2）等于（6.1），因此（1.2）是（6.1）的推广。定理6.1的证明如下。回想一下，我们的符号使用约定（4.2）。引理6.2。设ξ为可积随机变量。然后对于每个t≥ 0我们有em[IMtξ]- EM[IMξ]=XI∈NZ（0，t）×EIEM，RI=（u，e）（IMu- IMu-)ξPRIM（d（u，e））。（6.3）证明。由于（6.3）在ξ中是加性的，因此只需要显示非负和有界随机变量ξ的方程。

一般情况是应用于序列ξn的单调收敛定理：=（ξ∧n）-(-ξ ∧n） ，n∈ N、 因此，在剩下的证明中，我们假设0≤ ξ ≤ 对于有限实数C，设Utk（ω）：=sup{t∈ （tk，∞) : Tj（ω）6∈ （tk，t），j∈ N} ，即UTK将随机时间第一次出现的时间严格放在tk之后。因为1=PI∈N{Utk=QI}我们可以得出- EM[IMξ]=limn→∞XTnXI∈NEM公司{Utk=QI}（IMtk+1- IMtk）ξ= 画→∞XI∈NXTnZ（tk，tk+1）×EIEM，RI=（u，e）{Utk=QI}（IMtk+1- IMtk）ξPRIM（d（u，e）），（6.4），其中我们使用1{Utk=QI}（IMtk+1- IMtk）=0，除非tk<QI≤ tk+1。由于f（5.4）和| EM，RI=（u，e）{Utk=QI}（IMtk+1- IMtk）ξ| ≤ 2C，我们可以在（6.4）中的最后一行应用支配收敛定理，从而得到（6.3）。这里请注意{Utk=QI=u}（IMtk+1- IMtk）→ 1{QI=u}（IMu- IMu-)对于tk+1↓ u和tk↑ u表示em，RI=（u，e）{Utk=QI}（IMtk+1- IMtk）ξ→ EM，RI=（u，e）（IMu- IMu-)ξ.定理6.1的证明。让M∈ M可以任意但固定，并定义M+1：={i+1:i∈ M} 。如果IMu-= 1，则只有来自索引集m′的随机时间：=（{1，3，…}\\M）∪ （M+1）可以发生在时间u。如果IMu=1，则只有来自索引集的随机时间M′：=M∪ ({2, 4, . . .} \\ （M+1））可以等于u。因此，方程式（6.3）可以表示为asEM[IMtξ]=Kt+Lt，t≥ 0其中kt：=XIM′Z（0，t）×EIEM，RI=（u，e）（IMu- IMu-)ξPRIM（d（u，e））+EM[IMξ]=-XIM′Z（0，t）×EIEM，RI=（u，e）IMu-ξPRIM（d（u，e））+EM[IMξ]，Lt：=XIM′′Z（0，t）×EIEM，RI=（u，e）（IMu- IMu-)ξPRIM（d（u，e））=XIM′′Z（0，t）×EIEM，RI=（u，e）IMuξPRIM（d（u，e））。此外，使用M′∩ M′′=, 我们可以证明em[IMtξ]- EM【IMt-IMtξ]=XIM′\'EM[IMt{QI=t}ξ]=XIM′′Z{t}×EIEM，RI=（u，e）IMuξPRIM（d（u，e））=对于t>0，这意味着EM[IMt-IMtξ]=Kt+Lt-. 类似地，我们得到了-ξ] - EM【IMt-IMtξ]=-千吨级。在ξ=1的特殊情况下，我们写kt和lti，而不是kt和Lt。

