跳跃过程中非单调信息的鞅概念

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英文标题：
《A martingale concept for non-monotone information in a jump process
  framework》
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作者：
Marcus C. Christiansen
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The information dynamics in finance and insurance applications is usually modeled by a filtration. This paper looks at situations where information restrictions apply such that the information dynamics may become non-monotone. A fundamental tool for calculating and managing risks in finance and insurance are martingale representations. We present a general theory that extends classical martingale representations to non-monotone information generated by marked point processes. The central idea is to focus only on those properties that martingales and compensators show on infinitesimally short intervals. While classical martingale representations describe innovations only, our representations have an additional symmetric counterpart that quantifies the effect of information loss. We exemplify the results with examples from life insurance and credit risk.
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中文摘要：
金融和保险应用中的信息动态通常通过过滤进行建模。本文着眼于信息限制的应用情况，以便信息动态可能变得非单调。计算和管理金融和保险风险的一个基本工具是鞅表示。我们提出了一个将经典鞅表示推广到由标记点过程生成的非单调信息的一般理论。中心思想是只关注鞅和补偿器在无穷短区间上显示的那些性质。虽然经典鞅表示只描述创新，但我们的表示有一个额外的对称对应项，用于量化信息丢失的影响。我们用人寿保险和信用风险的例子来举例说明结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_martingale_concept_for_non-monotone_information_in_a_jump_process_framework.pdf (296.2 KB)

2022-6-11 02:39:26 上传

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关键词：跳跃过程 Presentation Applications Differential Restrictions

跳跃过程中非单音信息的鞅概念框架Marcus C.Christiansen*2021年1月11日金融和保险应用中的信息动态通常由过滤建模。本文着眼于应用信息限制的情况，以便信息动态可能变得单调。计算和管理金融和保险风险的一个基本工具是鞅表示。我们提出了一个将经典鞅表示推广到由标记点过程生成的非单调信息的一般理论。中心思想是只关注鞅和补偿器在非常短的区间内显示的那些性质。虽然经典鞅表示仅描述创新，但我们的表示还有一个额外的对称性计算部分，可以量化信息丢失的影响。我们用人寿保险和信用风险的例子来举例说明结果。关键词：信用风险建模；寿险建模；信息限制；可选投影；极小鞅表示1简介时间t的值∈ 财务索赔ξ的[0，T]∈ L(Ohm, A、 P）时间T∈ (0, ∞) iscommonly由B（t）方程ξB（t）计算Fti，（1.1），其中B是无风险资产的价值过程，（Ft）t≥0是一种过滤，用于描述每次≥ 0，Q是一些等价的度量。为了研究价值过程的时间动力学，我们可以利用t 7→ 等式[ξ/B（T）| Ft]始终是鞅。*卡尔·冯·奥西茨基大学（Carl von Oscietzky Universit）——奥尔登堡，马库斯，德国奥尔登堡，马蒂克研究所，26111。christiansen@uni-奥尔登堡。在本文中，我们假设信息限制适用并取代过滤（Ft）t≥0通过一系列子sigma代数（Gt）t≥0这可能是非单调的，即我们不假设（Gt）t≥0是一种过滤。

我们专注于建模框架，其中（Gt）t≥0由标记点过程生成，因为这允许我们显式计算鞅表示。我们的方法似乎也适用于更一般的环境，但一般理论有待于未来的研究。信息限制的动机可能是法律限制、数据隐私权、信息摘要或模型简化。法律信息限制的一个例子是欧盟《通用数据保护条例》（2016/679），该条例第17条中包含了所谓的“擦除权”，可能导致信息丢失。示例1.1（基于大数据的人寿保险评估）。来自活动追踪者、社交媒体等的数据可以改善对被保险人死亡率和发病率的个人预测。通过根据欧盟《一般数据保护条例》行使“擦除权”，投保人可以要求保险人酌情删除部分健康相关数据。此外，出于数据隐私的原因，数据提供商可能会实施自我强加的信息限制。例如，谷歌产品的用户可以选择在固定的时间限制后自动删除位置历史记录和活动数据。因此，根据公式（1.1）对保险责任ζ的评估将仅限于次西格玛代数（Gt）t≥0由于数据删除而不单调。Norberg（1991）提供了信息汇总的示例，其中定义了包含非单调信息的人寿保险价值汇总（回顾性和前瞻性准备金）。一种流行的模型简化方法是马尔可夫建模，即使经验数据不完全支持马尔可夫假设。示例1.2（信用评级模型中的马尔可夫近似）。

