跳跃过程中非单调信息的鞅概念

Moller（1993年，方程式（2.17））。被积函数fi（t，e），几乎可以肯定等于fi（t，e）=e[Xt-|英尺-, RI=（t，e）]- E[文本-|英尺-, t=0]根据备注7.3），是人寿保险风险管理中的一个关键参数，称为风险总额。方程（8.1）可解释为具有解（XF，（FI）I）的反向随机微分方程（BSDE），马尔可夫模型见Djehiche&L¨ofdahl（2016），非马尔可夫模型见Christiansen&Djehiche（2020）。如果人寿保险付款a和α取决于当前保单价值，因此保险现金流a仅隐含定义，则BSDE（8.1）尤其相关。通过应用定理7.1和It^o引理，并使用处理一个等式其自身IB补偿器的事实（因为σ=∞), 我们可以推导出xg的类似方程，即dxgt=-dAt+φ（t）XGt-dt+谢泽吉（t-, t、 e）（uI- νI）（dt×de）+西泽伊吉（t，t，e）（ρI- uI）（dt×de）（8.2），终端条件XGT=0。该方程可以解释为一种新型的带解的BSDE（XG，（GI）I），其特征是一个IF鞅和一个IB鞅，而不是一个经典鞅。第一行中的IF鞅描述了新信息对可选投影XG的影响。第二行中的IB鞅量化了信息删除对XG的影响。被积函数GI（t-, t、 e）和gi（t，t，e），几乎可以肯定等于-, t、 e）=e[Xt-|燃气轮机-, RI=（t，e）]- E[文本-|燃气轮机-, t=0]，GI（t，t，e）=e[下-|Gt，RI=（t，e）]- E[文本-|燃气轮机，t=0]根据备注7.3，概括风险总额的经典定义。

在人寿保险风险管理中，需要它们进行敏感性分析、安全侧计算、合同修改和盈余分解。如果投保人可以自行决定数据删除，那么投保人可以系统地利用保险合同的结果价值变化，从而导致一种数据隐私套利。因为（8.2）中的IB鞅测量了在时间（σi）i由于数据删除而引起的值变化≥2、它代表了潜在的数据隐私套利。避免数据隐私套利的一个简单解决方案是在数据删除请求时向IB鞅收取费用。费用也可以是负数，然后代表奖金支付。然而，保险实践中需要更复杂的风险分担方案，以区分数据删除的不同原因。通过遵循Schilling et al.（2020）的概念，将鞅表示解释为风险因素分解，我们可以将（8.2）中的极小鞅部分解释为可区分多种跳跃事件uI，I N、 保险公司盈余的这种加总构成是使保险风险管理与数字时代保持一致的重要步骤。示例8.2（信用评级模型中的马尔可夫近似）。在信用评级建模中，一个流行的近似概念是假设信用评级过程是马尔可夫过程，即使经验数据不完全支持这一假设。假设信用评级仅在整数倍更新。通过设置τi：=i- 1和σi：=i或i∈ N和定义ζ表示时间τi的信用评级，评级过程R=（Rt）t≥0具有代表性RT=∞Xi=1ζi{τi≤t<σi}，t≥ 0，满足度gt=σ（Rt）∨ Z、 t型≥ 过程R的跳跃对应于随机计数度量uI。

在JarrowLando Turnbull模型中，评级空间E是有限的，（Ri）i∈假设Nis为马尔可夫链，且Q（Ri+1=Ri+1 | Ri=Ri）=π（i，Ri）P（Ri+1=Ri+1 | Ri=Ri），Ri，Ri+1∈ E、 我∈ N、 （8.3）其中Q是等价鞅测度，π是N×E上的确定性函数。后一个公式允许我们通过两步方法从市场数据估计Q：首先，从观察到的信用评级时间序列估计转移概率P（Ri+1=Ri+1 | Ri=Ri）。然后对函数π进行校准，以使信用评级衍生工具的风险中性值符合观察到的市场价格。一旦有了Q，我们就可以使用（经典）鞅表示（6.1）来明确构建财务索赔ξ的对冲，参见Last&Penrose（2011）。例如，根据公式（8.1），索赔ξ=h（RT）具有套期保值策略h（RT）- B（0）等式h（RT）B（T）F=Z（0，T）B（T-) 均衡器h（RT）B（T）英尺-B（dt）B（t-)+XI∈新西兰（0，T）×EIFI（T，e）uI- λI（dt×de）。（8.4）第一行中的积分描述了对无风险资产B的投资。第二行对应于风险投资，可以根据完整金融市场中的可交易资产进行重写，参见Last&Penrose（2011）第5节。马尔可夫链Rw阶段占用概率的标准估计量。r、 t.P是Aalen-Johansen估计量，它直接对应于随机计数度量uI的补偿器λion的NelsonAalen估计量。在r是马尔可夫的假设下，Nelson-Aalen估计量一致地估计λI=νI。如果r不是马尔可夫的，那么Nelson-Aalen估计量仍然一致地估计νI，参见Datta&Satten（2001），但现在νI6=λI。