通过对每个ω应用部分路径积分∈ Ohm, 我们得到了（Kt+Lt-) dIMt+IMt-dKt+IMtdLt=dIMtEM[IMtξ]= dIMtEM[IMtξ]EM[IMt]EM[IMt]= （kt+lt-) dIMtEM[IMtξ]EM[IMt]+IMt公司-EM【IMt-ξ] EM【IMt-]dkt+IMtEM[IMtξ]EM[IMt]dlt=（kt+lt-) dIMtEM[IMtξ]EM[IMt]+ IMt公司-千吨级-+ 书信电报-千吨级-+ 书信电报-dkt+IMtKt+Ltkt+ltdlt。由第一行和最后一行组成的方程式可以重写为（Kt+Lt-) dIMt+kt+lt-千吨级-+ 书信电报-IMt公司-dKt+kt+lt-kt+ltIMtdLt=（kt+lt-) dIMtEM[IMtξ]EM[IMt]+ IMt公司-Kt+Lt-千吨级-+ 书信电报-dkt+IMtKt+Lt-kt+ltdlt，自Ktand公司LTA主要由ktand公司ltand因为kt+lt-千吨级-+ 书信电报-- 1.IMt公司-千吨级+kt+lt-kt+lt- 1.IMt公司Lt=IMt-Kt+Lt-千吨级-+ 书信电报--千吨级-+ 书信电报-千吨级-+ 书信电报-kt+IMtKt+Lt-kt+lt-Kt+Lt-kt+lt千吨级。根据约定0/0：=0，并使用Radon-Nikodym定理，我们可以乘（kt+lt-)-1在两侧，这导致-IMtξ]EM[IMt-IMt]dIMt+IMt-EM【IMt-]dKt+IMtEM[IMt]dLt=dIMtEM[IMtξ]EM[IMt]+EM【IMt-IMtξ]EM[IMt-IMt]IMt公司-EM【IMt-]dkt+IMtEM[IMt]dlt.（6.5）由于（6.3）和dIMt=PI∈N（IMt- IMt公司-)uI（dt×EI），后一个方程可以写成toXI∈国家电力公司-IMtξ]EM[IMt-IMt]（IMt- IMt公司-)uI（dt×EI）-XI∈Nzeimt公司-EM，RI=（t，e）[IMt-ξ] EM，RI=（t，e）[IMt-]νI（dt×de）+XI∈nzeimtem，RI=（t，e）[IMtξ]EM，RI=（t，e）[IMt]ρI（dt×de）=dIMtEM[IMtξ]EM[IMt]+XI∈国家电力公司-IMtξ]EM[IMt-IMt]- IMt公司-νI（dt×EI）+IMtρI（dt×EI）.（6.6）让我∈ N任意但固定。然后对于每M∈ M存在一个▄M∈ M、 反之亦然-uI（dt×de）=IMtuI（dt×de）。因此，对于几乎每个ω∈ Ohm 我们有0=XM∈MXI公司∈NZEI公司IMtEM，RI=（t，e）[IMtξ]EM，RI=（t，e）[IMt]- IMt公司-EM，RI=（t，e）[IMt-ξ] EM，Rj=（t，e）[IMt-]uI（dt×de）。（6.7）因为ofdE[ξ| Gt]=XM∈Md公司IMtEM[IMtξ]EM[IMt],通过对M上的方程式（6.6）求和∈ M加上（6.7），几乎每个ω∈ Ohm 在重新排列加数后，用（1.2）和（6.2）结束。

通过应用命题4.2，我们可以看到GI（u-, u、 e）是Gu--GI（u，u，e）对于每个（I，e）都是可测量的。7可选项目的最小表示假设X是一个满足（4.1）的c\'adl\'ag过程，并且Xt- 每个t的Xis ftmeasured≥ 那么X相对于F的可选投影可以表示为de[Xt | Ft]=dXt+XI∈NZEIFI（t，e）uI（dt×de））- λI（dt×de）（7.1）对于映射FI（t，e），对于每一个（I，e），都是参数t中的F-可预测过程。为了看到这一点，将经典鞅表示定理应用于FmartingaleE[X | Ft]- E[X | F]=E[Xt | Ft]- E[X | F]- （Xt）- 十） 并重新排列加数。以下定理将（7.1）扩展到非单调信息设置。定理7.1。设X是一个满足（4.1）要求的c\'adl\'ag过程，并且对于G有一个IBcompensator，表示为XIB。