在JarrowLando Turnbull模型中，过滤（Ft）t≥0由有限状态空间Markovchain（Rt）t生成≥0代表信用评级，参见Jarrow等人（1997）。Markovproperty使得可以用子sigma代数GT=σ（Rt）等效地替换Ftin（1.1）。马尔可夫假设的动机是一种理论观点，即acredit评级应充分描述潜在债务人的当前风险，因此历史评级可以忽略。然而，经验数据并不总是支持马尔可夫性质，因此等式[ξ/B（T）| Gt]实际上可能不同于等式[ξ/B（T）| Ft]，参见Lando和Skodeberg（2002）。Gt=σ（Rt）的信息动力学在t中是非单调的。Pardoux&Peng（1994）和Tang&Wu（2013）中也可以找到非单调的信息结构，但在这些论文中，特定的独立性假设使我们有可能回到过滤并使用经典鞅表示。从现在起，我们跳过（1.1）中的下标Q和所有相关期望。根据应用程序，我们将P解释为真实世界的度量或风险中性度量。当我们更换过滤（Ft）t时≥0in（1.1）由非单调信息（Gt）t≥0，则鞅理论中用于研究（1.1）的时间动力学的所有强大工具都不再可用。

为了填补这一空白，本文推导了公式[ξ| Gt]的一般表示形式- E[ξ| G]=XI∈MZ（0，t）×EIGI（u-, u、 e）（I）- νI）（d（u，e））+XI∈MZ（0，t）×EIGI（u，u，e）（ρI- uI）（d（u，e）），t≥ 0，（1.2），其中ξ是任何可积随机变量，（Gt）t≥0是由包含信息删除的扩展标记点过程生成的非单调西格玛代数族，（uI）I∈Mis唯一对应于扩展标记点过程（νI）I的一组计数度量∈Mand（ρI）I∈（uI）I的最小正向和反向补偿器∈M、 和被积函数GI（u-, u、 e）和GI（u，u，e）根据时间u的信息进行调整- 和时间u。如果（Gt）t≥0是递增的，即它是一个过滤，在（1.2）中的第二行是零，第一行符合经典鞅表示。本文的中心思想是只关注鞅和补偿器在极小区间上显示的那些性质。我们称之为“微型方法”。原则上，最小方法并不局限于点过程过程框架，但一个完全通用的理论超出了本文的范围。我们将进一步将表示结果扩展到formt 7的处理→ E【Xt | Gt】，t≥ 0，（1.3），其中（Xt）t≥0是一个合适的可积c\'adl\'ag过程。在这种情况下，（1.2）的右侧会出现一个额外的漂移项。鞅表示法在金融和保险领域有各种应用，尤其是在定点过程框架中：o如果金融或保险索赔是可对冲的，那么可以从鞅表示法中推导出明确的对冲，参见Norberg（2003）和Last&Penrose（2011）。o鞅表示是构造和求解后向随机微分方程（BSDE）的核心工具，参见。