换言之，如果在λ的估计中忽略了G以外的信息，因为Markova假设不正确，那么我们实际上估计了极小的正向补偿器νii，而不是经典补偿器λI。同样，忽略市场数据中G Uponestimulating FIand（1.1）以外的信息，意味着我们无意中得到了gi（t-, t、 e）=B（0）等式h（RT）B（T）燃气轮机-, RI=（t，e）- B（0）等式h（RT）B（T）燃气轮机-, t=0B（0）EQ[h（RT）/B（T）| Gt]而非fi（T，e）=B（0）EQh（RT）B（T）英尺-, RI=（t，e）- B（0）等式h（RT）B（T）英尺-, t=0和B（0）EQ【h（RT）/B（T）| Ft】。关于混合条件下后一种条件的正确解释，请参见备注7.3。总之，由于一个正确的马尔可夫假设，在估计和计算对冲策略（8.4）时忽略了G以外的信息，我们无意中得出了交易策略z（0，T]B（T-) 均衡器h（RT）B（T）燃气轮机-B（dt）B（t-)+XI∈NZ（0，T）×EIGI（T-, t、 e）uI- νI（dt×de）（8.5），而不是（8.4）右侧的对冲策略。（8.5）仍然是h（RT）的对冲吗？通过应用定理6.1代替（6.1），并使用F=GandGT=σ（RT）∨ Z、 与（8.4）类似，我们得到（RT）- B（0）等式h（RT）B（T）F=Z（0，T）B（T-) 均衡器h（RT）B（T）燃气轮机-B（dt）B（t-)+XI∈NZ（0，T）×EIGI（T-, t、 e）uI- νI（dt×de）+XI∈NZ（0，T）×EIGI（T，T，e）ρI- uI（dt×de）。（8.6）等式（8.6）暗示交易策略（8.5）实际上不是ξ=h（RT）的对冲。对冲误差由（8.6）中的第三行给出。综上所述，通过在不正确的马尔可夫假设下估计和计算对冲策略（8.4），我们无意中将（8.4）中的（经典）F-鞅替换为G-IF-鞅（8.5）（无风险投资也受到影响），相应的G-IB-鞅就是对冲误差。Schilling等人。

（2020）将鞅表示解释为加性风险因素分解。同样，我们可以将（8.4）和（8.6）中的（微小的）鞅部分理解为线性风险因素分解。Rosen&Saunders（2010）解释了信贷风险建模中此类分解的相关性。参考Bandini，E.，2015年。由一个可能非拟左连续的随机测度驱动的倒向随机微分方程的存在性和唯一性。电子公社。概率。20/71. 内政部：10.1214/ECP。v20-4348。Boel，R.，Varaiya，P.，Wong，E.，1975年。跳跃过程上的鞅Ⅰ：表示结果。SIAM J.控制与优化13999-1021。Confortola，F.，2019年。标记点过程驱动的倒向随机微分方程的LPS解。控制、信号和系统数学，31（1），1。Cohen，S.N.，2013年。一类跳跃过程的鞅表示定理。arXiv:1310.6286v1。Cohen，S.N.，Elliott，R.J.，2008年。马尔科夫链上倒向随机微分方程的解。公社。斯托赫。肛门。。2、10.31390/cosa。2.2.05.Cohen，S.N.，Elliott，R.J.，2010年。马尔可夫链上的倒向随机微分方程和相关无套利条件的比较。《应用概率年鉴》，20（1），267-311。Chou，C.S.，Meyer，P.-A.，1975年。在整个随机过程中常见鞅的代表性。在：S’eminaire de Probabilit’es IX，数学课堂讲稿465中。Springer Verlag。Christiansen，M.C.，Djehiche，B.，2020年。人寿保险中的非线性准备金和多重合同修改。保险：数学与经济学93187-195。Datta，S.，Satten，G.A.，2001年。

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