ThenE[Xt | Gt]- E【X | G】=XIBt+XI∈NZ（0，t）×EIGI（u-, u、 e）（I）- νI）（d（u，e））+XI∈NZ（0，t）×EIGI（u，u，e）（ρI- uI）（d（u，e））（7.2）几乎可以肯定gi（s，u，e）：=XM∈MIMs公司EM，RI=（u，e）[IMsXu-]EM，RI=（u，e）[国际监测系统]-EM[IMu-伊木苏-]EM[IMu-IMu].（7.3）如果X有一个关于G的If补偿器，表示为XIF，则（7.2）仍然成立，但XIFTA和Xu替换了b-替换为Xuin（7.3）。通过应用命题4.2，我们可以看到GI（u-, u、 e）是G-u-可测，thatGI（u，u，e）是Gu可测的。因此，（7.2）的第一行和第二行中的积分描述了关于G的IF鞅和IB鞅，如果FI（u，e）=GI（u-, u、 e）和FI=GI（u，u，e）满足可积性条件（5.1），见下文注释5.2。在特殊情况下，G=F，我们有νI=λI，ρI=uI，X=xib，表示（7.2）和（7.1）是等价的，即（7.2）是（7.1）的推广。即使G$F，我们仍然可以得到X=XIBor X=XIB。

下面的示例展示了一个非平凡的进程X，它等于其IB补偿器或IF补偿器。示例7.2。设h（M，t）（ω）：M×[0，∞)×Ohm → R是可测量的，设h（M，t）|≤ 对于可积主量Z，设γ为勒贝格测度与可数个狄拉克测度之和，γ（B）=λ（B）+∞Xi=1δti（B），B∈ B（[0，∞)),对于确定性时间点0≤ t<t<。。。正在增加到完整性。然后，由xt定义的c\'adl\'ag过程X：=XM∈MZ[0，t]IMsh（M，s）γ（ds）具有IB补偿器xibt=Z（0，t]XM∈MIMsE[h（M，s）| Gs]γ（ds）。为了看到这一点，应用命题4.2、支配收敛定理、命题4.4和引理4.3，以获得thatlimn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk+1]=limn→∞XTnZ（tk，tk+1）XM∈MtIMtk+1EXM∈Mh（￠M，s）IMsGtk+1γ（ds）=XM∈Mtlimn公司→∞XTnZ（tk，tk+1）IMtk+1EMhPM∈MIMtk+1h（～M，s）I～MsiEM[IMtk+1]γ（ds）=XM∈MtZ（0，t）IMsEM[h（M，s）IMs]EM[IMs]γ（ds）=XM∈MZ（0，t）IMsE[h（M，s）| Gs]γ（ds）几乎可以肯定，其中mt定义如（4.8）所示。如果是7→ h（M，s）是G-适用于X=XIB的每个M。同样，我们可以显示c\'adl\'ag进程YT：=XM∈MZ[0，t]IMs-h（M，s）γ（ds）具有IF补偿器ift=Z（0，t）XM∈MIMs公司-E[h（M，s）| Gs-] γ（ds）。如果是7→ h（M，s）是G--适用于每个M，Y=YIF。定理7.1的证明。该定理源自加法分解[Xt | Gt]- E[X | G]=limn→∞XTn（E[Xtk+1 | Gtk+1]- E[Xtk | Gtk]=limn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk+1]+limn→∞XTn（E[Xtk | Gtk+1]- E[Xtk | Gtk]），并将定理6.1应用于每个加数E[Xtk | Gtk+1]- E[Xtk | Gtk]。集水坑（E[Xtk | Gtk+1]- 当tk<s时，E[Xtk | Gtk]）具有形式（1.2）的表示≤（7.3）定义的GI（s、u、e）的tk+1。由于X的c\'adl\'ag性质，通过对几乎每个ω应用支配收敛定理∈ Ohm, 我们最终得到（7.2）和（7.3）。