Cohen&Elliott（2008）、Bandini（2015）和Confortola（2019）。金融和保险中的许多最优控制问题对应于BSDE问题，参见Cohen&Elliott（2010）和Delong（2013）鞅表示可以作为加性风险因素分解，见Schilling等人（2020）。出于监管原因，保险人需要对保单或保险组合的盈余进行额外分解，参见Moller&Steffeensen（2007）。加性风险因素分解也用于金融，参见Rosen&Saunders（2010）。在所有三种应用中，根据（1.2）的极小鞅表示允许在建模中包含信息限制。我们将研究示例1.2中模型的Hedging应用程序。我们将看到，在不适当的马尔可夫假设下，对冲策略的估计和计算可能会无意中用极小的前向鞅（1.2右侧的第一行）代替经典鞅，然后隐含的对冲误差就是相应的极小后向鞅部分（1.2中的第二行）。例1.1举例讨论了不完全鞅表示在BSDE理论中的应用。我们将看到（1.2）中的被积函数对应于所谓的风险总额，这是人寿保险风险管理的核心参数。在示例1.1中，我们还简要讨论了风险因素分解。出于数据隐私原因而要求删除信息可能会引发套利机会，这些机会可能会被分割为微小的后向鞅，这对于处理这些问题很重要。表示法（1.2）表示t 7→ E[ξ| Gt]有一个（唯一的）半鞅修正。

更一般地，我们将显示t 7→ 当X是紧集上具有可积变分的半鞅时，E[Xt | Gt]有一个（唯一的）半鞅修正。在需要研究时间动力学的应用中，唯一性和半鞅性质至关重要。例如，在人寿保险中，差异dE[Xt | Gt]可能描述保险人在时间t的当前盈余或损失，参见Norberg（1992）和Norberg（1999）。跳跃过程鞅及其表示的研究主要可以追溯到20世纪70年代，参见Jacod（1975）、Boel等人（1975）、Chou&Meyer（1975）、Davis（1976）和Elliott（1976）。从那时起，扩展就朝着不同的方向发展，如Last&Penrose（2011）和Cohen（2013）。所有这些论文都停留在过滤的框架内，即信息动态是单调的。我们在这里介绍的细分方法允许我们超越过滤的框架。推导经典鞅表示的一种灵活方法是徒手操作，首先是Chou和Meyer构造单跳跃过程的鞅表示，然后是Elliott对有序跳跃情况的扩展。在本文中，我们也使用徒手操作的方法，但经典的停止时间概念不适用于我们的非单调信息设置，因此我们需要保留公共路径。本文的组织结构如下。在第2节中，我们解释了有限元方法的基本概念，但避免了技术细节。在第3节中，我们添加了技术假设，并将建模框架缩小到纯跳跃过程驱动因素。第4节验证了（1.2）确实是一个明确的过程。在第5节中，我们确定了一大类跳跃过程的内隐式补偿器。第6节证明了中心结果（1.2），并将其扩展到第7节中形式（1.3）的过程。

在第8节中，我们仔细研究了示例1.1和1.2.2中的微元法。微元法的中心思想是只关注鞅和补偿器在微元短时间间隔内显示的那些性质。本节在假定本节中的所有限制实际上都存在的一般假设下解释了基本思想。仅从下一节开始，我们将框架缩小到纯跳转流程驱动程序，这对于保证限制的存在是有效的，但不是必需的。因此，一般来说，最小方法并不局限于跳跃过程框架，但在这里找到存在限制的必要条件超出了本文的范围。让(Ohm, A、 P）是完全概率空间，设Z A是其空集。LetF=（Ft）t≥0在此概率空间上是一个完整且正确的连续过滤。我们将FTA解释为时间间隔[0，t]上的可观察信息。假设某些信息在一定的保存时间后过期。通过从时间t之前过期的所有信息中减去，我们获得了时间t时的可容许信息。我们假设该可容许信息由一个完整的sigma代数族G=（Gt）t表示≥0，Gt 英尺，吨≥ 0，这在t中可能是非单调的。如果X对于每个t都是可测量的，则称过程X适用于过滤F≥ 同样，如果Xtis Gt对每个t都是可测的，我们可以说过程X适应于可能的非单调信息G≥ 除了这一经典概念外，我们还采取了渐进的观点。定义2.1（增量调整）。

我们说X逐渐适应Gif Xt- Xsisσ（Gu，u∈ [s，t]）-可测量任何间隔[s，t] [0, ∞).在金融和保险应用程序中，我们将X视为一种合计现金流，其中合计付款Xt- 关于区间[s，t]，应仅取决于[s，t]上的容许信息。如果G是过滤，则增量适应等同于经典适应，但这两个概念对于非单调信息有所不同。如果可积过程X是F-adaptedandE[Xt]，则称其为关于F的鞅- Xs | Fs]=0几乎可以肯定每0≤ s≤ t、 专注于非常短的时间间隔，尤其是我们有LIMN→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Ftk]=0（2.1），几乎可以肯定每个t≥ 0，其中（Tn）n∈Nis任何递增顺序（即Tn 对于间隔[0，t]的分区0=t<····<Tn=t的所有n），Tn+1，这样| Tn·：=max{tk- tk公司-1： k=1，n}→ 0表示n→ ∞. 在文献中，我们可以找到（2.1）直观符号E[dXt | Ft-] = 定义2.2（极小鞅）。设X以增量方式适应G。对于每个t，X是关于G IF的极小向前/向后鞅（IF/IB鞅）≥ 0和任何递增的分区序列（Tn）n∈带limn的Nof[0，t]→∞|Tn |=0我们几乎肯定有limn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk]=0andlimn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk+1]=0，假设存在预期和限制。现在假设X是一个F适应的可积计数过程。所谓的X的补偿因子C是唯一的F-可预测的有限变化过程，从C=0开始，X- C是F-鞅。特别是，C满足方程Ct=limn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Ftk]（2.2）几乎可以肯定每个t≥ 0，见Karr（1986，定理2.17）。（2.2）的直观表示法为E[dXt | Ft-] = dCt。

此外，可以证明Cimplies的F-可预测性thatlimn→∞XTnE[Ctk+1- Ctk | Ftk]=Ct- C、 （2.3）直观地写为E[dC | Ft-] = dCt。后一个事实激发了以下定义。定义2.3（基本可预测的过程）。我们说，对于每个t，相对于G IF，X是完全正向/反向可预测的（IF/IB可预测）≥ 0和任何分区递增顺序（Tn）n∈带limn的Nof[0，t]→∞|Tn |=0我们几乎肯定有limn→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk]=Xt- Xandlimn公司→∞XTnE[Xtk+1- Xtk | Gtk+1]=Xt- 十、 分别考虑到预期和限制的存在。请注意，任何IF/IB可预测流程也会进行增量调整。通过组合（2.2）和（2.3），我们得到了LIMN→∞XTnE[（Xtk+1- Ctk+1）- （Xtk- Ctk）| Ftk]=0（2.4），几乎可以肯定每个t≥ 0，这意味着进程X- 根据定义2.2，C是关于F的IF鞅。定义2.4（微型补偿器）。我们说过程C是一个完整的向前/向后补偿X（IF/IB补偿），相对于G，IF C isIF/IB可预测和X- C分别是关于G的IF/IB鞅。设G[tk，tk+1]：=σ（Gu，u∈ [tk，tk+1]），对于任何tk+1≥ tk公司≥ 0和ξ∈ L(Ohm, A、 P）。然后是结构【ξ| Gt】- E[ξ| G]=limn→∞XTn公司E[ξ| Gtk+1]- E[ξ| Gtk]= 画→∞XTn公司E[ξ| G[tk，tk+1]]- E[ξ| Gtk]- 画→∞XTn公司E[ξ| G[tk，tk+1]]- E[ξ| Gtk+1]分解过程t 7→ E[ξ| Gt]到IF鞅和ib鞅的区别，自E[ξ| G[tk，tk+1]]- E[ξ| Gtk]Gtk公司= 0，EE[ξ| G[tk，tk+1]]- E[ξ| Gtk+1]Gtk+1= 0，且自E[ξ| G[tk，tk+1]]-E[ξ| Gtk]和E[ξ| G[tk，tk+1]]-E[ξ| Gtk+1]是G[tk，tk+1]-可测量的。定义2.5（极小鞅表示）。