替代分解- E[X | G]=limn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk]+limn→∞XTn（E[Xtk+1 | Gtk+1]- E[Xtk+1 | Gtk]）导致第二种变体，其中XIBis被XIFand Xu取代-替换为Xuin（7.3）。备注7.3。在不丧失一般性的情况下，假设0 6∈ E、 受Remark3.2的启发，对于任何t>0和任何可积随机变量ξletE[ξ| Gt，RI=（t，E）]：=E[ξ|（Γt，RI）=·]（Γt，（t，E）），E[ξ| Gt-, RI=（t，e）]：=e[ξ（t-, RI）=·]（t-, （t，e）），e∈ EI，E[ξ| Gt，t=m]：=E[ξ|（Γt，t） =·]（t，m），E[ξ| Gt-, t=m]：=E[ξ|（Γt-, t） =·]（Γt-, m），m∈ {0，1}，其中随机变量t： =PI∈NuI（{t}×EI）表示在时间t是否有停止事件。然后可以证明（7.2）中的被积函数几乎肯定等于（t-, t、 e）=e[Xt-|燃气轮机-, RI=（t，e）]- E[文本-|燃气轮机-, t=0]，GI（t，t，e）=e[下-|Gt，RI=（t，e）]- E[文本-|燃气轮机，t=0]，对于每个t>0，I∈ N和e∈ 工程安装。右侧的差异有直观的解释：第一行描述了变化情景和保留情景之间的预期差异，如果我们当前处于时间t- 并期待着未来。类似地，第二行描述了如果我们当前处于时间t，并且在时间上处于落后状态，则变更场景和保留场景之间的预期差异。在公式（7.2）中，这些预期差异与补偿的前向和后向情景动态相结合。8示例我们回到示例1.1和1.2，展示我们的极小鞅表示如何应用于人寿保险和信用风险建模。例8.1（基于大数据的人寿保险评估）。考虑一份人寿保险合同，保险人通过AIM收集被保险人的健康相关信息，以改进对个人未来保险责任的预测。

例如，这可能涉及来自活动跟踪器或社交媒体的数据。这里，标记点过程包括死亡时间τ，记录为ζ：=τ，以及进一步的健康相关信息（τi，ζi）i≥2、根据欧盟《一般数据保护条例》的规定，在投保人提出关于“恢复权”的要求时，或作为数据提供商的自我强加数据隐私权，保险人在特定时间点删除部分健康相关数据，即我们扩展（τi，ζi）i≥2按删除次数（σi）i≥为了完整性，我们定义σ：=∞.在没有数据删除的经典保险建模中，预期未来保险付款的时间动态通常由Thiele方程seee描述。g、 Moller（1993）和Djehiche&L–ofdahl（2016）。假设at在[0，t]给出人寿保险合同的总收益现金流，包括在时间t死亡时的生存收益和死亡收益α（t），即at=Zt{τ>s}a（s）ds+Z[0，t]×eα（s）u{1}（d（s，e）），t≥ 0。我们在此假设a：[0，∞) → R和α：[0，∞) → R是有界的。对于给定的最大强度φ：[0，∞) → [0, ∞) 合同期限为[0，T]，过程xt：=Z（T，T）e-Rstφ（u）dudas描述了从时间t开始的保险人的贴现未来负债。作为c\'adl\'agprocess X=（Xt）t≥0既不适用于F，也不适用于G，保险人必须使用可选的预测（所谓的预期准备金），即保险人需要计算Ft=e【Xt | Ft】，t≥ 0如果没有数据删除且xgt=E[Xt | Gt]，t≥ 0以防可能发生信息删除。XGis过程根据定理4.1很好地定义了c\'adl\'agprocess。通过应用（7.1）和It^o引理，我们可以推导出所谓的随机Thieleequalationdxft=-dAt+φ（t）XFt-dt+谢泽菲（t，e）（uI- λI）（dt×de）（8.1），终端条件XFT=0，cf。